Tài liệu Đạo hàm cấp cao pptx

Néu f' ciing c6 dao ham thi đạo hàm của nó được gọi là dao ham cdp hai cua ham f và kí hiệu là Ƒ', tức là ƒ còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số ƒ... Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

DINH NGHIA

Cho ham s6 f cé dao ham f' Néu f' ciing c6 dao ham thi đạo

hàm của nó được gọi là dao ham cdp hai cua ham f và kí hiệu là Ƒ', tức là

ƒ còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số ƒ Đạo hàm cấp hai của hàm số

y = f(x) cn duoc kí hiệu là y

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau

IHi| Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số : a) y = vx; b) y = siny,

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Gia tốc (tức thời) a(ts) tại thời điểm tạ của một chát điểm chuyển

động cho bởi phương trình s = s(†) bằng đạo hàm cấp hai của hàm

sd s = s(t) tại điểm to, tức là

a(ty) = s”(Œfq)

H2] Phương trình chuyển động của một chất điểm là Š(t) = 5! - 3Ÿ (S tinh bằng mét

(m), tính bằng giây (s)) Tính gia tốc của chuyển động tại thời diém t = 4s,

3 Dao ham cap cao

Cho hàm số ƒ có đạo hàm cấp n - l (với n eÑ, n >2) laf),

Néu fr? là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là ƒ “” Nói cách khác,

f= |/m9Ï, (n eÑ,n>32)

Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) còn được kí hiệu là y'),

b) Đối với hàm số y = sinv, ta CÓ :

y =cosx ; y' =(cosx)'=-—sinx ; y = y" =(-sinx)' =—cosx ;

y#) = (—-cOSX} = Sin x ; y? = (sinx ) = cosx ; Cj

H3| Quan sát ví dụ 3b) và cho biết khẳng định sau đúng hay sai : Nếu y = sin x thì

Cau hoi và bai tap

42 Tim dao ham của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo

a) fix) = x" — cos2x, fPO) ;

b) fix) = cos~x, LPO :

c) fix) = & + 109°, fo

43 Chứng minh rằng với moi n > 1, tacé:

(—1)” :n! |

ˆ

x" l

a) Néu f(x) = - thi f°”) =

b) Néu f(x) = cosx thi fre) = COSY

c) Néu f(x) = sinax (a 14 hang s6) thi #2ˆ?@œ) = 4`” sinax

m.nwm‹«e>wn" £22958

4S Tim wi phan cua mdi ham sO sau -

by = V/ cos? 2x + 1

46 Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :

a) ——— Hướng dẫn : Xét hàm số y= —— tại điểm xạ = 20,25 = 4,5 với Ax= 0,05

b) tan29°30' /7ướng dân : Xét hàm số y = tanx tai điểm xạ = z với Ax = — ER

47 a) Cho ham s6 f(x) = tanx Tinh f(x) véi n = 1, 2, 3

b) Chtmg minh rang néu f(x) = sin*x thh “®(x) =—2Ỷ”” Ì cos2x

48 Chứng minh rằng :

a) Nếu y = Asin(øf + ø) + Bcos(øf + ø), trong đó A, B, ø và ø là những hằng

số, thì y" + ay =0

b) Nếu y= V2x - xˆ thì y y "+1=0

Câu húi và hài tập ôn tập chương V

4 Tìm đạo hàm của các hàm số sau ;

)yE—+—-WY+Ì: )y=E— (a hing st):

c)y=(2-x) cosy + 2x sine ; () y= lan ‡ tanx

n n+]

50, a) Chimg minh ring | | | = -— , trong done N’

b) Voix#0vane N’, ta dat x” = — Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong

X

câu a) với công thức (x'} = nx" ˆ và nêu nhận xét.

1, Tin ihn cp al em hc chi fs 0)

a) y =sinK, } ; b)y = sine sind, i"

|

| Wy, “oy (ll

§2, Tinh vi phan cua ham s6 y = ; tai điểm x = : ứng với Ây = =

(] + tan.x)

(Lính chính xác đến hàng phân vạn).

$3 0ọi (C) là đồ thị của hàm số ƒ[x) = +201 Vid phương trình tiếp tuyến

của (C) trong môi trường hợp sau :

a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 ;

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành ;

|

c) Biết rằng tiếp tuyến vuông sóc với đường thăng y = “git 3;

d) Biết ring tiép tuyén di qua diém A(0 ; 6)

54, Tim mdt diém trén 8 thi cla him s6 y = — | 7

vot cc truc toa ) tụ thành một tam giá 6 dién tch bang 2,

1 a) Tinh sin 5 Và COS s

b) Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức

3

sin x + (x2 — ]l)cosx = Ccos| x — =| VỚI THỌI +

2 Giải phương trình

tan x=cot 2.x

Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác

3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x) = (sinx + cosx w

I

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức O(x) =

Sin“ xCOS“ x

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức #(x) = P(x) + @(y).

