Về phương pháp lặp krasnoselskii mann cho ánh xạ không giãn trong không gian hilbert và áp dụng

B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n trong khæng gian Hilbert hay khæng gian Banach l mët tr÷íng hñpri¶ng cõa b i to¡n ch§p nhªn lçi: "T¼m mët ph¦n tû t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019

B£ng kþ hi»u 1

1 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng

1.1 nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 5

1.1.1 Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert 5

1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert 6

1.1.3 nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u trong khæng gian Hilbert 9

1.2 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n 10

1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng 10

1.2.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n 11

2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 14 2.1 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n 14 2.1.1 B i to¡n v  ph÷ìng ph¡p 15

2.1.2 Sü hëi tö 15

2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p kiºu KrasnoselskiiMann suy rëng 19

2.2.1 Hëi tö y¸u 20

2.2.2 Hëi tö m¤nh 25

2.3 Ùng döng 30

2.3.1 Ùng döng cho ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford 30

2.3.2 Ùng döng ph÷ìng ph¡p chi¸u lu¥n phi¶n John von Neumann 32

i

K¸t luªn 35

lim infn→∞xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn}

xn → x0 d¢y {xn} hëi tö m¤nh v· x0

xn * x0 d¢y {xn} hëi tö y¸u v· x0

Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

1

B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n trong khæng gian Hilbert hay khæng gian Banach l  mët tr÷íng hñpri¶ng cõa b i to¡n ch§p nhªn lçi: "T¼m mët ph¦n tû thuëc giao kh¡c réngcõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c tªp con lçi v  âng {Ci}i∈I cõa khænggian Hilbert H hay khæng gian Banach E" vîi I l  tªp ch¿ sè B i to¡n n y

câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷: xû l½ £nh, khæi phöct½n hi»u, vªt lþ, y håc,

Khi Ci = Fix(Ti), tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti vîi

i = 1, 2, , N, ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ÷ñc · xu§t t¼m iºm b§t ëngchung cõa hå ¡nh x¤ khæng gi¢n {Ti}N

i=1 düa tr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p l°p

cê iºn nêi ti¸ng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Halpern,ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa, ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii Vi»c c£i ti¸n v 

mð rëng c¡c c¡c ph÷ìng ph¡p n y cho c¡c lîp b i to¡n li¶n quan ang l  ·

t i thu hót ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v ngo i n÷îc

D÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Tr¦n Xu¥n Quþ, tæi chån · t i: "V· ph÷ìngph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gianHilbert v  ¡p döng" cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh Möc ti¶u cõa luªnv«n l  tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc H tr¶n cì sð ph÷ìng ph¡p l°pKrasnoselskii v  ph÷ìng ph¡p l°p Mann Nëi dung luªn v«n ÷ñc tr¼nh b ytrong hai ch÷ìng Cö thº nh÷ sau:

Ch÷ìng 1 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trongkhæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian Hilbertthüc H, tr¼nh b y v· ¡nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u, ph²p chi¸u m¶tric

2

trong khæng gian Hilbert còng mët sè t½nh ch§t, giîi thi»u v· b i to¡n iºmb§t ëng v  mët sè ph÷ìng ph¡p l°p cê iºn t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc H.

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khænggi¢n trong khæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t

ëng cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Tr¼nh b y chùng minhc¡c ành lþ v· sü hëi y¸u, hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p còng mët sè v½ minhhåa cho i·u ki»n °t ra cõa c¡c ph÷ìng ph¡p.Mët v i ùng döng cõa ph÷ìngph¡p l°p KrasnoselskiiMann èi vîi ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford

v  ph²p chi¸u luªn phi¶n John von Neumann công ÷ñc tr¼nh b y trongch÷ìng n y

Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤ihåc Th¡i Nguy¶n, em luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  ëng vi¶ncõa c¡c th¦y cæ trong Ban Gi¡m hi»u, pháng  o t¤o, Khoa To¡n  Tin.Vîi b£n luªn v«n n y, em mong muèn ÷ñc gâp mët ph¦n nhä cæng sùc cõam¼nh v o vi»c g¼n giú v  ph¡t huy v´ µp, sü h§p d¨n cho nhúng ành lþto¡n håc vèn d¾ ¢ r§t µp ¥y công l  mët cì hëi cho em gûi líi tri ¥ntîi tªp thº c¡c th¦y cæ gi£ng vi¶n cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håcTh¡i Nguy¶n nâi chung v  Khoa To¡n  Tin nâi ri¶ng, ¢ truy·n thö cho

