Kiến thức cơ bản toán 12 có ví dụ minh họa

tài liệu word Kiến thức cơ bản toán 12 toàn bộ chương trình kèm ví dụ minh họa tham khảo ôn thi tốt nghiệp

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Để khảo sát sự biến thiên của hàm số, tức tìm các khoảng hàm số đồng biến hoặc nghịch biến (còn gọi

là tính đơn điệu của hàm số), ta có thể tiến hành như sau :

- Tìm tập xác định D (khoảng, đoạn hay nửa khoảng) của hàm số f

- Nếu hàm f liên tục và có đạo hàm trên D ta tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để áp dụng :

+ Hàm f đồng biến (hay tăng) trên D ⇔ f’(x) > 0, x ∈ D

+ Hàm f nghịch biến (hay giảm) trên D ⇔ f’(x) ≤ 0, x ∈ D (Dấu = chỉ xảy ra tại những điểm rời rạc).+ Hàm f không đổi trên D ⇔ f’(x) = 0, x ∈ D

Ta lập bảng biến thiên thể hiện sự xét dấu f'(x) đế biểu diễn tính đơn điệu của hàm số

Ghi chú:

Hàm số đồng biến trên D có đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Hàm số nghịch biến trên D có đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Hàm số không đổi trên D có đồ thị là đường thẳng vuông góc với trục tung.

Vậy hàm số tăng trên hai khoảng (-∞ ; 1), (4 ; +∞) và giảm trên khoảng (1 ; 4)

Áp dụng: Tính đơn điệu của hàm số có thể được áp dụng để chứng minh một số bất đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh sinx < x với mọi x > 0

Giải

Đặt f(x) = sinx - x Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R.

Đạo hàm f'(x) = cosx - 1 < 0, với mọi x thuộc R.

Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên R nên với x > 0 suy ra f(x) < f(0) hay sinx - x < 0 với mọi x > 0

Do đó sinx < x với mọi x > 0

Cực trị của hàm số:

Tìm cực trị của hàm số, tức tìm cực đại và cực tiểu của hàm số đó, ta cần hiểu rõ các định nghĩa:Cho hàm số f xác định trên D ∈ R và x0 ∈ D

a) x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x0 để (a ; b) ⊂ D và f(x) < f'(x0),

x ∈ (a ; b)\{x0} Khi đó f(x0) là giá trị cực đại của hàm số f

b) x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x0 để (a ; b) ⊂ D và f(x) > f'(x0),

x ∈ (a ; b)\{x0} Khi đó f(x0) là giá trị cực tiểu của hàm số f

♦ Để xác định điểm cực trị của hàm số y = f(x) liên tục trên D ta tiến hành :

- Tìm tập xác định D của hàm số đó

- Tính và xét dấu đạo hàm f'(x) :

+ Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - khi x qua x0 ∈ D thì f đạt cực đại tại x0

+ Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + khi x qua x0 ∈ D thì f đạt cực tiểu tại x0

Hoặc :

+ Tính f'(x) và f''(x)

+ Giải f'(x) = 0 để tìm các nghiệm xi (i = 1,2 ) và tìm dấu của f''(x¡)

+ Nếu f''(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

+ Nếu f''(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Ghi chú:

Với các bài toán về cực trị, một số kiến thức ta cần lưu ý để có thể thích ứng nhanh với yêu cầu của một

số câu hỏi trắc nghiệm :

1 Hàm đa thức y = P(x) đạt cực trị tại các nghiệm đơn của P’(x) = 0

2 Hàm số có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0

có hai nghiệm phân biệt

3 Hàm số đạt cực trị tại x0 thì giá trị của hàm số tại điểm cực trị x0 là với P’(x0)

và Q’(x0) lần lượt là đạo hàm của P(x) và Q(x) tại x0

4 Tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị :

a) Trường hợp hàm số hữu tỉ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) có phương trình là

b) Với hàm đa thức y = f(x), để tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị (có toạ độ phức tạp) ta chia đa thức f(x) cho f'(x) :

y = f(x) = f'(x) Q(x) + R(x) thì tại điểm cực trị M0(x0 ; y0) ta có:

y0 = f'x0)Q(x0) + R(x0) = R(x0) (d0 f'(x0) = 0)

