Các bài toán tối ưu trên đồ thị và ứng dụng

MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU Trên cơ sở nghiên cứu đặc điểm của lý thuyết đồ thị, tiến hành xây dựng các bài toán tối ưu cụ thể trong lý thuyết đồ thị và vận dụng các bài toán đó trong thực tiễn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LE MINH CHUAN

CAC BAI TOAN TOI UU TREN DO THI

VA UNG DUNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán Sơ cấp

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2011

DAI HOC DA NANG

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 1: TS LE HAI TRUNG

Phan bién 2: PGS.TS NGUYEN GIA DINH

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cham

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà

Nẵng vào ngày 28 thang 5 nam 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

3

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐÈ TÀI

Lý thuyết đỗ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu và có

ứng dụng rộng rãi, sâu sắc trong cuộc sống hiện nay

Tối ưu hóa là cốt lõi của mọi ngành khoa học nhằm phát triển

sản xuất, phục vụ đời sống của con người

Đối với đất nước Việt Nam chúng ta, việc năm bắt các bài toán

tối ưu lại càng cấp thiết vì cần phải đón đầu, năm bắt kịp sự phát triển

khoa học kỹ thuật của thế giới hiện nay

Với sự gợi ý giúp đỡ của thầy giáo PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

và bản thân thấy phù hợp với khả năng của mình nên tôi lựa chọn đề

tài “Các bài toán tôi ưu trên đỗ thị và ứng dụng” đề nghiên cứu

Điều kiện đảm bảo cho việc hoàn thành đề tài: được thầy giáo

PGS.TSKH Trần Quốc Chiến hướng dẫn, cung cấp tài liệu và tận tình

giúp đỡ, đồng thời bản thân cố gắng nghiên cứu sưu tập tài liệu để

đảm bảo hoàn thành đề tài

Đề tài phù hợp với sở thích của bản thân, đây là một trong những

nội dung quan trọng trong việc giảng dạy bộ môn Toán Trung học

phô thông và xa hơn giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và

định hướng cho học sinh vươn tới các môn khoa học ứng dụng

2 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Trên cơ sở nghiên cứu đặc điểm của lý thuyết đồ thị, tiến hành

xây dựng các bài toán tối ưu cụ thể trong lý thuyết đồ thị và vận dụng

các bài toán đó trong thực tiễn Góp phần nâng cao vai trò lý thuyết

đỗ thị, để tìm các phương án tối ưu trong các phương án khả thi

3 ĐÓI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là sử dụng lý thuyết đỗ thị để

xác định các bài toán tôi ưu

3.2 Khách thể nghiên cứu Khách thể nghiên cứu của đề tài là một số bài toàn tối ưu trên đồ thị và ứng dụng

3.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi về quy mô: Nghiên cứu một số bài toán tối ưu với sự hỗ trợ của lý thuyết đồ thị

Phạm vi về thời gian: Nghiên cứu trong năm học 2010 - 2011

4 GIA THUYET KHOA HOC

Sử dụng một số bài toán tối ưu trong lý thuyết đồ thị giúp xác

định đường đi ngắn nhất, luồng cực đại, bài toán du lịch và bài toán

tìm cây khung nhỏ nhất

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu đồ thị, đặc điểm lý thuyết đồ thị

- Nghiên cứu vai trò của các bài toán tối ưu trong các bài toán

trên đỗ thị

- Nghiên cứu ứng dụng các bài toán tối ưu trong lý thuyết đồ thị

vào thực tiền

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận Sưu tầm tư liệu liên quan đến lý thuyết đồ thị

Sưu tầm tư liệu liên quan đến các bài tối ưu

Phân tích tài liệu và tổng hợp tài liệu

6.2 Phương pháp thực tiễn Xác định các bài toán tối ưu trong lý thuyết đồ thị Xác định ứng dụng thực tế

7 CÁU TRÚC LUẬN VĂN Gồm 3 chương

Chuong 1 : Cơ sở lý thuyết Chương2_ : Các bài toán tối ưu cơ bản Chương 3 : Các ứng dụng

