CHUYÊN đề ỨNG DỤNG ĐỒNG dư THỨC vào GIẢI một số DẠNG TOÁN CHIA hết

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN LẬP THẠCHTRƯỜNG THCS THÁI HÒA BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHIA HẾT Thời lượng: 30 tiết lớp 6, 7 Người thực hiện: LÊ QUANG ĐÔNG

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN LẬP THẠCH

TRƯỜNG THCS THÁI HÒA

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ:

ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHIA HẾT

Thời lượng: 30 tiết (lớp 6, 7)

Người thực hiện: LÊ QUANG ĐÔNG

Chức vụ: Giáo viên.

Đơn vị:Trường THCS Thái Hòa – Lập Thạch – Vĩnh Phúc.

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn chuyên đề:

Như chúng ta đã biết toán học là một môn khoa học cơ bản, toán học xuất hiện ngay trong đời sống hàng ngày, tác dụng của toán học rất rộng lớn, từ những việc nhỏ như việc tính tiền đi mua hàng, hay những việc lớn như để thiết

kế nên những ngôi nhà cao tầng, các công trình xây dựng tất cả đều phải dựa vào toán học

Ngay từ khi học bậc học Mầm non các em đã được là quen với các con số

1, 2, 3, Đến khi học lên Tiểu học và Trung học cơ sở thì bộ môn Toán đượcxác định là môn công cụ, rất quan trọng đối với mỗi học sinh

Trong chương trình Toán bậc THCS, cụ thể là ở các lớp 6 và 7 thì số học

là nội dung kiến thức vô cùng quan trọng bởi đây sẽ là nền tảng giúp các em cóthể khám phá nhiều nội dung khác của Toán học

Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bảnthân tôi nhận thấy để việc học những nội dung phần Số học được tốt, cụ thể làcác chuyên đề chia hết, tìm chữ số tận cùng hay chuyên đề số chính phương, được tốt hơn thì việc ứng dụng Đồng dư thức một cách hợp lý sẽ cho chúng tanhững lời giải hay và ngắn gọn, học sinh rất dễ nắm bắt kiến thức Nhưng nộidung này lại không được đề cập trong chương trình môn Toán THCS Chính vì

những lý do trên mà tôi mạnh dạn giới thiệu tới các đồng nghiệp chuyên đề “ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải một số dạng toán số học” Với mục đích

giúp các em học sinh có thêm một cách tiếp cận mới đối với một số dạng toán

cơ bản

II Mục đích, phạm vi, đối tượng của chuyên đề:

1 Mục đích của chuyên đề:

- Giới thiệu tới các em HS các khái niệm, tính chất của đồng dư thức

- Rèn kỹ năng giải các bài toán có liên quan đến đồng dư thức Từ đó ápdụng vào quá trình học tập, nghiên cứu nhằm đạt kết quả cao trong các kỳ thiHSG

2 Phạm vi nghiên cứu chuyên đề:

- Chương trình môn Toán cấp THCS

3 Đối tượng của chuyên đề:

- Áp dụng cho học sinh khá, giỏi cấp THCS.

PHẦN II: NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận.

Số học là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Toán ởcấp THCS Từ những phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn giản giữa các số đếncác bài toán đòi hỏi tư duy cao hơn như là dạng toán cấu tạo số, các bài toán về

số nguyên tố, số chính phương, các bài toán chia hết,…thường dành cho đốitượng là học sinh khá, giỏi và một nội dung kiến thức có thể giúp chúng ta tìm

ra lời giải một số dạng toán trên chính là sử dụng những kiến thức về Đồng dư thức Đây là nội dung không được đề cập trong chương trình chính khóa nhưng

lại rất cần thiết trong việc Bồi dưỡng HSG, nên đòi hỏi giáo viên phải tìm hiểunghiên cứu và tìm ra những nội dung cần thiết để giúp học sinh tiếp thu và vậndụng một cách phù hợp trong suốt quá trình học Từ đó áp dụng vào giải cácdạng toán có liên quan đồng thời phát triển tư duy toán học Để rồi vận dụng vàocác môn học khác cũng như trong đời sống hàng ngày

