VÀI ỨNG DỤNG của lý THUYẾT hàm CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG đại số BANACH

HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Toàn VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012... HỒ CHÍ MINH Huỳnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Minh Toàn

VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN

TRONG ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Minh Toàn

VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN

TRONG ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tin trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho lớp Toán giải tích khóa K21 Xin được cảm ơn quý thầy trong Hội đồng khoa học đã đọc và cho những ý kiến xác đáng Cám ơn phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS Nguyễn Văn Đông, người thầy tận tụy đã hết lòng hướng dẫn, tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi hoàn thành luận văn này Phong cách làm việc khoa học, lòng nhiệt huyết yêu nghề của thầy sẽ là hành trang vốn quý cho chúng tôi, những người đã và đang theo nghề giáo

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cám ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Ch ương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 3

1.2 Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm 8

C hương 2 ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ 11

2.1 Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand 11

2.2 Đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử 27

C hương 3 HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 35

3.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động trên không gian các phép biến đổi Gelfand 35

3.2 Định lý hàm ẩn trong đại số Banach 40

3.3 Vài kết quả về biên Shilov 46

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

số Banach được quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như Weiner, Lévy, Shilov, Rossi, Arens, Caderon, Hormander… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu hơn về giải tích phức và một số ứng dụng của nó trong đại số Banach

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức và xem xét một số ứng dụng của nó trong đại số Banach Cụ thể luận văn trình bày lại các kết quả sau

+ Mô tả các biểu diễn của đại số giao hoán qua các hàm liên tục theo biểu diễn Gelfand

+ Chứng minh các hàm chỉnh hình nhiều biến phức tác động lên không gian các biến đổi Gelfand Đồng thời áp dụng kết quả này để chứng minh định lý hàm ẩn đối với một đại số Banach

+ Chứng minh rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các điều kiện địa phương

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các đại số Banach, các phép biến đổi Gelfand, biên Shilov, định lý hàm ẩn, hàm chỉnh hình nhiều biến phức

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Luận văn là một tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu thêm về hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng của nó trong đại số Banach

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand

Chương 3 Hàm chỉnh hình trong đại số Banach và một số ứng dụng

C hương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức liên quan đến giải tích phức nhiều biến, tôpô, giải tích hàm được sử dụng cho các chương sau

1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến

Định nghĩa 1.1.1

Hàm nhiều biến phức trên một tập n

D ⊂  là một ánh xạ f từ D vào mặt phẳng phức  , giá trị của hàm f tại điểm z D∈ được kí hiệu là ( )f z

Định nghĩa 1.1.3

Hàm f :Ω →  , với Ω là tập mở trong  , được gọi là n 2n− khả vi

(tương ứng  khả vi) tại z ∈Ω nếu tồn tại một ánh xạ − n−  tuyến tính : n

l  → (tương ứng − tuyến tính) sao cho

n−

 đạo hàm) của f tại z ký hiệu '( ) f z

Nếu f là 2n−khả vi tại a thì ánh xạ l thỏa điều kiện của định nghĩa trên được kí hiệu là d f a và được gọi là vi phân của f tại a

Đặc biệt, nếu f là 2n−khả vi tại a thì

j

f

a d z z

j j

Vậy hàm f là n−khả vi tại 0 n

z ∈ nếu và chỉ nếu f là 2n− khả vi tại 0

z và nó thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann 0

Cho Ω là một tập mở trong n với n≥ 2 Một hàm f : Ω →  được gọi là

chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình với mỗi biến khi các biến còn lại cố

định Điều này có nghĩa là với mọi z1ο,z2ο, ,zοj−1,zοj+1 ,z nο hàm

( )j ( 1 , 2 , , j 1 , j, j 1 , n)

g z = f zο zο zο− z zο+ zο

Định lý 1.1.7

Hàm f liên tục trên đa đĩa đóng P a r( , ) và chỉnh hình từng biến trênP a r( , )

thì nó được biểu diễn bởi tích phân bội Cauchy

1( )

Giả sử hàm f liên tục trên đa đĩa đóng P a r( , ) và chỉnh hình từng biến

  ∫ − và sự hội tụ của chuỗi là sự hội tụ chuẩn tắc

Giả sử Ω ⊂ n và Ω ⊂ ' m là hai miền (mở và liên thông) Các biến trong Ωđược viết z=( , ,z1 z n), các biến trong Ω ' được viết w=(w1, ,w n) Một ánh xạ

Định lí 1.1.11 (nguyên lý môđun cực đại)

