Giáo trình toán cao cấp

Hơn nữa, nócòn là cơ sở cho các môn toán ứng dụng khác trong kinh tế như: Xác xuấtvà Thống kê toán, Mô hình Toán kinh tế, Toán tài chính và Kinh tế lượng.Những nội dung Toán học được đề

Mục lục

Mục lục i

Lời nói đầu 1

Chương 1 Sơ lược về tập hợp và suy luận logic toán 5 1.1 Tập hợp 5

1.1.1 Khái niệm tập hợp 5

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp 6

1.2 Tập hợp số thực 7

1.2.1 Số thực 7

1.2.2 Trục số thực 9

1.2.3 Các khoảng số thực 9

1.2.4 Tính bị chặn của các tập con của tập số thực 10

1.3 Sơ lược về số phức 12

1.3.1 Mô tả số phức 12

1.3.2 So sánh hai số phức 12

1.3.3 Các phép toán với số phức 13

1.3.4 Dạng lượng giác của số phức 13

1.4 Quan hệ 14

1.4.1 Tích Descartes 14

1.4.2 Quan hệ hai ngôi trên một tập hợp 14

1.4.3 Ánh xạ 15

1.5 Sơ lược về suy luận logic toán học 17

1.5.1 Mệnh đề 17

1.5.2 Hàm mệnh đề 19

1.5.3 Điều kiện cần và điều kiện đủ 21

1.5.4 Logic chứng minh mệnh đề 22

1.5.5 Phương pháp chứng minh quy nạp 23

Chương 2 Không gian véc tơ Rn 25 2.1 Sơ lược về hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử ẩn liên tiếp 25

2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính 25

2.1.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác 25

2.1.3 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang 26

2.1.4 Phương pháp khử ẩn liên tiếp 27

2.1.5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 30

2.2 Không gian véc tơ n chiều Rn 31

2.2.1 Khái niệm về véc tơ n chiều 31

2.2.2 Phép cộng hai véc tơ cùng chiều và nhân một số thực

với một véc tơ 33

2.2.3 Không gian véc tơ n chiều Rn và không gian con 34

2.2.4 Tích vô hướng của hai véc tơ n chiều và không gian Euclide n chiều 35

2.3 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian Rn 36

2.3.1 Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính 36

2.3.2 Hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính và hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian Rn 38

2.3.3 Một số tính chất và định lý cơ bản về mối liên hệ tuyến tính 40

2.4 Cơ sở của Rn, cơ sở và hạng của hệ véc tơ trong Rn 45

2.4.1 Cơ sở của Rn 45

2.4.2 Cơ sở và hạng của hệ véc tơ 47

2.4.3 Các phép biến đổi sơ cấp lên một hệ véc tơ 51

2.4.4 Số chiều và cơ sở của không gian con sinh bởi một hệ véc tơ 56

2.5 Một minh họa kinh tế cho khái niệm biểu diễn tuyến tính trong một hệ véc tơ 57

Bài tập cuối chương 2 59

Chương 3 Ma trận và định thức 63 3.1 Sơ lược về ma trận 63

3.1.1 Các khái niệm về ma trận 63

3.1.2 So sánh bằng nhau với hai ma trận cùng cấp 66

3.1.3 Cộng hai ma trận cùng cấp và nhân một số với ma trận 67

3.1.4 Phép nhân ma trận với ma trận 68

3.2 Định thức 72

3.2.1 Định nghĩa định thức 72

3.2.2 Các tính chất của định thức 75

3.2.3 Các phương pháp cơ bản để tính định thức 86

3.3 Ma trận nghịch đảo 89

3.3.1 Khái niệm và điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo 89 3.3.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấp 93

3.4 Hạng của ma trận 98

3.4.1 Định nghĩa hạng của ma trận 101

3.4.2 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp 102

3.4.3 Áp dụng tìm hạng và cơ sở của một hệ véc tơ 107

Bài tập cuối chương 3 108

Chương 4 Tổng quát về hệ phương trình tuyến tính và ứng

4.1 Mô tả hệ phương trình tuyến tính và phép khử Gauss 1144.1.1 Mô tả hệ phương trình tuyến tính 1144.1.2 Phép biến đổi Gauss vào hệ phương trình tuyến tính 1164.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 1164.2.1 Sự tồn tại nghiệm cho hệ phương trình tuyến tính

Cramer 1174.2.2 Phương pháp định thức giải hệ phương trình tuyến

tính Cramer 1174.2.3 Phương pháp ma trận nghịch đảo giải hệ phương

trình tuyến tính Cramer 1194.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1204.3.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

tổng quát 1204.3.2 Công thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình

tuyến tính 1214.3.3 Phương pháp khử toàn phần giải hệ phương trình

tuyến tính tổng quát 1234.4 Tính chất của tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tínhthuần nhất 1284.5 Một số ví dụ tổng hợp về véc tơ, ma trận và hệ phương trìnhtuyến tính 1324.6 Tập lồi đa diện trong không gian Rn 1384.7 Hệ ràng buộc tuyến tính dạng chính tắc 1424.8 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế học 1524.8.1 Mô hình cân bằng thị trường hàng hóa thông thường 1524.8.2 Bài toán tìm phương án sản xuất trong doanh nghiệp 156Bài tập cuối chương 4 157

5.1 Dạng toàn phương trong không gian Rn 1635.2 Dạng toàn phương dạng chính tắc 1655.2.1 Đưa dạng toàn phương không chính tắc về dạng chính

tắc 1665.2.2 Sử dụng phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa

dạng toàn phương về dạng chính tắc 1705.3 Giá trị riêng, véc tơ riêng của ma trận và ứng dụng 1745.3.1 Giá trị riêng và véc tơ riêng của một ma trận vuông 1745.3.2 Bài toán chéo hóa một ma trận vuông 1775.3.3 Áp dụng đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 1815.4 Dạng toàn phương xác định 1855.4.1 Khái niệm về dạng toàn phương xác định 185

5.4.2 Tiêu chuẩn cho một dạng toàn phương xác định 186

5.5 Dạng toàn phương với mô hình sản xuất và tiêu thụ hàng hóa trên thị trường cạnh tranh 199

Bài tập cuối chương 5 203

Chương 6 Dãy số, chuỗi số và các ứng dụng trong tài chính 206 6.1 Dãy số 206

6.1.1 Khái niệm về dãy số 206

6.1.2 Giới hạn của dãy số 208

6.1.3 Các phép toán số học với các dãy số hội tụ 209

6.1.4 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn của dãy số 210

6.1.5 Một số giới hạn cơ bản 211

6.2 Chuỗi số 212

6.2.1 Khái niệm về chuỗi số 212

6.2.2 Các tính chất về chuỗi số hội tụ 213

6.2.3 Điều kiện cần để một chuỗi số hội tụ 214

6.2.4 Chuỗi số hình học (Chuỗi số nhân) 215

6.2.5 Chuỗi Dirichlet 216

6.2.6 Một số điều kiện đủ hội tụ của chuỗi số 217

6.3 Một số ứng dụng của dãy số và chuỗi số trong tài chính 223

6.3.1 Giá trị theo thời gian của một khoản tiền trong lưu thông 223

6.3.2 Giá trị theo thời gian của nhiều khoản tiền trong lưu thông (Dòng tiền - Chuỗi tiền tệ) 229

Bài tập cuối chương 6 237

Chương 7 Hàm số một biến số 241 7.1 Giới thiệu về hàm số một biến số 241

7.1.1 Khái niệm về hàm số một biến số 241

7.1.2 Đồ thị và tập mức của hàm số 243

7.1.3 Các phép toán số học với các hàm số một biến số 245

7.1.4 Hàm ghép và hàm hợp 245

7.1.5 Hàm ngược 246

7.1.6 Một số đặc trưng của hàm số một biến số 249

7.1.7 Hàm sơ cấp 254

7.1.8 Cực trị của hàm số một biến số 256

7.1.9 Cực trị địa phương 256

7.1.10 Cực trị toàn cục 257

7.1.11 Cực trị của hàm lồi 260

7.2 Tính lồi, lõm của một số lớp hàm số trong kinh tế 261

Bài tập cuối chương 7 264

Chương 8 Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số 267 8.1 Giới hạn của hàm số một biến số 267

8.1.1 Các định nghĩa về giới hạn của hàm số 268

8.1.2 Mối quan hệ giữa giới hạn và giới hạn một phía 277

8.1.3 Quan hệ giữa giới hạn của hàm số và giới hạn của dãy số 278

8.1.4 Đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn và đại lượng bị chặn 279