II Cơ sở thực tiễn

Qua thực tế giảng dạy và chủ yếu là bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở các lớp 6, 7 và 8 trong trường THCS, tôi nhận thấy nhiều học sinh còn lúng túng

về cách tìm lời giải khi gặp phải những bài toán về chia hết, tìm chữ số tận cùng,

số chính phương, …mặc dù đó không phải là những bài toán quá khó, hay như những bài toán nếu áp dụng kiến thức của Đồng dư thức vào thì cho ta lời giải rất hay và ngắn gọn, hoặc có những bài toán khi ta áp dụng kiến thức của lớp 8 thì mới giải được, nhưng khi sử dụng Đồng dư thức vào giải thì mới phù hợp vớikhả năng tư duy của học sinh lớp 6 và lớp 7 Từ cơ sở lý luận và cơ sở thục tiễn như vậy mà tôi đã chọn chuyên đề:

“ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải một số dạng toán số học”

1 Kiến thức cơ bản

1.1 Định nghĩa:

- Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c  0) mà có cùng số dư thì) mà có cùng số dư thì

ta nói a đồng dư với b theo môđun c; kí hiệu là a  b (mod c)

- Hệ thức có dạng: a  b (mod c) gọi là một đồng dư thức, a gọi là vếtrái của đồng dư thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun.

1.3 Một số kiến thức liên quan:

Trong khi làm bài tập sử dụng đồng dư thức, ta nên chú ý tới các tính chấthay

2 ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI TOÁN.

2.1 DẠNG 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT.

Bài 1: Chứng minh rằng: A = 7.52n +12.6n chia hết cho 19

để có được lời giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6.

Bài 2: ( Sách Phát triển toán 8 tập 1).Chứng minh rằng:

Từ (5) và (6) ta được: A  0) mà có cùng số dư thì (mod 7)

Với mọi số tự nhiên n thì số B = 4 2n+1 + 3 n+2 luôn chia hết cho 13.

Từ (1) và (2), cộng vế với vế, ta được B  0) mà có cùng số dư thì (mod 13)

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n  N.

Vì 25 2 23 23 23.2 23

Bài 5: ( lớp 8) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1:

Lời giải

Ta có: Với n = 2 thì A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B

Với n > 2, ta biến đổi A như sau:

=> A = (n – 1)(nn-1 + nn – 2 + … + n2 + 1) chia hết cho (n – 1)2.

Với một số bài toán có luỹ thừa tầng thì khi chúng ta sử dụng Đồng dư thức thì sẽ giúp cho học sinh có được cách giải tổng quát cho dạng toán đó Chẳng hạn

Bài 6: Chứng minh rằng:

2 2

20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3

Vì 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4 4  nên ta đặt 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4n  4k và M 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4n  20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3 4k

Ta có 310) mà có cùng số dư thì  1 mod11  (Định lý Fecma)

Vậy D chia hết cho 13 với mọi n

Sau khi đã hình thành cho các em một số kỹ năng nhất định qua dạng toán chứng minh trên thì với cách biến đổi tương tự các em sẽ không gặp quá nhiều không khi gặp một số dạng toán sau:

2.2 DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN TRONG PHÉP CHIA

=> 199320) mà có cùng số dư thì14  120) mà có cùng số dư thì14 (mod 3)  1 (mod 3)

Tương tự: A chia 5 dư 1

Cách 2:

3

Ta có: 776  2 (mod 3)

Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.

Lời giải

Cách 1: Gọi n là số tự nhiên chia 5 dư 1 và chia 7 dư 5

chia 5 dư 1, chia 7 dư 5

Số nhỏ hơn 35 chia 7 dư 5 và chia 5 dư 1 là 5; 12; 19; 26; 33 Trong các

số trên chỉ có 26 là số chia cho 5 dư 1 Vậy r = 26

Thay (2) vào (1), ta được: A = 7(5m-2)+5 = 35m - 9

=> A  -9 (mod 35)  26 (mod 35)

Vậy số A =26

Nhận xét: Nếu sử dụng Đồng dư thức cho loại toán này thì ta có thể giải được các bài toán có nhiều số chia hơn, hoặc các số chia có giá trị lớn một cách dễ dàng hơn, đồng thời ta có được cách giải rõ ràng cho dạng toán này.

