BÀI 2 các PHÉP TOÁN TRÊN tập hợp số PHỨC

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC MỤC TIÊU Kiến thức: - Nhận biết được các phép toán cộng, trừ hai số phức, phép nhân số phức, phép chia hai số phúc.. Kĩ năng: - Thành thạo các phép

Trang 1

Trang 1

BÀI 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC

MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Nhận biết được các phép toán cộng, trừ hai số phức, phép nhân số phức, phép chia hai số phúc

Kĩ năng:

- Thành thạo các phép toán cộng, trừ hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan

- Thành thạo phép nhân hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan

- Thành thạo phép toán chia hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan

- Vận dụng các phép toán đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1

1 Phép cộng số phức

Định nghĩa

Tổng của hai số phức z a bi z,  a b i a b a b  , , ,   là số phức z   z a a b b i 

Tính chất

Với mọi , ,z z z  ta có:

Tính chất kết hợp: zzz  z zz

Tính chất giao hoán: z  z z z

Cộng với 0: z   0 0 z z ;

z     z z z

Ví dụ: 5 4 i  3 2i 8 2i

Ví dụ: 5 2

7

z  i có số đối là 5 2

7

   

2 Phép trừ số phức

Hiệu của hai số phức z a bi z,  a b i a b a b  , , ,   : z   z z   z  aa  b b i 

Ví dụ: 5 4 i  3 2i 2 6i

3 Phép nhân số phức

Định nghĩa

Tích của hai số phức z a bi z,  a b i a b a b  , , ,   là Số phức zzaabbaba b i 

Tính chất

Với mọi , ,z z z  ta có:

• Tính chất giao hoán: zzz z

• Tính chất kết hợp zz z  z z z  

• Nhân với 1: 1.zz.1z ;

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: z z zzzzz

Ví dụ: 5 4 i3 2 i  15 8  12 10 i23 2 i

Chú ý:

• Ta có thể thực phép cộng và phép nhân các số phức theo các quy tắc như phép toán cộng và nhân các

số thực

• Các hằng đẳng thức của các số thực cũng đúng đối với các số phức

z  z  i  z i z i

4 Phép chia cho số phức khác 0

Trang 2

Trang 2

Số nghịch đảo của số phức z0 kí hiệu là 1

z , là số phức thỏa mãn 1

1

zz  , hay 1

2

1

| |

z

Thương của phép chia số phức z cho số phức z khác 0 , kí hiệu là 1 2

| |

z z z

z z

 

Ví dụ: z 3 2i có số phức nghịch đảo là 1 1 (3 2 ) 3 2

z     

Ví dụ: 5 4 (5 4 )(3 2 ) 7 22 7 22

i

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Thực hiện các phép toán của số phức

Phương pháp giải

Cho hai số phức z a bi  và z  a b i trong đó , , ,a b a b  Khi đó:

• z    z a a b b i

• z z aa  b b i 

• zzaabbaba b i 

| |

z z

z

Trang 3

Trang 3

Ví dụ:

Hai số phức z1 3 7 ,i z2 4 3i có

z z      i  i ;

z z      i   i ;

1 2 (3.4 ( 7) 3) (3.3 4 ( 7)) 33 19

1

2

(3 7 )(4 3 ) 9 37

(4 3 ) (4 3 ) 25 25

i

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 2 3 ,i z2  4 5i Số phức z z1 z2 là

Hướng dẫn giải

z z z     i i    i

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 1 2 ;i z2 2 3i Số phức w z1 2z2 là

Ta có: z z1 z2     2 3i  4 5i  2 2i

Chọn C

Ví dụ 3: Cho số phức 1 3

z   i Số phức w  1 z z2 là

A 2 3i B 1 C 0 D 1 3

2 2 i

2

w  i  i

Chọn C

Chú ý: Các hằng đẳng thức của các số thực cũng đúng đối với các số phức

Ví dụ 4: Tất cả các số phức z thỏa mãn2z3 1    i iz 7 3i

A 8 4

5 5

z  i B Z 4 2i C 8 4

5 5

z  i D.z 4 2i

2

i

Chọn D

Ví dụ 5: Cho số phức 2

(1 ) (1 2 )

z i  i Số phức z là

A  4 2i B  4 2i C 4 2i D 4 2i

(1 ) (1 2 ) 2 (1 2 ) 4 2

Do đó: z   4 2i

Chọn B

Ví dụ 6: Cho số phức z a bi a b( ,  ) thỏa mãnz  1 3i z i0 Giá trị của S a 3b là

Trang 4

Trang 4

A 7

3

S  B S 3 C S  3 D 7

3

S

Ta có z  1 3i z i0

1 0

3

a

 



3

S b

b

 



Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hai số phức z1 3 7i vàz2  2 3i Số phức z z1 z2 là

A z 1 10i B z 5 4i C z 3 10i D z 3 3i Câu 2: Cho hai số phức z1 1 2i vàz2  3 4i Số phức 2z13z2z z1 2 là số phức nào sau đây?

