MỘT số ỨNG DỤNG của lý THUYẾT điểm bất ĐỘNG

Ứng dụng của định lý điểm bất động cho một số bài toán cao... Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều l

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

BUI THE NAM

MOT SO UNG DUNG CUA

LY THUYET DIEM BAT DONG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội-2009

Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành

Toán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Dại học Trường Dại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng đã trực

tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả

khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Chuong 1 MOT SO KIEN THUC BO TRO 8 1.1 Ly thuyét khong gian métric 2 ee 8 1.1.1 Các định nghĩa co 8

1.1.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric 11

1.15 Ánh xạ liên ĐỤC 2 ee ee 13

1.1.7 Tap compact va khong gian compact 17 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach 17

1.2.1 Cae dinhnghia 2 ee 17

1.2.3 Dinh nghĩa toán tử tuyến tính bichan 20

1.3 Không gian tÔĐÔ kia 21 1.4 Tập lồi, hàm lồ cv 22

1.4.2 Dịnh nghĩa hàm lồi và các vídụ 24

1.5 Dịnh nghĩa nửa liên tục dưới co 25

2.1 Diém bat dong cia Anh xaco 2 26 2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 26

2.1.2 Ánh xạ co đã ĐE Quy vo 27

2.1.3 Mở rộng nguyên lý ánh xạcO 28

2.1.4 Anhxacoyéu 2 Q Q Q Q Q Q Q Q v2 29

2.1.5 Dinh ly điểm bất động Caristi 30

2.1.6 Nguyên lý biến phân Pkeland 32

2.2 Diểm bất động của ánh xạ không giãn 33

2.2.1 Về cấu trúc hình học ctta khong gian Banach 33

2.2.2 Dịnh lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn 36 2.2.3 Ánh xạ không giãn đalrÌ 38

2.3 Diểm bất động của ánh xạ liên tục 40

2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 40

2.3.2 Các định lý điểm bất động 42

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

3.1 Ứng dụng của lý thuyết điểm bất động cho bài toán phổ thông 45 3.2 Ứng dụng của định lý điểm bất động cho một số bài toán cao

Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của ngành giải tích Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong

đó phải kể đến Nguyên lý điểm bất động của Brouwer (1912) và Nguyên lý Anh xa co Banach (1922) Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm bất

động Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như: Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Kyfan, Trong

lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất động được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm Việc nghiên cứu một

số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn

về lý thuyết điểm bất động, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến thức cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác Chẳng hạn, Lomonosov (1973) đã sử dụng nguyên lý Schauder để chứng minh sự tồn tại không gian con bất biến

không tầm thường của một toán tử tuyến tính liên tục trong một không gian Banach nếu nó giao hoán với một toán tử hoàn toàn liên tục trong không

gian đó Hơn nữa, tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động có thể giúp chúng ta chỉ ra ngoài sự tồn tại, nó còn cho ta tính duy nhất phương pháp tìm điểm bất động và đánh giá được độ chính xác tại mỗi bước lặp Bởi vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động” để thực

hiện luận văn tốt nghiệp

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của lý thuyết điểm bất động, sau đó nêu

ra các ứng dụng của nó trong một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ

nội dung của lý thuyết điểm bất động và ứng dụng cho một số bài toán sơ

cấp, một số bài toán cao cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các kết quả về lý thuyết điểm bất động, một số ứng dụng của nó cho một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp Cụ thể, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ

Chương 2: Lý thuyết điểm bất động

Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động

5ð Phương pháp nghiên cứu

* Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo

* Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

MOT SO KIEN THUC BO TRG

1.1 Ly thuyét khong gian métric

1.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X # Ú cùng với

một anh xa d tu tich Descartes X x X bào tập hợp số thực l thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1)(Vz,uc X)d(z,u) >0,d(z,u)=0<z = ụ (tiến đè đồng nhất);

2) (2, y € X)d(x,y) =d(y,2x) (tien dé doi xitng);

3)(Vz,u€ X)d(œ,u) < d(œ,z) + d(z,0) (Hiên đề tam giác)

Anh xa d goi la métric trên X, số d (x,y) got la khoang cach gitta hai phan tia vay Céc phan tu ctia X goi là các điểm; các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tién dé métric

Không gian métric duoc ky hiéu la M = (X,d)

Dinh nghia 1.2 Cho khéng gian métric M = (X,d) Mot tap con bat ky

Xụ # Ũ của tập X cting vdi métric d trên X lập thành một không gian métric Khong gian métric My = (Xo, d) got la khong gian métric con ctia không gian

tứ giác);

3) (Vz,u,u € X)|đ(œ,) — đ(u,u)| < đ(œ,u)(Bất đẳng thức tam giác);