8.2 Sự liên tục của hàm số 293

8.2.1 Các định nghĩa về sự liên tục 293

8.2.2 Mối quan hệ giữa liên tục và liên tục một phía 295

8.2.3 Các phép toán đối với các hàm số liên tục 295

8.2.4 Sự gián đoạn của hàm số 297

8.2.5 Sự liên tục của các hàm số sơ cấp 298

8.2.6 Sự liên tục của các hàm số phi sơ cấp 298

8.2.7 Sự liên tục của lớp hàm tuyến tính từng khúc 301

8.3 Một số tính chất về hàm số liên tục trên đoạn 302

8.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để khử giới hạn vô định dạng hàm số mũ 306

8.5 Ý nghĩa của sự liên tục và sự gián đoạn đối với một số loại hàm số trong kinh tế 306

Bài tập cuối chương 8 318

Chương 9 Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số 321 9.1 Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm 321

9.2 Đạo hàm của hàm số một biến số 323

9.2.1 Các định nghĩa về đạo hàm của hàm số 323

9.2.2 Các phép toán với các hàm số có đạo hàm hữu hạn 328 9.2.3 Đạo hàm của hàm hợp 328

9.2.4 Đạo hàm của hàm ngược 330

9.2.5 Phương pháp tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp 331 9.2.6 Phương pháp tính đạo hàm với các hàm số phi sơ cấp 336 9.2.7 Một số định lý về hàm số có đạo hàm hữu hạn 344

9.3 Vi phân của hàm số 349

9.3.1 Khái niệm về vi phân 349

9.3.2 Tính chất bất biến của vi phân cấp 1 350

9.3.3 Các phép tính số học với vi phân cấp 1 351

9.3.4 Xấp xỉ bậc 1, hay xấp xỉ tuyến tính của hàm số 351

9.4 Đạo hàm cấp cao 352

9.4.1 Khái niệm về đạo hàm cấp cao 352

9.4.2 Công thức Taylor và xấp xỉ bậc cao 355

9.4.3 Hàm lồi khả vi 357

Bài tập cuối chương 9 359

Chương 10 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm số

10.1 Tính giới hạn vô định của hàm số 362

10.2 Tìm cực trị của hàm số 366

10.3 Đạo hàm và vi phân của một số lớp hàm trong kinh tế 374

Bài tập cuối chương 10 381

Chương 11 Hàm số nhiều biến số 384 11.1 Không gian Euclide n chiều 384

11.2 Hàm số n biến số 387

11.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số 2 biến số 390

11.3.1 Các định nghĩa về giới hạn 390

11.3.2 Sự liên tục của hàm số 2 biến số 392

11.4 Đạo hàm và vi phân của hàm số 2 biến số 395

11.4.1 Đạo hàm 395

11.4.2 Vi phân của hàm số nhiều biến số 400

11.4.3 Đạo hàm theo phương 405

11.4.4 Đạo hàm của hàm ẩn 409

11.4.5 Đạo hàm riêng cấp hai 411

11.5 Tính lồi, lõm của hàm số nhiều biến số 413

11.6 Một số lớp hàm số nhiều biến số trong kinh tế 416

Bài tập cuối chương 11 422

Chương 12 Bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến số 424 12.1 Các khái niệm cơ bản 424

12.2 Cực trị không có ràng buộc 426

12.2.1 Các điều kiện tối ưu 427

12.2.2 Áp dụng với hàm số 2 biến số 429

12.2.3 Phương pháp bình phương tối thiểu 435

12.3 Cực trị có ràng buộc 440

12.3.1 Bài toán tìm cực trị với ràng buộc đẳng thức 440

12.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange cho bài toán tìm cực trị với ràng buộc bất đẳng thức 461

Bài tập cuối chương 12 470

Chương 13 Tích phân 473 13.1 Tích phân bất định 473

13.1.1 Một số quy tắc tích phân cơ bản 474

13.1.2 Phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần 475

13.2 Tích phân xác định 480

13.2.1 Một số khái niệm liên quan 480

13.2.2 Các tính chất của tích phân xác định 484

13.2.3 Tích phân với cận trên biến đổi và công thức

Newton-Leibniz 486

13.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 487

13.3 Tích phân suy rộng 490

13.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 490

13.3.2 Tích phân suy rộng với hàm số không bị chặn trên đoạn lấy tích phân 492

13.4 Một số ứng dụng của tích phân 494

13.4.1 Bài toán xác định hàm chi phí và hàm doanh thu của doanh nghiệp 494

13.4.2 Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một dòng tiền liên tục 495

13.4.3 Đường cong Lorenz 497

13.4.4 Thặng dư của nhà sản xuất và người tiêu dùng 498

Bài tập cuối chương 13 500

Chương 14 Hướng dẫn giải và đáp số bài tập cuối chương 503 Tài liệu tham khảo 523

Toán Cao cấp cho Kinh tế là một chương trình toán học cơ bản dànhcho sinh viên khối ngành kinh tế Nó cung cấp các công cụ và phương phápsuy diễn toán học, giúp sinh viên làm quen và vận dụng chúng vào việcminh họa, phân tích các nội dung hay quy luật kinh tế cơ bản Hơn nữa, nócòn là cơ sở cho các môn toán ứng dụng khác trong kinh tế như: Xác xuất

và Thống kê toán, Mô hình Toán kinh tế, Toán tài chính và Kinh tế lượng.Những nội dung Toán học được đề cập trong Giáo trình này bao gồm: Đại

số Tuyến tính, Dạng toàn phương, Chuỗi số, Giải tích hàm một biến vàhàm nhiều biến số Một số khái niệm kinh tế được chúng tôi lựa chọn đểminh họa trong Giáo trình thuộc các lĩnh vực Kinh tế học, Tín dụng ngânhàng và Tài chính doanh nghiệp Các nội dung được biên soạn trong Giáotrình có sự tham khảo từ các giáo trình toán cho kinh tế của các trườngđại học có uy tín trong và ngoài nước; các giáo trình, sách chuyên khảocủa các viện, các trung tâm lớn có uy tín trong lĩnh vực đào tạo Toán học.Mức độ chuyên môn toán học được trình bày trong Giáo trình là hết sức

cơ bản, vừa phải, phù hợp với sinh viên ngành Kinh tế Mặc dù vậy, hầuhết các vấn đề lý thuyết toán có đề cập trong Giáo trình đều được chứngminh tương đối chi tiết và có các ví dụ minh họa, nhằm giúp cho sinh viên

dễ tiếp thu và có thể tự học Cuối mỗi chương đều có phần bài tập giúpsinh viên rèn luyên kỹ năng và tự kiểm tra kiến thức của mình Đặc biệt,sau mỗi phần lý thuyết toán đều có các minh họa kinh tế cơ bản với sốlượng vừa phải và phù hợp Điều này chắc chắn sẽ khiến sinh viên thích thúhơn khi tiếp thu môn học Toán cao cấp và tạo điều kiện thuận lợi cho các

em khi theo học các môn toán ứng dụng, các môn cơ sở ngành hay chuyênngành ở các giai đoạn sau Để phù hợp với chương trình của môn học làhai học phần: Toán cao cấp học phần 1 và Toán cao cấp học phần 2, Giáotrình được biên soạn thành 13 chương:

Chương 1 Sơ lược về tập hợp và suy luận logic toán;

Chương 2 Không gian véc tơ Rn;

Chương 7 Hàm số một biến số;

Chương 8 Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số;

Chương 9 Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số;

Chương 10 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số;Chương 11 Hàm số nhiều biến số;

Chương 12 Bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến số;

Chương 13 Tích phân

Chương 1 trình bày tóm tắt các khái niệm nền tảng của toán học đó

là tập hợp và suy luận logic toán Phần tập hợp được minh họa thông quatập hợp số thực và các khái niệm cơ bản trên đó như tập lân cận, cận trên,cận dưới, v.v; phần suy luận toán đề cập tới các khái niệm về ánh xạ, logic,mệnh đề và phép chứng minh mệnh đề