Vậy y = R(x) là phương trình đường nối các điểm cực trị của hàm số y = f(x)

nên g(x) luôn có hai lần đổi dấu từ + sang - và từ - sang + hay f(x) luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Kiến thức cơ bản và phương pháp giải

♦ Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập xác định D, ta cần chứng tỏ :

♦ Phương pháp tổng quát để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập xác định D

là lập bảng biến thiên của hàm số f với đầy đủ các giá trị đặc biệt của y, từ đó ta sẽ suy ra được:

max f(x) ; min f(x)

Ghi chú:

1 f(x) là biểu thức lượng giác.

- Ta biến đổi để trong biểu thức chỉ còn chứa y = sin(ax + b) hay y = cos(ax + b)

và áp dụng : -1 ≤ sin( ax + b)≤ 1, x ∈ R

-1 ≤ cos( ax + b)≤ 1, x ∈ R

Trường hợp f(x) chứa sin(ax + b), cos(ax + b) và ta biến đổi được về dạng: Asin(ax + b) + Bcos(ax + b) =

C thì áp dụng điều kiện phương trình có nghiệm : A2 + B2 ≥ C2

2 Trường hợp y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], ta tiến hành các bước:

- Tìm các giá trị của x sao cho f'(x) = 0 hay f'(x) không xác định trên đoạn [a ; b], giả sử các giá trị đó là x1,

x2, x3

- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm có giá trị x nói trên là f(x1), f(x2), f(x3),

- Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút là f(a), f(b)

- So sánh các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3), ta suy ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên đoạn[a ; b]

3 Nếu trong miền D có f(x) → +∞ thì hàm số không có giá trị lớn nhất trong D Nếu trong miền D

có f(x) → -∞ thì hàm số khônq có giá trị nhỏ nhất trong D.

4 Nếu hàm số f liên tục và đạt cực trị duy nhất trong khoảng (a ; b) tại x 0 thì:

max f(x) = f(x0) nếu cực trị trên là cực đại ;

Hàm số liên tục trên đoạn [-2 ; 4] và có đạo hàm y’ = 3x2 - 6x - 9

Giá trị của hàm số tại hai đầu mút: f(-2) = -1 ; f(4) = -19

So sánh các giá trị vừa tính được của hàm số, ta suy ra

max f(x) = 6;

[-2 ; 4]

min f(x) = -26[-2 ; 4]

II ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Để tìm đường tiệm cận của hàm số y = f(x) ta dựa vào tập xác định D để biết số giới hạn phải tìm Nếu tập xác định D có đầu mút là khoảng thì phải tìm giới hạn của hàm số khi x tiến đến đầu mút đó

là

- Để tìm đường tiệm cận ngang ta phải có giới hạn của hàm số ở vô tận:

thì (Δ) : y = y0 là tiệm cận ngang của (C) : y = f(x)

- Để tìm đường tiệm cận đứng thì hàm số phải ra vô tận khi x tiến đến một giá trị x0 :

f(x)

- Để tìm đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x), trước hết ta phải có điều kiện

Sau đó để tìm phương trình đường tiệm cận xiên ta có hai cách :

+ Phân tích biểu thức y = f(x) thành dạng y = f(x) = ax + b + ε(x) thì (Δ) : y = ax + b

(a ≠ 0) là đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x)

+ Hoặc ta tìm a và b bởi công thức:

Khi đó y = ax + b là phương trình đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x)

Ghi chú :

Đường tiệm cận của một số hàm số thông dụng :

- Hàm số có hai đường tiệm cận đứng và ngang lần lượt có phương trình

là

- Với hàm số (không chia hết và a.p ≠ 0), ta chia đa thức để có:

thì hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là:

- Hàm hữu tỉ (không chia hết) có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu một bậc

- Với hàm hữu tỉ, giá trị x0 làm mẫu triệt tiêu nhưng không làm tử triệt tiêu thì x = x0 chính là phương trình đường tiệm cận đứng

hàm số sẽ có hai đường tiệm cận xiên:

Ví dụ: Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận với phương trình là kết quả nào

sau đây?

