Các kiến thức cơ bản toán học

Biến đổi phương trình về dạng cơ bản: Cần nhớ định nghĩa cũng như các công thức biến đổi cơ bản của hàm số mũ và logarithm Chú ý: _ Với và khác ta có _ Với và khác ta có 2.. Với phương

A.Các kiến thức cơ bản

1a

a

− = (n(n(n(n∈∈∈∈Z , nZ , nZ , nZ , n+ ≥≥≥≥1, a1, a1, a1, a∈∈∈∈R / 0 )R / 0 )R / 0 )R / 0 ){{{{ }}}}

•

m n nn

n m n

nn n

m nnnn mn

nn n

aaa

log Nlog N MM aa NNlog N====M ⇔⇔⇔⇔ a ====N

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi

N a

x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x y

2

2 Các tính chất:

• log 1log 1log 1log 1a =0000

• log alog alog alog aa =1111

• log alog alog alog aa M =MMMM

• aaaalog Na =NNNN

• log (N N )log (N N )log (N N )log (N N )aaaa 1111 2222 ====log Nlog Nlog Nlog Naaaa 1111++++log Nlog Nlog Nlog Naaaa 2222

• aaaa 1111 aaaa 1111 aaaa 2222

2 22 2

N log ( ) log N log N log ( ) log N log N log ( ) log N log N log ( ) log N log N

N = = = = − − − −

• log Nlog Nlog Nlog Naaaa α = α log N log N log N log Naaaa

• Đặc biệt:log Nlog Nlog Nlog Naaaa 2 =2 log N2 log N2 log N2 log Naaaa

3 Công thức đổi cơ số :

4 Hàm số logarít: Dạng yyyy=log xlog xlog xlog xa ( a > 0 , a ≠ 1 )

• Tập xác định : D = R+

• Tập giá trị T=R

• Tính đơn điệu:

* a > 1 : yyyy=log xlog xlog xlog xa đồng biến trên R+

* 0 < a < 1 : yyyy=log xlog xlog xlog xa nghịch biến trên R+

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a ≠1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

_ Hoàn toàn có thể sử dụng các công thức và định lí trên để chứng minh 1 số lượng rất lớn bài tập hàm số mũ và logarith

B Các phương pháp giải toán hàm số mũ và loga

I.Các phương pháp cơ bản

1 Biến đổi phương trình về dạng cơ bản:

Cần nhớ định nghĩa cũng như các công thức biến đổi cơ bản của hàm số mũ và logarithm Chú ý:

_ Với và khác ta có

_ Với và khác ta có

2 Đặt n phụ chuyển về phương trình đại số:

(Chú ý điều kiện của Nn số)

_ Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận m là nghiệm duy nhất Chú ý: Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì

Ví dụ 1: Giải phương trình: f(x) = 3

2

x + 7 log x + = 4

f(x) là hàm tăng => nhận thấy phương trình có nghiệm x = 2

6.Phương pháp đối lập (đánh giá):

8 4

sin x sin x sin x

VT 1 cos x cos x cos x

9 Phương pháp đổi cơ số

Với phương pháp này ta sử dụng công thức đổi cơ số đơn giản:

9 log

3

3 log 3x log

<=> pt vô nghiệm

11 Đặt biến trung gian

Đây cũng là 1 trong những biến thể của phương pháp đặt Nn phụ Việc đặt biến trung gian giúp tao giải quyết bài toán gọn ghẽ và dễ dàng

+ + => dÊu “ = “ x¶y ra khi x = 0

14 Phương pháp nhân logarit

Đây cũng là 1 trong những phương pháp áp dụng các công thức cơ bản trong giải toán logarith

_ Chỉ ra 1 nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất của phương trình

III 1 trong những thủ thuật CM phương trình chỉ có 1 nghiệm:

_ x>m không phải là nghiệm của phương trình

_ x<m không phải là nghiệm của phương trình

_ Nếu x=m không phải là nghiệm của phương trình thì phương trình vô nghiệm

_ Nếu x=m là nghiệm của phương trình thì phương trình có nghiệm duy nhất x=m

2 Phương pháp sử dụng đạo hàm (phương pháp CM phương trình có đúng n nghiệm):

Chú ý: Phương pháp này chỉ sử dụng với trường hợp là hàm số liên tục trên R

Vì vậy đồ thị cắt đường thẳng tại tối đa 2 điểm Nên phương trình đề ra có không quá 2 nghiệm

Đáp số: hoặc

3 Phương pháp xét khoảng nghiệm:

Đây có thể coi là phương pháp nâng cao hơn 1 chút so với phương pháp chỉ ra 1 nghiệm và chỉ ra

n nghiệm Chúng ta sẽ chia khoảng tập xác định của nghiệm thành nhiều khoảng và chứng minh phương trình vô nghiệm trên các khoảng đó từ đó đưa ra kết luận về nghiệm (thường dùng cho những phương trình có 2 hoặc 3 nghiệm)

Với phương pháp này chúng ta phần lớn áp dụng để giải lớp bài toán có dạng như sau:

Giải phương trình:

Chắc hẳn bài toán này có thể giải được 1 cách dễ dàng bằng phương pháp dùng định lí Lagrange (phần dưới) Nhưng tuy nhiên nếu như sử dụng định lí Lagrange chúng ta cần phải CM lại Và với định lí Lagrangre ta có thể áp dụng cho rất nhiều, rất nhiều các lớp bài tập khác

