DE HSG TOAN 61

Tính độ dài của đoạn thẳng AA2011 b/ Trong một mặt phẳng cho 12 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.. Gọi Ot và Ot ' lần lượt là các tia phân.[r]

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề chính thức)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2013 – 20144 Môn: TOÁN 6

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1(4.0điểm):

a/ Hãy viết tiếp vào bên phải của số 2011 một số có hai chữ số để được một số mới (có sáu chữ số) khi chia cho 5 dư 1 nhưng chia hết cho 2 và chia hết cho 9

b/ Cho N n1n2 n3 n9n10 2011 Đặt S n 12n22n32 n92n102 Chứng tỏ rằng:

S 1 2 Với n n n1; ; ; ;2 3 n n9 10 là các số tự nhiên

Bài 2 (4.0điểm):

a/ Tìm số pđể p p; 2;p6;p8;p14 đều là các số nguyên tố

b/ Nếu có số tự nhiên n sao cho k = n2 thì ta nói số k là số chính phương Tìm tất cả các

số ab sao cho ab ba 

là số chính phương

Bài 3 (4.0điểm):

a/ Cho A= 1

2 !+

2

3 !+

3

4 !+

4

5 !+ .+

8

9 !+

9

10! So sánh A với 1

Với n! = 1.2.3……n (tích của n số tự nhiên khác 0 đầu tiên)

b/ Tìm tất cả số có hai chữ số, biết rằng tỉ số của hai chữ số đó là 12 và tích hai chữ

số gấp 2 lần tổng hai chữ số đó

Bài 4(4.0điểm):

a/ Cho đoạn thẳng AB = 1cm Gọi A1, A2, A3, , A2011 lần lượt là trung điểm của AB,

A1B, A2B, , A2010B Tính độ dài của đoạn thẳng AA2011

b/ Trong một mặt phẳng cho 12 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh từ 12 điểm đó?

Bài 5(4.0điểm):

Cho xOy 480, kẻ tia Ox là tia đối của tia Ox Gọi Ot và Ot' lần lượt là các tia phân giác củaxOyvàx Oy

a/ Tính số đo của tOt  ?

b/ Kẻ tia Oy là tia đối của tia Oy Tính số đo của t Oy  ?

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM – TOÁN 6

1

a

Gọi số cần viết thêm là ab

Ta có số mới là: n = 2011ab

Vì n chia cho 5 dư 1 => b  1;6 , n chia hết cho 2 => b 0;2; 4;6;8

Do đó => b = 6

Vì n chia hết cho 9 => 2 + 0 + 1 + 1 + a + 6  9  10 + a  9 => a = 8

Vậy số cần viết thêm 86

2.0đ

b

Ta có:

 2   2   2   2   2 

mà: n2  n n n  1 2 (tích hai số tự nhiên liên tiếp) Do đó:

S N  2  S  1 N 1 2  S  1 2012 2  S 1 2

2.0đ

2

a

Vì plà số nguyên tố nên p 1

+ Với

 

2 2

p

p







là hợp số  p2 + Với

 

6 3

p

p







là hợp số  p3 + Với p 5 Ta có: p5;p 2 7;p 6 11;p 8 13;p14 19 là các số

nguyên tố

+ Với p 5, vìplà số nguyên tố nên pkhông chia hết cho 5

* Nếu pchia 5 dư 1 p5k1k N    p14 5  p14là hợp số

* Nếu pchia 5 dư 2 p5k2k N  p8 5   p8là hợp số

* Nếu pchia 5 dư 3 p5k3k N   p2 5   p2là hợp số

* Nếu pchia 5 dư 4 p5k4k N   p6 5   p6là hợp số

Vậy : p 5

2.0đ

b

+ab ba 

là số chính phương, nên đặt:

(Với nlà số tự nhiên)

Vì 11 là số nguyên tố nênab ba 

là số chính phương a b  11 (Vì

0a9;0 b 9 nên a b 18) Từ đó suy ra : Các số cần tìm là : 92 ; 29 ; 83 ;

2.0đ

38 ; 74 ; 47 ; 65 ; 56.

3

a

Ta có:

1



;





………



Do đó:

Từ đó suy ra: A 1

2.0đ

b

Gọi hai chữ số của số cần tìm là: a b; Ta có: 2a b và a b. 2a b suy ra :

2

Vậy số cần tìm là : 36, 63

2.0đ

4

a

+ Chỉ ra được :

A1 là trung điểm của AB => A1B = 2

AB

A2 là trung điểm của A1B => A2B =

1

2

2

AB

A3 là trung điểm của A2B => A3B =

2 2

3

2

AB

A2011 là trung điểm của A2010B => A2011B =

2010 2010

2011

2

AB

+ Chỉ ra được: A A2011 = AB - A2011B = AB - 22011

AB

= 1 - 2011

1

2011 2011

2



(cm)

2.0đ

b

+ Từ 12 điểm trên ta có :

12.11

2 đoạn thẳng

+ Với mỗi đoạn thẳng và một điểm trong các điểm còn lại vẽ được một tam

giác Trong đó mỗi tam giác được liệt kê 3 lần nên số tam giác cần tìm là:

12.11 10 : 3 660 2



2.0đ

5 a + Vẽ hình đúng cho câu a

+Lập luận nêu được:

tOt  tOy yOt  

2.0đ

y

x x'

t t'

O

Mà

xOy yOx tOy yOt   xOy yOx  

Nên: tOt tOy yOt  900

b + Lập luận nêu được:

t Oy  yOy t Oy  

*Mọi cách giải khác đúng ; hợp lí đều được điểm tối đa