Chương 2 và Chương 3 trình bày các công cụ cơ bản nhất của đại sốtuyến tính đó là không gian véc tơ n chiều, ma trận và định thức Đây làphần nội dung mới chưa được đề cập trong chương trình phổ thông, vì vậycác tính chất cơ bản về véc tơ, ma trận và định thức đều được chứng minhtương đối đầy đủ và chi tiết Các kiến thức cơ bản về hệ phương trình tuyếntính được trình bày ở đây nhằm làm các công cụ phục vụ việc chứng minhmột số các tính chất cơ bản về véc tơ, ma trận và định thức Các minh họakinh tế được đề cập ở đây là sử dụng các công cụ véc tơ, ma trận để mô tả

và tính toán các đại lượng kinh tế Đặc biệt là vận dụng các khái niệm độclập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính và biểu thị tuyến tính để giải thíchmối liên hệ giữa các đại lượng kinh tế có liên quan với nhau và đã đượclượng hóa trong doanh nghiệp

Chương 4 trình bày tổng quan về hệ phương trình tuyến tính với việc

sử dụng các công cụ véc tơ, ma trận và định thức để minh họa Xem nhưmột hệ quả trực tiếp từ hệ phương trình tuyến tính, hệ hỗn hợp các phươngtrình, bất phương trình tuyến tính, hay còn gọi là mô tả giải tích của tậplồi đa diện trong không gian cũng được giới thiệu để chuẩn bị kiến thức cơ

sở cho sinh viên học về bài toán quy hoạch tuyến tính trong môn học Môhình toán Kinh tế Ngoài ra, các mô hình cân bằng thị trường hàng hóa và

mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô cũng được giới thiệu dưới dạng các ví dụ

để minh họa các ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong kinh tếhọc

Chương 5 trình bày khái quát về dạng toàn phương trong không gian

Rn Đây được xem như là sự mở rộng trực tiếp từ tam thức bậc hai mộtbiến số mà sinh viên đã được giới thiệu kỹ trong chương trình phổ thông

trung học lên thành hàm bậc hai hay còn gọi là dạng toàn phương n biếntrong không gian Rn Ở đây, nhằm giúp sinh viên thành thạo hơn trongviệc vận dụng các công cụ: véc tơ, ma trận, định thức và các phép biến đổituyến tính mà các phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc,các tiêu chuẩn kiểm tra tính xác định của dạng toàn phương cũng đã đượctrình bày tương đối chi tiết Nội dung của chương này sẽ giúp ích cho sinhviên có thêm công cụ để mô tả các tiêu chuẩn cực trị của hàm nhiều biến.Đặc biệt là việc sử dụng dạng toàn phương để mô tả hàm tổng doanh thucủa các hãng cùng sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa trên thị trườngđộc quyền nhóm và phương sai hay độ dao động của các danh mục đầu tưtài chính.

Chương 6, sau khi trình bày khái quát về dãy số và chuỗi số, một sốứng dụng trong tài chính được giới thiệu ở đây là lãi suất và các phươngpháp tính lãi suất; các bài toán tính giá trị tương lai và giá trị hiện tại củacác dòng tiền; phân tích tài chính đối với các dự án đầu tư

Từ Chương 7 đến Chương 10 trình bày về hàm số một biến số với một

số nội dung căn bản và quan trọng nhất đó là: giới hạn, đạo hàm, vi phân

và bài toán cực trị Các nội dung toán học được trình bày cô đọng, có chứngminh chi tiết; hệ thống các quy tắc tính toán được liệt kê tương đối đầy đủ

và đều có ví dụ minh họa Một số ứng dụng trong kinh tế được trình bày

ở đây là việc thiết lập một số hàm số cơ bản trong kinh tế; ý nghĩa kinh tếcủa sự liên tục, gián đoạn của hàm số; hàm giá trị cận biên, hệ số co giãn

và phương pháp giải các bài toán tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chiphí thường xuất hiện trong các doanh nghiệp Ngoài ra, tính lồi, lõm củahàm số cũng được trình bày nhằm liên hệ với một số quy luật biến thiêncủa các đại lượng kinh tế như: quy luật chi phí cận biên giảm dần thể hiệntính lõm của các hàm chi phí, đối với các loại hàng hóa thông thường vàxây dựng giá hàng hóa theo phương pháp lũy tiến thể hiện tính lồi của hàmchi phí, đối với các loại hàng hóa đặc biệt, khan hiếm

Chương 11 và 12 trình bày khái quát về hàm số nhiều biến số với cácminh họa thông qua hàm số hai biến số Các khái niệm đạo hàm riêng cấpmột, đạo hàm riêng cấp hai được trình bày để làm cơ sở cho việc giới thiệucác phương pháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến số Với bài toán tìmcực trị, các khái niệm cực trị địa phương, cực trị toàn cục, cực trị không

có điều kiện và cực trị có điều kiện cũng được trình bày tương đối chi tiết.Phương pháp nhân tử Lagrange cũng được giới thiệu khi trình bày phươngpháp tìm cực trị có điều kiện của các hàm số nhiều biến số Ngoài ra, hàm

ẩn và đạo hàm của hàm ẩn cũng được trình bày nhằm giúp sinh viên phântích các đại lượng kinh tế mà bản thân nó không thể biểu diễn được quacác biến số bằng hàm hiện Các ứng dụng trong kinh tế được đề cập ở đâychủ yếu vẫn là các bài toán về phân tích cận biên của các đại lượng kinh

tế và phương pháp giải các bài toán tối đa hóa lợi nhuận và tối thiểu hóachi phí trong doanh nghiệp

Chương 13 trình bày khái quát về tích phân với một số nội dung cơbản là: tích phân bất định, tích phân xác định theo nghĩa Riemann, tíchphân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số Một số nội dung kinh tếđược minh họa ở đây là cách xác định các hàm gốc khi biết các hàm cậnbiên, hay hệ số co giãn của nó (bài toán tìm nguyên hàm) Các ứng dụngtrong tài chính như: tính giá trị hiện tại của dòng tiền liên tục, đường congLorenz minh họa phân bổ thu nhập quốc dân trong một quốc gia; thặng

dư của nhà sản xuất và của người tiêu dùng cũng được đề cập

Giáo trình được biên soạn bởi PGS TS Nguyễn Văn Quý và các cộng

sự là giảng viên trong tổ Toán cao cấp thuộc Bộ môn Toán, Học viện Tàichính:

PGS TS Nguyễn Văn Quý trực tiếp biên soạn 13 chương ThS ĐàoThị Kim Cúc, ThS Lưu Trọng Đại, ThS Trần Trung Kiên, ThS TrươngThị Diệu Linh, ThS Lê Thị Liễu, ThS Nguyễn Thị Bích Ngọc, ThS TrầnThị Minh Nguyệt, ThS La Văn Thịnh, ThS Khuất Quang Thành và ThS.Mai Thị Thu Trang cùng tham gia biên soạn phần bài tập sau mỗi chương,phần đáp số và hướng dẫn giải các bài tập, chỉnh sửa các lỗi chính tả vàlỗi in ấn của bản thảo giáo trình

Mặc dù đã được rà soát khá kỹ lưỡng, chắc chắn Giáo trình vẫn khôngthể tránh khỏi một số lỗi về cả chuyên môn, đánh máy và chế bản Tác giả

và các cộng sự rất mong nhận được và chân thành cảm ơn các ý kiến đónggóp quý báu cho Giáo trình từ các đồng nghiệp và bạn đọc

Sơ lược về tập hợp và suy

luận logic toán

1.1.1 Khái niệm tập hợp

Tập hợp được xem là một khái niệm “khởi đầu” không định nghĩa Nógần đồng nghĩa với các từ như họ, hệ, lớp, và được dùng để mô tả mộtquần thể của những đối tượng phân biệt được mà chúng ta tư duy như mộtthể trọn vẹn Ví dụ như: tập hợp các sinh viên của một lớp học; tập hợp cáccây trong một vườn cây; tập hợp các số tự nhiên, v.v Những thành viêncủa một tập hợp được gọi là phần tử (hay điểm) Khi cho một tập hợp,người ta phải mô tả được dấu hiệu hay các thuộc tính mà nhờ đó người

ta có thể phân biệt được một đối tượng cụ thể có phải là phần tử của tậphợp đã cho hay không? Trong toán học, đôi khi người ta dùng cách gọi tắt

“tập hợp” là “tập” và mỗi tập hợp thường được đặt tên bằng một hay mộtnhóm ký hiệu mang tính gợi nhớ nào đó