Vi du 1.1 Voi hai phan té bat ky x,y € R ta dat:

Dựa ào các tính chất của gid tri tuyét déi trong tap s6 thuc R dé dang kiém tra hệ thúc (1.1) xác định một métric trén R Khong gian tương ứng được bú

hiệu là IR! Ta sẽ gọi (1.1) là mêtric tự nhiên trên IÑ

Vi du 1.2 Véi hai vecta bat ky x = (21, 29,-.-74)3y = (Yi, Y2, Ye) thuộc không gian 0ectơ thực k chiều RẺ (k là số nguyên đương nào đó) ta đặt:

0< » > (aid; why = » > aid; — 2`) > a;bj;ajbj + » So aid;

Tu dé suy ra bat dang thitc (1.3) vdi 8 vecto bat ky:

© = (2,02, .0~), Y = (Yr, Yo, Ye) > #Z = (Z4, Z2, -.-Zk)

thuộc R* ta có:

Do đó hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề 3 uề mêlric Vì uậy hệ thúc (1.9) sác

định một mêtric trên không gian T*

Không gian métric tuong ting van ky hiéu la R* va thường gọi là không

gian Euclid, con métric (1.2) goi la métric Euclid

Ví dụ 1.3 Ta kí hiệu ly là tập tất cá các dãy số thực hoặc số phức

suy Ta

Yi =n) < 20 bel +? NO ly,

n=1

Nghĩa là chuối số trong uế phải của hệ thức (1.4) hội tụ Dé dang thay hệ

thức (1.4) thoả mãn các tiên dé 1 va 2 vé métric vdi ba day bat ky:

Không gian lạ đôi khi còn gọi là không gian Euclid vé hạn chiều

1.1.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.3 Cho không gian mêtric M = (X,d), day điểm (%„) € X, diém x € X Day điểm (%„) gọi là hội tụ tới điểm œạ trong không gian AI

khi n — oo, nếu

(Ve > 0) (Ano € N*) (Vn > nạ) đ(Z„,#o) < €

Vi du 1.4 Sw hoi tu ctia mot day diém (x,) trong khong gian R! la su hoi

tụ của dấu số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.5 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Euclid R® tuong

đương uót sự hội tu theo toa dé

That vay, gid sé day diém «™ = (x{?, 28”, 2") (n = 1,2, ) hội

tu téi diém x = (11, 2, ,2%) trong R* Theo dinh nghia:

tụ tới số thực x; khin > co sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ

Ngược lại, giả sử dãy điểm xz = (209229, -., 0") (n = 1,2, ) hội

tu theo toa do téi diém x = (1, %2, ,2,) theo dinh nghia (Ve > 0) (véi moi j =1,2, ,k ),

1.1.5 Anh xa liên tục

Cho hai khong gian métric M; = (X,di), My = (Y,d)) ánh xạ ƒ từ

khong gian M, dén khong gian M,

Dinh nghia 1.4 Anh za f goi la lién tuc tại diém xy € Ä nếu:

(Ve > 0) (36 > 0) (Va € X : d; (%, 20) < 6) do (f (x), f (%0)) < €

Hay noi cách khác : Anh xa f goi la lién tuc tai xy € X nếu vdi lan can cho

truéc tuy ¥ Uy, = S (yo,€) C Y ctia diém yo = f (xo) trong My at tim duoc

lên cận V„, = S(œg.ð) C X của điểm xp trong M, sao cho f (V,,) C Uy

Định nghĩa 1.4 tương đương với định nghĩa sau đây:

Dinh nghia 1.5 Ảnh zạ ƒ gọi là liên tục tại điểm ay € X, nếu uới mọi dãy

điểm (w„) CX hội tụ tới điểm aq trong M,, day diém (f (x,)) hoi tu téi

f (xo) trong My

Chứng minh sự tương đương của Dịnh nghĩa 1.4 và Dịnh nghĩa 1.5 như sau:

Hiển nhiên, nếu ánh xa f lién tuc tai vp) theo Dinh nghia 1.4 thi Anh xạ

ƒ liên tục tại ø theo Dinh nghia 1.5

Giả sử ánh xạ ƒ liên tục tại điểm zạ theo Định nghĩa 1.5 nhưng ánh xạ ƒ

không liên tục tại zs theo Dịnh nghĩa 1.4 nghĩa là:

1

(deo > 0) (Vn € N*) (2: Ex: dy (Ln, Xo) < *) n dy (f (z„) ƒ (z,)) > €0

Ta nhận được dãy điểm (z„) C X hội tụ tới điểm xp trong M,, nhung day

điểm (ƒ (z„)) không hội tụ tới ƒ (zu) trong A7;, điều này mâu thuẫn với giả

thiết Mâu thuẫn đó chứng tỏ, nếu ánh xạ ƒ liên tục tại z¿ € X theo Định

nghĩa 1.5 thì ánh xạ ƒ liên tuc tai zp theo Dinh nghia 1.4

Định nghĩa 1.6 Ánh zạ ƒ gọi là liên tục trên lập A CX nếu ánh zạ ƒ

liên tục tại mọi điểm z € A Khi A = ÄX thì ánh xa ƒ gọi là liên tục.