CHUONG 1

CO SO LY THUYET 1.1 CAC KHAI NIEM CO BAN VE DO THI

1.1.1 Dinh nghia va vi du

1.1.2 Bậc của đỉnh

1.2 CÁC ĐƠN ĐỎ THỊ ĐẶC BIỆT

1.2.1 Đồ thị đầy đủ

1.2.2 Đồ thị vòng

1.2.3 Đồ thị bánh xe

1.2.4 Đồ thị lập phương

1.2.5 Đồ thị phân đôi

1.2.6 Một vài ứng dụng của các đồ thị đặc biệt

1.3 BIEU DIEN DO THI BANG MA TRAN VA SU DANG CAU

DO THI

1.3.1 Dinh nghia

1.3.2 Dinh nghia

1.3.3 Dinh nghia

1.4 ĐƯỜNG DI VA TINH LIEN THONG

1.4.1 Dinh nghia

1.4.2 Dinh nghia

1.4.3 Dinh nghia

1.4.4 Ménh dé

1.4.5 Ménh dé

1.4.6 Hé qua

1.4.7 Ménh dé

1.4.8 Ménh dé

1.4.9 Định lý

1.4.10 Định nghĩa 4

1.5 ĐỎ THỊ CÓ TRONG SO

CHƯƠNG 2

CÁC BAI TOAN TOI UU TREN DO THI 2.1 BAI TOAN TIM DUONG DI NGAN NHAT

2.1.1 Giới thiệu bài toán

2.1.2 Thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất 2.1.3 Tính đúng đắn của thuật toán Dijkstra

Định lý Mệnh đề

2.1.4 Thuật toán Floyd tìm đường đi ngắn nhất 2.1.5 Tính đúng đắn của thuật toán Floyd

2.2 BÀI TOÁN LUÒNG CỰC ĐẠI 2.2.1 Luéng vận tải

2.2.2 Giới thiệu bài toán luồng cực đại

2.2.3 Thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại 2.2.4 Tính đúng đắn của thuật toán Ford-EFulkerson

2.3 BÀI TOÁN DU LỊCH

2.3.1 Giới thiệu bài toán

2.3.2 Thuật toán nhánh và cận 2.3.3 Tính đúng đắn của thuật toán

2.3.4 Thuật toán xấp xỉ giải bài toán du lịch 2.4 BÀI TOÁN TÌM CÂY KHUNG NHỎ NHÁT

2.4.1 Giới thiệu bài toán

2.4.2 Thuật toán Kruskal tìm cây khung nhỏ nhất 2.4.3 Tính đúng đắn của thuật toán Kruskal 2.4.4 Thuật toán Prim tìm cây khung nhỏ nhất 2.4.5 Tính đúng đắn của thuật toán Prim

CHƯƠNG 3

CÁC ỨNG DỤNG

3.1 BÀI TOÁN 1 (Ứng dụng các bài toán tôi ưu trên đỗ thị trong

tổ họp)

3.1.1 Bài toán đám cưới vùng quê

Có m chàng trai ở một vùng quê nọ Đối với mỗi chàng trai ta

biết các cô gái mà anh ta vừa ý Hỏi khi nào thì có thể tổ chức các

đám cưới trong đó chàng trai nào cũng sánh duyên với các cô gái mà

mình vừa ý

Ta có thể xây dựng đồ thị với các đỉnh biểu thị các chàng trai và

các cô gái, còn các cung biểu thị sự vừa ý của các chàng trai với các

cô gái Khi đó ta thu được một đỗ thị lưỡng phân

Ví dụ: Có 4 chàng trai {T:, Tạ, T;, Tạ} và 5 cô gái {G¡, Ga, Ga,

G4, Gs} Su vira ¥ cho trong bang sau

Chang trai Các cô gái mà chàng trai ung y

T; G›, G:,C¿

Đưa vào điểm phát s và điểm thu t Nỗi s với tất cả các đỉnh biểu

thị các chàng tral, va nối t với tất cả các đỉnh biểu thị các cô gái Tất

cả các cung của đồ thị đều có khả năng thông qua bằng 1 Bắt đầu từ

luồng 0, ta tim luồng cực đại trong mạng xây dựng được theo thuật

toán Ford-Fulkerson Từ định lý về tính nguyên (nếu tất cả các khả

năng thông qua là các sô nguyên thì luôn tìm được luông cực đại vô

hướng trên các cung là các số nguyên), luồng trên các cung là các số

hoặc 1 Rõ ràng là nếu luồng cực đại trong đồ thị có giá trỊ Vụạ„ = m,

thì bài toán có lời giải, và các cung với luồng băng 1 sẽ chỉ ra cách tổ

chức đám cưới thỏa mãn điều kiện đặt ra Ngược lại, nếu bài toán có lời giải thì V„ạ„ = m Bài toán về đám cưới vùng quê là một trường