Cho A là một tập hợp, ta viết x ∈ A có nghĩa là x là một phần tử thuộc

A, và x /∈ A có nghĩa là x không phải là một phần tử thuộc A, hay x nằmngoài A Ví dụ như: N là tập các số tự nhiên, viết 2 ∈ N nghĩa là 2 là một

số tự nhiên; viết 2, 5 /∈ N nghĩa là 2, 5 không phải là một số tự nhiên

Để biểu diễn một tập hợp, thông thường người ta hay sử dụng phươngpháp liệt kê các phần tử của nó trong một cặp dấu móc { .}, hay nêuthuộc tính chung P nào đó của các phần tử trong tập hợp bằng cách viết

A = {x : x thỏa mãn P }, hay A = {x|x thỏa mãn P }, dấu “:” và dấu

“|” có ý nghĩa như nhau Ví dụ như: cho tập hợp A = {1, 3, 5, 7, 9}, hay

A = {x : x là số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10} Lưu ý rằng, khi mô tả tập hợpbằng phương pháp liệt kê thì người ta không phân biệt thứ tự các phần tửtrong tập hợp đó

Người ta quy ước tập rỗng (hay tập trống) là tập hợp không có mộtphần tử nào và được ký hiệu là ∅ Ví dụ như: tập hợp các đỉnh núi ở ViệtNam có độ cao trên 8.000 mét (so với mực nước biển) là một tập rỗng; tậphợp các số nguyên tố chính phương cũng là một tập rỗng

Hai tập hợp A và B có thể có những mối quan hệ hoặc không có mốiquan hệ với nhau.

Ta nói hai tập hợp A và B trùng nhau (hay bằng nhau) và viết là A = Bnếu chúng có cùng những phần tử, tức là nếu x ∈ A thì x ∈ B và ngượclại Khi A không trùng với B thì ta viết A 6= B Ví dụ như: A = {2, 4}; B

là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 5 thì A = B

Hình 1.1 Biểu đồ Venn

Ta nói A là tập con của B nếu mọi phần

tử thuộc A đều thuộc B và được ký hiệu

là A ⊆ B hay A ⊂ B (đọc là A nằm trong

B; hoặc viết ngược lại B ⊇ A, hay B ⊃ A

(đọc là B chứa A) Nếu A ⊂ B và A 6= B

thì ta nói rằng A là tập con thực sự của B

Nói tập A là tập con của B thì đồng nghĩa

với tập B chứa tập A Ta quy ước rằng tập

rỗng là con của mọi tập.1

như: A = {1, 2, 3, a}, B = {a, b, c, 3} thì

A ∩ B = {a, 3} Hiển nhiên là A ∩ ∅ = ∅ và

A ∩ A = A

• Hiệu của B và A được ký hiệu bởi B \ A, là tập hợp gồm các phần tửthuộc B mà không thuộc A Nghĩa là, B \ A = {x : x ∈ B và x /∈ A} Ví

dụ như, A = {1, 2, 3, a}, B = {a, b, c, 3} thì B \ A = {b, c} Đặc biệt, nếu

A ⊂ B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B

1

John Venn: nhà toán học người Anh, 1834-1923.

(iv) Quy tắc De Morgan:

A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C)

Trường hợp tổng quát, cho tập hợp X và một họ n tập hợp Ai, i =

I Số nguyên

Chúng ta đều biết, tổng và tích của hai số tự nhiên cũng là một số tựnhiên Nói một cách khác, tập hợp các số tự nhiên N là đóng với hai phéptoán số học: phép cộng và phép nhân Tuy nhiên, với phép toán trừ thìđiều này không còn đúng nữa Chẳng hạn, không tồn tại số tự nhiên n saocho 10 + n = 5 Điều này khiến chúng ta phải mở rộng tập hợp số tự nhiên

N Số được mở rộng trước tiên là số 0 Tiếp theo là các số đối của các số

tự nhiên: −1, −2, −3, , −n, và được gọi là các số nguyên âm Tập hợpcác số nguyên dương, số 0 và các số nguyên âm được gọi là tập hợp các sốnguyên và ký hiệu là Z

I Số hữu tỷ

Trong tập hợp các số nguyên Z, tổng, hiệu và tích của hai số nguyên làmột số nguyên Nói một cách khác, tập hợp các số nguyên Z là đóng vớicác phép toán cộng, trừ và nhân Tuy nhiên, với phép toán chia thì điềunày không còn đúng nữa Chẳng hạn, không tồn tại nghiệm nguyên củaphương trình 5m = 3 Điều này khiến chúng ta phải mở rộng tập hợp các

số nguyên Số hữu tỷ là tỷ số của hai số nguyên, hay mỗi số hữu tỷ đượcviết dưới dạng một phân số đã tối giản mn, trong đó m, n đều là các sốnguyên và n 6= 0 Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỷ làmột số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn Ví dụ như:

tỷ√2 = 1, 4142135623 Tương tự, phương trình x2 = 3 có hai nghiệm2

Pythagore: nhà toán học người Hy Lạp, 580-500 TCN.

là hai số vô tỷ:

√

3 = 1, 73205080756888 và −√3 = −1, 73205080756888 Tập hợp các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập số thực và ký hiệu

là R Tập hợp các số thực không âm ký hiệu là R+ Tập hợp các số thựcdương ký hiệu là R++

số tăng dần theo khoảng cách từ số đó tới điểm gốc Bên trái số 0 là các sốthực âm, độ lớn của nó giảm dần theo khoảng cách từ số đó tới điểm gốc.Hai số thực x và −x đối xứng nhau qua điểm gốc Độ dài khoảng cách từgốc đến số 1 được xem như đơn vị đo của trục số thực

Hình 1.5 Trục số thực

Với hai số thực a và b bất kỳ, a < b hay b > a khi và chỉ khi vị trí của

số a nằm bên trái vị trí của số b trên trục số Khoảng cách hình học giữahai số thực bất kỳ a và b (độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm ứng với hai

Khoảng nửa đóng nửa mở (a, b] chỉ tập hợp các số thực đồng thời lớn hơn

a và không lớn hơn b, hay

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}

I Khoảng vô hạn

Hai ký hiệu −∞ (đọc là trừ vô cùng) và +∞ (đọc là cộng vô cùng)tương ứng tượng trưng cho điểm đầu mút bên trái (điểm xa nhất ở bêntrái) và điểm đầu mút bên phải (điểm xa nhất ở bên phải) của trục số thực.Lưu ý rằng, đây chỉ là các ký hiệu quy ước chứ không phải là các số thực.Với mọi số thực x bất kỳ ta đều có −∞ < x < +∞ Các tập con của tập

số thực được ký hiệu và định nghĩa dưới đây gọi là các khoảng vô hạn:

I Lân cận của một điểm hữu hạn trên trục số

Cho trước số thực a Với mỗi δ > 0, ta gọi (a − δ, a + δ) là một lâncận bán kính δ của điểm a, hay δ lân cận của điểm a và ký hiệu là Vδ(a).Chẳng hạn như, với a = 1, chọn bán kính δ = 1, ta có:

V1(1) = {x ∈ R : |x − 1| < 1} = (0, 2),còn nếu chọn δ = 0, 1 thì ta có:

a) A = {−3} ∪ (0, 1) ∪ (2, +∞);

b) B = (−5, 5) ∪ {7} ∪ (8, 15) ∪ {20};

c) C = (−∞, 4)

Lời giải a) A bị chặn dưới vì a ≥ −3 với mọi a ∈ A Tuy nhiên, A không

bị chặn trên vì với mọi số M ta đều chọn được a = M2+ 3 ∈ A và a > M.b) B bị chặn, hay giới nội vì −5 < b ≤ 20, với mọi b ∈ B

c) C bị chặn trên vì c < 4, với mọi c ∈ C Tuy nhiên, C không bị chặndưới vì với mọi số m ta đều chọn được c = −m2− 1 ∈ C và c < m 

• Cận trên nhỏ nhất của X (nếu tồn tại) được gọi là supremum của

X và ký hiệu là sup(X) Nếu X không có cận trên, hay X không bịchặn trên thì ta quy ước sup(X) = +∞ Nếu sup(X) = u∗ ∈ X (u∗

là một số hữu hạn) thì ta gọi u∗ là giá trị lớn nhất, hay phần tử cựcđại (maximum) của X và ký hiệu là max(X) = u∗ Nếu u∗∈ X hoặc/sup(X) = +∞ thì ta nói trong X không tồn tại phần tử lớn nhất,hay không tồn tại max(X)

