MỆNH đề tập hợp tập hợp và các PHÉP TOÁN TRÊN tập hợp (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

· Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp· Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp · Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thứchoặc phương trình hệ phương trình từ đó tìm được kết

§3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tập hợp

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

 Cách xác định tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … } + Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu 

2 Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

 AÌ BÛ " Î( x AÞ xÎ B)

Các tính chất:

,

AÌ B BÌ CÞ AÌ C

 A= ÛB (AÌ B và BÌ A)Û "( x x, Î AÛ xÎ B)

3 Một số tập con của tập hợp số thực

Tập số thực (- ¥ +¥ ; ) ¡

Đoạn ; éëa bùû {xÎ ¡ |a£ £x b}

Khoảng (a b ; )

Khoảng (- ¥ ; a ) Khoảng (a ; +¥ )

| {xÏ ¡ a< <x b} | {xÎ ¡ x<a} {xÎ ¡ |a<x} 1

/ / / / / [ ] / / / /

/ / / / / ( ) / / / /

) / / / / / /

/ / / / / (

/ / / / / [ ) / / / /

|

 Giao của hai tập hợp: A BÇ Û { |x xÎ A và xÎ B}

 Hợp của hai tập hợp: A BÈ Û { |x xÎ A hoặc xÎ B}

 Hiệu của hai tập hợp: \A BÛ { |x xÎ A và xÏ B}

Phần bù: Cho BÌ A thì C B A =A B\ .

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Ta có x 4 4 x 4 x { 4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4}

x x

x x

é ê

=-ê =ëVậy A = -{ 6; 2; 1; 2- - }

b) Ta có A B = -\ { 2; 1- } với X có đúng hai phần tử khi đó X = -{ 2; 1- }.

Bài 1.31: Cho tập A = -{ 1;1; 5; 8}, B ="Gồm các ước số nguyên dương của 16"

a) Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử

· Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp

· Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp

· Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó

tìm được kết quả bài toán

Trong dạng toán này ta kí hiệu n X là số phần tử của tập ( ) X

1 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu?

Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 15- =15

Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10+15 15+ =40

Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn còn

24 bạn không biết chơi môn bóng nào cả Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng

Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán,

18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên

Lời giải:

Gọi a b c, , theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán;

x là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán

y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán

z là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử

Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên

Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏimôn Hóa Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai môn

5

18(S) 20(T)

25(V)

Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp

a) Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa

b) Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa

Lời giải:

Gọi , ,T L H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý,

Hóa B là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn

Theo giả thiết ta có n T( )=16,n L( )=15,n H( )=11,n B( )=11

b) Xét n T( I L)+n L T( I ) thì mỗi phần tử của tập hợp TÇ ÇL H được tính hai lần do đó số học

sinh chỉ giỏi đúng môn toán là

9(LT)

B A

1 8

6

10

3 5

4

Ví dụ 4 Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã

thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa

và gió: 5 ngày; Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh

Xét tổng n A( )+n B( )+n C( ): trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B

giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng n A( )+n B( )+n C( ) ta

Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày

Nhận xét: Với A B C, , là các tập bất kì khi đó ta luôn có

12

Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi các bộ môn : Anh , Toán , Văn Có 8 em giỏi Văn , 10 em giỏi

Anh , 12 em giỏi Toán , 3 em giỏi Văn và Toán , 4 em giỏi Toán và Anh , 5 em giỏi Văn và Anh ,

2 em giỏi cả ba môn Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em ?

Lời giải:

: Ký hiệu A là tập hợp những học sinh giỏi Anh, T là tập hợp những học sinh giỏi toán, V là tập

hợp những học sinh giỏi Văn

Theo giả thiết ta có:n( )V =8, n A( )=10 , n T =( ) 12,

Bài 1.34: Có 40 học sinh giỏi, mỗi em giỏi ít nhất một môn Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Toán,

20 em giỏi Anh Có 8 em giỏi đúng hai môn Văn, Toán; Có 7 em giỏi đúng hai môn Toán, Anh;

Có 6 em giỏi đúng hai môn Anh, Văn Hỏi: Có bao nhiêu em giỏi cả ba môn Văn, Toán, Anh?