hợp riêng của bài toán về cặp ghép trên đồ thị lưỡng phân mà để giải

nó có thể xây dựng thuật toán hiệu quả hơn

3.1.2 Bài toán về hệ thống đại diện chung

Cho tập m phần tử X={7Z\, Z2, Zm} GIả sử <A,, Ao, ., A,>

và <B¡, B;, , B„> là hai dãy các tập con của X Dãy gồm n phan tir

khác nhau của X: <at, a¿, ,an> được gọi là hệ thống các đại diện

chung cua hai day da cho nếu như tìm được một hoán vị G của tap {1,

2, .N} sao cho < aj, a, ,a,> la he thống các đại diện phân biệt

ctia hai day <Aj, Ao, ., An> Va <BO), BØạ¿›, , BØạy>, tức là điều

kiện sau duoc thoa man: a, € A; M Bog, 1 = 1, 2, , n Xay dựng mang G = (V,E) voi tap đỉnh V = {s, t} t2 {XI, Xa Xa} 2 {u¡, Up, 5Un} U {V1, V2, 5VatU {¥1, Va, ,Vn}, trong đó đỉnh x; tương ứng

với tập A;, đỉnh y; tương ứng với tập B;, các phần tử u¡, y¡ tương Ứng với phần tử z¡ Tập các cung của mạng G được xác định như sau:

E = {(s,xj): lI<l<n} O {ŒXuj): với z¡ eA¡l<i<n,l<Jj<m}U 1(uv¡):1<j<m} 2 {Œvị, yj): với z¡ e B¡l<i<n,l<J<m} © {(y¡,

t):1<i<n}

Khả năng thông qua của tất cả các cung được đặt băng 1 Dễ dàng thấy răng hệ thống đại diện chung của hai dãy và tồn tại khi và

chỉ khi trong mang G = (V,E) tìm được luéng Voi gid tri n Dé xét sur tồn tại của luồng như vậy có thể sử dụng thuật toán tìm luồng cực đại

từ s đến t tong mạng G = (V,E)

3.1.3 Về một bài toán tối ưu ròi rạc

Trong mục này ta sẽ trình bày thuật toán được xây dựng dựa trên

thuật toán tìm luồng cực đại để giải một bài toán tối ưu rời rạc là mô

hình toán học cho một số bài toán tối ưu tổ hợp

Xét bài toán tối ưu rời rạc:

f(X,,X;, X„) = max > x, —> min (3.1)

j=l 1<i<m

với điêu kiện

aX =p,,1=1,2, ,.m (3.2)

I

trong d6 aj ¢ {0,1}, 1 = 1,2, , m; j=l, 2, , n, p; la số nguyên

dương, 1 = 1,2, ,m

3.1.4 Bài toán phân nhóm sinh hoạt

Có m sinh viên và n nhóm sinh hoạt chuyên đề Với mỗi sinh viên

1, biết + aj=l, nếu sinh viên ¡ có nguyện vọng tham gia vào nhóm j,

+ a¡ = 0, nếu ngược lại,

+ và p¡ là số lượng nhóm chuyên đề mà sinh viên ¡ phải tham

du, 1 =1,2, ,.m; j = 1, 2, ,n

Trong số các cách phân các sinh viên vào nhóm chuyên dé ma họ

có nguyện vọng tham gia và đảm bảo mỗi sinh viên ¡ phải tham gia

đúng p¡ nhóm, hãy tìm cách phân phối với số người trong nhóm có

nhiều sinh viên tham gia nhất là nhỏ nhất có thể được

3.1.5 Bài toán lập lịch cho hội nghị

Một hội nghị có m tiểu ban, mỗi tiểu ban cần sinh hoạt trong một

ngày tại phòng họp phù hợp với nó Có n phòng họp dành cho việc

sinh hoạt của các tiểu ban Biết aj = Ì, nếu phòng họp ¡ là thích hợp

với tiêu ban ], a¡ = 0, nêu ngược lại, 1 = 1, 2, ,m, J = l, 2, , n

Hãy bố trí các phòng họp cho các tiểu ban sao cho hội nghị kết thúc sau ít ngày làm việc nhất