A 10i B -10i C 11+8i D 11-10i

Câu 3: Số phức z thỏa mãn z (2 i z)  3 5i là

Câu 4: Cho hai số phứcz1 2 2 ,i z2  3 3i Khi đó số phức z1z2 là

Câu 5: Cho số phức z 1 2i Số phức w2zz là

Bài tập nâng cao

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn 1z1   i 5 i 0 Số phức w 1 z  bằng

A  1 3i B 1 3i C  2 3i D 2 3i Câu 7: Cho số phức 1 1

3

z  i Số phức w iz 3z là

A 8

3

w i D 10

3

Câu 8: Choz1 2 4 ,i z 3 5i Số phức w z z1 22 là

A 152 4i B  52 4i C 152 4i D 152 4i

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z(1 2 ) i   z i 15i Số phức z là

Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 3i 5 và

2

z

z là số thuần ảo?

ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-C 4-C 5-C 6-D 7-A 8-B 9-B 10-C 11-A 12-C 13-B 14-C 15-A 16-A 17-D 18-C 19-B 20-D

Trang 5

Trang 5

21-B 22-D 23-AD 24- 25-D 26-D 27-C 28-C 29-A

Dạng 2 Xác định các yếu tố của số phức qua các phép toán

Bài toán 1 Tìm phần thực, phần ảo của số phức

• Số phức z a bi  có phần thực là a và phần ảo là b

Chú ý: Học sinh thường nhầm phần ảo của số phức z 3 12i là12i

Ví dụ : Phần thực của số phức z thỏa mãn 5i z  7 17i

7 17

5

i



Phần thực của số phức z là 2

Chọn C

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn1i z 14 2 i Tổng phần thực và phần ảo của z bằng

1

i



Suy ra, zcó phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 8 Do đó tổng phần thực và phần ảo của z bằng 14

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hai số phức z 3 2i và  2 

11

z a a  i Tất cả các giá trị thực của a để zz' là một

số thực là

A a 3 B a3

C a3hoặc a 3 D a 13 hoặca  13

z    z i a a  i  a a  i

'

zz là số thực khi và chỉ khi 2 9 0 3

3

a a

a

 



    

Chọn C

Ví dụ 3: Cho số phức 2

(1 ) (1 2 )

z i  i Số phức z có phần ảo là

A 2 B 4 C -2 D 2i

(1 ) (1 2 ) 1 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) 2 4 2 4

z i  i   i i  i  i  i  i i  i

Vậy số phức z có phần ảo là 2

Chọn A

Bài toán 2 Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức

• Số phức z a bi  có z  a bi và | |z  a2b2

2 ;

z z a z z a b

Ví dụ: Số phức liên hợp của số phứcz2 3 i3 2 i là

Trang 6

Trang 6

A z  12 5i B z   12 5i C z   12 5i D z 12 5 i

(2 3 )(3 2 ) 6 5 6 12 5

12 5

Chọn D

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z2 i 13i1 Mô đun của số phức z là

A z 34 B | | 5 34

3

z  C | |z  34 D | | 34

3

z 

2

i



Do đó

| |z  3  ( 5)  34

Chọn C

Ví dụ 2: Cho số phứcz1 3 2 ,i z2 6 5i Số phức liên hợp của số phức z6z15z2 là

A z  51 40i B z 51 40 i C z 48 37 i D z 48 37 i

Ta có: z6z15z2 6 3 2  i 5 6 5 i48 37 i

Suy ra: z 48 37 i

Chọn D

Ví dụ 3: Gọi z z lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy ở hình bên Khi đó 1, 2 z1z2

bằng

A 2 29 B 20 C 2 5 D 116

Từ hình vẽ ta có điểm M ( 3;2) biểu diễn số phức z1 3 2i , điểm N (1;-4) biểu diễn số phức z2 1 4i

