KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 10

TÀI LIỆU WORD KIẾN THỨC cơ bản TOÁN 10 THAM KHẢO

KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 10

• Mệnh đề kéo theo cũng có những phát biểu dưới dạng khác, tuỳ thuộc vào tình huống cụ thể như: vì

P nên Q hoặc nếu P thì Q

Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q Khi đó ta nói :

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc

P là điều kiện đủ để có Q, hoặc

Q là điều kiện cần để có P

5 Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương

• Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q Ta cũng gọi P ⇒ Q là mệnh đề thuận

• Với hai mệnh đề P và Q đã cho, mệnh đề tương đương P ⇔ Q là đúng nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và

Q ⇒ P là đúng, hay cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai

Khi mệnh đề P ⇔ Q là đúng ta nói P tương đương với Q hoặc cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có

Q hoặc P khi và chỉ khi Q

6 Kí hiệu ∀ và ∃

Mệnh đề "Với mọi số thực x, x2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0" có thế viết là: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0

Kí hiệu ∀ đọc là "với mọi"

Mệnh đề "Có một số nguyên nhỏ hơn 0", có thể viết là: ∃n ∈ Z : n < 0

Kí hiệu ∃ đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một)

Một mệnh đề chứa biến được gắn kí hiệu ∀ hoặc kí hiệu ∃ sẽ là một mệnh đề

T p h p ậ ợ

1 Tập hợp và phần tử

• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là a thuộc A) Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc là a không thuộc A)

• Tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅, là tập hợp không chứa phần tử nào

2 Cách xác định tập hợp

Ta có thể xác định tập hợp bằng một trong hai cách sau:

- Liệt kê các phần tử của nó;

- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó

Tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu A ∩ ß,

3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A \ B

Khi B ⊂ A thì A\ B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu CAB

Các số -1, -2, -3, gọi là các số nguyên âm

Vậy Z gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm

1 Sai số tuyệt đối Độ chính xác của số gần đúng

• Giả sử số là giá trị đúng của một đại lượng và số a là giá trị gần đúng của nó

Số Δa = | - a| gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

• Trong thực tế, thường thì chưa biết chính xác do đó cũng chưa biết Δa

Mỗi ước lượng d, Δa ≤ d, gọi là một độ chính xác của số gần đúng a

Quy ước viết :

= a ± d

Cách viết này có nghĩa là | - a| ≤ d hay a - d ≤ ≤ a + d

Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc đôi khi không phản ánh đầy đủ tínhchính xác của phép đo

2 Sai số tương đối

Tỉ số này càng nhỏ thì phép đo càng chính xác

3 Cách viết chuẩn số gần đúng

• Số dân của tỉnh H là một số gần đúng a = 2841 675, chính xác tới hàng nghìn Điều này có nghĩa là các chữ số hàng đơn vị, chục, trăm không đáng tin, các chữ số từ hàng nghìn trở lên là đáng tin Viết a dưới dạng chuẩn là: 2841.103

Nếu số gần đúng a là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là: A.10n

trong đó n chữ số sau cùng (hàng đơn vị, chục, ) không đáng tin, các chữ số của A là đáng tin

• Chiều dài một cây cầu đo được là một số gần đúng a = 1745,256 mét, chính xác tới hàng phần chục Điều này có nghĩa là hàng phần trăm, phần nghìn là không đáng tin Biểu diễn dưới dạng chuẩn của a là:

a = 1745,2m

Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mọi chữ số của nó đều là chữ

số đáng tin

4 Kí hiệu khoa học của một số thập phân hữu hạn

Mỗi số thập phân hữu hạn có thể viết được duy nhất dưới dạng

α.10n, với 1 ≤ |α| < 10, n ∈ Z

Đó là dạng khoa học của số thập phân đã cho Nó được sử dụng trong trường hợp số thập phân quá lớn hoặc quá bé

Ví dụ:

Khối lượng của Trái Đất viết dưới dạng kí hiệu khoa học là 5,98.1024kg

Khối lượng nguyên tử của Hiđrô viết dưới dạng kí hiệu khoa học là 1,66.10-24g

Hàm s ố

1 Cho D là tập hợp con của tập số thực Hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi

x ∈ D một số thực y duy nhất, kí hiệu y = f(x), x được gọi là biến số của hàm số f Số f(x) gọi là giá trị của hàm số f tại x Ta cũng thường nói y = f(x) là một hàm số xác định trên D