Nếu f chỉnh hình theo từng biến trên miền n

của f , là tập rời rạc, đóng tương đối trong G

Đặc biêt, với K là tập compact, K ⊂G thì mỗi tập 1

( ) ,

f− a ∩K a∈ là tập hữu hạn Dẫn đến 1

1.2 Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm

Định nghĩa 1.2.1

Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng, rời nhau Do phần bù của tập mở là tập đóng nên không gian X liên thông nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây

i) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng, khác rỗng, rời

nhau

ii) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa mở vừa đóng

Định nghĩa 1.2.2

Không gian tôpô X gọi là hoàn toàn không liên thông (totally disconnected

space) nếu với mọi x y, ∈X thì tồn tại một phân hoạch A∪B sao cho x∈A y, ∈B

Trong không gian hoàn toàn không liên thông, mỗi thành phần liên thông chỉ gồm

Cho X là không gian compact Hausdorff hoàn toàn không liên thông Khi

đó X có một cơ sở tôpô gồm những tập vừa mở vừa đóng

Bổ đề 1.2.5 (bổ đề Urysohn)

Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau của X Khi đó, tồn tại một hàm liên tục f X: →[ ]0;1 sao cho f x( ) = ∀ ∈ 0, x A và

π → là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α Các không gian Xα gọi là các

không gian tọa độ

Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu πα liên tục

Tôpô tích còn được gọi là tôpô Tikhonov

F cùng với chuẩn này

gọi là không gian thương của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng

Chương 2 ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND

TRÊN NÓ

Trong chương này ta đưa ra và chỉ xét các vấn đề cơ bản nhất của đại số Banach giao hoán có đơn vị (gọi gọn là đại số Banach) và phép biến đổi Gelfand trên nó Mở đầu Chương 2 là mục 2.1 giới thiệu về đại số Banach và tập hợp các dạng tuyến tính nhân trên nó (định lý 2.1.5) Phần tiếp theo của mục này trình bày

về tập các biến đổi Gelfand của đại số Banach và mô tả mối liên hệ tập các biến đổi Gelfand với đại số đó (định lý 2.1.7) Các định lý 2.1.16, 2.1.17 mô tả mối liên hệ giữa các iđêan cực đại của một đại số Banach và tập tất cả các dạng tuyến tính nhân trên đại số Banach tương ứng

Mục 2.2 giới thiệu về đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach Định lý 2.2.3 mô tả mối liên hệ giữa phổ nối và các biến đổi Gelfand của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach Phần cuối của mục này chỉ ra sự đồng phôi giữa không gian các iđêan cực đại của một đại số Banach hữu hạn sinh với phổ nối của các phần tử sinh

2.1 Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand

Một đại số B trên trường số phức được gọi là đại số Banach nếu trên B

được trang bị một chuẩn sao cho (B, ) là không gian Banach và

, ,

Phần tử e∈B thỏa fe=ef = f,∀ ∈f B e, =1 được gọi là phần tử đơn vị của

B

Phần tử f ∈B được gọi là khả nghịch trong B nếu tồn tại phần tử g∈B

thỏa gf = fg=e , phần tử g được ký hiệu là 1

Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu đại số Banach giao hoán có đơn vị

Định nghĩa 2.1.3

i) Không gian vectơ con đóng A⊂B, A chứa đơn vị, đóng kín với phép toán

nhân được gọi là đại số Banach con của B

ii) Một không gian vectơ con I của B gọi là một iđêan của B nếu BI⊂B,

nghĩa là gf ∈ ∀ ∈ ∀ ∈B, g B, f I

iii) Iđêan I của B gọi là iđêan thực sự nếu I ≠B Một iđêan thực sự J của đại

số Banach B được gọi là iđêan cực đại nếu với mội iđêan I chứa J thì

I =B

Một trong những mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu xem trong phạm vi nào có thể biểu diễn một đại số Banach bởi đại số của những hàm liên tục trên một không gian compact

Giả sử K là một không gian compact và C K( ) là đại số các hàm liên tục nhận giá trị phức trên K

