(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng

(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019

B£ng kþ hi»u 1

1 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng

1.1 nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 5

1.1.1 Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert 5

1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert 6

1.1.3 nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u trong khæng gian Hilbert 9

1.2 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n 10

1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng 10

1.2.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n 11

2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 14 2.1 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n 14 2.1.1 B i to¡n v  ph÷ìng ph¡p 15

2.1.2 Sü hëi tö 15

2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p kiºu KrasnoselskiiMann suy rëng 19

2.2.1 Hëi tö y¸u 20

2.2.2 Hëi tö m¤nh 25

2.3 Ùng döng 30

2.3.1 Ùng döng cho ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford 30

2.3.2 Ùng döng ph÷ìng ph¡p chi¸u lu¥n phi¶n John von Neumann 32

i

K¸t luªn 35

lim infn→∞xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn}

xn → x0 d¢y {xn} hëi tö m¤nh v· x0

xn * x0 d¢y {xn} hëi tö y¸u v· x0

Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

1

B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n trong khæng gian Hilbert hay khæng gian Banach l  mët tr÷íng hñpri¶ng cõa b i to¡n ch§p nhªn lçi: "T¼m mët ph¦n tû thuëc giao kh¡c réngcõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c tªp con lçi v  âng {Ci}i∈I cõa khænggian Hilbert H hay khæng gian Banach E" vîi I l  tªp ch¿ sè B i to¡n n y

câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷: xû l½ £nh, khæi phöct½n hi»u, vªt lþ, y håc,

Khi Ci = Fix(Ti), tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti vîi

i = 1, 2, , N, ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ÷ñc · xu§t t¼m iºm b§t ëngchung cõa hå ¡nh x¤ khæng gi¢n {Ti}N

i=1 düa tr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p l°p

cê iºn nêi ti¸ng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Halpern,ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa, ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii Vi»c c£i ti¸n v 

mð rëng c¡c c¡c ph÷ìng ph¡p n y cho c¡c lîp b i to¡n li¶n quan ang l  ·

t i thu hót ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v ngo i n÷îc

D÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Tr¦n Xu¥n Quþ, tæi chån · t i: "V· ph÷ìngph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gianHilbert v  ¡p döng" cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh Möc ti¶u cõa luªnv«n l  tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc H tr¶n cì sð ph÷ìng ph¡p l°pKrasnoselskii v  ph÷ìng ph¡p l°p Mann Nëi dung luªn v«n ÷ñc tr¼nh b ytrong hai ch÷ìng Cö thº nh÷ sau:

Ch÷ìng 1 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trongkhæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian Hilbertthüc H, tr¼nh b y v· ¡nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u, ph²p chi¸u m¶tric

2

trong khæng gian Hilbert còng mët sè t½nh ch§t, giîi thi»u v· b i to¡n iºmb§t ëng v  mët sè ph÷ìng ph¡p l°p cê iºn t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc H.

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khænggi¢n trong khæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t

ëng cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Tr¼nh b y chùng minhc¡c ành lþ v· sü hëi y¸u, hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p còng mët sè v½ minhhåa cho i·u ki»n °t ra cõa c¡c ph÷ìng ph¡p.Mët v i ùng döng cõa ph÷ìngph¡p l°p KrasnoselskiiMann èi vîi ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford

v  ph²p chi¸u luªn phi¶n John von Neumann công ÷ñc tr¼nh b y trongch÷ìng n y

Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤ihåc Th¡i Nguy¶n, em luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  ëng vi¶ncõa c¡c th¦y cæ trong Ban Gi¡m hi»u, pháng  o t¤o, Khoa To¡n  Tin.Vîi b£n luªn v«n n y, em mong muèn ÷ñc gâp mët ph¦n nhä cæng sùc cõam¼nh v o vi»c g¼n giú v  ph¡t huy v´ µp, sü h§p d¨n cho nhúng ành lþto¡n håc vèn d¾ ¢ r§t µp ¥y công l  mët cì hëi cho em gûi líi tri ¥ntîi tªp thº c¡c th¦y cæ gi£ng vi¶n cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håcTh¡i Nguy¶n nâi chung v  Khoa To¡n  Tin nâi ri¶ng, ¢ truy·n thö cho

em nhi·u ki¸n thùc khoa håc quþ b¡u trong thíi gian em ÷ñc l  håc vi¶ncõa tr÷íng

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng THSC QuangTrung, TP Y¶n B¡i còng to n thº c¡c anh chà em çng nghi»p ¢ t¤o i·uki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong thíi gian i håc Cao håc; c£m ìn c¡c anhchà em håc vi¶n lîp Cao håc To¡n K11 v  b¤n b± çng nghi»p ¢ trao êi,