Nếu y = f(x) là một hàm số và f(x) là một biểu thức, thì tập xác định của hàm số là tập các số thực x để biểu thức f(x) có nghĩa

2 Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x ; f(x)) trên mặt phẳng

tọa độ với mọi x ∈ D

3 Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a ; b) nếu:

4 Xét chiều biến thiên của một hàm số f là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến trên

tập xác định của nó Kết quả khảo sát được viết trong bảng biến thiên

5 Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x ) = f(x) Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x ) = -f(x)

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Hàm s y = ax + b ố

1 Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) (1)

Tập xác định: D = R

Chiều biến thiên :

+ Với a > 0 hàm số (1) đồng biến trên R

+ Với a < 0 hàm số (1) nghịch biến trên R

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số (1) là một đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; b) và

• Hàm số bậc hai được cho bởi công thức

2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x) - q

3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x + p)

4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x - p )

• Số thực x0 thỏa mãn f(x) = g(x) gọi là nghiệm của (1)

• Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

• Trong thực hành, có thể không cần xác định tập D, mà chỉ đặt điều kiện cho ẩn x để f(x) và g(x) có nghĩa Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của phương trình

2 Phương trình tương đương

• Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

• Phép biến đổi tương đương của hai phương trình dựa trên định lí sau:

5 Phương trình chứa tham số

Ví dụ: m(x+2)=3mx-1 với ẩn x là một phương trình chứa tham số m

Nghiệm và tập nghiệm của một pt chứa tham số phụ thuộc vào tham số đó Khi giải pt chứa tham số, chỉ ra tập nghiệm của phương trình tùy theo các giá trị có thể của tham số (giải và biện luận phương trình)

Ph ươ ng trình b c nh t, b c hai ậ ấ ậ

1 Phương trình dạng ax + b = 0 (1) với a, b là hai số đã cho

• Giải và biện luận phương trình (1) theo a và b

2 Phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 (2) với a, b, c là ba số đã cho

• Giải và biện luận phương trình (2) theo a và Δ = b 2 - 4ac

Cho phương trình ax 2 +bx + c = 0 (a ≠ 0) có Δ = b2 - 4ac ≥ 0 (1) khi đó

x1 và x2 là các nghiệm của phương trình ⇔ x1 + x2 = −ba và x1.x2 = ca

• Một số ứng dụng:

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

- Phân tích đa thức thành nhân tử:

Nếu f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì f(x) = a(x - x1)(x - x2)

- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Xét dấu nghiệm (nếu có) của phương trình bậc hai

4 Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai

b Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và ẩn dưới dấu căn bậc chẵn

Chú ý tìm điều kiện xác định của phương trình

2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y)

• Nghiệm của phương trình là cặp số (x0 ; y0) thỏa mãn đồng thời

3 Hệ ba phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y và z)

• Nghiệm của hệ là bộ ba số (x0 ; y0 ; z0) thỏa mãn đồng thời ba phương trình của hệ

• Giải hệ là tìm tất cả các nghiệm của hệ (tìm tập nghiệm)

• Nguyên tắc chung để giải hệ: Bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, khử bớt ẩn để đưa hệ đã cho về hệ phương trình hoặc phương trình có số ẩn ít hơn

M t s ví d v h ph ộ ố ụ ề ệ ươ ng trình b c hai hai n ậ ẩ

Hệ phương trình bậc hai hai ẩn rất đa dạng, ở đây ta chỉ đề cập tới ba dạng cơ bản:

1 Hệ có một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai:

{f(x, y) = 0g(x, y) = 0

trong đó f(x, ỵ) là một đa thức bậc nhất đối với x và y ; g(x, y) là một đa thức bậc hai đối với x và y

Cách giải : Từ phương trình bậc nhất rút x theo y hoặc y theo x rồi thế vào phương trình bậc hai.

2 Hệ phương trình đối xứng đối với x và y

• Viết f(x, y) ; g(x, y) dưới dạng đa thức của S và P Giải hệ đã cho theo ẩn mới S và P

• Với mỗi nghiệm (S ; P) tìm được, ta giải hệ:

{x + y = Sxy = P

x, y là hai nghiệm của phương trình bậc hai: t2 - St + P = 0

Chú ý: Vì là hệ đối xứng nên nếu (x0 ; y0) là một nghiệm thì (y0 ; x0) cũng là một nghiệm của hệ