(A) x = 3, y = 1 ; (B) x= 3, x = -3, y = 1 ;

(C)x = -3, y = 1 ; (D) x = 3, y = 2x - 4

Giải

là phương trình đường tiệm cận ngang

(nên x = 3 không là tiệm cận đứng)

là phương trình đường tiệm cận đứng

III ĐIỂM UỐN VÀ TẤM ĐỐI XỨNG CỦA ĐÒ THỊ HÀM SỐ

1 Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) ta thực hiện:

Tính đạo hàm f'(x) (liên tục trên khoảng (a ; b))

Tính đạo hàm cấp hai f'’(x) và áp dụng:

f'’(x) đổi dấu khi x qua x0 ∈ (a ; b) thì I(x0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)

(Tại điểm uốn, f'’(x0) triệt tiêu hoặc không xác định nhưng f'(x0) phải xác định)

2 Tâm đối xứng của đồ thị hàm số:

Đồ thị (C) : y = f(x) nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng nếu có điều kiện:

f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D (f là hàm số lẻ)

Trường hợp (C) : y = f(x) nhận điểm I(x0 ; y0) làm tâm đối xứng thì ta phải dời hệ trục toạ độ cũ xOy về

hệ trục toạ độ mới XIY bằng phép tịnh tiến theo vectơ , để chứng tỏ biểu thức của hàm số trong hệ trụctoạ độ mới là hàm số lẻ tức nhận gốc I làm tâm đối xứng

Công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ (x ; y):

Ghi chú:

Với các bài toán về điểm uốn, ta có thể gặp những yêu cầu sau đây mà học sinh cằn nắm vững phương pháp giải để giải quyết nhanh các câu hỏi trắc nghiệm

1 Chứng minh ba điểm uốn thẳng hàng:

a) Hoặc tìm toạ độ ba điểm uốn A, B, C sau đó chứng tỏ cùng phương với

b) Trường hợp không tính được toạ độ ba điểm uốn, ta có cách giải như sau:

- Áp dụng tính chất f”(x) liên tục và đổi dấu ba lần để chứng tỏ f’'(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt bằng cách chỉ ra các giá trị a, b, c, d (a < b < c < d) với f(a).f(b) < 0, f(b).f(c) < 0, f(c).f(d) < 0

- Toạ độ ba điểm uốn phải thoả hệ:

Dùng phương pháp thay thế ta suy ra toạ độ ba điểm uốn sẽ cùng thoả phương trình một đường thẳng

2 Đối với yêu cầu xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta lưu ý:

- Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị

b) Viết công thức đổi hệ trục toạ độ bằng phép tịnh tiến theo

c) Viết phương trình của (H) đối với hệ trục mới XIY và suy ra I là tâm đối xứng của (H)

Giải

a,

Suy ra phương trình hai đường tiệm cận của (H) là : x = 1 ; y = 2x - 3 Do đó giao điểm hai đường tiệm cận là I(1 ; -1)

b) Dời hệ trục cũ xOy đến hệ trục mới XIY bằng phép tịnh tiến theo = (1 ; -1), ta có công thức đổi trục :

c) Thay vào phương trình của (H) ta được:

là phương trình của (H) trong hệ trục mới XIY, biểu thức trên cũng là biểu thức hàm số lẻ của Y theo X nên gốc toạ độ I là tâm đối xứng của đồ thị (H)

IV KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ta thực hiện các bước:

1 Tập xác định : Tìm tập hợp D các giá trị của x làm biểu thức y = f(x) có nghĩa

2 Tính chẵn, lẻ và tuần hoàn: Ta xét tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số (nếu có), nhằm thu gọn khoảng khảo sát và xác định các phần tử đối xứng

3 Giới hạn và đường tiệm cận: Dựa vào tập xác định ta tìm số giới hạn và từ đó suy ra số đường tiệm cận

4 Bảng biến thiên: Tính đạo hàm y’ để xét sự biến thiên và xác định các điểm cực trị

Tính y” để xác định điểm uốn nếu là hàm đa thức.