ëng vi¶n v  kh½ch l» t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n t¤itr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n

°c bi»t em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o TS Tr¦nXu¥n Quþ ¢ luæn quan t¥m ¥n c¦n ch¿ b£o, ëng vi¶n kh½ch l», gióp ï tªnt¼nh v  gâp þ s¥u s­c cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp công nh÷ thüchi»n · t i Ch°ng ÷íng vøa qua s³ l  nhúng k¿ ni»m ¡ng nhî v  ¦y þngh¾a èi vîi c¡c anh chà em håc vi¶n lîp K11 nâi chung v  vîi b£n th¥n em

nâi ri¶ng Xin ch¥n th nh c£m ìn t§t c£ nhúng ng÷íi th¥n y¶u ¢ gióp ï,

çng h nh còng em tr¶n ch°ng ÷íng vøa qua Mët l¦n núa, em xin tr¥ntrång c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 22 th¡ng 4 n«m 2019

Håc vi¶n

Nguy¹n Thà Ngåc Mai

B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y giîi thi»u v· mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert, ¡nh x¤khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u, °c tr÷ng cõa ph²p chi¸u m¶tric trong khænggian Hilbert còng mët sè ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc

tø c¡c t i li»u [2], [3], [5], [8] v  mët sè t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â

1.1 nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert

Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng h., i v  chu©nk.k, t÷ìng ùng Cho {xn}l  mët d¢y trong khæng gian H Ta kþ hi»u xn * xngh¾a l  d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n x v  xn → x ngh¾a l  d¢y {xn} hëi tö m¤nh

¸n x

1.1.1 Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert

Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i ành ngh¾a v· sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbertthüc H

ành ngh¾a 1.1.1 D¢y {xn} trong khæng gian Hilbert H ÷ñc gåi l  hëi

|hen, yi|2 < kyk2 < ∞.

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tùc l  en * 0 Tuy nhi¶n, {en} khæng hëi tö m¤nhv· 0, v¼ kenk = 1 vîi måi n > 1

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert thüc H ÷ñc tr¼nh b y trong bê

· d÷îi ¥y

Bê · 1.1.3 (xem [2]) Cho H khæng gian Hilbert thüc Khi â:

(i) kx + yk2 6 kxk2 + 2hx + y, yi ∀x, y ∈ H

(ii) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi vîi måi x, y ∈ H;

(iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2+ (1 − t)kyk2− t(1 − t)kx − yk2 vîi måi t ∈ [0, 1]

v  måi x, y ∈ H

Bê · 1.1.4 (xem [2]) Måi d¢y bà ch°n trong khæng gian gian Hilbert ·uchùa mët d¢y con hëi tö y¸u

1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert

M»nh · 1.1.5 (xem [2]) Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réng trongkhæng gian Hilbert thüc H Khi â vîi méi x ∈ H, tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû

Pcx ∈ C sao cho

kx − PCxk ≤ kx − yk vîi måi y ∈ C (1.1)Chùng minh Thªt vªy, °t d = inf

u∈Ckx − uk Khi â, tçn t¤i d¢y {un} ⊂ Csao cho kx − unk → d khi n → ∞ Tø â,

kun − umk2 = k(x − un) − (x − um)k2

= 2kx − unk2 + 2kx − umk2 − 4 x − un+ um

2

2

≤ 2(kx − unk2+ kx − umk2) − 4d2 → 0,khi n, m → ∞ Do â d¢y {un} l  d¢y Cauchy trong khæng gian Hilbertthüc H Suy ra tçn t¤i u = lim