Ta có z1  z2 4 2i

z z

Chọn C

Ví dụ 4: Cho số phức z a bi  với a, b là các số thực thỏa mãn a bi 2i a bi   4 i , với i là đơn vị

1 z z

   là

A || 229 B || 13 C || 229 D || 13

Trang 7

Trang 7

Ta có a bi 2 (i a bi ) 4  i 2 4 2





 Suy ra z 2 3i

1 z z 2 15i

      Vậy || ( 2) 2 ( 15)2  229

Chọn A

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn 1 3

1

i z

i





 Môđun của số phức wiz z là

A |w| 4 2 B |w| 2 C.|w| 3 2 D |w| 2 2

1

i



1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 3 3

|w| ( 3) ( 3) 18 3 2

Chọn C

Ví dụ 6: Cho z z là các số phức thỏa mãn1, 2 z1  z2 1 và z12z2  6

Giá trị của biểu thức P∣2z1z2| là

A P2 B P 3 C P3 D P1

Đặtz1 a1 b i a b1; ,1 1 ,z2 a2b i a b2; 2, 2

1

4

a b a b  z  z      a a b b 

Ta có: 2z1z2 2a1a22b1b i2

1

4

z z a a b b a b a b a a b b

Suy ra P 2z1z2 2

Chọn A

Bài toán 3 Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Điểm biểu diễn của số phức 1

2 3

z

i



 là

A 3; 2  B 2 ; 3

13 13

  C (-2 ; 3) D.(4 ;-1)

2 3 (2 3 )(2 3 ) 13 13

i



Suy ra điểm biểu diễn của số phức 1

2 3

z

i



 là

2 3

;

13 13

 

Chọn B

Chú ý: Để xác định tọa độ điểm biểu diễn số phức, ta cần viết số phức dưới dạng z a bi a b( , R)

Ví dụ 2: Gọi z z lần lượt có điểm biểu diễn là M,N trên mặt phẳng phức (hình bên) Khi đó phần ảo của 1, 2

số phức 1

2

z

z là

Trang 8

Trang 8

A 14

1 4

17

2

Dựa vào hình vẽ ta có được

1

2

3 2 , 1 4



Chọn A

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn1i z  11 3i Điểm M biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng tọa

độ là

A M(4;- 7) B M(14; – 14) C M(8; – 14) D M(7;-7) Hướng dẫn giải

1

i



Suy ra điểm biểu diễn cho số phức z là M (4;-7)

Chon A

Ví dụ 4: Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4 – 3i, (1+ 2 i)i,1

i Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là

Ta có:

A là điểm biểu diễn của số phức 4 – 3 i nên A(4;-3)

B là điểm biểu diễn của số phức 1 2 i i   2 i nên B(-2;1)

C là điểm biểu diễn của số phức 1 i

i   nên C(0;-1)

Điều kiện để ABCD là hình bình hành là AD BC

x x x x

y y y y





5

x x x x

y y y y



Chọn C

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số

phứcz1 2 i z, 2   1 6 ,i z3 8 i Số phức z có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác 4 ABC Mệnh đề nào sau đây đúng?

A z4  3 2i B z4 5 C  2

z   i D z4  3 2i

Ta có: A(2;-1), B(-1; 6), C(8;1) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Trang 9

Trang 9

Chọn D

Ví dụ 6: Cho các số phức z z thoả mãn 1, 2 z1 3,z2 4, z1z2 5 Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu

diễn sổ phức z z trên mặt phẳng toạ độ Diện tích S của 1, 2 OAB (với O là gốc toạ độ) là

A S 5 2 B S 6 C 25

2

S D S 12

Ta có: z1 OA3, z2 OB4, z1z2 AB5

OAB vuông tại O (vì 2 2 2

OA OB AB

3 4 6

OAB

S OA OB

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2z  6 4i với i là đơn vị ảo Phần ảo của số phức z là

A -4 B 4 C 2 D 6

Câu 2 Biết z ( 3i) (12 i 3) Phần thực, phần ảo của số phức z là

A Phần thực bằng -4 và phần ảo bằng 4 3i B Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 4 3i

C Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 4 3 D Phần thực bằng -4 và phần ảo bằng 4 3