Bây giờ chúng ta đến với 1 bài toán cụ thể Hi vọng từ bài toán cụ thể này bạn đọc có thể làm được bài toán tổng quát

Vậy nghiệm pt đề bài cho là và

Qua bài toán trên ta cần phải tự rút ra 2 điểm lớn cần chú ý:

_ Tại sao xét hàm

_ Tại sao xÐt

_ Tại sao so sánh 2 giá trị f(2) và f(3)

4 Phương pháp sử dụng giới hạn:

_ Thường sử dụng để chứng minh phương trình vô nghiệm

_ sử dụng tính chất đông biến hoặc nghịch biến của hàm số kết hợp giới hạn để chứng minh phương trình vô nghiệm

Do đó PT có tối đa 1 nghiệm

mà i khác j nên đẳng thức chỉ xảy ra khi

do đó

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm và

6 Phương pháp hằng số biến thiên

_ Đây là 1 dạng biến thể của phương pháp đặt Nn phụ Như chúng ta đã biết, đặt Nn phụ là 1 trong những phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả để giải rất nhiều bài toán Nhưng vấn đề đặt ra là đặt như thế nào? Với 1 bài toán cho ở dạng biến đổi về phương trình tích mà thao tác trên Nn phức tạp ta có thể chuyển sang thao tác trên hằng số Từ đó chúng ta có phương pháp “Hằng số biến thiên”

_ Phương pháp hằng số biến thiên có thể kết hợp rất tốt với phương pháp đặt Nn phụ

Coi (*) là phương trình bậc 2 với Nn a ta có:

Vậy (*) có hai nghiệm:

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm

Giả sử là nghiệm của PT , ta có ngay : Xét hàm số

, hàm này liên tục trên đoạn [7 ; 9] và do (1) nên f(7) = f(9) , đồng

thấy (2) xảy ra khi và chỉ khi Như vậy nếu là nghiệm PT thì x = 0 hoặc x = 2 Thử lại thấy 2 giá trị này thỏa mãn PT Vậy PT có hai nghiệm là x = 0 và x = 2

7 Phương pháp tham số biến thiên (tráo đổi vai trò giữa n và tham số):

Về cơ bản đây cũng là 1 trong những phương pháp đặt Nn phụ Tham số được đặt làm Nn phụ Phương pháp này thường dùng để giải các bài toán biện luận nghiệm của phương trình hàm số

mũ hoặc logarith có tham số Thường kết hợp với các định lí về tam thức bậc 2 để giải nhanh và ngắn gọn

Ví dụ 1: Chúng ta cùng quay lại bài tập ví dụ ở mục 6 khi đề bài thay hằng số bằng tham số: Cho phương trình:

Tìm m để phương trình có duy nhất 1 nghiệm

Vậy ko tồn tại m để phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm

8 Phương pháp cô lập tham số:

Sử dụng khi bài toán bắt ta tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x thỏa mãn điều kiện K cho trước Ta biến đổi phương trình về dạng Sau đó khảo sát hàm h(x) và biện luận phương trình bằng bảng biến thiên

9 Phương pháp biện luận theo đồ thị:

khi gặp bài toán biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x,m) = g(x,m)

Ta đặt :y = f(x, m) khi đó bài toán trở thành biện luận theo m số nghiệm của phương trình

 

 

=> số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của

y =

m

3 2

3 Các bất đẳng thức cơ bản : Cauchy; Bunhiacopxki,…

Ví dụ 1:

Cho , , 1 : logb c logc a loga b 33

a b c > CM a + b + c ≥ abc

Bài làm:

Do a b c >, , 1 nên log ; log ; log ; log ; log ; logb c c a a b c b a c b a >0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

12 Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai:

Đây là phương pháp sử dụng các tính chất của tâm thức bậc 2 để giải toán hàm số mũ và loga Phương pháp này thường song hành với phương pháp đặt Nn phụ

Vậy (1) có nghiệm ∈   1;3 3 khi và chỉ khi (3) có nghiệm∈ [ ] 1;2 Đặt

Hàm số f(t) là hàm tăng trên đoạn [1;2] Ta có f(1) = 2 ; f(2) = 6 Phương trình t2 + = t 3m 2 +

14 Phương pháp tích phân hóa:

Phương pháp này thường áp dụng cho các bài toán bất đẳng thức tích phân mà có thể so sánh 2 vế thông qua nguyên hàm của chúng Từ đó chúng ta có phương pháp tích phân hóa:

Từ đó suy ra với ta có:

Do vậy với ta có:

C Một số bài tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình

Bài 4: Giải phương trình

a log x5 = log x 65( + ) − log x 25( + )

b log x log x5 + 25 = log0,2 3

Tài liệu tham khảo _ http://www.maths.vn/forums

_ Hàm số - Lũy thừa - Mũ - Logarith Tác giả: Trần Sĩ Tùng

_ Chuyên đề hàm số mũ logarith Tác giả: Lê Quốc Bảo

_ Phương pháp hằng số biến thiên Tác giả: Phạm Quốc Phong

_ Phương pháp đặt Nn phụ trong giải phương trình vô tỷ Tác giả: Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn _ Các bài giảng của thầy Nguyễn Vũ Lương

_Một số bài viết, tài liệu trên internet