• Cận dưới lớn nhất của X (nếu tồn tại) được gọi là infimum của X

và ký hiệu là inf(X) Nếu X không có cận dưới, hay X không bịchặn dưới thì ta quy ước inf(X) = −∞ Nếu inf(X) = l∗ ∈ X (l∗ làmột số hữu hạn) thì ta gọi l∗ là giá trị nhỏ nhất, hay phần tử cựctiểu (minimum) của X và ký hiệu là min(X) = l∗ Nếu l∗ ∈ X, hay/inf(X) = −∞ thì ta nói trong X không tồn tại phần tử nhỏ nhất,hay không tồn tại min(X)

Ví dụ 1.2 Chỉ ra một cận trên, một cận dưới, inf, sup, min, max (nếu tồntại) của các tập hợp sau:

1.3.1 Mô tả số phức

Hình 1.6

Chúng ta quy ước sử dụng chữ cái i để chỉ đơn

vị ảo và là nghiệm của phương trình x2+ 1 = 0,

nghĩa là ta có i2 = −1 Về mặt hình thức thể hiện,

mỗi số phức được biểu diễn dưới dạng a+ib, hoặc

a + bi, trong đó a, b là các số thực, a là phần thực

còn b là phần ảo Mỗi số thực có thể xem tương

ứng với một số phức có phần ảo bằng không

Trên mặt phẳng tọa độ, ta qui ước trục hoành

là trục thực còn trục tung là trục ảo, mỗi số phức a + ib tương ứng duynhất với một điểm A(a, b) và ngược lại Mặt phẳng này được gọi là mặtphẳng phức

1.3.2 So sánh hai số phức

Định nghĩa 1.3 • Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phầnthực và phần ảo tương ứng bằng nhau Cụ thể, a + ib = c + id khi và chỉ

Bốn phép toán số học với các số phức cũng có các tính chất tương tự nhưvới các số thực đó là tính giáo hoán, tính kết hợp và tính phân phối.

1.3.4 Dạng lượng giác của số phức

Với mỗi số phức a + ib mà a2+ b2 > 0, có thể viết dưới dạng:

a + ib =pa2+ b2

a

√

a2+ b2 + i√ b

a2+ b2



Đặt ρ = √a2+ b2, θ là góc thỏa mãn 0 ≤ θ ≤ 2π, cos θ = √ a

a2+ b2 vàsin θ = √ b

(a + ib)n=ρ(cos θ + i sin θ)n= ρn(cos nθ + i sin nθ)

Căn cứ vào công thức lũy thừa một số phức ta có thể xác định đượcphép toán khai căn với số phức Cụ thể ta qui ước:

n

√

a + ib = c + idnếu (c + id)n= a + ib Từ đó ta có công thức:

n + i sin

θ + 2kπn

,

với mọi số nguyên dương n và 0 ≤ k ≤ n − 1 (biểu thức nhận n giá trị khácnhau).

1.4.1 Tích Descartes

Tích Descartes3của hai tập hợp khác rỗng A, B được ký hiệu bởi A×B,

là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b), với a ∈ A là phần tử đứng trước

và b ∈ B là phần tử đứng sau Ví dụ như, A = {a, b} và B = {1, 2, 3} thì:

A × B = {(a, 1); (a, 2); (a, 3); (b, 1); (b, 2); (b, 3)}

Một cách tổng quát tích Descartes của n ≥ 2 tập hợp X1, X2, , Xn làtập các bộ có thứ tự n phần tử (x1, x2, , xn), với xi∈ Xi, i = 1, 2, , n

và được ký hiệu là:

X1× X2× · · · × Xn.Đặc biệt, nếu X1 = X2 = · · · = Xn = X thì X1× X2× · · · × Xn đượcviết gọn là Xn Ví dụ như:

dụ cụ thể dưới đây

Cho tập hợp các số tự nhiên A = {2, 3, 4, 5, 6}, xét quan hệ trong A làquan hệ chia hết thông thường đối với hai số tự nhiên Một cách cụ thể,phần tử a ∈ A được gọi là có quan hệ với phần tử b ∈ A nếu a chia hết cho

b Khi đó, do các số trong A là chia hết cho chính nó, nên các cặp trong A

có quan hệ với nhau được liệt kê là:

{(2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6); (4, 2); (6, 2); (6, 3)}.Đây hiển nhiên là một tập con của tập A2

Một cách tổng quát, một quan hệ hai ngôi trên một tập hợp X khácrỗng là một quy tắc xác định các cặp phần tử (x, y) (x, y có thể trùng nhau)

có quan hệ với nhau theo quy tắc đó Nếu ký hiệu Φ là các cặp (x, y) cóquan hệ với nhau theo quy tắc đã xác định thì hiển nhiên Φ là một tập con

3

René Descartes: nhà toán học người Pháp, 1596-

của X2 Vì vậy, ta có thể đồng nhất mỗi quan hệ hai ngôi trong tập X làmột tập con Φ của tập tích Descartes X2.

Định nghĩa 1.4 Quan hệ hai ngôi trong một tập hợp khác rỗng X là mộttập con Φ của tập tích Descartes X2 Khi đó, phần tử x ∈ X được gọi là

có quan hệ Φ với phần tử y ∈ X (y có thể trùng với x) nếu (x, y) ∈ Φ

Định nghĩa 1.5 Quan hệ hai ngôi Φ trên tập hợp khác rỗng X được gọilà:

• Có tính phản xạ, nếu xΦx với mọi x ∈ X;

• Có tính đối xứng, nếu xΦy thì yΦx với mọi x, y ∈ X;

• Có tính bắc cầu, nếu xΦy và yΦz thì suy ra xΦz;

• Có tính phản đối xứng, nếu xΦy và yΦx thì suy ra x = y

I Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.6 Quan hệ hai ngôi Φ trên tập hợp khác rỗng X được gọi

là quan hệ tương đương nếu nó có đủ ba tính chất: phản xạ, đối xứng vàbắc cầu

Ví dụ như, quan hệ “đồng dạng” là quan hệ tương đương trong tập hợpcác tam giác; quan hệ “cùng năm sinh” là quan hệ tương đương trong tậpcác sinh viên của một trường đại học; quan hệ “không bé hơn”, hay “≥”không phải là quan hệ tương đương trong tập các số thực

I Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1.7 Quan hệ hai ngôi Φ trên tập hợp khác rỗng X được gọi

là quan hệ thứ tự nếu nó có đủ ba tính chất: phản xạ, tính bắc cầu và tínhphản đối xứng

Ví dụ như, quan hệ “x ≥ y” là quan hệ thứ tự trên tập số thực; quan

hệ “p chia hết cho q” là quan hệ thứ tự trong tập các số tự nhiên

1.4.3 Ánh xạ

I Ánh xạ, ảnh và nghịch ảnh

Định nghĩa 1.8 Cho hai tập hợp khác rỗng X và Y Một ánh xạ từ X vào

Y là một quy tắc đặt mỗi phần tử x ∈ X tương ứng với một và chỉ mộtphần tử y ∈ Y Nếu đặt tên quy tắc trên là f thì người ta thường viết:

f :X −→ Y

x 7−→ y = f (x).

Định nghĩa 1.9 Cho X, Y là hai tập khác rỗng và ánh xạ f : X → Y

• Với mỗi phần tử x ∈ X, qua ánh xạ f, y = f (x) được gọi là ảnh của x

• Với mỗi y ∈ Y, các phần tử x ∈ X mà f (x) = y được gọi là nghịchảnh của y và ký hiệu là f−1(y)

• Với mỗi tập con khác rỗng A ⊂ X thì:

f (A) = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, f (x) = y}

được gọi là ảnh của A

• Với mỗi tập con khác rỗng B ⊂ Y thì:

f−1(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}

được gọi là nghịch ảnh của B

Ta xét hai ví dụ minh họa đơn giản:

(i) Cho X = Y = R, phép đặt mỗi phần tử x ∈ R tương ứng với số thực

y = x2 là một ánh xạ Ảnh của tập các số tự nhiên N là tập các số chínhphương, trừ số 0 Nghịch ảnh của tập các số chính phương (kể cả số 0) làtập số nguyên Z

Hình 1.7

(ii) Phép đặt mỗi điểm M nằm trong tam giác

đều ABC tương ứng với chân đường vuông góc

H của nó xuống cạnh BC là một ánh xạ Ảnh

của cạnh AB là đoạn BK (K là trung điểm của

cạnh BC) Tuy nhiên, nghịch ảnh của đoạn BK

lại là cả tam giác vuông ABK

I Đơn ánh, toàn ánh và song ánh

Định nghĩa 1.10 Cho X, Y là hai tập hợp khác

rỗng và ánh xạ f : X → Y

• f được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2 ∈ X; x1 6= x2 thì f (x1) 6=

f (x2) Nói một cách khác, f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi phần tử

y ∈ Y thì nghịch ảnh f−1(y) của nó hoặc là tập rỗng, hoặc chỉ gồm duynhất một phần tử

• f được gọi là toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X để

f (x) = y Nói một cách khác, f là toàn ánh khi và chỉ khi f−1(y) là khácrỗng với mọi y ∈ Y

• f được gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh và vừa toàn ánh

Ví dụ: Ánh xạ f : R → R+ với y = f (x) = x2 là toàn ánh nhưng khôngđơn ánh Tuy nhiên, nếu ánh xạ f : R+ → R+ với y = f (x) = x2 thì vừa

đơn ánh, vừa toàn ánh và vì vậy nó là song ánh.