Đưa vào biến số: Xj = 1, nếu bồ trí tiểu ban ¡ làm việc ở phòng j

xi = 0, néu ngược lai,i=1,2, ,m,j=1, 2, ,n

Khi đó dé thấy mô hình toán học cho bài toán đặt ra chính là bài toán (3.1), (3.2) và (3.3), trong đó p;=l, 1 = l1, 2, .,m

Bồ đề 1: Bài toán (3.1), (3.2) và (3.3) có phương án tối ưu khi và chỉ

n

j=l

x4 = 0 hoac 1,j = 1, 2, ,n

Hình 3.2 chỉ ra cách xây dựng mạng G(k)

r“ * `

a =

Hinh 3.2 Mang G(k)

Ký hiệu: o = Sp,

i=l

Bồ đề sau đây cho thấy mối liên hệ giữa luồng cực đại trong mạng G(k) và phương án của bài toán (3.1), (3.2) và (3.3)

Bồ đề 2: Giả sử đối với số nguyên dương k nào đó, luồng cực đại nguyên trong mang G(k) có giá trị là ø Khi đó X” = (XÏÿ)„„ạ với các thành phần được xác định theo công thức:

XÍy=Š ` (u„,w),¡ = 1, 2, m; j= 1,2, n

là phương án của bài toán (3.1), (3.2) và (3.3)

II

Bồ đề 3: Giả sử XỈ =(x i) là phương án tối ưu và k” là giá trị tối ưu

của bài toán (3.1), (3.2) và (3.3) Khi đó luồng cực đại trong mạng

G(k ) có giá trị G

Bo đề 4: Nếu k = m thì luồng cực đại trong mạng G(m) có giá trị Ơ

3.1.6 Bài toán mạng với nhiều điểm phát và nhiều điểm thu

3.1.7, Bài toán với khả năng thông qua ở các cung và các đính

Đề bài: Hãy tìm một phương án vận chuyên đầu tử một bề chứa

s tới bê phận † thông qua hệ thống đường ống dẫn dấu, sao cho lượng

dầu chuyên được là nhiều nhất, Cho biết trước lượng dầu lớn nhất có

thê bơm qua mỗi đường Ông và qua mỗi điểm nói giữa các ống

Giải: Phương ấn giải bài toán như sau: xây đựng để thị G =

CVE), voi V 1a tap các đính của đề thị gồm s, ! và tập các điểm nổi,

còn E là tập các cung của đồ thị gôm các đường ống dẫn dâu Trong

G, với mỗi đỉnh v thuộc V thì tầng luông đi vào đình v không được

vượt quá khả năng thông qua d(v) của nó:

2.4w,v) < dO}, we V

Để tm luồng cực đại giữa s và t ong mạng như vậy, ta xây

dựng một mạng € sao cho: mỗi đỉnh v của G tương ứng với hai đỉnh

v*và v trong G’, mdi cung (u,v) trong Ở tương ứng với cũng (g,v

trong ', và mỗi cung (út) rong G' có khá năng thông qua là div}

tức là băng khá năng thông qua của đỉnh v rong G Đề thấy luỗng

cực đại trong G' bằng luồng cực đại trong G với khá năng thông quá

của các cung và các đính

3.1.8 (Bài toán trong để thì sinh viên giỏi toàn quốc 1994-1999)

Đề bài: Cho một báng chữ nhật kích thước Mx<N (AI, N < £00}

các ö vuông Trong đó có một số ô trắng, còn lại là đen Hãy chọn

2M ô đen trong báng sao cho thỏa mãn các điều kiện;