Lập bảng biến thiên của hàm số

5 Điểm đặc biệt: Nhằm mục đích vẽ chính xác đồ thị, ta xác định toạ độ một số điểm đặc biệt như điểm cực trị, điểm uốn, giao điểm với hai trục toạ độ (nếu toạ độ đơn giản)

6 Đồ thị: Để vẽ đồ thị hàm số trước hết ta vẽ các đường tiệm cận, các phần tử đối xứng (nếu có) Tiếp

đó, xác định các điểm đặc biệt và dựa vào bảng biến thiên để vẽ nên đồ thị hàm số

Ghi chú:

Để vẽ nhanh và không bị sai đồ thị của một số hàm số thông dụng, ta cần biết trước các dạng đồ thị của các hàm số này như sau :

* Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Giới hạn và đường tiệm cận

là phương trình đường tiệm cận đứng

là phương trình đường tiệm cậnxiên

Bảng biến thiên

Điểm đặc biệt :

x = 0, y = -1 (điểm cực đại) ;

x = 2, y = 3 (điểm cực tiểu) ;

Đồ thị

V CÁC BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I - Giao điểm của hai đồ thị

Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2) : y = g(x)

- Toạ độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ:

- Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x)

Vậy số nghiệm của phương trình trên cũng là số giao điểm của (C1) và (C2)

+ (C1) cắt (C2) tại n điểm khác nhau khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) có n nghiệm phân biệt

+ (C1) ∩ (C2) = Ø khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm

* Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Áp dụng tính chất trên để biện luận số nghiệm của một phương trình theo tham số bằng đồ thị, ta biến đổi phương trình sao cho vế bên trái là biểu thức của một hàm số đã vẽ đồ thị, vế bên phải là hàm hằng

có chứa tham số với đồ thị là đường thẳng nằm ngang

Dựa vào sự thay đổi của đường thẳng theo tham số, ta tìm sự tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số và suy ra số nghiệm của phương trình.

II - Đường cong tiếp xúc

- Để chứng minh hai đồ thị (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) tiếp xúc nhau, ta chứng tỏ hoành độ tiếp điểm của chúng phải thoả hệ phương trình:

Trong trường hợp này, (C1) và (C2) có chung tiếp tuyến tại tiếp điểm

- Đế chứng minh đường cong (C): y = f(x) tiếp xúc với trục hoành, ta có thể chứng tỏ hoành độ tiếp điểm thỏa mãn hệ phương trình:

- Để chứng minh parabol (P) : y = ax2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = px + q, ta có thể chứng

tỏ phương trình hoành độ giao điểm ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép

- Với hàm bậc ba ta còn có thể chứng tỏ (C) : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tiếp xúc với trục hoành với điều kiện f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2) = 0

III- Họ parabol tiếp xúc với đường thẳng cố định

Với các bài toán về họ parabol tiếp xúc với một đường thẳng cố định, ta có thể gặp các yêu cầu:

1 Chứng tỏ họ parabol (Pm) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

2 Chứng tỏ trong các tiếp tuyến với họ parabol (Pm), có một tiếp tuyến cố định

3 Chứng tỏ các đường cong trong họ parabol (Pm), luôn tiếp xúc nhau tại 1 điểm cố định

Các yêu cầu trên đều có chung một trong hai cách giải như sau:

a, Nếu họ (Pm) luôn chạy qua điểm cố định, ta chỉ cần chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến với họ (Pm) tại điểm cố định là hằng số (đạo hàm tại điểm cố định là hằng số)

b, Trường hợp họ (Pm) không chạy qua điểm cố định, ta gọi tiếp tuyến phải tìm là (d) : y = Ax + B

Parabol (Pm): y = f(x, m) có tiếp tuyến cố định (d) khi và chỉ khi phương trình f(x, m) = Ax + B luôn có nghiệm kép

Sử dụng điều kiện luôn có nghiệm kép (Δ = 0, ∀m ) dẫn đến việc đồng nhất đa thức và suy ra giá trị của

A, B

Ghi chú:

Với yêu cầu chứng tỏ họ đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định, ta gọi parabol cố định là

(P) : y = ax 2 + bx + c.

Họ đường thẳng (d m ) : y = f(x, m) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình f(x, m) = ax 2 + bx + c luôn có

nghiệm kép Bài toán Δ = 0 với mọi m cũng dẫn đến việc đồng nhất đa thức để suy ra các giá trị của a, b, c.