Sau ¥y l  mët v½ dö v· to¡n tû chi¸u

V½ dö 1.1.7 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y} vîi u 6= 0 Khi â ph²p chi¸um¶tric l¶n C cho bði

hx − PCx, PCx − yi > 0 vîi måi x ∈ H v  y ∈ C (1.2)Chùng minh Gi£ sû PC l  ph²p chi¸u m¶tric Khi â vîi måi x ∈ H, y ∈ C

v  måi t ∈ (0, 1), ta câ

ty + (1 − t)PCx ∈ C

Do â, tø ành ngh¾a cõa ph²p chi¸u m¶tric, suy ra

kx − PCxk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PCxk2 ∀t ∈ (0, 1)

B§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi

kx − PCxk2 ≤ kx − PCxk2 − 2thx − PCx, y − PCxi + t2ky − PCxk2,vîi måi t ∈ (0, 1) Tø â,

H» qu£ 1.1.9 (xem [3]) Cho C l  mët tªp con lçi âng cõa khæng gianHilbert H v  PC l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C Khi â, vîi måi x, y ∈ H,

1.1.3 nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u trong khæng gian

Sau ¥y l  ành ngh¾a v· to¡n tû ìn i»u

ành ngh¾a 1.1.11 (xem [3]) Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réngtrong khæng gian Hilbert thüc H To¡n tû A : C → H ÷ñc gåi l 

(i) ìn i»u tr¶n C n¸u hA(x) − A(y), x − yi > 0 ∀x, y ∈ C;

ìn i»u ch°t tr¶n C n¸u d§u "=" cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ch¿ x£y rakhi x = y;

(ii) ìn i»u ·u tr¶n C n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£mvîi t > 0, δ(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t

hA(x) − A(y), x − yi > ηkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ C

Kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u ÷ñc tr¼nh b y trong ành ngh¾a 1.1.11(i)cán ÷ñc mæ t£ düa tr¶n ç thà nh÷ sau

ành ngh¾a 1.1.12 (xem [3]) To¡n tû a trà A : H → 2H ÷ñc gåi l  ìn

i»u n¸u

hu − v, x − yi > 0 ∀x, y ∈ H, u ∈ A(x), v ∈ A(y)

To¡n tû A : H → 2H ÷ñc gåi l  ìn i»u cüc ¤i n¸u ç thà

Gr(A) := {(x, u) ∈ H × H : u ∈ Ax}

cõa A khæng bà chùa thüc sü trong ç thà cõa b§t ký mët to¡n tû ìn i»u

n o kh¡c trong H

Chó þ 1.1.13 To¡n tû A l  ìn i»u cüc ¤i n¸u v  ch¿ n¸u vîi (x, u) ∈

H × H, hu − v, x − yi ≥ 0 vîi (y, v) ∈ Gr(A) suy ra u ∈ A(x)

Cho A l  to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh v  L-li¶n töc Lipschitz tø C v o H v 

NCx l  nân chu©n t­c tø C t¤i x ∈ C, ngh¾a l 

Khi â B l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

Bê · 1.1.14 (i) Gi£ sû A l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, khi â (t−1

v  A + B l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

1.2 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n

1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng

Trong möc n y ta x²t b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Hilbertthüc H

ành ngh¾a 1.2.1 Cho C l  tªp con kh¡c réng cõa H v  ¡nh x¤ T : C → C

iºm x ∈ C ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T n¸u T x = x

Kþ hi»u tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T l  Fix(T ), ngh¾a l 

Fix(T ) := x ∈ C : T x = x

M»nh · 1.2.2 Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khænggian Hilbert thüc H v  T : C → H l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n Khi â,Fix(T ) l  mët tªp con lçi v  âng trong H.