em nhi·u ki¸n thùc khoa håc quþ b¡u trong thíi gian em ÷ñc l  håc vi¶ncõa tr÷íng

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng THSC QuangTrung, TP Y¶n B¡i còng to n thº c¡c anh chà em çng nghi»p ¢ t¤o i·uki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong thíi gian i håc Cao håc; c£m ìn c¡c anhchà em håc vi¶n lîp Cao håc To¡n K11 v  b¤n b± çng nghi»p ¢ trao êi,

ëng vi¶n v  kh½ch l» t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n t¤itr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n

°c bi»t em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o TS Tr¦nXu¥n Quþ ¢ luæn quan t¥m ¥n c¦n ch¿ b£o, ëng vi¶n kh½ch l», gióp ï tªnt¼nh v  gâp þ s¥u s­c cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp công nh÷ thüchi»n · t i Ch°ng ÷íng vøa qua s³ l  nhúng k¿ ni»m ¡ng nhî v  ¦y þngh¾a èi vîi c¡c anh chà em håc vi¶n lîp K11 nâi chung v  vîi b£n th¥n em

nâi ri¶ng Xin ch¥n th nh c£m ìn t§t c£ nhúng ng÷íi th¥n y¶u ¢ gióp ï,

çng h nh còng em tr¶n ch°ng ÷íng vøa qua Mët l¦n núa, em xin tr¥ntrång c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 22 th¡ng 4 n«m 2019

Håc vi¶n

Nguy¹n Thà Ngåc Mai

B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y giîi thi»u v· mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert, ¡nh x¤khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u, °c tr÷ng cõa ph²p chi¸u m¶tric trong khænggian Hilbert còng mët sè ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc

tø c¡c t i li»u [2], [3], [5], [8] v  mët sè t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â

1.1 nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert

Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng h., i v  chu©nk.k, t÷ìng ùng Cho {xn}l  mët d¢y trong khæng gian H Ta kþ hi»u xn * xngh¾a l  d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n x v  xn → x ngh¾a l  d¢y {xn} hëi tö m¤nh

¸n x

1.1.1 Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert

Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i ành ngh¾a v· sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbertthüc H

ành ngh¾a 1.1.1 D¢y {xn} trong khæng gian Hilbert H ÷ñc gåi l  hëi

|hen, yi|2 < kyk2 < ∞.

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tùc l  en * 0 Tuy nhi¶n, {en} khæng hëi tö m¤nhv· 0, v¼ kenk = 1 vîi måi n > 1

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert thüc H ÷ñc tr¼nh b y trong bê

· d÷îi ¥y

Bê · 1.1.3 (xem [2]) Cho H khæng gian Hilbert thüc Khi â:

(i) kx + yk2 6 kxk2 + 2hx + y, yi ∀x, y ∈ H

(ii) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi vîi måi x, y ∈ H;

(iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2+ (1 − t)kyk2− t(1 − t)kx − yk2 vîi måi t ∈ [0, 1]

v  måi x, y ∈ H

Bê · 1.1.4 (xem [2]) Måi d¢y bà ch°n trong khæng gian gian Hilbert ·uchùa mët d¢y con hëi tö y¸u

1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert

M»nh · 1.1.5 (xem [2]) Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réng trongkhæng gian Hilbert thüc H Khi â vîi méi x ∈ H, tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû

Pcx ∈ C sao cho

kx − PCxk ≤ kx − yk vîi måi y ∈ C (1.1)Chùng minh Thªt vªy, °t d = inf

u∈Ckx − uk Khi â, tçn t¤i d¢y {un} ⊂ Csao cho kx − unk → d khi n → ∞ Tø â,

kun − umk2 = k(x − un) − (x − um)k2

= 2kx − unk2 + 2kx − umk2 − 4 x − un+ um

2

2

≤ 2(kx − unk2+ kx − umk2) − 4d2 → 0,khi n, m → ∞ Do â d¢y {un} l  d¢y Cauchy trong khæng gian Hilbertthüc H Suy ra tçn t¤i u = lim