3 Hệ phương trình dạng

{f(x, y) = 0g(x, y) = 0

trong đó f(x, y), g(x, y) là những đa thức bậc hai của hai ẩn x, y và khi thay đổi vai trò của x và y thì vị trícác phương trình đổi chỗ cho nhau, nghĩa là :

f(y, x) = g(x, y); g(y, x) = f(x, y)

cũng gọi hệ phưong trình dạng này là đối xứng loại 2

Cách giải:

• Trừ từng vế của hai phương trình, ta được:

(5) Chuyển vế (hệ quả của (2)) a + c > b ⇔ a > b - c

(6) Nhân hai vế của những bất đẳng thức cùng chiều (hệ quả của (1)) a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd

(7) Nâng hai vế không âm của một bất đẳng thức lên cùng một luỹ thừa nguyên dương a > b ≥ 0 và n ∈ N*

⇒ an > bn

(8) Khai căn hai vế của một bất đẳng thức - Với a, b ≥ 0 ; a > b ⇔ a√ > b√

- Với a > b ⇔ a√3 > b√3

3 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

(1) -|a| ≤ a ≤ |a| (với mọi a ≡ R)

(2) |x| < a ⇔ -a < x < a (với a > 0)

(3) |x| > a ⇔ x < -a hoặc x > a (với a > 0)

(4) |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| (với mọi a, b ∈ R)

4 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm (bấtđẳng thức

Cô-si)

a) • Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có:

a + b2 ≥ ab−−√

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

• Hệ quả: Với a, b là hai số dương thay đổi, ta có:

i) Nếu tổng a + b không đổi thì tích ab lớn nhất ⇔ a = b

ii) Nếu tích ab không đổi thì tổng a + b nhỏ nhất ⇔ a = b.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ad=bc

b) Với sáu số thực a,b,c,d,e,f khác 0 ta có

(ab+cd+ef)2≤ (a2+c2+e2)(b2+d2+f2)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab=cd=ef

i c ng v b t ph ng trình

1 Khái niệm bất phương trình một ẩn

• Bất phương trình một ẩn (ẩn x) là mệnh đề chứa biến có một trong các dạng:

f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) ≥ g(x); trong đó y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số có tập xác định lần lượt là Df và Dg

• D = Df ∩ Dg được gọi là tập xác định của bất phương trình đã nêu trên

• Số x0 ∈ D làm cho f(x0) < g(x0) là một mệnh đề đúng được gọi là một nghiệmcủa bất phương trình f(x)

< g(x)

• Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của bất phương trình đó

Chú ý: Thông thường ta không cần viết rõ tập xác định D của bất phương trình màchỉ cần đặt điều kiện

của x để f(x) và g(x) có nghĩa Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, thường gọi tắt là điều kiện của bất phương trình

2 Bất phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương

Hai bất phương trình tương đương nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm

Nếu f1(x ) < g1(x) và f2(x) < g2(x) tương đương nhau thì ta viết:

f1(x ) < g1(x) ⇔ f2(x) < g2(x)

• Với y = h(x) là hàm số xác định trên D Bất phương trình f(x) < g(x) có tập xácđịnh D tương đương vớimỗi bất phương trình sau:

1) f(x) + h(x) < g(x) + h(x)

2) f(x)h(x) < g(x)h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x ∈ D

3) f(x)h(x) > g(x)h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x ∈ D

4) f(x) < g(x) ⇔ [f(x)]3 < [g(x)]3

5) f(x) < g(x) ⇔ [f(x)]2 < [g(x)]2 nếu f(x) và g(x) dương với mọi x ∈ D

B t ph ấ ươ ng trình và h BPT b c nh t m t n ệ ậ ấ ộ ẩ

1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có một trong các dạng:

ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, trong đó a và b là hai số cho trước với a ≠ 0, x là ẩn

• Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 theo a và b

a b Tập nghiệm S của ax + b < 0 Biểu diễn tập nghiệm S

- Giải từng bất phương trình của hệ

- Tập nghiệm của hệ là giao của các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ

Chú ý: Cách tìm giao của các tập nghiệm dễ dàng và chuẩn

Ta biểu diễn các tập nghiệm trên trục số bằng cách gạch đi các điểm (phần) không thuộc tập nghiệm của từng bpt trong hệ, phần còn lại sẽ biểu diễn tập nghiệm cần tìm