Bài 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư

112, chia n cho 132 thì dư 98.

Bài 5: Một số tự nhiên chia 4 dư 3, chia 17 dư 9, chia 19 dư 13 Hỏi số

đó chia 1292 dư bao nhiêu.

Lời giải

Cách 1:

Các số nhỏ hơn 1292 và chia cho 19 dư 13 là: 13; 32; 1248; 1267

Trong các số trên số chia cho 4 dư 3 và chia cho 17 dư 9 là số 1267

Nhận xét: Trong cách giải bài toán trên thì việc thử loại sẽ mất rất nhiều

thời gian và nếu là các số chia lớn thì để giải được bài toán ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn.

Cách 2: Gọi số tự nhiên cần tìm là A, ta có:

A  3 (mod 4); A  9 (mod 17); A  13 (mod 19)

Từ A  13 (mod 19) => A = 19k+13 ( k thuộc N) (1)

Thay (4) vào (3) => A = 1292n -25 -25 (mod 1292)  1267 (mod 1292)Vậy số A chia cho 1292 dư 1267

Bài 6: Xác định giá trị của n để:

+ Tương tự với n = 3k+2 ( loại)Vậy n = 3k ( với k chẵn)

a Tìm số dư trong phép chia A chia cho 7.

b Xét số dư khi chia A cho 10) mà có cùng số dư thì

c)

Mà 16  6 (mod 10) mà có cùng số dư thì)  1620) mà có cùng số dư thì  620) mà có cùng số dư thì (mod 10) mà có cùng số dư thì)

=> A chia cho 10) mà có cùng số dư thì dư 2

Vậy A có chữ số tận cùng là 2

Vậy B có 6 chữ số tận cùng là 20) mà có cùng số dư thì3125

Khi học sinh đã nắm vững cách tìm chữ số tận cùng thì ta có thể đưa ra một dạng toán khác nhưng có cách giải tương tự.

Bài 5: Hỏi số sau đây là số nguyên hay là phân số:

 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6

) 0) mà có cùng số dư thì, 7 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì1 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3

a) Ta xét A 0) mà có cùng số dư thì, 7 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì1 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4  20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6 khi chia cho 10) mà có cùng số dư thì.

Ta có 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì120) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì1  1 mod10) mà có cùng số dư thì 

 

20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6

20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3  3 mod10) mà có cùng số dư thì

 9 10) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3mod10) mà có cùng số dư thì  9 10) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3mod10) mà có cùng số dư thì

  1 mod10) mà có cùng số dư thì    9 mod10) mà có cùng số dư thì 

 3.9991mod10) mà có cùng số dư thì  3 1  991 mod10) mà có cùng số dư thì

 3 mod10) mà có cùng số dư thì   7 mod10) mà có cùng số dư thì 

 

1917 1917

1917  7 mod10) mà có cùng số dư thì

=> B10) mà có cùng số dư thì Vậy B là số nguyên.

2.4 DẠNG 4: ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN

20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì5 2

( 1) 5 6(mod 3) 0) mà có cùng số dư thì(mod 3)

A

Vậy A không là số nguyên tố

Lời giải

hết cho 7 hay không

Vì 23  1 mod 7   , nên ta xét 22n1chia 3 dư bao nhiêu Thật vậy:

Vậy A luôn chia hết cho 11 nên A không là số nguyên tố.

Bài 4: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương.