Sau ¥y l  mët v½ dö v· to¡n tû chi¸u

V½ dö 1.1.7 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y} vîi u 6= 0 Khi â ph²p chi¸um¶tric l¶n C cho bði

hx − PCx, PCx − yi > 0 vîi måi x ∈ H v  y ∈ C (1.2)Chùng minh Gi£ sû PC l  ph²p chi¸u m¶tric Khi â vîi måi x ∈ H, y ∈ C

v  måi t ∈ (0, 1), ta câ

ty + (1 − t)PCx ∈ C

Do â, tø ành ngh¾a cõa ph²p chi¸u m¶tric, suy ra

kx − PCxk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PCxk2 ∀t ∈ (0, 1)

B§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi

kx − PCxk2 ≤ kx − PCxk2 − 2thx − PCx, y − PCxi + t2ky − PCxk2,vîi måi t ∈ (0, 1) Tø â,

H» qu£ 1.1.9 (xem [3]) Cho C l  mët tªp con lçi âng cõa khæng gianHilbert H v  PC l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C Khi â, vîi måi x, y ∈ H,

1.1.3 nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u trong khæng gian

Sau ¥y l  ành ngh¾a v· to¡n tû ìn i»u

ành ngh¾a 1.1.11 (xem [3]) Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réngtrong khæng gian Hilbert thüc H To¡n tû A : C → H ÷ñc gåi l 

(i) ìn i»u tr¶n C n¸u hA(x) − A(y), x − yi > 0 ∀x, y ∈ C;

ìn i»u ch°t tr¶n C n¸u d§u "=" cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ch¿ x£y rakhi x = y;

(ii) ìn i»u ·u tr¶n C n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£mvîi t > 0, δ(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t

hA(x) − A(y), x − yi > ηkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ C

Kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u ÷ñc tr¼nh b y trong ành ngh¾a 1.1.11(i)cán ÷ñc mæ t£ düa tr¶n ç thà nh÷ sau

ành ngh¾a 1.1.12 (xem [3]) To¡n tû a trà A : H → 2H ÷ñc gåi l  ìn

i»u n¸u

hu − v, x − yi > 0 ∀x, y ∈ H, u ∈ A(x), v ∈ A(y)

To¡n tû A : H → 2H ÷ñc gåi l  ìn i»u cüc ¤i n¸u ç thà

Gr(A) := {(x, u) ∈ H × H : u ∈ Ax}

cõa A khæng bà chùa thüc sü trong ç thà cõa b§t ký mët to¡n tû ìn i»u

n o kh¡c trong H

Chó þ 1.1.13 To¡n tû A l  ìn i»u cüc ¤i n¸u v  ch¿ n¸u vîi (x, u) ∈

H × H, hu − v, x − yi ≥ 0 vîi (y, v) ∈ Gr(A) suy ra u ∈ A(x)

Cho A l  to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh v  L-li¶n töc Lipschitz tø C v o H v 

NCx l  nân chu©n t­c tø C t¤i x ∈ C, ngh¾a l 

Khi â B l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

Bê · 1.1.14 (i) Gi£ sû A l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, khi â (t−1

v  A + B l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

1.2 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n

1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng

Trong möc n y ta x²t b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Hilbertthüc H

ành ngh¾a 1.2.1 Cho C l  tªp con kh¡c réng cõa H v  ¡nh x¤ T : C → C

iºm x ∈ C ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T n¸u T x = x

Kþ hi»u tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T l  Fix(T ), ngh¾a l 

Fix(T ) := x ∈ C : T x = x

M»nh · 1.2.2 Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khænggian Hilbert thüc H v  T : C → H l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n Khi â,Fix(T ) l  mët tªp con lçi v  âng trong H.

