HT KIẾN THỨC cơ bản toán THCS

 Bước 3: Giải phương trình hệ phương trình Bước 4: Kết luận , sau khi đã đối chiếu với bước 1 b Các dạng bài toán thường gặp:  Dạng 1: Toán về năng suất lao động Khối lượng công việc

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHỤC VỤ THI VÀO LỚP 10

MÔN TOÁN

M c l c ụ ụ Phần đại số:

======= PHẦN ĐẠI SỐ =======

Đ_1.Các dấu hiệu chia hết:

a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Những số có chữ số tận cùng là “số chẵn” thì chia hết cho 2

b) Dấu hiệu chia hết cho 3: Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3thì chia hết cho 3.

c) Dấu hiệu chia hết cho 5: Những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

d) Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng chia hết cho 4.

Ví dụ: 136 có chia hết cho 4 vì 36 ⋮ 4

e) Dấu hiệu chia hết cho 8: Ba chữ số tận cùng chia hết cho 8.

Ví dụ: 3904 có chia hết cho 8 vì 904 chia hết cho 8

f) Dấu hiệu chia hết cho 9: Những số chó tổng các chữ số chia hết cho 9 thì xhia hết cho 9.

g) Dấu hiệu chia hết chi 11: Những số có Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn

chia hết cho 11 thì chia hết cho 11

Ví dụ: 253 chia hết cho 11 vì (2 + 3) – 5 = 5 – 5 = 0 ⋮ 11 => 253 ⋮ 11

h) Dấu hiệu chia hết cho 25: Nhứng số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25.

Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25.

i) Dấu hiệu chi hết cho 125: Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho

125…

Ví dụ: 2345312125 chia hết cho 25 vì 125 chia hết cho 25.

• Chú ý:- Những số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10

- Những số chia hét cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6

- Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3

- Những số chia hết cho 125 thì chia hết cho 25

Đ_2 Số nguyên tố - hợp số:

a) Số nguyên tố( SNT): là những số chỉ có duy nhất 2 ước số là 1 và chính nó

Ví dụ: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,53…

b) Hợp số: là những số có từ 3 ước số trở lên.

* Lưu ý: Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

c) Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: Cách làm như sau

5882941474971

22377

* A.(B+C) = A.B + A.C

* ( A+B).(C+D) = A.C + B.C + A.C + A.D

Đ_7 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Là biến đổi một đa thức thành tích của nhiều đa

- Cách giải: đặt x4 = t ≥ 0 ta được phương trình bậc hai ẩn là t: at2 + bt + c = 0

- Ví dụ minh họa: Giải phương trình

+Đặt ta có : t2 – 3t + 2 = 0

+ Giải ra ta được t1 = 1; t2 = 2

+ Với t1 = 1 ta có: ⇔ ⇔

(x ≠ -1)+ Với t2 = 2 ta có: ⇔ ⇔

(x ≠ -1)

* Phương trình tích:

- Dạng tổng quát: A(x) B(x)… C(y) = 0

Trong đó: A(x), B(x) C(y) là những đa thức bậc 1 hoặc bậc 2.

- Cách giải: theo qui tắc 4 bước:

+ Bước 1: Đặt điều kiện: B(x) ≠ 0

+ Bước 2: Qui đồng và khử mẫu

+ Bước 3: Giải phương trình sau khi đã qui đồng và khử mẫu

+ Bước 4: Kết luận nghiệm: Nghiệm phải thỏa đ/k ở bước 1

+ Đ/K : MTC = x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2; 3

+ Khi đó ta có: 2x(x – 3) – 5(x – 2) = 5 ⇔ 2x2 – 11x + 5 = 0

+ Giải phương trình này ta được: x1 = ; x2 = 5 đều TMĐK

c) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

- Ví dụ minh họa: Giải phương trình :

+ Lập bảng xét dấu như sau:

- Cách giải:Tìm đ/k: sau đó bình phương hai vế 2 lần đưa về dạng 1

- Ví dụ minh họa: Giải phương trình: +

• Phương trình bậc cao dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m / a + b = c + d

- Cách giải: Đưa về phương trình:

= 0

- Ví dụ minh họa: Giải phương trình:

• hương trình dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 ± kbx ± ak 2 = 0

- Cách giải : Đưa về dạng: a + b + c = 0 (*)

+ Cách giải: (ax+b), (cx+d) …là các ước của m

+ Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 = 24x + 9

+ Cách giải: - Ta có : => -ax + c chia hết cho b

- Thay y vào (1) sao cho x là số nguyên+ Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm nguyên ủa phương trình: 12x + 7y = 45

Dễ thấy y , đặt y = 3t (t ∈ Z) Rút gọn ta được : 4x – 7t = 15

⇒ x = Đặt k =

Đáp số : với k là số nguyên tùy ý

- Phương trình bậc hai với 2 ẩn:

+ Dạng 1: axy + bx + cy + d = 0 ( a,b,c,d ∈Z)

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11

Kết luận: Nghiệm (x;y) là: (5;2); (5; -2); (-3;2); (-3;-2)

+ Dạng 4: ax 2 + by 2 + cxy + d = 0 ( a,b,c,d ∈Z)

Đ/s: Nghiệm nguyên dương của phương trình là: (2;1); (3;1)

+ Dạng 6: ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 ( a,b,c,d ,e∈Z)

Đáp số Nghiệm (x; y) là: (0;0); (1;0); (0;1); (2;1); (1;2) ; (2;2)

+ Dạng 8: ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + g = 0 ( a,b,c,d ,e,g∈Z)

- Với x = 0, thay vào (2) ta được: y2 + 3y +2 = 0, ta có: y1= -1, y2 = -2

- Điều kiện nghiệm của HPT:

b) Hệ phương trình với nghiệm nguyên: ( HS tự tìm hiểu)

8

b) Quan hệ giữa các đường

* Quan hệ giữa hai đường thẳng:

Quan hệ giữa (d) và (d’) (d’): y = a’x + b’ (d): y = ax + b (d’): a’x + b’y = c’ (d): ax + by = c

- Vuông góc với nhau a.a’ = -1

* Quan hệ giữa đường thẳng(d) và đường cong (P):

Quan hệ giữa (d) và (P) (d): y = ax + b (P): y = a’x 2

- Không cắt nhau P.T hoành độ a’x2 = ax + b vô nghiệm

- Tiếp xúc nhau P.T hoành độ a’x2 = ax + b có nghiệm kép

- Cắt nhau tại hai điểm A và B P.T hoành độ a’x2 = ax + b có 2 nghiệm phân biệt

b/ a- b + c = 0 Thì x1 = -1 ; x2 =

c a

−

Phương trình (2) có dạng a+ b + c = 0, nên có 2 nghiệm:

x1 = 1 và x2 =

113

−

• Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:

Ví dụ:

a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.

b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của

phương trình

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 – qx +50 = 0, biết phương trình có hai

nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

Giải:

a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được 4 – 4p + 5 = 0

14

b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được: 25+ 25 + q = 0 ⇒ = −q 50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = 1

10 5

x

c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức

Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:

• Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

Ví dụ: Cho x1= 3; x2= 2 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x2 – 5x + 6 = 0

• Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước

Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2– Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.

Giải: Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

Giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4

nếu a = - 4 thì b = 1

 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm

đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức

Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

• Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x 2

• Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm:

Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai

nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và

≥ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữacác nghiệm x1 và x2 .