Chùng minh (a) Gi£ sû Fix(T ) 6= ∅ Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra Fix(T ) l  tªp âng.Thªt vªy, v¼ T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n n¶n T li¶n töc tr¶n C Gi£ sû {xn}l  mëtd¢y b§t ký trong Fix(T ) thäa m¢n xn → x, khi n → ∞ V¼ {xn} ⊂ Fix(T ),n¶n

kT xn− xnk = 0 ∀n ≥ 1

Tø t½nh li¶n töc cõa chu©n, cho n → ∞, ta nhªn ÷ñc kT x − xk = 0, tùc l 

x ∈ Fix(T ) Do â, Fix(T ) l  tªp âng

(b) Ti¸p theo, ta ch¿ ra t½nh lçi cõa Fix(T ) Gi£ sû Fix(T ) 6= ∅ v  gi£ sû

x, y ∈ Fix(T ) Vîi λ ∈ [0, 1], °t z = λx + (1 − λ)y Khi â,

Suy ra T z = z v  do â z ∈ Fix(T ) Vªy Fix(T ) l  mët tªp lçi

B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:Cho T : C → C l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng kh¡c réng C cõakhæng gian Hilbert thüc H v o ch½nh nâ vîi Fix(T ) 6= ∅

Æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng, n¸u d¢y {αn} ÷ñc chån thäa m¢n

Ph÷ìng ph¡p l°p cõa B Halpern ÷ñc · xu§t n«m 1967 d¤ng:

xn+1 = αnu + (1 − αn)T (xn), n > 0, (1.6)trong â u, x0 ∈ C v  T l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng C cõakhæng gian Hilbert H v o C Æng ¢ chùng minh n¸u αn = n−α, α ∈ (0, 1)th¼ d¢y {xn} x¡c ành bði (1.6) s³ hëi tö m¤nh v· mët iºm b§t ëng cõa

¡nh x¤ T

N«m 1977, P.L Lions ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa d¢y {xn} v·mët iºm b§t ëng cõa T trong khæng gian Hilbert n¸u d¢y sè {αn} thäam¢n c¡c i·u ki»n sau:

(C1) lim

n→∞αn = 0,(C2)

trong â {αn} v  {βn} l  c¡c d¢y sè thüc trong o¤n [0, 1].

Chó þ 1.2.3 Trong tr÷íng hñp βn = 1 vîi måi n th¼ ph÷ìng ph¡p l°pIshikawa (1.7) trð th nh ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.5)

Ph÷ìng ph¡p l°p

KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤

khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert

Ch÷ìng n y tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºmb§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Möc 2.1 tr¼nh

b y ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n Möc 2.2 tr¼nh b y sü hëi tö y¸u v  hëi tö m¤nh cõa ph÷ìngph¡p l°p KrasnoselskiiMann suy rëng Möc 2.3 tr¼nh b y ùng döng cõaph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n

cì sð têng hñp ki¸n thùc trong t i li»u [4] v  [6]

khi â d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T , ð ¥y T : C → C

l  ¡nh x¤ khæng gi¢n vîi C ⊆ H l  tªp lçi âng kh¡c réng

Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann khæng óngtrong tr÷íng hñp têng qu¡t

2.1.1 B i to¡n v  ph÷ìng ph¡p

Trong möc n y ta tr¼nh b y mët k¸t qu£ cõa A Moudafi trong [6] v·ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n

T t÷ìng ùng vîi ¡nh x¤ khæng gi¢n P B i to¡n °t ra nh÷ sau:

T¼m ¯x ∈ Fix(T ) sao cho h¯x − P (¯x), ¯x − xi 6 0 ∀x ∈ Fix(T ), (2.3)ngh¾a l , 0 ∈ (I − P )¯x + NFix(T )x¯, trong â Fix(T ) = {¯x ∈ D; ¯x = T (¯x)} l tªp c¡c iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T : D → D v  D l  tªp conlçi âng cõa khæng gian Hilbert H

· mð rëng ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann, ta x²t d¢y l°p

xn+1 = (1 − αn)xn+ αn(σnP xn + (1 − σn)T xn), vîi n ≥ 0, (2.4)

ð ¥y x0 ∈ D, c¡c d¢y {σn} v  {αn} ⊂ (0, 1)

2.1.2 Sü hëi tö

Nhªn x²t 2.1.1 (a) N¸u T : D → D l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n D th¼

A = I − T l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i tr¶n D, çng thíi l  to¡n tû1/2-ìn i»u m¤nh ng÷ñc, ð ¥y I l  ¡nh x¤ çng nh§t cõa khæng gianHilbert thüc H

(b) Hìn núa T l  nûa âng tr¶n D theo ngh¾a, n¸u d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n

x trong D v  d¢y {xnT xn} hëi tö m¤nh ¸n 0 th¼ x l  iºm b§t ëngcõa ¡nh x¤ T

Bê · 2.1.2 (xem [6] v  t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â) Cho {an} l  d¢yc¡c sè thùc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n:

an+1 6 (1 − αn)an+ αnσn+ γn, n ≥ 1

trong â

Khi â αn → 0 khi n → ∞.