4 Giải các phương trình:

â) sin'x + (05 x= : ; b) sin 2x - §Ìt'y= sin! 73

C) cosx cos 2x = cos 3x: d) tan 2x - sin 2x + cos 2x - 1 = 0,

5S Giai cac phuong trinh sau :

a) 2sin(x + 10°) —~/12 cos(x« + 10°) = 3:

b) /3 cos 5x + sin Sx = 2cos 3x ;

c) sin x — 3sinx cosx + 2cos*x = O

6 Giải các phương trình sau :

1+cosx

sin 3x

COS X `

c) tan.x + tan 2x =

9 Một túi chứa l6 viên bị, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên b¡ đen và 3 viên

bi do

a) Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi

— Tính xác suất để được 2 viên bi đen

— Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bị trắng

b) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bị trong túi

— Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ

— Tính xác suất để được 3 viên bi với 3 màu khác nhau

10 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số điểm mà một vận động viên bắn cung nhận

được khi bắn một lần Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau :

x 9 7 5 3 l

P 0,2 | 0,36 | 0,23 | 0,14 | 0,07

a) Tinh điểm trung bình khi vận động viên đó bắn một lần

b) Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần.

11 Ta đã biết cos = =V2 Chứng minh rằng :

a) cos = 3 2+/2:

b) cos = n+ J2 + 4 2_ với mọi số nguyên ; 3 2

n — | đấu căn

12 Cho dãy số („) xác định bởi

Uy =3 vau, = 4u,_) — | vol moi n = 2

Chứng minh rằng :

2n+l

â) H„ = : 3 +i VỚI mỌi số nguyên zø 3 Ì ;

b) („) là một dãy số tăng.

13 Cho đấy số („„) xác định bởi

= 5 VỀ #„ = H„_¡ — 2 VỚI THỌI ?¡ 3 2

a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số („)

b) Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (z„)

14 Cho đấy số („) xác định bởi

ị = 2 vau, = 3w„_¡ với mọi ø > 2

a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số („)

b) Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số („)

l§ Các số x - y, x + y Và 3x - 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đông

thời các số y - 2, J†+¿W5+¿) eo thể W đồ lọ Duh một cáp số nhân Hãy tìm x va y.

l6 Tính giới hạn của các dãy số sau :

nh — 40nẺ + lấn — 7

nh+n+100

3

\6n! + n + I

2n +]

3

17 Tính các giới hạn sau :

a) limV3n* —10n +12 :

c) lim (vn' +n? +] -zẺ|

2n” + 35nˆ ~ 10n +3 _

+2n

Sn — n

3.2" ~8.1"-

43" +5

đ) lim

b) lim (2.3” — 5.4”);

| |

Vr +2n—n

18, Tìm số hạng a và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số

hạng thứ hai a + tổng của cấp số nhân này là l5

)

19 Tính giới hạn của các hàm số sau :

yx +x+10

yo 44x? 4-2

om ly +2]

*

5 *

e) lìm _ 2x +4x? +3

g) lim V9x" +11x-100 ;

x¬+2œ

i) lim

roe | v2 +xX+l-x

f) lim (2x +1)

2

b) lim 2 tie?

x5 25—X

2

đ) lim x +x~-40 x-+m 2y) + TY” + se

x+]

’

5

X~»>+£© 2y + x

h) lim 5x +] - 15] ;

xX +0

20 Ching minh rang phương trình Ÿ + & + bự + e = 0 luôn có ít nhấ

một nghiệm

21 Tim Gao ham cua cac ham s6 sau:

ax + Bbx~ +c -

ayy fa a Bx (a2 b c la cac hane sG):

x

22 Cho hàm SỐ y = mux? + 2x7 +x—5 Tim m dé:

a) y' bang binh phuong của rmỘt nhị thức bậc nhất ;

b) yv' CÓ hai nghiệm trái dau ;

c) Y'` >> VỚI moi x

23 Giadi cAc phuong trinh sau -

a>y »’ = OL voi » = Š sin 2x + sin x — 3;

b> »' = OL voi » = sim 3x — 2cos 3x — 3x + 4.