B(37) A(48) y

b x 4

z

c a

Vậy có 14 em học giỏi cả ba môn

Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất

sắc như sau: Về môn Toán: 48 thí sinh; Về môn Vật lý: 37 thí sinh; Về môn Văn: 42 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Vật lý: 75 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Văn: 76 thí sinh; Về môn Vật lý hoặc môn Văn: 66 thí sinh; Về cả 3 môn: 4 thí sinh Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về:

Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai môn về môn Toán và

Dùng biểu đồ Ven đưa về hệ 6 phương trình 6 ẩn sau:

14

4 48

4 37

4 42

717262

a b c x y z

ì =ïï

ïï =ïï

ïï =ï

Û íï =ïï

ï =ïï

ïï =ïîĐS: a) 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn

b) 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 môn

c) 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn

DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON.

1 Phương pháp giải.

· Để chứng minh AÌ B

Lấy "x x, Î A ta đi chứng minh xÎ B

· Để chứng minh A=B ta đi chứng minh

" Î È Û ê ÎëVới xÎ A vì AÌ BÞ xÎ BÞ xÎ B DÈ

Suy ra A CÈ Ì B DÈ .

b) Ta có x x, A C x A x A

x C

ì Îïï

- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp ,A B lên trục số

- Biểu diễn các tập ,A B trên trục số(phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ)

- Phần không bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp ,A B

- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp ,A B lên trục số

- Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A), gạch bỏ phần thuộc tập B trên

trục số

- Phần không bị gạch bỏ chính là A B\ .

20

/ / / / ( )\/\/\/\]\/\/\/\

( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \

Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép toán tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình

bày kết quả vào

/ / / / ( ]/ / / / / /

c) Ta có éë- 4; 3 \ 2;1ù éû ë- ù éû ë= - 4; 2- ) (È 1; 3ùû

Biểu diễn tập đó trên trục số là

d) Ta có ¡ \ 1; 3é ù= - ¥ë û ( ;1) (È 3;+¥ )

Biểu diễn tập đó trên trục số là

Ví dụ 3: Cho các tập hợp A= - ¥( ;m) và B=éë3m- 1; 3m+3ùû Tìm m để

a) A BÇ =Æ

2

2

2

2

m £

b) BÌ A

2

2

2

2

m

<-c) AÌ C B¡

2

2

2

2

m >

d) C A B¡ Ç ¹ Æ

2

2

2

2

m

<-Lời giải:

Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ

a) Ta có A BÇ =Æ

1

2

2

m ³ là giá trị cần tìm

2

BÌ AÛ m+ < Ûm m

2

m <- là giá trị cần tìm

/ / /[ )/ / / /( ]/ / /

)[/ / / /](

)/ / / / / / / /

/ / / / /[ ]/ / / /

a) Viết tập A, B, C dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử

x x x

ì £ïï

ïï + ³íï

x x x

ì £ïï

ïï + ³íï

<-ê - >

21

m n

m n

é - ê

Bài 1.47: Cho hai tập khác rỗng :A=(m– 1; 4 , ùû B=(–2 ; 2m+ , với m2) Î  Xác định m để :

a) A BÇ ¹ Æ ;

Với điều kiện (*), ta có :

a)A BÇ ¹ Æ Û m– 1<2m+ Û2 m>- 3 So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu

Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó

Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối

2 Sai số tuyệt đối:

a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng

Nếu a là số gần đúng của a thì D = -a a a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

· Độ chính xác của một số gần đúng

Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được D Tuy nhiên ta có thể đánh giáa a

D không vượt quá một số dương d nào đó

Nếu D £ thì a d a a d a d - £ £ + , khi đó ta viết a a d= ±

d gọi là độ chính xác của số gần đúng.

b) Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là d là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , tức là a

· Nguyên tắc quy tròn các số như sau:

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên

phải nó bởi 0

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên

phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn

Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sô tuyệt đối của số qui

tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn

Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước:

Cho số gần đúng a với độ chính xác d Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn

đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.

4 Chữ số chắc (đáng tin)

Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d Trong số a , một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó

Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc Tất cả các chữ số đứng

bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc

5 Dạng chuẩn của số gần đúng

- Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ chắc chắn

- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong đó A là số nguyên , k là

hàng thấp nhất có chữ số chắc (k Î N) (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn)

Khi đó độ chính xác d =0, 5.10k

6 Kí hiệu khoa học của một số

Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng 10 , 1a n £ a <10,nÎ Z(Quy ước 10 1

10

n n

- = )

dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG VIẾT SỐ QUY TRÒN.