Câu 3: Cho số phức z2a b 4  a b 6i với a b,  ,i là đơn vị ảo Biết rằng z là số thuần ảo

và z 2 i là số thực Giá trị của 2 2

S a b là

A S =13 B S =5 C S =20 D S = 36

Câu 4: Cho số phức z3a2a1i với a ,i là đơn vị ảo Biết rằng z2 là một số phức có phần

thực bằng 8, giá trị của a là

A 1; 9

5

a  a  B 1; 9

5

a a C 1; 9

5

a  a D 1; 9

5

a a  Câu 5: Số phức 2 2018

A 210091 B 210091 C 1 2 1009 D.  1009 

Câu 6 : Môđun của số phức 2 3 1 5

3

i



  

 là

A | | 170

7

z  B | | 170

4

z  C | | 170

5

z  D | | 170

3

z  Câu 7: Cho số phức z thoả mãn 2i z 10 5 i Hỏi điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

Trang 10

Trang 10

A Điểm Q B Điểm M C Điểm P D Điểm N

Câu 8: Biết điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Điểm biểu diễn số phức iz là

A M B N C P D Q

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z1  i 3 5i Môđun của z là

A | |z  17 B z 16 C z =17 D z 4

Câu 10: Cho số phức z thoả mãn z2 2 i   2 iz 2 7i Trong hình bên, điểm biểu diễn số phức 5

z i là

Bài tập nâng cao

Câu 11: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn | | 2z  z    7 3i z Môđun của

1

W  z z bằng

A |w| 445 B |w| 425 C |w| 37 D |w| 457

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn 2

(3 2 ) i z (2 i)  4 i Mô đun của số phức w (z 1)z bằng

A 2 B 10 C 5 D 4

Trang 11

Trang 11

Câu 13: Cho hai số phức z z thoả mãn 1, 2 2

(3 2 ) i z (2 i)  4 i Gọi M,N là các điểm biểu diễn cho

1

z và iz Biết 2 MON 60 Giá trị của 2 2

1 9 2

T  z  z là

A T = 18 B T24 3 C T 36 2 D T 36 3

Câu 14: Môđun của số phức z thỏa mãn: 3z z 2017(zz) 12 2018  i là

A z 2 B | |z  2017 C z 4 D | |z  2018 Câu 15: Cho hai số phứcz1 2 i z, 2 1 2i Môđun của số phúc

2016 1 2017 2

là

z W z

A w 5 B |w| 3 C w 3 D |w| 5

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn | | 2

2

z  và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z Biết rằng

trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w 1

iz

 là một trong bốn điểm M, N, P Q Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là

A Điểm Q B Điểm M C Điểm N D Điểm P

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z (2 3 )i z  1 9i Số phức w 5

iz

 có điểm biểu diễn là

điểm nào trong các điểm A, B, C, D hình bên?

A Điểm D B Điểm C C Điểm B D Điểm A

Câu 18: Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số

phức1 2 ;1 i  3i;1 3i;1 2 i Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I Tâm I biểu diễn số phức nào

sau đây?

A z 3 B z 1 3i C z1 D z 1

Câu 19: Cho các Số phức z z z thỏa mãn điều kiện 1, 2, 3 z1 4, z2 3, z3 2 và

1 2 ;1 i  3i;1 3i;1 2 i Giá trị của biểu thức P z1 z2 z3 bằng

Trang 12

Trang 12

Câu 20: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  z2 1 Khi đó z1z2 2 z1z22 bằng

ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-A 4-C 5-B 6-D 7-A 8-D 9-A 10-D

11-D 12-BD 13- 14-A 15-D 16-D 17-D 18-C 19-C 20-B

Dạng 3 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | | | 1|?

| 2 | | |

z i z

  



  

Đặt z x yi x y, ( ,  )

Ta có hệ phương trình:

1 ( 2)

x y

x y x y

  



Do đó z 1 i nên có một số phức thỏa mãn

Chọn A

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện |z z  z| 2 và z 2 ?

Ta có:|z z   z| 2 | |z 2    z| 2 |z 4∣ 2

Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn ( C ):1 x2y24 và (C ):2 (x4)2y24 Vì I I1 2 R1R l I21, 2là tâm của các đường tròn (C ),(1 C ))nên (2 C ) và (1 C ) tiếp xúc nhau 2

Suy ra: Có một số phức z thỏa yêu cầu

Chọn C

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z    6 i 2i 7i z ?

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức z

Đặt | |z  a 0,a , khi đó ta có

| z z    6 i 2i 7i z

(a 7 i z) 6a ai 2i

(a 7 i z) 6a (a 2)i

| (a 7 i) || | | 6z a (a 2)i

(a 7) 1 a 36a (a 2)

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,09 MB