IV - Phương trình tiếp tuyến với đường cong

Trong các bài toán tiếp tuyến với đường cong, ta có thể gặp các yêu cầu :

1 Tìm điểm trong mặt phẳng toạ độ để từ đó kẻ được một hoặc hai hoặc ba, tiếp tuyến đến đồ thị (C) :

Với các yêu cầu trên, ta có cách giải tổng quát như sau :

Gọi tiếp tuyến (Δ) tại tiếp điểm M0(x0 ; y0) có phương trình: y - y0 = f'(x0)(x - x0)

Tiếp tuyến qua điểm M(xM ; yM) thì : yM - y0 = f'(x0)(xM - x0) là phương trình theo ẩn số duy nhât x0. Tuỳ theo

số nghiệm x0 mà ta có sô tiếp tuyến tương ứng

Trường hợp có thêm yêu cầu có hai tiếp tuyến vuông góc nhau, ta phải chứng tỏ phương trình trên có hai nghiệm x’ và x” thoả mãn f'(x’).f'(x”) = -1.

V - Điểm cố định mà họ đồ thị (C m ) đi qua

Để tìm toạ độ điểm cố định mà họ đồ thị (Cm) : y = f(x, m) đi qua, ta phân biệt :

a) Trường hợp biểu thức y = f(x, m) chứa tham số m ở bậc một thì ta biến đổi :

y = f(x, m) ⇔ A(x,y)m2 + B(x,y)m + C(x,y) = 0 (2)

Tọa độ điểm cố định mà (Cm) : y = f(x, m) luôn đi qua khi m thay đổi là nghiệm của hệ:

VI - Quỹ tích một điểm

Để tìm quỹ tích điểm M(x ; y), ta tiến hành các bước :

- Tìm tọa độ của M theo tham số m:

- Khử m để tìm một hệ thức liên hệ giữa X và y (không còn m) thì đó là phương trình của quỹ tích

- Giới hạn quỹ tích: Do điều kiện của tham số để có điểm M, sự giới hạn của m cho ta giới hạn của

x hoặc y suy ra giới hạn của quỹ tích

Trường hợp đặc biệt, toạ độ điểm M có dạng :

Biểu thức x hoặc y là hằng số thì đó là phương trình của quỹ tích, biểu thức còn lại phụ thuộc tham số m cho ta giới hạn của quỹ tích.

Ví dụ:

Cho (H) : và điểm A(0 ; 1) (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc m Tìm các giá trị của m để :

a) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của (H) ;

b) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H)

Giải

a) Đường thẳng (d) qua A(0 ; 1) với hệ số góc m có phương trình y = mx + 1

Hoành độ giao điểm của (d) với (H) là nghiệm của phương trình

Đồ thị (H) có đường tiệm cận đứng (Δ) : x = -2 phân cách hai nhánh của (H) Do đó để (d) cắt (H) tại hainhánh khác nhau thì (1) phải có hai nghiệm x1, x2 thoả x1 < -2 < x2, tức là

(m - 1)g(-2) < 0 (với g(x) = (m - 1)x2 + 2mx + 1)

⇔ (m - 1)[4(m - 1) - 4m + 1] < 0

⇔ (m - 1)(-3) < 0 ⇔ m > 1

Vậy với m > 1 thì đường thẳng (d) cắt (H) tại hai nhánh khác nhau của nó

b) (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm x1,

x2 sao cho -2 ∈ [x1, x2], tức là:

Vậy với m < 1 thì đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

VI PHÉP TOÁN LŨY THỪA

Với các bài toán về lũy thừa, thông thường là tính giá trị của một biểu thức, ta cần nắm vững các kiến thức

quan trọng sau đây :

- Với n nguyên dương và ∀a ∈ R thì:

Với a, b dương thì an = bn ⇔ a = b.