Dinh nghĩa 1.7 Ánh «a f gọi là lién tuc déu trén tap AC X néu (Ve > 0)

(Ve > 0) (Ano € N*) (Vm, n > n0),d (an, 2m) < €

hay lim d(a%,,%m) = 0

Dé thay moi day diém (x) C X hoi tu trong M déu la day co ban

Định nghĩa 1.9 Không gian métric M = (X,d) goi la khéng gian day, néu moi day co ban trong khéng gian nay hội tu

2 Cac vi du

Ví dụ 1.6 Không gian mêtric RÌ là không gian đầu, điều đó suy ra từ tiêu

chuẩn Cauchp uê sự hội tụ cúa dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.7 Không gian IRP là không gian day

That vay, gid site) = (z”, oy) se x") (n = 1,2, ) la day co ban tuy

ú trong không gian Euclid R® Theo định nghĩa dãy cơ bản:

(ve > 0) (nạ € Ñ?)(Vm,n > nạ), d (2,2) <£

hay

a” x" <£ Vm,m > nạ; VJ = 1,2, ,k (1.6) Các bát đẳng thúc (1.6) chứng tỏ, uới mỗi j = 1,2, ,k d 3

j

Qe < 8 ` — > a Qe < s6 thuc co ban, nén phai ton tai gidi han lim x

n— oo

Dat x = (41, %, ,2~) ta nhận được đấu (2) C R* da cho hội tụ theo

toa dé téi x Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid R® tuong duong vdi

sự hội tụ theo toạ độ, nếu dãy cơ bản (2) đã cho hội tụ tới ø trong không

gian R* Vay khong gian Euclid R* la khong gian day

Ví dụ 1.8 Không gian Cụ la khong gian day That vay, gid st (x, (t)) Ta day co ban tuy y trong khong gian Cụy„ị Theo định nghĩa day co ban

(Ve > 0) (Ano € N*) (Vm, n > no)

d (2,2) = max |x, (t) = tm ()| <¢ a<t<b

=> |x, (t) -— 2m (t)| <€ Vm,n > no; Vt € {a, bỊ (1.7) Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ, uới mỗi † có định tuỳ thuộc đoạn [a, ÙÌ day {x, (t)} la da@y số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn:

lim x, (t) = a(t), t € [a, 0]

Ta nhận được hàm 86 x(t) ác định trên [a,b] Vi cde bat dang thite (1.7)

khong phu thudc t, nén cho qua giới hạn trong các bat đẳng thức nàu khi

n— oo ta duoc:

|x, (t) —a(t)| <e, Wn > no, Vt € [a, 9] (1.8) Cac bat đẳng thúc (1.8) chúng tỏ day ham 86 {a, (t)} C Clay) hot tu déu toi ham s6 x(t) trén doan [a,b], nén x(t) € Cag) Nhung su hoi tụ trong không gian Cia», tuong tu vdi su hoi tu đều của dấu hàm liên tục trên đoạn {a, bl

nén day co ban {x, (E)} đã cho hội tụ tới + (E) trong không gian Cy» Vay Chas} 14 khong gian day

Vi du 1.9 Khéng gian ly la khong gian day

That vay, gid sia” = (x), af", 0") (n = 1,2, ) là day cơ ban

tuỳ Ú trong không gian lạ, theo định nghĩa dâu cơ ban:

(Ve > 0) (nạ € Ñ?)(Vm,n > nạ), d (2,2) = <e

Đặt x = (1, 22, , Lp, -) = (xp) Vi cde bat đẳng thức (1.9) không phụ

thuộc p nên có thể cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi mm — oo

ta được:

(1.11)

(1.12) Mặt khác:

1.1.7 Tap compact và không gian compact

con hội tụ (tới phần tử thuộc X)