Chùng minh (a) Gi£ sû Fix(T ) 6= ∅ Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra Fix(T ) l  tªp âng.Thªt vªy, v¼ T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n n¶n T li¶n töc tr¶n C Gi£ sû {xn}l  mëtd¢y b§t ký trong Fix(T ) thäa m¢n xn → x, khi n → ∞ V¼ {xn} ⊂ Fix(T ),n¶n

kT xn− xnk = 0 ∀n ≥ 1

Tø t½nh li¶n töc cõa chu©n, cho n → ∞, ta nhªn ÷ñc kT x − xk = 0, tùc l 

x ∈ Fix(T ) Do â, Fix(T ) l  tªp âng

(b) Ti¸p theo, ta ch¿ ra t½nh lçi cõa Fix(T ) Gi£ sû Fix(T ) 6= ∅ v  gi£ sû

x, y ∈ Fix(T ) Vîi λ ∈ [0, 1], °t z = λx + (1 − λ)y Khi â,

Suy ra T z = z v  do â z ∈ Fix(T ) Vªy Fix(T ) l  mët tªp lçi

B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:Cho T : C → C l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng kh¡c réng C cõakhæng gian Hilbert thüc H v o ch½nh nâ vîi Fix(T ) 6= ∅

Æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng, n¸u d¢y {αn} ÷ñc chån thäa m¢n

Ph÷ìng ph¡p l°p cõa B Halpern ÷ñc · xu§t n«m 1967 d¤ng:

xn+1 = αnu + (1 − αn)T (xn), n > 0, (1.6)trong â u, x0 ∈ C v  T l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng C cõakhæng gian Hilbert H v o C Æng ¢ chùng minh n¸u αn = n−α, α ∈ (0, 1)th¼ d¢y {xn} x¡c ành bði (1.6) s³ hëi tö m¤nh v· mët iºm b§t ëng cõa

¡nh x¤ T

N«m 1977, P.L Lions ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa d¢y {xn} v·mët iºm b§t ëng cõa T trong khæng gian Hilbert n¸u d¢y sè {αn} thäam¢n c¡c i·u ki»n sau:

(C1) lim

n→∞αn = 0,(C2)

trong â {αn} v  {βn} l  c¡c d¢y sè thüc trong o¤n [0, 1].

Chó þ 1.2.3 Trong tr÷íng hñp βn = 1 vîi måi n th¼ ph÷ìng ph¡p l°pIshikawa (1.7) trð th nh ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.5)

Ph÷ìng ph¡p l°p

KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤

khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºmb§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Möc 2.1 tr¼nh

b y ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n Möc 2.2 tr¼nh b y sü hëi tö y¸u v  hëi tö m¤nh cõa ph÷ìngph¡p l°p KrasnoselskiiMann suy rëng Möc 2.3 tr¼nh b y ùng döng cõaph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n

cì sð têng hñp ki¸n thùc trong t i li»u [4] v  [6]

khi â d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T , ð ¥y T : C → C

l  ¡nh x¤ khæng gi¢n vîi C ⊆ H l  tªp lçi âng kh¡c réng

Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann khæng óngtrong tr÷íng hñp têng qu¡t

2.1.1 B i to¡n v  ph÷ìng ph¡p

Trong möc n y ta tr¼nh b y mët k¸t qu£ cõa A Moudafi trong [6] v·ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n

T t÷ìng ùng vîi ¡nh x¤ khæng gi¢n P B i to¡n °t ra nh÷ sau:

T¼m ¯x ∈ Fix(T ) sao cho h¯x − P (¯x), ¯x − xi 6 0 ∀x ∈ Fix(T ), (2.3)ngh¾a l , 0 ∈ (I − P )¯x + NFix(T )x¯, trong â Fix(T ) = {¯x ∈ D; ¯x = T (¯x)} l tªp c¡c iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T : D → D v  D l  tªp conlçi âng cõa khæng gian Hilbert H

· mð rëng ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann, ta x²t d¢y l°p

xn+1 = (1 − αn)xn+ αn(σnP xn + (1 − σn)T xn), vîi n ≥ 0, (2.4)

ð ¥y x0 ∈ D, c¡c d¢y {σn} v  {αn} ⊂ (0, 1)

2.1.2 Sü hëi tö

Nhªn x²t 2.1.1 (a) N¸u T : D → D l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n D th¼

