Chuyên đề 5 : XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
*Ví dụ 1 : Cho đa thức P(x) = x3+ax2+bx+c và cho biết P(1) = 4 ; P( - 2) = 7 ' P(3) = 12 Tính P(30 )
Giải :
Cách 1 :
Vì P(x) = x3+ax2+bx+c và P(1) = 4 ; P( - 2) = 7 ; P(3) = 12 cho nên ( a; b; c) là nghiệm của
hệ phương trình :
−
= + +
= +
−
= + +
⇔
= + + +
= +
− +
− +
−
= + + +
15 c b a 9
15 c b 2 a
3 c b a 12
c 3 b 3 a 3
7 c ) 2 (
b ) 2 (
a ) 2 (
4 c 1 b 1 a 1
2 3
2 3
2 3
Dùng máy giải hệ phương trình trên ta thu được nghiệm của hệ là :
( a = - 1 ; b = - 5 ; c = 9 ) Lúc đó ta có đa thức : P(x) = x3 - x2 - 5x + 9
Tính : P(30) = 303 - 302 - 5.30 +9 = 25959
Cách 2 :
Do P(x) là đa thức bậc ba nên : P(x) = (x -1) (x +2) (x - 3) + Q(x)
Dễ dàng thấy được bậc của đa thức Q(x) không lớn hơn 2 nên đa thức P(x) có dạng : P(x) = (x -1) (x +2) (x - 3) + mx2 +nx + p
Theo đề ta lập được hệ phương trình :
= + +
= +
−
= + +
12 p n m 9
7 p n 2 m 4
4 p n m
Giải hệ phương trình : ( m = 1 ; n = 0 ; p = 3 )
Suy ra : P(x) = (x -1) (x +2) (x - 3) + x2+3
Do đó : P(30 ) = ( 30 -1 ) ( 30+2) ( 30 -3 ) + 302 + 3 = 25959
Cách 3 :
Dự đoán : P(1) = 4 = 12 + 3
P( - 2) = 7 = ( - 2)2 + 3 P(3) = 12 = 32 + 3 Xét thấy đa thức : P'(x) = P(x) - x2 - 3
Dễ thấy : P'(1) = P'( - 2 ) = P'(3) = 0
Suy ra : 1 ; - 2 ; 3 là nghiệm của đa thức P'( x)
Vì hệ số của x3 là 1 nên P'(x) được xác định như sau :
P'(x) = (x -1) (x +2) (x - 3) =P(x) - x3 - 3
Vì vậy : P(x ) = (x -1) (x +2) (x - 3) + x2+3
Từ đó ta tính được : P(30 ) = 29.32.27 + 302 + 3 = 25959
*Ví dụ 2 : Cho đa thức Q(x) = x4+ax3+bx2+cx+d và cho biết Q(1) = - 2 ; Q(2) = 1, Q(3) = 4 , Q(4) = 16 Tính Q(25 )
Giải :
Dự đoán : Q(1) = - 2 = 3.1 - 5 ; Q(2) = 1 = 3.2 - 5
Q(3) = 4 = 3.3 - 5 ; Q(4) = 16 = 3.4 - 5 Xét đa thức : Q'(x) = Q(x) - ( 3x - 5 )
Dễ thấy : Q'(1) = Q'(2) = Q'(3) = Q'(4) = 0
Suy ra 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức Q'(x)
Vì hệ số của x4 là 1 nên Q'(x) được xác định như sau :
Q'(x ) = (x -1) (x - 2) (x - 3) ( x - 4 )= Q(x) - ( 3x - 5 )
Vì vậy : Q(x) = (x -1) (x - 2) (x - 3)( x - 4 ) + 3x - 5
Từ đó ta tính được : Q(25 ) = 24.23.22.21 + 3.25 - 5 = 255094
Trang 2BÀI TẬP 1) Cho đa thức P(x) = ax3+bx2+cx+d và cho biết P(0) = 10 ; P( 1) = 12 , P(2) = 4, P(3) = 1 Xác định P(x ) và tính P( 4 ), P(5) , P(6) ?