Định nghĩa 1.11 Cho không gian métric M = (X,d) Khong gian M goi

la không gian compact néu tap X la tap compact trong M

2 Vidu

Ví dụ 1.10 Trong không gian métric R! (tap sé thuc R vdi métric tu nhién) đoạn bắt kỳ là tap compact, khodng bat ky là tập compaet tương đối Các khẳng định trên suy ra từ bổ đề Bolzano - IWeierstrass Nhờ đó dễ dàng chứng mảnh

trong không gian Eucled ]R" một tập bất kỳ đóng va bi chan la tập compact

Định nghĩa 1.12 7u gọi là không gian định chuẩn(hay không gian tuyến

tính dinh chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P=C) cùng uới một ánh zạ từ X ào tập số thực I bú hiệu là || || va doc

là chuẩn, thoả mãn các điều biện sau đây:

1 (Vx € X) |zll>0; llzll=0©z=9 (kú hiệu phần tử không là 0);

2 (Vx € X)(Va € P) |laxl| = lal Ilsll:

3.(Wz,u€ X) l|z + ø|< Izll+ lui:

Số ||z|| goi la chuan ctia vecto x Ta cting ky hiéu khong gian dinh chuan

là X

Các tiên đề 1, 2 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định lý 1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối vdi hai vecto bat ky x,y € X

ta đặt:

Khi dé d là một mêtric trên X

Chứng minh của định lý trên đễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ

2) Néu day điểm {>„} hội tụ trong không gian định chuẩn X, thì đãy

chuẩn tương ứng bị chặn (||za ||):

3) Nếu dãu điểm {z„} hội tụ tới z, dấu điểm {u„} hội tụ tới trong không

gian định chuẩn X, dãy số {a,} hoi tu téi a, thi:

#ạ + U„ — ø + (n>), ant, > ax (n > oo)

Dinh nghia 1.14 Day diém {z„} trong không gian định chuan X gọi là day co ban néu:

lim |x, — #„||= 0

m,n— oo

Định nghĩa 1.15 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu

mọi đấu cơ bản trong X đều hội tụ

Nhờ nguyên lý lam day khong gian métric va métric (1.14) moi khéng

gian định chuẩn là không gian mêtric đều có thể làm đầu thành không gian

Từ công thúc ||#|| = d(x, 6) vd hé tién dé métric suy ra cong thite (1.16) cho

một chuẩn trên E* Không gian định chuẩn tương ting ky hiéu E* Dé dàng thấu E* là không gian Banach

Ví dụ 1.14 Cho không gian 0uectơ lạ Dối uới 0ectơ bất kỳ z = (œ„) € lạ ta

đặt:

(1.17)

Từ công thúc ||#|| = d(œ,8) oà hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.17) cho

chuẩn trên lạ Không gian chuẩn tương ting ky hiéu la ly Dé dang thay ly là

không gian Banach.

Vi du 1.15 Cho khong gian vecto Cy, 4) Đối uới ham số bất ky x (t) € Cu)

ta dat:

Nhờ công thức ||z|| = d(œ,0) à hệ tiên đề mêtric suy ra công thúc (1.18) cho chuẩn trên Cụ Không gian định chuẩn tương ứng kụ hiệu là Czu¡ Dễ

thấu Cu „| là không gian Banach

Vi du 1.16 Cho không gian 0ecld Li„„j Đối uới hàm số bất kỳ ø (E) € Lia.)

ta dat:

Izl= f ecole (1.19)

Tw cong thitc ||x|| = d(x,0) oà hệ tiên đề mêlric su ra công thức (1.19) cho một chuẩn trên Tu„j Không gian định chuẩn tương ứng kú hiệu là Lia): Dé

dang thay Tụ) là không gian Banach

1.2.3 Dinh nghia toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.16 Cho hai không gian tuyến tinh X va Y Trén trường P (P là trường số thực IR hoặc số phức C) Ánh zạ A từ không gian X uà không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh 2a A thoả mãn các điều kiện:

1.(Va,~ EX) A(z+z)= Az+ Az;

2.(Vz€ceX)(VaeP) Aoœz = oAz

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tit A chi

thoả mãn điều biện 1 thi A gọi là toán tứ cộng tính, còn khi toán tứ A chỉ thoả mãn điều hiện 2 thà A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = P thà toán

tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.17 Cho không gian định chuẩn X tà Y Toán tử tuyến tính

A từ không gian X ào không gian Y' gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số c> 0 sao cho:

|41zll< cllzl Va e xX (1.20) Dinh nghia 1.18 Cho A la todn tit tuyén tinh bị chặn từ không gian định

chuẩn X vao không gian định chuẩn Y Hằng số e > 0 nhỏ nhất thoả mãn

hệ thúc (1.20) gọi là chuẩn của toán tử A va ky hiéu là ||A||:

Từ định nghĩa dễ dàng thấu chuẩn của toán tử có các tính chất:

1.WzeX) J4zll< I4|: lzl:

2 (Ve > 0) (Ar € X) (I|Al] — €) lIz:|| < I4=ll:

1.3 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.19 Cho X là một tập hợp khác rỗng Một ho T cdc tap con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn các tính chất sau: Pị.0,X €7;

Vi du 1.17 Cho X là không gian mêtric uới khoảng cách d Nhớ lại rằng

trong một không gian mmêkric ta đã định nghĩa tập “nở” A là tập mà mọi

điểm + thuộc A đều có một hành cầu chứa œ nằm trọn trong A Khi đó họ

tất cả các tập “mở” trong không gian mêtric X là một tôpô trên X Như vay

mot không gian mmêtric là không gian tôpô va tôpô sinh bởi khoảng cách của

X

Vi du 1.18 Cho X la mét tập khác rỗng T = {Ú, X} là một tôpô trên X

Tôpô nờy gọi là tôpô tầm thường trên X

Ví dụ 1.19 Họ tất cả các tập con của Ä # Úl cũng là một tôpô trên X Tôpô nràu gọi là tôpô rời rac trên X

Vi dụ 1.20 Trên một tập X # Ú, xét họ T các tập con của X được định

nghia nhu sau:

peTrfp- hoặc D= X hoặc X\D

là một tập hitu han Khi dé T la mot topé trén D

That oậu, nếu Dị, Dạ € T\ {0} thi X\D,,X\ Dy là những tập hữu han

phan ti, do dé X\ (D, N Dy) = (X\D1) U(X \D2) citing la tap hitu han phan

tử vay Di A Dy € T (con néu mot trong hai tập Dị, D; bằng thì hiển

nhiên Dị A D; = I € T) Vay T thoa man tính chất Py Bay gid gia sit

to*

X\ U Dy = 0 (X\D;) Cc X\D iel

iel

Ú,Vi € 7 thì UD; =CT ).Vậy T thoả mãn Dạ

Tinh chat P, là hiển nhiên

Định nghia 1.20 Mot tap A C R" duoc gọi là một tập lồi, nếu A chứa

mỗi đoạn thẳng đi qua hai điểm bat kỳ của nó Túc là A lồi khi uà chỉ khi

Ve,y € A, VA € [0,1] = Az+(1—A)€ A Ta nói z là tổ hợp lồi của các

Mệnh đề 1.1 Tập hop A la loi khi va chỉ khi nó chúa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là A lồi khá uà chỉ khi:

Chứng minh Diều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa

Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm Với & = 2 điều

kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề đúng với & — 1 điểm Ta cần chứng minh với & điểm Giả

sử z là tổ hợp lồi của k điểm z!,z?, ,z" œ A Túc là:

z=)Àj,Aj>0 Wj=1,2, ,E, À `Àj=l

jak jel

và đóng với các phép giao phép cộng đại số và phép nhân tích Descartes O

Mệnh dé 1.2 Néu A,B la cdc tap loi trong R", C la loi trong R™ thà các

tap sau la loi:

AN B:= {a\x € A,x € B}

aA+ 3B := {a\cx = aa+ Bb,a€ A,bE Bia, BER}

A.C := {x ER" \r = (a,c);ae Ace Ch

1.4.2 Định nghĩa hàm lồi và các vi du

Giả sử X là không gian lồi địa phương DC X,ƒ: D ¬ RU{+œ}

Định nghĩa 1.21 Trên đồ thị (cpigraph) của hàm f kụ hiệu là epiƑ được định nghĩa:

cøƒ = {(œ,r)<DxR: ƒ(z) <r}

Định nghĩa 1.22 Miền hữu hiệu (c[fecliue domain) của hàm Ƒ, kí hiệu

domƑ được định nghĩa nhu sau: domf = {x € D: f (x) < +c0}

Dinh nghia 1.23 Ham f dugc goi la chinh thudng (proper), néu domf 4

0à ƒ (ø) > —oo (Vz € D)

Định nghĩa 1.24 Hàm ƒ được gọi là lồi trén D (convex on D) néu epif la tập lồi trong X xI§ Hàm Ƒ được gọi là lốm trên D (conuaue on D), nếu — Ƒ

là ham lồi trên D, ƒ lồi = doơmƑ lồi

Thật vay, domf là hành chiếu trên X của cpiƒ:

domf {x : ƒ (#) < +00} = {z : 3n, (œ,r) € epif}

nhu vay, domf la ảnh của tập lồi cpiƑ qua một ánh +ạ tuyến tính Do đó

domƑ lôi

Ví dụ 1.21 Hừm eƑfine: ƒƑ(z)(+*,z)+a (œ°€ X*,œ €TR) là hàm lồi trên

X, trong dé X* là không gian phiếm phầm tuyến tính liên tục trên X

Ví dụ 1.22 Giả sử ƒ là hàm giá trị thực khả ti liên tục hai lần trên tập lồi

mé A CR" Khi dé, f loi trên A khi va chỉ khi ma trận Q, = (4 ) la

bán „ác dinh duong (Va € A), tic la:

port.function) 5(.\A) cia tap loi A C X* là một ham loi:

ð(\A) = Sup (x*,x)

axed 1.5 Định nghĩa nửa liên tục dưới

Định nghĩa 1.25 1, Hàm ƒ dược gọi là mửa liên tục dưới (Lotuersemicon-

tinuous) tại # € X (uới mọi ƒ (#) < œ) nếu uới mọi e > 0, tồn tại lan cận

U của & sao cho:

2, Néu f (Z) = +00 thì Ƒ được gọi là nửa liên tục dưới tại #, nếu tới

mọi N >0, tôn tai lan cận Ù của #, sao cho:

3, Ham Ƒ được gọi là nửa liên tục dưới, nếu ƒ mửa liên tục dưới tại mọi crEX.,

Chú y Néu thay (1.21) va (1.22) tương ứng (1.23) uà (1.24) ta được

định nghĩa hàm mửa liên tuc tai x :

ƒ(u)<ƒ()+e(VụcU) khi ƒ(#) < +00; (1.23)

ƒ(<-—N(VụeU) khi ƒ(#) = —oœ (1.24)

LY THUYET DIEM BAT DONG

2.1 Điểm bất động của ánh xạ co

2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 2.1 Ánh zạ 7 từ không gian mêlric (X,d) uào không gian

métric (Z,p) được gọi là ánh xa co nếu tồn tại số k € {0,1) sao cho:

Ta” = #° Ngoài ra, với mọi øạ; € X ta có T”zạ — #* khi n — oo

Chứng mình LẤy x tuy ¥ trong X và đặt z„.¡ = T#„ với n = 0,1,2, Dễ dàng kiểm rằng d(a,, p11) < k"d(a,2,) Lay m > n, ta co:

A (In, 0m) <A (tn, Trpt)te +d (Gm—1,0m) < (kT ERM + +R”) d (x0, 21)

Vik <1 nén d(a*,y*)=O0var* =y"

Vậy điểm bất động của 7 là duy nhất và nguyên lý được chứng minh E]

2.1.2 Ánh xạ co đa trị

Định nghĩa 2.2 Cho (X,d) là một không gian mêkric Ta ký hiệu CB(X)

la ho moi tap con đóng, bị chăn, không rỗng trong X Khi đó, khoảng cách

Hausdorff gitta hai tap hop A,B € CB(X) duoc định nghĩa như sau:

D(A, B) = max {sup inf d(a#,y),sup inf aru)

red yeB yeB 2A

Dinh nghia 2.3 Anh za da tri T tu tap hop X vao tap hop Y la mét phép

gan cho moix € X mét tập hợp con Tx ctia Y

Định nghĩa 2.4 Cho (X,d) la mot khong gian métric Anh xa (da tri) T

từ X vio CB(X) duoc goi la anh xa co nếu tồn tại một số k € |0,1) sao

cho véi moi x,y € X ta co:

D(Tx,Ty) < kd(x,y)

Dinh ly 2.1 Cho (X,d) la mét không gian métric day di,

T:X > CB(X)

là một ánh zạ co Khi đó ton tai a* € X ma a* € Ta*

Chitng minh Lay h € (k,1) va a € X mot cach tuy ¥, roi lay x, € Tx

Có thể giả thiét d(x,2,) > 0 Vid(a,,T21) < D(Tao,T2) < kd (ay, 21) <

hd (9,21) nén ton tai v7 € Tr; ma d(x, 72) < hd (ao, 71)

Tiếp tục quá trình trên, ta được một dãy {z„} thoả man:

Troi € Tay, d (Œ„, #„ + 1) < hd (xo, #1) y Tỳ — 0,1,2

Khi đó {z„} là dãy Cauchy và hội tụ tới điểm zø' € X

Với mỗi n ta có d(#,41,Ta*) < D(Tx,,T2*) < kd (ay, 2°)

Cho n — o ta duoc d(a*,Tx*) = 0 vi Tx* là tập hợp đóng nên ta có

+” € 1+"

Diểm z* € 7z' cũng được gọi là điểm bất động của ánh xạ (đa trị) 7 Chú ý rằng trong trường hợp này điểm bất động có thể không duy nhất Chẳng hạn, với 7 là ánh xạ hằng, tức là 7ø = A với mọi # thì mọi điểm của

A đều là điểm bất động của 7 và 7 là ánh xạ co với k = 0

2.1.3 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 2.5 Anh xa T' trong không gian mêlric (X,đ) được gọi là