- Công thức lãi kép

Gọi C0 là tiền vốn ban đầu gửi tiết kiệm ngân hàng, i là lãi suất kì hạn gửi, mỗi kì hạn tiền lãi thay vì đượcrút ra thì người gửi tiếp tục gửi cả vốn lẫn lãi cho lần kế tiếp, nếu người gửi thực hiện tất cả n kì liên tiếpnhư trên thì số tiền C nhận được sau n kì gửi được tính bởi công thức lãi kép:

C = C0(1 + i)n

A 9 B -9 C 10 D -10

Giải

Ta dùng phép tính lũy thừa để rút gọn từng số hạng ở tử và mẫu để đơn giản và cho kết quả

VII PHÉP TOÁN LOGARIT

- Cho a dương và a khác 1, b dương và số thực α thì :

Lưu ý :

Nếu a = 10 thì log10b = lgb là lôgarit thập phân của b

thì logeb = lnb là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit nê-pe) của b

- Các tính chất của lôgarit :

+ Để tính giá trị của biểu thức lôgarit hay chứng minh một đẳng thức lôgarit, ta cần nắm vững các tính chất sau đây về lôgarit

Với a dương, a khác 1 và các số dương b, c ta có:

+ Ngoài ra ta cần lưu ý :

Nếu a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c và logab > 0 ⇔ b > 1

Nếu 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c và logab > 0 ⇔ b < 1

- Từ các định nghĩa và tính chất trên, ta suy ra phương pháp giải:

* Để tính giá trị của logaN, ta có thể biến đổi N thành luỹ thừa của cơ số a và áp dụng tính chất :

* Để tìm cơ số x biết logxA = B, ta áp dụng logxA = B ⇔ A = xB

Ví dụ: Cho 2 số dương a, b thỏa mãn a2 + b2 = 7ab Chứng minh rằng:

Giải

Ta có: a2 + b2 = 7ab ⇔ a2 + b2 + 2ab = 9ab

VIII ÀM SỐ LOGARIT

I - Hàm số mũ: y = a x (a > 0 và a ≠ 1)

* Tập xác định D = R, y = ax > 0, ∀x ∈ R

* Hàm số đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi 0 < a < 1

* Đồ thị qua điểm (0 ; 1), nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

* Đạo hàm :

• y = ax có y’ = ax lna

• y = ex có y’ = ex

• Với u(x) là hàm sô theo X có đạo hàm là u’(x) thì:

y = au có y' = au u' lna ; y = eu có y' = eu u'

II- Hàm số loogarit: y = log a x (0 < a, a ≠ 1)

* Tập xác định D = (0 ; +∞ ), y = logx nhận mọi giá trị trong R

* Hàm số đồng biến trên R khi a > 1 và nghịch biến trên R khi 0 < a ≠ 1.

* Đồ thị qua điểm (1 ; 0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng

Ghi chú:

Hàm số lũy thừa y = xα có tập xác định cũng như dạng đồ thị tùy thuộc vào a

Đạo hàm y’ = αxα - 1, ∀x > 0 (α ∈ R)

Nếu u(x) có đạo hàm u’(x) và u(x) > 0 trên D thì y = uα có đạo hàm y’ = αuα - 1u’

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x-3

Giới hạn và đường tiệm cận:

là phương trình đường tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng và xiên

Bảng biến thiên:

IX PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

- Phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

* Với phương trình mũ và lôgarit, phương pháp giải tổng quát là dựa vào định nghĩa:

ax = m ⇔ x = logam (là nghiệm duy nhất)

Với m < 0 thì phương trình trên vô nghiệm

logax = m ⇔ x = am (là nghiệm duy nhất ∀m ∈ R),

* Ngoài ra, ta có một số cách giải đặc biệt:

1 Biến đổi các cơ số trong phương trình mũ hoặc lôgarit về cùng một cơ số để đưa về dạng áp dụng

được tính chất:

af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

logaf(x) = logag(x) ⇔

2 Biến đổi để trong phương trình chỉ còn một loại hàm mũ hoặc lôgarit duy nhất để có thể đặt nó làm ẩn

phụ và đưa phương trình về dạng mới theo ẩn phụ

3 Một số phương trình mũ có cơ số khác nhau mà không biến đổi để đưa được về cùng một cơ số, ta có

thể thu gọn để có điều kiện lôgarit hoá hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nhằm làm gọn lời giải

4 Một số phương trình mũ hoặc lôgarit ở dạng không mẫu mực, tức cách giải tuỳ thuộc đặc thù của từng

phương trình, thông thường là có thể tính nhẩm trước một nghiệm của phương trình và chứng tỏ nghiệmnày là duy nhât dựa vào tính đơn điệu của hàm số hoặc dựa vào phương pháp đối lập:

* Với hệ phương trình mũ và lôgarit ta kết hợp cách giải hệ phương trình đại số với cách giải phương trình

mũ và lôgarit

Ví dụ: Nghiệm của phương trình 32 + x + 32 - x = 30 là kết quả nào sau đây ?