Cách 1: Ta sử dụng tính chất của số chính phương để chứng minh các số

trên không phải là số chính phương

Cách 2: Nếu ta sử dụng Đồng dư thức thì có 1 cách làm chung cho cả 3 ý

trên và cách làm đơn giản hơn nhiều.

c) 10) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì 10) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì 10) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì

Mà số chính phương chia 4 chỉ dư 0) mà có cùng số dư thì hoặc 1

Vậy A không là số chính phương

Bài 1: Tìm số dư trong phép chia số A = 15325 – 1 khi chia cho 9

Bài 2: Cho số nguyên n > 1 Tìm dư trong phép chia:

Bài 5: Cho n là một số tự nhiên Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng:

Bài 7: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n > 0) mà có cùng số dư thì, ta luôn có:

Bài 8: Chứng minh rằng: a) A = 220) mà có cùng số dư thì 119 69+ 119 69 220) mà có cùng số dư thì+ 69 220) mà có cùng số dư thì 119chia hết cho 10) mà có cùng số dư thì2

Bài 9: Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng:

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có:

Bài 11: Cho a; b là các số nguyên Chứng minh rằng:

2a + 11b chia hết cho 19  5a + 18b chia hết cho 19

Sau nhiều năm trực tiếp đứng lớp giảng dạy và bồi dưỡng HSG môn Toán

tại THCS Thái Hòa và qua nghiên cứu chuyên đề “Ứng dụng Đồng dư thức vào giải một số dạng toán chia hết” bản thân tôi đã tích lũy thêm nhiều kiến

thức của phần Số học trong bộ môn Toán Xây dựng được khung chương trìnhdạy phần Số học của cấp THCS, có phương pháp giải các bài toán rõ ràng hơn,

từ đó đã giúp HS rèn luyện kỹ năng, gây được hứng thú học tập cho HS và đượccác đồng nghiệp trong trường sử dụng để phục vụ cho công tác bồi dưỡng HSG

Kết quả của việc ứng dụng chuyên đề vào Bồi dưỡng Học sinh giỏi:

Năm học 20) mà có cùng số dư thì10) mà có cùng số dư thì – 20) mà có cùng số dư thì11

- Có 0) mà có cùng số dư thì1 học sinh đạt giải Nhất môn toán 6 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì2 học sinh đạt giải Nhì môn toán 6 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Ba môn toán 6 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải KK môn toán 6 cấp huyện

Năm học 20) mà có cùng số dư thì11 – 20) mà có cùng số dư thì12

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Nhất môn toán 7 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Nhì môn toán 7 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì2 học sinh đạt giải Ba môn toán 7 cấp huyện

Năm học 20) mà có cùng số dư thì12 – 20) mà có cùng số dư thì13

- Có 0) mà có cùng số dư thì1 học sinh đạt giải Nhất môn toán 8 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì1 học sinh đạt giải Nhì môn toán 8 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Ba môn toán 8 cấp huyện

2 Kết luận

Trên đây là nội dung đề tài mà tôi đã tìm hiểu trong suốt quá trình giảng dạy

và bồi dưỡng Học sinh giỏi các lớp 6 và 7 Trong quá trình thực hiện và trình bày

đề tài không thể tránh khỏi những thiếu xót Vì vậy tôi rất mong nhận được nhiều

sự phê bình, đóng góp ý kiến để đề tài được phong phú và hoàn thiện hơn nhằm ápdụng trong quá trình giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng Học sinh giỏi mônToán của bậc THCS

Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo !.

Thái Hòa, ngày 17 tháng 2 năm 2014

Người thực hiện chuyên đề

LÊ QUANG ĐÔNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách Nâng cao và phát triển toán 6 -7- 8 – NXB Giáo dục Việt Nam

( Tác giả: Vũ Hữu Bình)

2) Sách Nâng cao và các chuyên đề đại số 7 – NXB Giáo dục Việt Nam

( Tác giả: Bùi Văn Tuyên)

3) Các chuyên đề Số học Học sinh giỏi THCS - NXB Giáo dục Việt Nam

( Tác giả: Phạm Minh Phương)

4) Các bài toán phát triển Bồi dưỡng Học sinh giỏi Số học 9 – NXB Đại họcquốc gia TP Hồ Chí Minh

( Tác giả: Võ Đại Mau)

5) Toán tuổi thơ 2 - NXB Giáo dục Việt Nam