(€,5) — co nếu uới mọi e > 0 đều tồn tại ð > 0 sao cho:

Nếu e < d(z,1) < e + ð thì:

Có thé kiém tra rang lép énh xa (€,6) — co chita cé hai lép énh xa vita néu,

(1—k) EO Tuy nhiên mọi ánh xa (€,6) — co déu thoả mãn điều kiện:

va hiển nhiên chứa lớp énh xa co vi chi can chon 6 = €

nếu œ # thà

Thật uậu, nếu ø # ụ thà đặt e = d(œ,) > 0 tà ta sẽ có e = d(,) <e + ỗ,

nên theo (2.2) ta phải có d(Tz, Tụ) < e = d(œ,0)

Lớp ánh zạ thoả mãn điều kiện (2.3) thường được gọi là “co yếu” Hiển nhiên các ánh zạ thuộc lớp nàu, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất Định lý 2.2 Cho (X,d) la mét không gian mêlric đầy đủ oà T là một ánh zq@ (e,ð) -co trong X Khi đó, T có điểm bất động duy nhất +” uà uới mọi

tw C X, ta có T”#g — #* khi n —> ow

Chứng mình Lây + € X tuỳ ý, đặt z„.¡ = T3, và c„ = đ(Z„,#„.¡) với

n = 0,1,2 có thể giả thiết c„ > 0 Vì 7 là co yếu nên {e„} là dãy số

không âm và giảm, do đó c„ — £ > 0 Nếu e > 0 thì tồn tại ổ > 0 để có (2.2) Chọn k € Ñ (tập hợp số tự nhiên) sao cho nếu œ > k thì e„ < e + Ö

Theo (2.2) ta có e„¡¿¡ < £ là điều vô lý

Ta sẽ chứng mình {z„} là dãy Cauchy bằng phản chứng Giả sử có e > 0 sao cho với mọi k € Ñ tồn tại?m,n > k mà đ(#„, #„) > 2e Cho k sao cho nếu

i>kthic¢< 1 với œ = min {2,5} Chon m > n > k để cho đ(œ„,#„) > 2e

và xét các số đ (a,„ +1); đ(#a, a3) ;‹ ; (Œ„y#»„+mø)- Khoảng cách giữa hai

Cho n > oo ta duge d(a*,Tx*) = 0, tite la a* = Tx

Vì 7' là co yếu nên #* là duy nhất Định lý được chứng minh Oo 2.1.4 Anh xa co yéu

Trong mục trước chúng ta đã định nghĩa ánh xa co yếu như ánh xạ thoả

mãn điều kiện (2.3) Đối với lớp ánh xạ này nguyên lý ánh xạ co không còn đúng nữa

Dinh ly 2.3 Cho (X,d) la mét không gian métric compact va T là ánh xa

co yếu trong X Khi đó T có điểm bat động duy nhất trong X

Chứng mình Với mỗi z € X, đặt ƒ (+) = d(œ,T+) Vì T là ánh xạ co yếu nên cũng liên tục, do đó ƒ là hàm số liên tục trên không gian compaet X

Vậy tồn tại z € X sao cho f (ao) = min{f (x): 2 © X} Néu f (ap) > 0 thì

to # Tx nén f (Tx) =d (Tx, Tx) < d(xp,T x) = f (vo), ta gap mau thuan

Vay f (zo) = 0 va x 1a diém bat dong cia 7 Tính duy nhất của điểm

bất động là hiển nhiên vì 7 là co yếu Dịnh lý đã được chứng minh oO

2.1.5 Dinh ly diém bat dong Caristi

Dinh ly 2.4 Cho (X,d) la mét khong gian mêlric đầy đủ uà hàm số

@: X — (—oc,+oc] mửa liên tục dưới tà bị chặn dưới Cho ánh «ra T

trong X thoả mãn điều kiện:

Khi đó, T có điểm bất động trong X

Trước khi chứng minh định lý này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng ánh xạ co 7 thoả mãn điều kiện (2.4)

d(z,Tx) kd(œ,T»z) Thật vậy, với mọi z ta có đ(œ, 7z) = Mặt khác,

ta lại có:

d(Tx,T (Tx)) < kd(a#,Tx) nên đ(œ,T+) < p(x) — @(T*z)

T với @(%) = mm là hàm liên tục

Chứng minh Trước hết ta dựa vào quan hệ thứ tự trên X như sau: # < y khi và chỉ khi đ(z,) < @(z) — @(0)

Dễ kiểm tra đó chính là một quan hệ thứ tự và ¿ là một hàm không tăng

theo quan hệ thứ tự này, tức là nếu # < ÿ thì @(ø) < @(z)