1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Độ dài của cái cầu bến thủy hai (Nghệ An) người ta đo được là 996m±0, 5m Sai số

tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu

Lời giải:

Ta có độ dài gần đúng của cầu là a =996 với độ chính xác d=0, 5

Vì sai số tuyệt đối D £ =a d 0, 5 nên sai số tương đối 0, 5 0,05%

996

a a

d

Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0,05%.

Ví dụ 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số gần đúng ,a b biết sai số tương đối của chúng.

a) a=123456,d a=0, 2%

30

Do đó ta phải quy tròn số a =2, 235 đến hàng phần trăm suy ra a » 2, 24.

b) Ta có 100<101<1000 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng nghìn

Do đó ta phải quy tròn số a =23748023 đến hàng nghìn suy ra a » 23748000

Ví dụ 4: a) Hãy viết giá trị gần đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn

biết 8=2,8284 Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp

b) Hãy viết giá trị gần đúng của 3 4

Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25450 không vượt quá 0,72.

Giá trị gần đúng của 3 2015 đến hàng trăm là 4 25500

Ta có 320154- 25500 =25500- 3 20154 £ 25500 25450,71- =49, 29

Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25500 không vượt quá 49, 29.

Ví dụ 5: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x=23m±0,01m và chiều rộng là

y= m± m Chứng minh rằng

a) Chu vi của ruộng là P=76m±0,04m

b) Diện tích của ruộng là S=345m±0, 3801m

Lời giải:

a) Giả sử x=23+a y, =15+ với 0,01b - £ a b, £ 0,01

32

Bài 1.48: Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ

hơn 10000 Hãy viết quy tròn của số trên

Bài 1.53: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây :

Bài 1.53 a) Vì 10 < 16 < 100 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng

trăm Nên ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm Vậy số quy tròn là 17700 (hay viết a » 17700)

34

b) Ta có 0,01 < 0,056 < 0,1 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần chục Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết

x = Cho các giá trị gần đúng của x là :0, 28 ; 0, 29 ; 0, 286 Hãy xác định sai

số tuyệt đối trong từng trường hợp ?

Theo giả thiết - 0, 5£ £u 0, 5 và - 0, 5£ £v 0, 5 nên - £2 2(u+ £ v) 2

1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết

a) Số người dân tỉnh Nghệ An là a =3214056 người với độ chính xác d =100 người

Cách viết dưới dạng chuẩn là 1, 3.

Ví dụ 2: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn

Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần

tốc độ ánh sáng Với máy bay đó trong một năm(giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học

Lời giải:

Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây

Vậy một năm có 24.365.60.60=31536000 giây

Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được

931536000.300=9, 4608.10 km

2 Bài tập luyện tập.

Bài 1.58: Một hình lập phương có thể tích V =180, 57cm3±0,05cm3 Xác định các chữ số chắc chắn của V

Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc

Do đó cách viết chuẩn của số A là 3

1034.10

Bài 1.60: Người ta đo chu vi của một khu vườn làP=213,7m±1, 2m Hãy đánh giá sai số tương

đối của phép đo trên và viết kết quả tìm được dưới dạng khoa học

d a

-Bài 1.61: Khi xây một hồ cá hình tròn người ta đo được đường kính của hồ là 8,52m với độ chính

xác đến 1cm Hãy đánh giá sai số tương đối của phép đo trên và viết kết quả tìm được dưới dạng khoa học

Lời giải:

38

1,174.10852

d a

-Bài 1.62: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đoa= 192, 55 m, với sai số tương đối không

vượt quá 0,3% Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a

Vậy cách viết chuẩn của a là 193 m (quy tròn đến hàng đơn vị)

Bài 1.63: Cho 3,141592< <p 3,141593 Hãy viết giá trị gần đúng của sốp dưới dạng chuẩn và

đánh giá sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này trong mỗi trường hợp sau :

Sai số tuyệt đối của số gần đúng là D =p 3,1416- p £ 0,000008

b) Vì có 6 chữ số chắc nên p » 3,14159 và sai số tuyệt đối của số gần đúng này là

3,14159 0,000003

c) Vì có 3 chữ số chắc nên p » 3,14 và Dp 3,14- p £ 0,001593.