I Ánh xạ ngược

Định nghĩa 1.11 Cho X, Y là hai tập khác rỗng và ánh xạ f : X → Y làmột song ánh Khi đó, ánh xạ g : Y → X được gọi là ánh xạ ngược của fnếu với mọi x ∈ X thì:

g(f (x)) = x

Nhận xét 1.1 Giả sử ánh xạ f : X → Y là một song ánh Khi đó, với mỗi

y ∈ Y tồn tại duy nhất x = f−1(y) Ta định nghĩa ánh xạ từ Y vào X theoqui tắc:

y 7−→ x = f−1(y)thì ánh xạ này chính là ánh xạ ngược của ánh xạ f Bởi vậy, ta thường lấy

f−1 ký hiệu cho ánh xạ ngược của ánh xạ f

Ví dụ như, ánh xạ f : R+→ R+, với y = f (x) = x2 là một song ánh và

f−1: R+→ R+ với x = f−1(y) =√y là ánh xạ ngược của f

1.5.1 Mệnh đề

I Khái niệm về mệnh đề logic toán

Hiểu theo nghĩa rộng thì mệnh đề là một câu hoàn chỉnh chuyển tải nộidung thông tin, mô tả một đối tượng nào đó hoặc phát biểu một ý kiếnmang tính khẳng định đúng hoặc sai (true or false) Trong logic toán, tachỉ hạn chế xét các mệnh đề mà về nguyên tắc có thể quy về một và chỉmột trong hai phạm trù là mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai Chúng ta gọicác mệnh đề như vậy là mệnh đề logic Đúng và sai là hai giá trị chân lýhay hai giá trị logic của mệnh đề; giá trị đúng được biểu trưng bằng chữ

số 1 và giá trị sai được biểu trưng bằng chữ số 0

Các phát biểu sau:

“7 là số nguyên tố” là một mệnh đề logic nhận giá trị đúng

“13 là số chính phương” là một mệnh đề logic nhận giá trị sai

“Bình phương của một số nguyên là một số chẵn” không phải là mộtmệnh đề logic

Để phân biệt các mệnh đề với nhau, người ta thường đặt tên cho các mệnh

đề, chẳng hạn như các mệnh đề A, B, C

I Luật phủ định

Phủ định của một mệnh đề A là mệnh đề “không phải A” và được kýhiệu là A Giá trị logic của A là ngược với giá trị của A (xem bảng dướiđây)

Các định lý toán học thường sử dụng các mệnh đề kéo theo, trong đó

A được gọi là giả thiết còn B là kết luận Khi đó, các mệnh đề kéo theothường được thể hiện dưới các dạng:

(i) “Có A thì có B”;

(ii) “ Có B khi có A”;

(iii) “Điều kiện đủ của B là A”;

(iv) “Điều kiện cần của A là B”; v.v

Mệnh đề kéo theo B =⇒ A được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề kéotheo A =⇒ B

I Mệnh đề tương đương

Hai mệnh đề A, B được gọi là tương đương nếu cả hai mệnh đề kéo theo

A =⇒ B, B =⇒ A cùng nhận một giá trị logic đúng hoặc sai và được kýhiệu là A ⇐⇒ B Trong toán học, mệnh đề này thường được thể hiện dướidạng “Điều kiện cần và đủ của A là B”, hay “A khi và chỉ khi B”

I Mệnh đề phức hợp

Trên cơ sở các mệnh đề cơ bản, chúng ta có thể lập các mệnh đề phứchợp bằng việc ghép một vài các mệnh đề cơ bản với nhau thông qua cácphép ghép ∧, ∨ và =⇒ Chẳng hạn xem bảng giá trị sau:

I Khái niệm về biến

Cho X là một tập khác rỗng Một ký hiệu nào đó mà có thể nhận giátrị là một phần tử bất kỳ nào đó trong X được gọi là một biến Ký hiệu

đó gọi là tên biến, còn tập X là miền biến thiên của biến.

Ví dụ như, biến x có miền biến thiên là tập X = [0, 1] thì x có thể nhậngiá trị là một số bất kỳ trên đoạn [0, 1]; hay biến a nhận giá trị trên miền

A = [0, 1]2, thì a sẽ gồm hai thành phần a = (a1, a2) với a1, a2 có thể nhậngiá trị là một số bất kỳ trên đoạn [0, 1]

I Hàm mệnh đề

Hàm mệnh đề là một mệnh đề có chứa biến số x biến thiên trên tập Xkhác rỗng và khi x nhận một giá trị cụ thể nào đó trong X thì mệnh đề đótrở thành mệnh đề logic

Mệnh đề: “n là một số tự nhiên, 2n + 1 chia hết cho 5” không phải làmột mệnh đề logic vì giá trị chân lý (đúng, sai) của nó phụ thuộc vào biến

n Khi n là một số tự nhiên cụ thể nào đó thì mệnh đề đã cho sẽ trở thànhmệnh đề logic Chẳng hạn như, với n = 2 mệnh đề nhận giá trị đúng, cònvới n = 3 mệnh đề nhận giá trị sai

Lưu ý rằng, hàm mệnh đề có thể chứa nhiều biến và chúng ta có thểgộp các biến đó thành một biến Chẳng hạn như, nếu hàm mệnh đề chứabiến x biến thiên trên tập X và biến y biến thiên trên tập Y thì chúng ta

có thể gộp thành một biến u = (x, y) biến thiên trên tập U = X × Y.Hàm mệnh đề chứa biến x biến thiên trên tập X khác rỗng có thể được

ký hiệu là A(x), x ∈ X Tập con XT ⊂ X được gọi là miền đúng của A(x)nếu A(x) nhận giá trị đúng với mọi x ∈ XT Tương tự, tập con XF ⊂ Xđược gọi là miền sai của A(x) nếu A(x) nhận giá trị sai với mọi x ∈ XF.Hiển nhiên XT ∩ XF = ∅ và XT ∪ XF = X

Ví dụ như, với hàm mệnh đề “x2 ≥ 1” thì miền đúng của nó là XT =(−∞, −1] ∪ [1, +∞), còn miền sai là XF = (−1, 1)

I Lượng từ

Nhìn chung, với hàm mệnh đề A(x), x ∈ X chưa phải là một mệnh đềlogic khi chưa cho giá trị cụ thể của biến x Nếu bổ sung thêm vào hàmmệnh đề phần giá trị của x để được mệnh đề logic thì phần bổ sung đóđược gọi là lượng từ

Xét hàm mệnh đề: “x2− 6x + 5 = 0, x ∈ R” với các phần bổ sung, haylượng từ như sau:

“Với x = 5 ta có: x2− 6x + 5 = 0” Mệnh đề này nhận giá trị đúng và

“Với x = 5 ta có:” là phần lượng từ

“Tồn tại hai số thực sao cho: x2− 6x + 5 = 0” Mệnh đề này nhận giátrị đúng và “Tồn tại hai số thực sao cho:” là phần lượng từ

“Tồn tại duy nhất x ∈ R sao cho: x2− 6x + 5 = 0” Mệnh đề này nhậngiá trị sai và “Tồn tại duy nhất x ∈ R sao cho:” là phần lượng từ.