Giả sử rằng B∋ →f Tf ∈C K( ) là một biểu diễn liên tục của B , nghĩa là T

giao hoán với các phép toán đại số của B và sup

K

Tf ≤C f với C là hằng số nào

đó

Ta lại có T f( n)=(Tf)n dẫn đến Tf n = (Tf)n = T f( n) ≤C f n ≤C f n, do đó 1

→∞

Định nghĩa 2.1.4

Một dạng tuyến tính m (a linear form) trên B gọi là dạng tuyến tính nhân

(multiplicative linear functional) nếu nó liên tục, không đồng nhất không và

i) Điều kiện m không đồng nhất không tương đương với m e( ) = 1

ii) m f( ) ≠ 0 nếu f là phần tử khả nghịch Thật vậy, từ 1

iv) Tôpô được định nghĩa ở đây còn có tên gọi là tôpô Gelfand, một cơ sở lân

cận của điểm m0∈M B chính là giao hữu hạn của những lân cận dạng

Chứng minh tính chất tách Hausdorff Giả sử m m1, 2∈M B,m1≠m2, khi đó có

f ∈B sao cho m f1( )≠m2( )f Xét hai tập sau:

( ) ( ): ( ) ( )

Trên D ta xét tôpô tích, với mỗi f ta có D f là tập compact, theo định lý Tychonoff

ta có D là compact với tôpô tích Tôpô tích trên D là tô pô yếu nhất làm cho các

phép chiếu p f tương ứng với mỗi phần tử của tập chỉ số B liên tục và mỗi phần tử của D là một ánh xạ (có thể không là dạng tuyến tính nhân) m sao cho m f( ) ∈D f , thì p m f( ) =m f( ) Vì vậy mỗi phần tử m∈M B là một phần tử đặc biệt của D và ta

có p m f( )=m f( ) Do đó tôpô trên M B thừa hưởng từ tôpô tích trên D là trùng với tôpô Gelfand Cho nên chỉ cần chứng minh M B là tập con đóng của Dlà xong.Thật vậy, với f g, ∈B xét ánh xạ D f g, :D→  xác định như sau:

f e

Suy ra M B là tập con đóng của D, mà D compact nên M B compact

Từ đó với tôpô Gelfand trên M B thì M B là compact Hausdorff ■

Bây giờ ta xét một biểu diễn liên tục bất kỳ của B B∋ →f Tf ∈C K( ), ở đây K là không gian compact Bởi vì 2 2

(Te) =T e( )=Te nên hàm liên tục Te chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 Đặt K0 ={k∈K:( )Te k( )=0},

Với mỗi k∈K1, ánh xạ B∋ →f ( )Tf ( )k xác định một phần tử m∈M B, mà ta

ký hiệu là ϕ( )k Do định nghĩa tôpô trên M B và tính liên tục của Tf với mỗi f ∈B

kéo theo sự liên tục của ϕ Vì Tf = f∧ ϕ trên K1, nên ta có sự mô tả đầy đủ mọi biểu diễn của B bởi các hàm liên tục theo các biểu diễn Gelfand

Ta kiểm tra được biểu diễn Gelfand f f

∧

 là một đồng cấu của B lên B

∧

i) Ta chứng minh {∧f m( ) :m∈M B}⊂σB( )f Thật vậy, nếu λ σ∉ B( )f suy ra

f −λe khả nghịch nên có g∈B sao cho g f( −λe)=e Khi đó với mọi m∈M B thì

  Suy ra λ∉{∧f m( ) :m∈M B} Vậy {f m∧( ) :m∈M B}⊂σB( )f

Để tiếp tục chứng minh định lý 2.1.9 ta cần dùng đến các bổ đề sau

Nếu ω là tập con, mở, compact tương đối của đĩa này, được bao bởi hữu hạn các cung thuộc lớp 1

f ≤ f , và f <1 nên chuỗi

0

n n f

e= −e f s=s e− f Suy ra phần tử khả nghịch của (e− f) là

0

n n

∞

=

=∑ Giả sử 1

g− tồn tại, đặt 1

g h− =H, khi đó chuỗi

0

n n n

e λf − ∞ λ f

=

− =∑ , nên

1 0

12

r k

Từ bổ đề 2.1.12 với mỗi f ∈B có λ∈ sao cho f −λe không khả nghịch

Ta lại có B là một trường và (f −λe)∈B nên dẫn đến f −λe= 0 hay f =λe

Giả sử tồn tại λ λ1, 2 sao cho f −λ1e= −f λ2e nên (λ λ1− 2)e=0 Suy ra

λ λ= Vậy với mỗi f ∈B có duy nhất một λf ∈ sao cho f =λf e Do đó

{ f : , f }

B= f =λ e e∈B λ ∈

Xét ánh xa: Φ: B→ , xác định bởi f =λf eλ Khi đó, Φ là đẳng cấu nên B≅  Mặt khác, f = λf e = λf , ∀ ∈f B, nên B đẳng cự với trường số phức

