Chuyên đề Đồng dư thức

TỔNG HỢP KIẾN THỨCĐỒNG DƯ Chào các em, chị là Vy - diễn giả Toán Tin!. Bài tập vận dụng Bài 1.. Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt.

TỔNG HỢP KIẾN THỨC

ĐỒNG DƯ Chào các em, chị là Vy - diễn giả Toán Tin!

1 Khái niệm

- Với hai số nguyên a, b và số nguyên dương n > 1, a đồng dư với b theo modulo

n nếu a - b ⋮ n

- Kí hiệu : a b (mod n)≡

2 Tính chất

● a≡a (mod n)

● a≡b (mod n) thì b≡a (mod n)

● a≡b (mod n) và b≡c (mod n) thì a≡c (mod n)

● a≡b (mod m) và m ⋮ n thì a≡b (mod n)

● ma≡mb (mod mn) thì a≡b (mod n)

● ma≡mb (mod n) và (m,n) = 1 thì a≡b (mod n)

● ma≡mb (mod n) và (m,n) = d thì a≡b (mod 𝑛𝑑)

● a≡b (mod n) và c≡d (mod n) thì a b± ≡ ±c d (mod n)

● a≡b (mod n) và c≡d (mod n) thì ab≡cd (mod n)

● a≡b (mod n) thì𝑎𝑘≡ 𝑏𝑘(mod n)

3 Định lý Fermat nhỏ

★ Cho số nguyên tố p và số nguyên a không chia hết cho p Khi đó :

1 (mod p)

𝑎𝑝−1≡

Chứng minh Xét p - 1 số nguyên a, 2a, 3a, …, (p - 1)a, ta thấy các số này đều không chia hết cho p và có số dư đôi một khác nhau khi chia cho p

Thật vậy Với 1 ≤ i < j ≤ p - 1 sao cho ia≡ja (mod p) thì ta có (j - i)a ⋮ p, mâu thuẫn vì 0 < j - i < p và a không chia hết cho p

Ta có:

a.2a.3a [(p - 1)a] ≡1.2…(p - 1) (mod p) hay

(p - 1)!𝑎𝑝−1≡(p - 1)! (mod p)

Mà ((p - 1)!, p) = 1 nên𝑎𝑝−1≡1 (mod p) (đpcm)

(Nguồn chứng minh: 50 đề ôn luyện chuyên toán chọn lọc dành cho học sinh chuyên toán THCS - Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Mạnh Linh)

➔ Hệ quả :𝑎𝑝≡a (mod p)

4 Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt Chứng minh rằng :

+ - 1 ⋮ pq

𝑝𝑞−1 𝑞𝑝−1

Lời giải

Áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:𝑝𝑞−1≡1 (mod q)

- 1 ⋮ q + - 1 ⋮ q

⇒𝑝𝑞−1 ⇒𝑝𝑞−1 𝑞𝑝−1

Tương tự, ta chứng minh được 𝑝𝑞−1+𝑞𝑝−1- 1 ⋮ p

Mà (p, q) = 1 nên từ đó ta suy ra được𝑝𝑞−1+𝑞𝑝−1- 1 ⋮ pq (đpcm)

Bài 2 Chứng minh nếu n là số nguyên dương thì25𝑛+7𝑛-4𝑛( +3𝑛 5𝑛) chia hết cho 65

Lời giải

Đặt A = 25𝑛+7𝑛- 4𝑛( +3𝑛 5𝑛)

Ta có : 65 = 5.13, ta sẽ chứng minh A chia hết cho 5 và 13

A = (25𝑛-20𝑛) - (12𝑛- 7𝑛)

Vì 12≡7 (mod 5) nên12𝑛≡ 7𝑛(mod 5)⇒12𝑛- 7𝑛⋮ 5

A ⋮ 5

⇒

Tương tự, A = (25𝑛-12𝑛) - (20𝑛-7𝑛) ⋮ 13

Mà (5,13)=1 nên suy ra A ⋮ 65 (đpcm)

Bài 3 Chứng minh rằng với n là số lẻ dương thì biểu thức 1 +2𝑛+3𝑛+4𝑛+5𝑛chia hết cho 15

Đặt A = 1 + 2𝑛+3𝑛+4𝑛+5𝑛

A = ( 1+ ) + + ) +

⇒ 5𝑛 ( 2𝑛 4𝑛 3𝑛

5≡-1 (mod 3) ⇒5𝑛≡ (− 1)𝑛(mod 3) mà n lẻ⇒5𝑛≡-1 (mod 3)

1+ ⋮ 3

⇒ 5𝑛

Tương tự,2𝑛+ 4𝑛⋮ 3 A ⋮ 3⇒

A = ( 1 + 4𝑛) + ( +2𝑛 3𝑛) +5𝑛

Tương tự, ta có 1 + 4𝑛⋮ 5 và2𝑛+3𝑛⋮ 5⇒A ⋮ 5

Mà (3,5)=1 nên A ⋮ 15 (đpcm)

Bài 4 Tìm hai chữ số cuối cùng của số

A =41106+572012

● 412=(40 + 1)2=402+ 80 +1≡81 (mod 100)

(mod 100) ( + 160 +1) (mod 100) 61 (mod 100)

61.41 (mod 100) (60.40 + 100 +1) (mod 100) 1 (mod 100)

(mod 100) 41 (mod 100)

⇒(415)21≡41105 ⇒41106≡

● 574≡ 1 (mod 100)⇒572012=(574) 1 (mod 100)

503

≡

⇒ 41106 572012≡

Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 42