Ta sẽ chứng mình rằng trong (X, <) tồn tại phần tử cực đại 0 Lấy z¡ € X

tuỳ ý và đặt:

5(zi)={u€ X :z¡ < 1}

={U< X :d(m,) <S@(œi) — @)}

={U€X :dŒ,) + @(u) < @()}

Vì đ(z¡,.) liên tục và y nửa liên tục đưới nên Š (z¡) đóng

Đặt ø¡ = immf{¿(ø):€ S(zi)} Khi đó tồn tại z¿ € 5 (z¡) ma:

lấy z, tuỳ ý trong S(z„) Vì z„ < #,z„ < nên ta có:

d(Œ„,3) Š @ (đu) — @ (#), đ(#n, U) Š @ (đu) — Y(y)-

Vay d (x,y) < 29 (an) — lp (a) + e(y)]

Mặt khác, theo định nghĩa của cdc a, va ©, , ta c6:

1

2 (8u) Š tạng + TT: Ø(#) 3 any PY) 2 Any On = Ont:

Do đó

a(oy) <2 (a+ )~ 2m = `

m=—]

với mọi #, € Š(z„) Vậy d„ — 0 khi œ — oo

Vì không gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor,

f1 5(z„) = {0}

n=1

Ta sẽ chứng mình rằng v lA mot phan ttt cuc dai trong (X,<), tttc lA nếu

v<w thiv=w

Thật vậy, vì < œ nên #¡ < ø, vậy œ € Š(z¡) Vì ø < ứ nên #¿ < ứ, mà

œ€ 8(z¡) nên œ@ € Š(z;) Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được:

we q 5(z„) = {v}, tite law =v va v lA mot phan tit cue dai

Dể ý rằng điểm bất động ở đây có thể không duy nhất

2.1.6 Nguyên lý biến phân Ekeland

Dinh ly 2.5 Cho (X,d) la mét không gian métric day di va

p:X = (=00, +00] 1a ham mrửa liên tục đưới 0à bị chặn dưới Khi đó uới mọi e > 0 tồn tại z„€ X sao cho tới mọi y € X va khác + †a có:

#(:) — ed(:,) < @(U):

Chứng minh Ta chứng mình bằng phản chứng Giả sử có e > 0 để với mọi

x € X déu ton tai # x sao cho @(#) — ed(z,) > @(0)

Dat Tx = , ta nhận được một ánh xạ trong X thoả mãn:

T+z#ø và @(ø) — ed(z,Tø) > @(T+z) (Vz€ X)

Dat j = = ta nhận được một hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới trên

X thoả mãn:

đ(œ,T+) < Ù(#) — Ò (Tz).

Theo định lý điểm bất động Caristi, 7 phải có điểm bất động trong X, điều

này trái với cách xây dựng ánh xạ 7' Dịnh lý đã được chứng mình L] 2.2 Diểm bất động của ánh xạ không giãn

Ánh xạ từ không gian mêtric (X,đ) vào không gian (Z,ø) được gọi là không giãn nếu với moi x,y € X ta có:

p(Tz, Tụ) < d(, 0)

Như vậy, ánh xạ co là ánh xạ không giãn Phép tịnh tiến trên đường

thẳng, phép quay của đường tròn đơn vị trên mặt phẳng quanh gốc toạ độ

là những ví dụ về ánh xạ không giãn mà không có điểm bất động Thậm chí

một ánh xạ không giãn trong tập hợp lồi, đóng, bị chặn của một không gian Banach cũng không nhất thiết phải có điểm bất động

Ví dụ 2.1 Ký hiệu B là hình cầu đơn tị đóng trong Œq (không gian của các dấu số hội tụ đến 0 uới chuẩn sup) mỗi œ = (a1,%2, ) € B ta dat

Tx = (1,z\i,z¿, ) Khi đó T là ánh szạ không giãn trong Ð mà không có điểm bất động

Thật uậu, nếu có #ï = T3" thì ta có:

(aj, 05, 05, ) = (1,27, 05, )

Nhung khi do ta c6 x; = 1 vdi moti, nén x* khong thudc Cy

Diém bắt động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất (chẳng hạn, sét ánh xa đồng nhất)

2.2.1 Về cấu trúc hình học của không gian Banach

Định nghĩa 2.6 Không gian Banach (X, |.||) được gọi là lồi chặt nếu tới

z+ụ mợi # # mà ||#|[ < 1, |u|| < 1 ta có — <1

Diều kiện nàu tương đương tới:

Nếu ||z + yl] = ||x|| + |lu|| »à y 40 thie = Ay oới một À > 0 nào đó