Bê · 2.1.3 (xem [6] v  t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â) Gi£ sû {αn} v {βn} l  d¢y c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n

∞

X

n=0

αn < ∞, βn+1 6 αn + βn vîi måi n = 0, 1,

Khi â d¢y {βn} hëi tö

Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p (2.4) ÷ñc tr¼nh b y trong ành lþ sau ¥y

ành lþ 2.1.4 (xem [6]) D¢y {xn} x¡c ành bði cæng thùc (2.4) hëi tö tîi

iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T : D → D vîi c¡c d¢y sè {σn} v {αn} thäa m¢n i·u ki»n

Chùng minh L§y ¯x ∈ FixT v  °t Tσ n = σnP + (1 − σn)T Tø cæng thùc(2.4), ta câ

||xn+1− ¯x|| 6 (1 − αn)||xn− ¯x|| + αn||Tσnxn− T ¯x||

6 ||xn− ¯x|| + αn||Tσ (¯x) − T ¯x||

M°t kh¡c vîi måi n ta câ

||xn+1− xn|| = αn||Tσ nxn − xn|| 6 αnσn||P xn− T xn|| + αn||xn− T xn||,n¶n d¢y (xn) ti»m cªn ch½nh quy, ngh¾a l  ta nhªn ÷ñc

Suy ra ¯x l  nghi»m b i to¡n (2.3) B¥y gií chùng minh tçn t¤i khæng qu¡mët iºm tö y¸u tø giîi h¤n (2.5) Gi£ sû x∗ l  iºm tö y¸u kh¡c cõa d¢y{xn}, ta s³ chùng minh x∗ = ¯x Tø

||xn− x∗||2 = ||xn− ¯x||2 + ||¯x − x∗||2 + 2hxn− ¯x, ¯x − x∗i, (2.7)

ta th§y r¬ng giîi h¤n cõa d¢y {hxn− ¯x, ¯x − x∗i} ph£i tçn t¤i v  b¬ng 0 bðiv¼ ¯x l  iºm tö y¸u cõa d¢y {xn} V¼ vªy, giîi h¤n

l(x∗) = l(¯x) + ||¯x − x∗||2.Thay vai trá cõa x∗ v  ¯x ta công câ

l(¯x) = l(x∗) + ||¯x − x∗||2

i·u n y suy ra x∗ = ¯x Ta câ i·u ph£i chùng minh

K¸t qu£ ti¸p theo ÷ñc ch¿ ra bði Yao v  Liou (2008), ch¿ ra t½nh hëi töy¸u, t½nh ti»m cªn ch½nh quy cõa d¢y l°p KrasnoselskiMann

ành lþ 2.1.5 (Yao v  Liou (2008)) Cho D l  tªp con lçi âng kh¡c réngcõa khæng gian Hilbert H Gi£ sû P, T : D → D l  c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢nthäa m¢n F ix(T ) 6= ∅ X²t d¢y {xn} x¡c ành nh÷ trong (2.4) X²t c¡c d¢y{αn} v  {σn} c¡c sè thüc n«m trong kho£ng (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n(a)

(a) {xn} hëi tö y¸u tîi iºm b§t ëng cõa T ,

(b) {xn} ti»m cªn ch½nh quy, tùc l  lim

n→∞kxn+1− xnk = 0

2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p kiºu KrasnoselskiiMann suy rëng

Trong möc n y, ta x²t ph÷ìng ph¡p l°p inexact KrasnoselskiiMann suyrëng cõa C Kanzow v  I Shehu trong [4]