Trong các mệnh đề toán học, thường xuất hiện hai loại lượng từ là lượng

từ phổ quát ứng với cụm từ “với mọi x ∈ X” và lượng từ tồn tại ứng vớicụm từ “tồn tại x ∈ X” Giả sử A(x), x ∈ X là một hàm mệnh đề, mệnh đề

“với mọi x ∈ X thì A(x) đều đúng” được ký hiệu là ∀x ∈ X, A(x) Mệnh đềphủ định của mệnh đề này là: “tồn tại x ∈ X để A(x) không đúng (nghĩa làA(x) đúng)” được ký hiệu là ∃x ∈ X, A(x) Cặp mệnh đề này là phủ địnhcủa nhau

1.5.3 Điều kiện cần và điều kiện đủ

I Luật trong logic toán

Cho hàm mệnh đề A(x), x ∈ X Nếu miền đúng của hàm mệnh đề này

là cả tập X, nghĩa là XT = X thì hàm mệnh đề này được xem như là mộtluật trên tập X Ví dụ như: “∀x ∈ R, x2 ≥ 0” là một luật trên toàn bộ tập

số thực Đặc biệt, mệnh đề “A ∨ B” là một luật trên tập tất cả các mệnh đềlogic; hàm mệnh đề hai biến (mỗi biến là một mệnh đề): “A ∨ B =⇒ A ∧ B

” là một luật logic

I Điều kiện cần và điều kiện đủ

Khi nghiên cứu các đối tượng có chứa biến số x chạy trên một tập khácrỗng X, các nhận định mang tính khái quát thường được phát biểu dướidạng các hàm mệnh đề Các mệnh đề mang tính diễn giải thường có dạng:

“Với mọi x ∈ X nếu A(x) đúng thì suy ra B(x) cũng đúng” và được ký hiệulà:

là “n chia hết cho 3”

I Điều kiện cần và đủ

Vẫn xét các hàm mệnh đề A(x) và B(x), x ∈ X Nếu A(x) đúng thì suy

ra B(x) cũng đúng và ngược lại, nếu B(x) đúng thì suy ra A(x) cũng đúng.Nói một cách khác thì A(x) vừa là điều kiện cần vừa là điều kiện đủ củaB(x) Khi đó ta nói, A(x) là điều kiện cần và đủ của B(x), hay B(x) là điềukiện cần và đủ của A(x) và thường được ký hiệu là:

đề này được phân thành hai loại:

(i) Các mệnh đề được thừa nhận là đúng, bao gồm các mệnh đề địnhnghĩa và tiên đề

(ii) Các mệnh đề đã được chứng minh là đúng

I Phép suy luận đúng

Phép suy luận đúng là phép suy luận dựa theo các luật logic hoặc cácluật kéo theo trên một tập X khác rỗng đã cho trước nào đó Luật kéo theotrên một tập X có dạng:

A(x) =⇒ B(x), x ∈ X(với mỗi x ∈ X, nếu A(x) đúng thì suy ra B(x) cũng đúng) và thường đượcgọi là một luật trên tập X Chẳng hạn, trong số các tam giác vuông người

ta đã chứng minh được luật nói rằng “nếu hai tam giác vuông có hai cạnhgóc vuông tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau” Sử dụngluật này, nếu chúng ta chỉ ra được hai tam giác vuông thỏa mãn luật thìchúng sẽ bằng nhau

Cần lưu ý rằng, bản thân các luật logic và các luật trên phạm vi mộttập hợp nói trên cũng là các mệnh đề cần được chứng minh là đúng vàchúng thường được phát biểu dưới dạng các định lý Bản thân các định lý

đó cũng lại được thiết lập xuất phát từ hệ thống các định nghĩa, tiên đề vàcác định lý trước đó Tiếp theo mỗi định lý được chứng minh lại là căn cứ

để chứng minh các định lý khác sau đó Đó chính là logic phát triển của

mọi hệ thống lý thuyết trong khoa học nói chung và trong toán học nóiriêng.

I Một số luật logic thường gặp

Giả sử hàm mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện:

4

De Morgan: nhà toán học người Anh, 1806-1871.

(i) A(n) đúng khi n = p;

(ii) Nếu A(n) đúng khi n = k ∈ Zp thì A(n) cũng đúng với n = k + 1.Khi đó A(n) đúng với mọi n ∈ Zp

I Phương pháp chứng minh quy nạp

Chứng minh quy nạp tức là chứng minh hàm mệnh đề A(n) nhận giátrị đúng trên miền xác định Zp là các số nguyên không nhỏ hơn một sốnguyên p nào đó đã được xác định trước Theo tiên đề qui nạp thì chúng tacần chỉ ra: (i) A(p) đúng; (ii) Với mọi k ∈ Zp, nếu A(k) đúng thì A(k + 1)cũng đúng

Ví dụ 1.3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 6 ta đều có:

2n> (n + 1)2.Lời giải Tính toán trực tiếp ta thấy bất đẳng thức đúng với n = 6 Giả

sử bất đẳng thức đúng với k ≥ 6, ta phải chứng tỏ bất đẳng thức cũngđúng với k + 1 Thực vậy, theo giả thiết quy nạp thì:

Không gian véc tơ R n

phương pháp khử ẩn liên tiếp

2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình với n

ẩn số được mô tả tường minh dưới dạng sau:

là các hệ số đã được cho trước

Định nghĩa 2.2 Một bộ gồm n số thực α1, α2, , αn được gọi là nghiệmcủa hệ phương trình tuyến tính (2.1) nếu khi thay x1 = α1, x2 =

α2, , xn= αn vào hệ thì ta sẽ được m đồng nhất thức

Mỗi hệ phương trình tuyến tính có thể có duy nhất nghiệm, vô sốnghiệm, hoặc vô nghiệm Việc tìm nghiệm cho một hệ phương trình tuyếntính nói chung là không đơn giản Tuy nhiên, nếu hệ có dạng đặc biệt nhưdạng tam giác hay dạng hình thang thì việc tìm nghiệm của hệ là tươngđối đơn giản

2.1.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác

Từ phương trình thứ n, ta rút ra được:

xn= bn

ann

Thế xn đã tính được vào phương trình thứ n − 1 ta rút ra được tiếp:

xn, xn−1, , x2 đã tính được vào phương trình thứ nhất ta sẽ tính được

2.1.3 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang

Đặt xp+1 = αp+1, , xn = αn là các số tùy ý nào đó và viết lại hệ đãcho dưới dạng:

αp+1, , αn; còn n − p ẩn còn lại xp+1= αp+1, , xn= αnđã được xác định

từ trước Ứng với mỗi giá trị cụ thể của αp+1, , αn ta sẽ nhận được mộtnghiệm cụ thể và gọi đó là một nghiệm riêng của hệ đã cho Do αp+1, , αn

là các số tùy ý nên hệ phương trình dạng hình thang đã cho có vô số nghiệm

Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính:

Lời giải Cho x4 = α4, x5 = α5 là các số tùy ý nào đó và viết lại hệ dướidạng:

x2 = 3 − 3α4− 3α5.Cuối cùng, thế x2, x3 vào phương trình thứ nhất ta rút ra được:

x1 = 3 − α4.Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm với các thành phần tương ứng:



3 − α4, 3 − 3α4− 3α5, 1 − 1

2α4− 2α5, α4, α5

,

trong đó α4, α5 là các số tùy ý

Cho chẳng hạn α4 = 0, α5= 1, ta nhận được một nghiệm riêng của hệvới các thành phần tương ứng là: (3, 0, −1, 0, 1) Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là làm thế nào để đưa một hệ phươngtrình tuyến tính về dạng tam giác hay dạng hình thang, khi nó chưa ở mộttrong hai dạng đó? Phép biến đổi sơ cấp được trình bày dưới đây sẽ giúp

ta trả lời câu hỏi này

2.1.4 Phương pháp khử ẩn liên tiếp

I Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ phương trìnhtuyến tính

Định lý 2.1 Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp dưới đây:

(i) Đổi chỗ hai phương trình nào đó cho nhau;

(ii) Đổi chỗ theo cùng thứ tự hai hạng tử (số hạng) chứa hai ẩn nào đótrong tất cả các phương trình;

(iii) Nhân một số thực khác không vào một phương trình nào đó (nhânvào từng vế);

(iv) Cộng vào một phương trình nào đó tích của một số thực tùy ý vớimột phương trình khác vào hệ phương trình tuyến tính gốc:

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

(2.3)

thì ta sẽ nhận được một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương theonghĩa: nếu x1= x01, x2= x02, , xn= x0n là một nghiệm của hệ phương trìnhtuyến tính mới thì nó cũng là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gốc

và ngược lại

Chứng minh Ba phép biến đổi đầu là tương đối hiển nhiên, ta chỉ đơn

cử phép chứng minh cho phép biến đổi thứ tư Để đơn giản và cũng khôngmất tính tổng quát, ta giả sử là cộng vào phương trình thứ hai tích của sốthực λ với phương trình thứ nhất Khi đó, hệ phương trình tuyến tính mớinhận được có dạng:

Hai hệ (2.3) và (2.4) chỉ khác nhau phương trình thứ hai

Giả sử x1 = x01, x2 = x02, , xn = x0n là nghiệm của hệ (2.3), để chứng

và cộng vào đẳng thức thứ hai đẳng thức thứ nhất sau khi đã nhân với

I Phương pháp khử ẩn liên tiếp

Phương pháp khử ẩn liên tiếp là sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đãnêu trong Định lý 2.1 để đưa hệ phương trình tuyến tính đã cho về dạngtam giác hoặc dạng hình thang Một cách cụ thể hơn, ẩn x1 chỉ xuất hiện

ở phương trình thứ nhất mà không xuất hiện ở các phương trình còn lại;

ẩn x2 chỉ xuất hiện ở phương trình thứ hai và có thể ở các phương trìnhtrước đó, không xuất hiện ở các phương trình còn lại; v.v

Nếu cần thì đổi chỗ các phương trình cho nhau nên ta có thể giả thiết

a11 6= 0 Lần lượt cộng vào các phương trình thứ i, i = 2, , m tích của

a0m2x2 + a0m3x3 + + a0mnxn = b0m

(2.5)

Tương tự với hệ (2.4), không mất tính tổng quát, nếu cần thì đổi chỗcác phương trình hoặc đổi chỗ các số hạng chứa các ẩn trong các phươngtrình, ta giả sử rằng a022 6= 0 Lần lượt cộng vào các phương trình thứ

i, i = 3, 4, , m tích của −a

0 i2

a022 với phương trình thứ hai, sau đó đặt:

a00ij = a0ij− a

0 i2

a022a

0 2j, b00i = b0i− a

0 i2

a00m3x3 + + a00mnxn = b00m.Lặp lại quá trình trên với giả thiết a0033 6= 0 Sau một số hữu lạn lần thựchiện ta sẽ biến đổi hệ phương trình tuyến tính đã cho về hệ phương trình

có dạng tam giác hay hình thang tương đương với nó

Lưu ý rằng, trong quá trình khử ẩn, nếu trong hệ phương trình tuyếntính mới nhận được xuất hiện các phương trình có dạng:

0x1+ 0x2+ + 0xn= 0thì ta loại các phương trình này (phương trình thừa) khỏi hệ phương trìnhđó; còn nếu xuất hiện phương trình dạng:

0x1+ 0x2+ + 0xn= b∗ 6= 0thì ta kết luận hệ phương trình tuyến tính đã cho là vô nghiệm Trườnghợp này, hệ không thể đưa được về dạng tam giác hay dạng hình thang

Hệ quả 2.1 Nếu hệ phương trình tuyến tính có số phương trình ít hơn số

ẩn và có nghiệm thì sẽ đưa được về dạng hình thang và hệ có vô số nghiệm

2.1.5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Đó là hệ phương trình tuyến tính mà tất cả các hệ số vế phải trong cácphương trình đều bằng không:

am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0

Hiển nhiên, x1 = 0, x2= 0, , xn= 0 là nghiệm của hệ phương trình tuyếntính thuần nhất đã cho và ta gọi nó là nghiệm tầm thường Việc hệ phươngtrình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường (ít nhất mộtthành phần khác không) là tương đương với hệ có vô số nghiệm Từ Hệquả 2.1 ta suy ra hệ quả sau

Hệ quả 2.2 Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình

ít hơn số ẩn thì hệ có nghiệm không tầm thường

Ví dụ 2.3 Tìm một nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyếntính sau:







2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 04x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 02x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 = 0Lời giải Trước hết ta thực hiện phương pháp khử ẩn liên tiếp để đưa hệphương trình tuyến tính đã cho về dạng hình thang Cộng vào phương trìnhthứ hai, tích của −2 với phương trình thứ nhất; cộng vào phương trình thứ

ba, tích của −1 với phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình mớitương đương:

Lấy chẳng hạn x4= 4, từ phương trình thứ ba ta rút ra được x3 = 2 Thế

x3 = 2, x4 = 4 vào phương trình thứ hai ta được x2 = −4 Tiếp tục thế

x4 = 4, x3 = 2, x2 = −4 vào phương trình thứ nhất ta được x1 = −3 Vậy

ta nhận được x1 = −3, x2= −4, x3 = 2, x4 = 4 là một nghiệm riêng khôngtầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đã cho 

2.2 Không gian véc tơ n chiều Rn

2.2.1 Khái niệm về véc tơ n chiều

Hình 2.1

Theo quan điểm hình học trực quan thì

véc tơ là một đoạn thẳng có hướng Để mô

tả trực giác về nó người ta phải sử dụng

các khái niệm như điểm gốc, điểm ngọn,

phương, chiều và độ dài

Trên mặt phẳng tọa độ vuông góc xOy,

nếu ta qui ước các véc tơ đều có điểm gốc

trùng với gốc tọa độ thì để thể hiện mỗi véc tơ người ta chỉ cần chỉ ra tọa

độ của điểm ngọn bởi một cặp số (x, y) là đủ Tương tự, xét trên hệ tọa

độ vuông góc ba chiều Oxyz, nếu các véc tơ đều có chung điểm gốc là gốctọa độ thì tọa độ của điểm ngọn là bộ ba số (x, y, z)

Hình 2.2

Nhìn ở góc độ đại số, khi

mô tả định lượng cho các yếu

tố kinh tế, kỹ thuật, người ta

có thể sử dụng một con số, hai

con số, ba con số và thậm chí

nhiều hơn nữa Hãy xem các ví

dụ đơn giản dưới đây:

Số lượng gạo trong một kho

và chiều cao là 5m Để mô tả nội dung này người ta phải sử dụng tới 3 consố

Để theo dõi doanh thu của một cửa hàng xăng dầu theo tháng trongmột năm thì người ta phải sử dụng tới 12 con số và các con số này đượcxếp thứ tự theo tháng

Tóm lại, theo quan điểm đại số, khái niệm véc tơ n chiều được hìnhthành từ việc phải sử dụng một bộ số có thứ tự để mô tả một đối tượngkinh tế, kỹ thuật nào đó và nó được định nghĩa cụ thể như sau

Định nghĩa 2.3 • Mỗi bộ gồm n số thực x1, x2, , xn được xếp có thứ tự

gọi là một véc tơ n chiều.

• Số tự nhiên n là số chiều, còn các số x1, x2, , xn tương ứng là thànhphần thứ nhất, thứ hai, , thứ n của véc tơ đã cho

Để phân biệt giữa các véc tơ với nhau, mỗi véc tơ thường được đặt tênvới ký hiệu đầy đủ, chẳng hạn:

Để thuận tiện trong việc trình bày, nếu không bắt buộc, người ta thườngthể hiện véc tơ theo hàng: X = (x1, x2, , xn), chẳng hạn: X = (−2, 3, 1).Với hai số thực bất kỳ a, b chúng đều có thể so sánh được với nhaunhưng hai véc tơ bất kỳ A, B nhìn chung là không thể so sánh được vớinhau, ngoại trừ một số trường hợp riêng được định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 2.4 Cho hai véc tơ cùng n chiều X = (x1, x2, , xn), Y =(y1, y2, , yn)

• Hai véc tơ được gọi là bằng nhau, ký hiệu X = Y, nếu xi = yi, ∀i =

1, 2, , n

• Véc tơ X lớn hơn hoặc bằng véc tơ Y (véc tơ Y nhỏ hơn hoặc bằngvéc tơ X), ký hiệu X ≥ Y (hay Y ≤ X), nếu xi ≥ yi, ∀i = 1, 2, , n,trong đó có tồn tại ít nhất một dấu bất đẳng thức thực sự và ít nhấtmột dấu đẳng thức

• Véc tơ X lớn hơn véc tơ Y (véc tơ Y nhỏ hơn véc tơ X), ký hiệu

X > Y (hay Y < X), nếu xi > yi, ∀i = 1, 2, , n

Nếu hai véc tơ X và Y không so sánh được với nhau thì ta nói là Xkhác Y và ký hiệu là X 6= Y

Ví dụ 2.4 Chỉ ra một số cặp quan hệ (nếu có) trong bốn véc tơ sau:

X = (1, 2, 3), Y = (0, 2, 1), Z = (1, 2, 3), A = (2, 3, 2)