2) Cho đa thức P(x) = x3+ax2+bx+c và cho biết P(1) = 4 ; P( - 2) = 7 ' P(3) = 12 Tính P(30 )
3) Cho đa thức P(x) = ax3+bx2+cx+d và cho biết P(0) = 4 ; P( 1) = 4 , P(2) = 14, P(3) = 40 Xác định P(x ) và tính P( 4 ), P(5) , P(6) ?
4) Cho đa thức Q(x) = x4+ ax3+ bx2+ cx+ d và cho biết Q(1) = - 5 ; Q( 2) = -3 , Q( 3) = - 1, Q(4)
= 1 Xác định Q(x) và Q(25)
5) Cho đa thức Q(x) = x4+ ax3+ bx2+ cx+ d và cho biết Q(1) = - 2 ; Q( 2) = 1 , Q( -3) = 6, Q(4)
= 13 Xác định Q(x) và Q(30)
6) Cho đa thức Q(x) = x4+ ax3+ bx2+ cx+ d và cho biết Q(1) = 4 ; Q(2) = 7 , Q( 3) = 24, Q( -4) = 29 Xác định Q(x) và Q(40)
7) Cho đa thức Q(x) = x4+ ax3+ bx2+ cx+ d và cho biết Q(1) = - 2 ; Q(-2) = 1 , Q( 3) = 4, Q( 4)
= 16 Xác định Q(x) và Q(25)
8) Cho đa thức Q(x) = x4+ mx3+ nx2+ px+ q và cho biết Q(1) = 5 ; Q(2) = 7 , Q( 3) = 9, Q( 4)
= 11 Xác định Q(x) và Q(10), Q(11), Q(12), Q(13),
9) Cho đa thức P(x) = x4+ ax3+ bx2+ cx+ d và cho biết P(1) = 1 ; P( 2 ) = 13 , P( 3) = 33, P( 4)
= 61 Xác định P(x) và P(5), P(6), P(7) P(8)
10) Cho đa thức P(x) = x4+ ax3+ bx2+ cx+ d và cho biết P(0) = 3 ; P( 1 ) = 19 , P( 2) = 89, P( 3) = 291 Xác định P(x) và P(4), P(5), P(6) P(7)
11) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e và cho biết P(1) = 1 ; P(-2)= 4 , P( 3) = 9, P( - 4) = 16 , P(5) = 25 Xác định P(x) và P(20) ?
12) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e và cho biết P(1) = 4 ; P(-2)= - 5, P( 3) = 10, P( - 4) = - 11 , P(5) = 14 Xác định P(x) và P(24) ?
13) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e và cho biết P(1) = -3 ; P(2)= 3 , P( 3) = 13, P( 4) = 27 , P(5) = 45 Xác định P(x) và P(29) ?
14) Cho đa thức P(x)= x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e và cho biết P( -1) = -2 ; P(2)= 4, P( 3) = 10, P( - 4) = 10 , P(5) = 28 Xác định P(x) và P(38) ?
15) Cho đa thức P(x)= x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ f và cho biết P( 1) = 1 ; P(2)= 4, P( 3) = 9, P( 4) =16 , P(5) = 25 Xác định P(x) và tính P(6); P(7); P(8); P(9) ?
16) Cho đa thức P(x)= x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e và cho biết P( 1) = 3 ; P(2)= 9, P( 3) = 19, P( 4) =33 , P(5) = 51 Xác định P(x) và tính P(6); P(7); P(8); P(9)?
Trang 317) Cho đa thức P(x)= x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e và cho biết P( 1) = 4 ; P(2)= 6, P( 3) = 8, P( 4) =10 , P(5) = 12 Xác định P(x) và tính P(11); P(12); P(13); P(14)?
18) Cho đa thức P(x)= x5 + ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e và cho biết P( 1) = 7 ; P(2)= 16, P( 3) = 31, P( 4) =52 , P(5) = 79 Xác định P(x) và tính P(6); P(7); P(8); P(9); P(10), P(11) ?