B t ph ấ ươ ng trình và h BPT b c nh t hai n ệ ậ ấ ẩ

1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là bất phương trình có một trong các dạng:

ax + by + c < 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0

trong đó a, b, c là những số đã cho với a2 + b2 ≠ 0

• Nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 là cặp số (x0 ; y0) sao cho:

ax0 + bx0 + c < 0 là một bất đẳng thức đúng

• Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm (x0 ; y0) của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ (x0 ; y0) và tập hợp các điểm ấy được gọi là miền nghiệm của bất phương trình

• Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng

Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (1)

a > 0 a < 0

c Một số ứng dụng

• Giải bất phương trình dạng P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0, với P(x) có thể

viết dưới dạng tích của những nhị thức bậc nhất đối với x

• Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu dạng

P(x)Q(x) > 0 ; P(x)Q(x) ≥ 0; P(x)Q(x) < 0; P(x)Q(x) ≤ 0

với P(x) và Q(x) có thể viết dưới dạng tích của những nhị thức bậc nhất đối với x

• Khử dấu giá trị tuyệt đối của những nhị thức bậc nhất

2 Dấu của tam thức bậc hai

• Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức dạng ax2 + bx + c, trong đó a , b, c là ba số đã cho, với a ≠ 0

• Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

< 0 Cùng dấu với a (kí hiệu là (+)) với mọi x ∈ R

= 0

f (−b2a) = 0

Cùng dấu với a (kí hiệu

là (+)) với mọi x ≠ -b2a

> 0

f(x1) = 0

f(x2) = 0

x1 < x2

Cùng dấu với a (kí hiệu

là (+)) với mọi x sao cho

x ∈ (-∞; x1) ∪ (x2; +∞)

Trái dấu với a (kí hiệu là

(-)) với mọi x sao cho

x ∈ (x1; x2)

• Ứng dụng:

1 Xét dấu tam thức bậc hai

2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn, dạng f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0,

trong đó f(x) là một tam thức bậc hai

B t ph ấ ươ ng trình b c hai ậ

1 Định nghĩa và cách giải

Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng f(x)

Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

2 Bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Chú ý: Điều kiện xác định

B ng phân b t n s và t n su t ả ố ầ ố ầ ấ

1 Mẫu số liệu

• Khi người ta điều tra một tập hợp những đối tượng nào đó thì: Vấn đề cần điều tra gọi là dấu

hiệu(thống kê); mỗi đối tượng gọi là một đơn vị điều tra; giá trị của dấu hiệu tại mỗi đơn vị điều tra gọi

là mộtsố liệu (thống kê).

• Mỗi tập con hữu hạn những đơn vị điều tra gọi là một mẫu Số đơn vị điều tra của một mẫu gọi là kích

thước mẫu Dãy các giá trị của dấu hiệu điều tra trên một mẫu gọi là một mẫu số liệu.

• Nếu số liệu được ghép thành lớp, mỗi lớp là một đoạn hay nửa khoảng, ta có bảng phân bố tần số -

tần suất ghép lớp Tần số của mỗi lớp là số các số liệu thuộc lớp đó.

• Chú ý:Trong khoảng phân bố tần số - tần suất, tổng các tần số bằng kích thướcmẫu ; tổng các tần suất bằng 1 hay 100%

Bi u ể đồ

Biểu đồ là một phương tiện để trình bày một mẫu số liệu trực quan, dễ hiểu

1 Biểu đồ tần số, tần suất hình cột Đường gấp khúc tần số, tần suất

• Trục nằm ngang biểu diễn các giá trị (số liệu thống kê): 0; 1; 2; 3

• Trục thẳng đứng biểu diễn tần số (hoặc tần suất): 2; 4; 6

• Các đoạn thẳng nối các điểm liền kề: (0; 3), (1; 6 ), (2; 4), (3; 8) là đường gấp khúc tần số (hoặc tần suất)

• Đối với biểu đồ tần số, tần suất hình cột ghép lớp: hai đỉnh ở đáy của mỗi cộtchữ nhật là hai đầu mút của một lớp; trung điểm của đáy là giá trị trung tâm của lớp Tương ứng ta có đường gấp khúc tần số, tần suất ghép lớp

2 Biểu đồ hình quạt

• Dùng biểu thị cơ cấu sản phẩm, số liệu Thích hợp cho việc biểu thị bảng phânbố tần suất ghép lớp

• Nếu tần suất được viết dưới dạng phân số ab thì, trên hình tròn số này đươc biểu diễn bằng hình quat có sô đo độ là 3600 x ab

Ví dụ: Nếu tần suất là 28% thì trên hình tròn, tần suất này tương ứng với hình quạt có góc ở tâm