 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và

≥ 0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số)

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

Ví dụ: Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm

1 2 1 2

x + =x x x

 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:

trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu

 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình.Tìm m để: A =

=

Giải:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho

tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m

2 2

B B

B B

 Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

 Bước 2: Lập phương trình (hệ hương trình):

- Biểu diễn các đại lượng còn lại trong bài theo ẩn

- Lập phương trình (hệ phương trình)

14

 Bước 3: Giải phương trình (hệ phương trình)

 Bước 4: Kết luận , sau khi đã đối chiếu với bước 1

b) Các dạng bài toán thường gặp:

 Dạng 1: Toán về năng suất lao động

Khối lượng công việc Thời gian hoàn thành Năng suất

 Dạng 2:Toán về công việc làm chung, làm riêng

Nếu cả công việc hoàn thành trong x giờ thì 1 giờ sẽ làm được

 Dạng 4: Toán có liên quan đến các môn học: Hình , Lý, Hóa …

- Chú ý các công thức trong hình học: Chu vi, diện tích các hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn, tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, định lý Py-ta-go…các công thức liên hệ giữa các đại lượng: khối lượng, khối lượng riêng, trọng lượng, trọng lượng riêng, thể tích…Nồng độ

%, thể tích khối, nồng độ mol/lít…

 Dạng 5: Toán chuyển động

 Chuyển động cùng chiều, chuyển động ngược chiều:

Quãng đường = vận tốc x thời gian

 Chuyển động trên dòng sông:

 Chuyển động tròn:

- Chú ý công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn

 Dạng 6: Toán lên quan đến %:

- Lưu ý cách tính tỷ số phần trăm của hai số

• Để chứng tỏ Max f(x) = n , ta cần chứng minh f(x) với mọi x thuộc tập hợp xác định của f(x), đồng thời chỉ ra có ít nhất một giá trị x = x0 thuộc tập xác định đó sao cho f(x0) = n.

0 < a <1 :11)a 0, b => ( Dấu “ =” xảy ra  a = b ) - Côsi.

12)a.b + c.d Hay (a.b +c.d)2 (a2 +c2)(b2 + d2)

( Dấu “ = ”xảy ra = ) - Bunhiaxcopxki

13) , ( Dấu “ = ”xảy ra khi và chỉ khi a.b 0)

14)( Dấu “ = ”xảy ra khi và chỉ khi a.b 0)

15)

B – MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA:

♦ Ví dụ 1: Cho a;b > 0 và a2 + b2 = 8 Tìm Max A =

Giải:

Với hai số dương x; y ta có :

x + y => xy (*) Dấu “ = ” xảy ra khi x = y ( BĐT Cô si )

Ta có : a3 + 1 = (a + 1)( a2 –a + 1)

Mà : a > 0 nên : a + 1 > 0; a2 – a + 1 = > 0

Áp dụng BĐT (*) ta được: (a + 1)( a2 –a + 1) =>

Tương tự : Do đó : A = 6

Dấu “ = ” xảy ra khi <=> ….<=>

Vậy maxA = 6 khi a = b = 2.

=> (a + b) Dấu “ = ” xảy ra khi a = b

Tương tự : (b + c) , Dấu “ = ” xảy ra khi b = c

(a + c), Dấu “ = ” xảy ra khi a = c

Do đó : B

Dấu “ = ” xảy ra khi  a = b = c = 1

♦ Ví dụ 3: Cho x > 2y và x.y = 1 Tìm minC =

♦ Ví dụ 10: Cho a,b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Dấu “ = ” xảy ra khi 4a +1 = 4b +1 = 4c +1 = 1  a = b = c = 0

♦ Ví dụ 12: Cho x > y và xy = 1 Chứng minh: (21)

Giải:

Ta có:

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

Dấu “ = ”xảy ra khi và xy = 1 => x = và y =

♦ Ví dụ 13: Cho a;b Chứng minh rằng:

Đ_16.Bất đẳng thức, bất phương trình:

====== PHẦN HÌNH HỌC ======

H_1.Các bài toán dựng hình cơ bản:

 Vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước

 Vẽ tam giác

 Vẽ một góc bằng góc cho trước

 Vẽ tia phân giác của một góc

 Vẽ đường trung trực, trung điểm của một đoạn thẳng

 Qua 1 điểm cho trước, vẽ 1 đường thẳng //, ⊥ với 1 đường thẳng cho trước

H_2 Đường thẳng song song:

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.