A x = 0 B x = 3 C x = ±1 D Phương trình vô nghiệm

Giải

XI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

- Để giải các bài toán về bất phương trình mũ và lôgarit, ta dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số:

- Trường hợp cơ số a có chứa tham số hoặc chứa biến x, ta có thể giải nhanh bằng cách áp dụng tính chất:

+ af(x) > ag(x) ⇔ af(x) - ag(x) > 0 ⇔ (a _ 1)[f(x) - g(x)] > 0 (0 < a ≠ 1)

+ logaf(x) > logag(x) ⇔ logaf(x) - logag(x) > 0

⇔ (a - 1)[f(x) - g(x)] > 0 (0 < a ≠ 1)

- Trong mọi trường hợp ta cần lưu ý điều kiện dương của biểu thức trong lôgarit

Ví dụ: Nghiệm của bất phương trình 32.4x - 18.2x + 1 < 0 (1) là:

XII NGUYÊN HÀM

Để giải các bài toán về nguyên hàm ta cần lưu ý:

• F(x) là nguyên hàm của f(x) trên tập xác định K

Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Từ định nghĩa trên ta suy ra :

1 Để tìm một nguyên hàm của f(x) với điêu kiện cho trước, ta phải viết nguyên hàm này ở dạng F(x) + C,

từ điều kiện đã cho ta suy ra giá trị hằng số C

2 Để tìm họ nguyên hàm ∫f(x)dx ta phân biệt:

a) Nếu nguyên hàm phải tìm có trong bảng nguyên hàm thông dụng, ta chỉ cần áp dụng kết quả trực tiếp.

Các nguyên hàm của các hàm số thông dụng:

b) Nếu nguyên hàm phải tìm không có trong bảng thông dụng, ta tìm cách phân tích để f(x) thành tổng

những số hạng đơn giản và áp dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm như sau:

biến số như sau :

Nếu biến đổi f(x) được thành dạng tích hai số hạng f(x) = g[u(x)].u’(x) thì ta đặt biến số t = u(x) ⇒ dt =u’(x)dx, khi đó ta đã biến đổi ∫f(x)dx = ∫g[u(x)]u’(x)dx thành dạng ∫g(t)dt mà ta có thể tính được

trực tiếp

d) Trường hợp ta không phân tích f(x) được về dạng để đổi biến số, đặc biệt khi f(x) là tích của hai loại

hàm số khác nhau (hàm lượng giác, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm đa thức), ta có thể áp dụng phương pháptính nguyên hàm từng phần như sau :

u = u(x) và V = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

Nguyên hàm phải tìm có dạng F(x) = ∫cosxdx = sinx + C

F( ) = sin + C = 0 ⇔ C = -1 Vậy F(x) = sinx - 1

XIII TÍCH PHÂN

Với các bài toán về tích phân ta lưu ý:

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] thì F(b) - F(a)được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) hay còn gọi là tích phân xác định của f(x) trên đoạn [a ; b],

1 Phương pháp đổi biến số: Có hai cách đổi biến số:

a) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] Giả sử hằm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β] sao] sao

cho φ(α) = a, φ(β] sao) = b và a ≤ φ(t) ≤ b, ∀t ∈ [α ; β] sao] Khi đó:

f(x)dx = f[φ(t)]φ’(t)dt là dạng mà tính được trực tiếp

b) Nếu ta biến đổi được f(x) thành dạng f(x) = g[u(x)].u’(x) với mọi x thuộc đoạn [a ; b] thì u(x) có đạo

hàm u’(x) liên tục, u(x) ∈ [α ; β] sao] và g(u) liên tục trên đoạn [α ; β] sao], ta được :