.■

Bổ đề 2.1.14

Nếu I là iđêan cực đại của B thì I đóng và khi đó B

I đẳng cấu với trường

số phức

Để chứng minh ta cần bổ đề sau

Bổ đề 2.1.15

Ký hiệu G B( ) là tập các phần tử khả nghịch trong B, khi đó

i) G B( ) là một nhóm nhân với phép toán nhân trong đại số Banach B

∞

=

=∑ là phần tử khả nghịch của e− f Do đó, với g∈B mà e−g <1, ta viết g= − −e (e g) áp dụng

mở nên B G B\ ( ) đóng Do vậy I ⊂ ⊂I B G B\ ( ), ta lại có I ≠B do e∈G B( ) Mà I

là iđêan cực đại nên I =I, hay Iđóng Theo kết quả đại số thì nếu I là iđêan cực đại của B thì B

I là một trường, do đó nó đẳng cấu với trường số phức theo bổ đề 2.1.13 ■

ta gặp mâu thuẫn với giả sử bên trên Vậy m1 =m2, hay A đơn ánh

Chứng minh A toàn ánh Giả sử J∈ ∆B, khi đó ta có J là iđêan cực đại nên

Ta có iđêan thực sự không chứa đơn vị e, vì nếu chứa e thì nó trùng với B

Do B chứa đơn vị, theo bổ đề Zorn mỗi iđêan thực sự đều được chứa trong một iđêan cực đại Ta lại có mỗi iđêan cực đại thì được đồng nhất tương ứng với một dạng tuyến tính nhân Vì vậy có m∈M B sao cho m f( ) = ∀ ∈ 0, f I.■

Từ đây ta suy ra được một đại số Banach giao hoán có đơn vị B thì luôn tồn tại ít nhất một dạng tuyến tính nhân đi từ B→  Thật vậy, nếu tất cả các phần tử của đại số Banach B là khả nghịch, thì khi đó B sẽ đẳng cấu với trường số phức ,

rõ ràng phép đẳng cấu đó chính là một dạng tuyến tính nhân Trường hợp còn lại sẽ tồn tại một phần tử không khả nghịch, giả sử là b∈B, hiển nhiên ta có bB là một iđêan thực sự chứa b, áp dụng kết quả trên sẽ có phần tử m∈M B.■

Ta chứng minh phần còn lại của định lý 2.1.9

Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại σB( )f ⊂{f m∧( ) :m∈M B} Thật vậy, lấy

( )

B f

λ σ∈ suy ra f −λe không khả nghịch, đặt J = f −λe là iđêan sinh bởi

f −λe, ta có J ≠B Theo định lý 2.1.17 có m∈M B sao cho m triệt tiêu trên J, dẫn đến m f( −λe)=0 hay m f( ) =λ Suy ra λ∈{f m∧( ) :m∈M B} Vậy ta có bao hàm thức ngược lại

Tiếp theo ta chứng minh công thức về bán kính phổ

2 2

B

m M m M m M M

n n

m f = f x ∀ ∈f C X Ta kiểm tra được m x là một đồng cấu phức với mỗi x∈X

Ta chứng minh rằng với m∈M C X( ) thì tồn tại duy nhất x∈X sao cho m=m x

Sự tồn tại, giả sử ngược lại là m≠m x với mọi x∈X Khi đó với mọi x∈X

tồn tại hàm g∈C X( ) sao cho m g( )≠m g x( )=g x( ) Đặt f x = −g m g( ), ta có ( )

x

f ∈C X Khi đó f x x( )≠0 Ta lại có f x là hàm liên tục nên tồn tại lân cận U x của

x sao cho f x ≠0 trên U x Suy ra f x2 > 0 trên U x Mặt khác, ta có

m f =m g−m g =m g −m g = nên m f( x2) =m f f( x x)=m f m f( x) ( x)=0 Mặt

khác, họ { }U x x X∈ là một phủ mở của X compact nên có phủ con hữu hạn, suy ra tồn tại x1, ,x n∈X sao cho

1

i

n x i

α → trong M C X( ) hay Φ(xα)→ Φ( )x Vậy

Φ liên tục Ta lại có X M, C X( ) là các không gian compact Hausdoff nên Φ là phép đồng phôi.■

= ∑ ∀ ∈  Với phép nhân này l1

trở thành một đại số Banach giao hoán Ký hiệu ε ∈n l1 là dãy mà tọa độ thứ n là 1, các tọa độ còn lại là 0 Khi đó ε0 là phần tử đơn vị của l1

Với mọi phần tử a={ }a n ∈l1, ta có thể viết lại dưới dạng n n

n

a +∞ aε

=−∞

= ∑