Ký hiệu: a//b

b) Dấu hiệu nhận biết:

 Các cặp góc so le trong, đồng vị, so le ngoài bằng nhau

 Các cặp góc trong cùng phía, ngoài cùng phía bù nhau

c) Tiên đề ƠClit::

“ Qua 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng có 1 và chỉ 1 đường thẳng song song (vuông góc) với

đường thẳng đã cho”

H_3 Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc:

 Hai đường thẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

 Một đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng kia

 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

 Nếu 1 đường thẳng cắt 1 trong 2 đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại

18

 Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc (hoặc song song) thì chúng bằng nhau nếu cả hai đều nhonh hoặc đều tù; chúng bù nhau nếu 1 góc nhọn và 1góc tù.

H_4 Tam giác:

a) Tính chất về tổng các góc trong 1 tam giác:

 Tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 1800

 Tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 900

 Trong 1 tam giác thì sđ góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó

 Trong 1 tam giác thì sđ góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

b) Các trường hợp bằng nhau của tam giác:

 Tam giác thường: 3 trường hợp: C-C-C; C-G-C; G-C-G:

 Tam giác vuông:4 trường hợp

 Trường hợp: Hai cạnh góc vuông

 Trường hợp: Cạnh góc vuông - góc nhọn

 Trường hợp: Cạnh huyền – góc nhọn

 Trường hợp: Cạnh huyền – cạnh góc vuông

c) Tam giác cân, tam giác đều:

- Tam giác cân thì hai cạnh bên, hai góc đáy bằng nhau

- Tam giác vuông cân thì mỗi góc nhọn bằng 450

- Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau và bằng 600

d) Tam giác vuông:

* Định lý Py-ta-go: “ Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình

phương hai cạnh góc vuông”

* Định lý: “ Tam giác vuông  Trung tuyến của cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và ngược lại” e) Định lý Ta-let:

A

f) Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác:

Trong một tam giác đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn ( và ngược lại)

g) Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên:

Nếu từ 1 điểm ngoài 1 đường thẳng , ta kẻ đường vuông góc và các đường xiên đến đườngthẳng thì:

 Đường vuông góc là đường ngắn nhất

 Hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau (và ngược lại)

 Trong hai đường xiên không bằng nhau, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn (và ngược lại)

h) Bất đẳng thức tam giác:

Trong 1 tam giác: Hiệu hai cạnh < cạnh còn lại < tổng hai cạnh

i) Các đường đồng qui trong tam giác:

 Trực tâm: Là giao điểm của 3 đường cao

 Trọng tâm: Là giao điểm của 3 đường trung tuyến Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm bằng

độ dài đường trung tuyến

 Tâm đường tròn ngoại tiếp: Là giao điểm của 3 đường trung trực

 Tâm đường tròn nội tiếp: Là giao điểm của 3 đường phân giác

 Chú ý:

- Trong 1 tam giác đều thì 4 điểm: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại – nội tiếp của

1 tam giác nằm trên 1 đường thẳng Đường thẳng này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác

- Đường tròn bàng tiếp của tam giác: Tâm là giao điểm của 1 đường phân giác trong và 2 đường phân giác ngoài.

k) Tính chất đường phân giác của tam giác:

D

l) Các trường hợp đồng dạng của tam giác:

 Tam giác thường: 3 trường hợp

“ Nếu 2 góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì chúng đồng dạng”

 Tam giác vuông: 3 trường hợp

- Trường hợp góc nhọn:

“ Nếu 1 góc nhọn của tam giác vuông này bằng 1 nhọn của tam giác vuông kia thì chúng đồng dạng”

- Trường hợp hai cạnh góc vuông:

“ Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỷ lệ với 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì chúng đồng dạng”