A = I − T l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i tr¶n D, çng thíi l  to¡n tû1/2-ìn i»u m¤nh ng÷ñc, ð ¥y I l  ¡nh x¤ çng nh§t cõa khæng gianHilbert thüc H

(b) Hìn núa T l  nûa âng tr¶n D theo ngh¾a, n¸u d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n

x trong D v  d¢y {xnT xn} hëi tö m¤nh ¸n 0 th¼ x l  iºm b§t ëngcõa ¡nh x¤ T

Bê · 2.1.2 (xem [6] v  t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â) Cho {an} l  d¢yc¡c sè thùc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n:

an+1 6 (1 − αn)an+ αnσn+ γn, n ≥ 1

trong â

Khi â αn → 0 khi n → ∞.

Bê · 2.1.3 (xem [6] v  t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â) Gi£ sû {αn} v {βn} l  d¢y c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n

∞

X

n=0

αn < ∞, βn+1 6 αn + βn vîi måi n = 0, 1,

Khi â d¢y {βn} hëi tö

Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p (2.4) ÷ñc tr¼nh b y trong ành lþ sau ¥y

ành lþ 2.1.4 (xem [6]) D¢y {xn} x¡c ành bði cæng thùc (2.4) hëi tö tîi

iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T : D → D vîi c¡c d¢y sè {σn} v {αn} thäa m¢n i·u ki»n

Chùng minh L§y ¯x ∈ FixT v  °t Tσ n = σnP + (1 − σn)T Tø cæng thùc(2.4), ta câ

||xn+1− ¯x|| 6 (1 − αn)||xn− ¯x|| + αn||Tσnxn− T ¯x||

6 ||xn− ¯x|| + αn||Tσ (¯x) − T ¯x||

M°t kh¡c vîi måi n ta câ

||xn+1− xn|| = αn||Tσ nxn − xn|| 6 αnσn||P xn− T xn|| + αn||xn− T xn||,n¶n d¢y (xn) ti»m cªn ch½nh quy, ngh¾a l  ta nhªn ÷ñc

Suy ra ¯x l  nghi»m b i to¡n (2.3) B¥y gií chùng minh tçn t¤i khæng qu¡mët iºm tö y¸u tø giîi h¤n (2.5) Gi£ sû x∗ l  iºm tö y¸u kh¡c cõa d¢y{xn}, ta s³ chùng minh x∗ = ¯x Tø

||xn− x∗||2 = ||xn− ¯x||2 + ||¯x − x∗||2 + 2hxn− ¯x, ¯x − x∗i, (2.7)

ta th§y r¬ng giîi h¤n cõa d¢y {hxn− ¯x, ¯x − x∗i} ph£i tçn t¤i v  b¬ng 0 bðiv¼ ¯x l  iºm tö y¸u cõa d¢y {xn} V¼ vªy, giîi h¤n

l(x∗) = l(¯x) + ||¯x − x∗||2.Thay vai trá cõa x∗ v  ¯x ta công câ

l(¯x) = l(x∗) + ||¯x − x∗||2

i·u n y suy ra x∗ = ¯x Ta câ i·u ph£i chùng minh

K¸t qu£ ti¸p theo ÷ñc ch¿ ra bði Yao v  Liou (2008), ch¿ ra t½nh hëi töy¸u, t½nh ti»m cªn ch½nh quy cõa d¢y l°p KrasnoselskiMann

ành lþ 2.1.5 (Yao v  Liou (2008)) Cho D l  tªp con lçi âng kh¡c réngcõa khæng gian Hilbert H Gi£ sû P, T : D → D l  c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢nthäa m¢n F ix(T ) 6= ∅ X²t d¢y {xn} x¡c ành nh÷ trong (2.4) X²t c¡c d¢y{αn} v  {σn} c¡c sè thüc n«m trong kho£ng (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n(a)

(a) {xn} hëi tö y¸u tîi iºm b§t ëng cõa T ,

(b) {xn} ti»m cªn ch½nh quy, tùc l  lim

n→∞kxn+1− xnk = 0

2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p kiºu KrasnoselskiiMann suy rëng

Trong möc n y, ta x²t ph÷ìng ph¡p l°p inexact KrasnoselskiiMann suyrëng cõa C Kanzow v  I Shehu trong [4]