~

Aw

1} mdi déng chon dang 2 6 den

2})96 6 den duge chon trong cét chon nhieu 6 nhat la nhé nhat

12 GIẢI: Ta phát biểu bài toán đưới một đạng khdc: xét mang gém N+M +2 đỉnh, gồm hai dink thu va phat s, t; M đính tương ứng với

M dòng còn N đỉnh còn lại tương ứng với N cột của báng, Đỉnh s nổi với tất cả các đính tương ứng với đồng, các đính tương ứng với cột

nội với đính thu ©, nếu ô Gj) 1a ô đen thi ta nội đính thứ ¡ của đòng

với định thứ J của cột, Khả năng thông qua của các cũng được Xác

định như sau:

- Mọi cung xuất phát từ đính s có khả năng thông qua bằng 2

- Mọi cung nồi cặp đính đồng và cột có khả năng thông qua băng

- Mọi cung nỗi với đính thu t thì khả năng thông qua sẽ thay đối trong quá trình thay đổi bài toán luộng đề thoả điều kiện thử bai của bài toán, song chúng luôn bằng nhau, bạn đầu khá năng thông qua của các cung này đêu băng 1 Sau mỗi bước tìm được luông cực đại

ta có thể tăng khá năng thông qua cúa các cũng này thêm 1 don vi phụ thuậc vào luông vừa tìm được đã thoả mãn điều kiện thứ nhất của bài toán hay chưa

Bài toán phát biểu lại như san: 7rm một mạng có khá năng thông qua của các cụng tại đĩnh thu là bé nhất sao cho giá trị của luông tại các cung chứa đỉnh phát đều bằng 2

Với cách phát biêu trên ta có thuật toán giải như sau:

1 Bạn đầu xét mạng có khả năng thông qua tại các cung chứa đỉnh thu đều bằng 1

2 Mỗi bước tìm một luông cực đại, Nếu luồng tìm được thoả mãn điều kiện 1, nghĩa là giá trị luông tại mỗi cung chứa đính phát đều băng 2 thì ta đừng thuật toán, ngược lại ta tăng khá năng thông

qua của các cung thêm một đơn vị và quay lạt bước 2

Bài toán không tôn tại lời giải khi khả năng thông qua của các

cung chứa đỉnh thu đều băng NÑ mà không tổn tại luồng cực đại sao

cho giá trị của luỗng tại các cung chứa đỉnh phát đều bằng 2

3.1.9 Bài toán ghép tập đầy đủ tối ưu

3.2 BÀI TOÁN 2 (Ứng dụng các bài toán tôi ưu trên đỗ thị trong

hình học phẳng Bài toán Steiner)

3.2.1 Lịch sử bài toán Steiner

Vấn đề sau đây được Fermat, nhà toán học Pháp nỗi tiếng, đề ra

trong cuốn sách “Treatise on Minima and Maximal”, cu thé 1a nhu

sau: “Cho trước ba điểm trong mặt phẳng Hãy tìm điểm thứ tư sao

cho tổng khoảng cách từ điểm này tới ba điểm cho trước nhỏ nhất có

thé.”

Điểm này được mang tên là điểm Torricelli của tam giác tạo bởi

ba điểm đã cho Đó là điểm nhìn ba cạnh của tam giác tạo bởi 3 điểm

đã cho dưới cùng một góc 120° nếu như tam giác tạo thành có ba

góc nhỏ hơn 120°, và là đỉnh góc tù nếu như tam giác đó có một góc

không nhỏ hơn 120”

Bài toán Fermat: Cho trước một tập hợp hữu hạn n điểm trong

mặt phăng Hãy tìm một điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm này

tới các điểm cho trước nhỏ nhất có thể

Điểm cần tìm được gọi là điểm Torricelli cho hện điểm cho

trước

Harburg

Bremen

¬ >> Braunschweig

Hình 3.3

Bài toán Steiner: Cho trước một tập hợp hữu hạn n điểm trên

mặt phăng (hoặc trong không gian metric nào đó), hãy tìm mạng giao thông với tổng độ dài nhỏ nhất nối các điểm này với nhau

Bài toán của Steiner cho tập hợp gồm 3 điểm cho trước chính là một trường hợp riêng của bài toán Fermat Thế nhưng, với tập hợp có

4 điểm, ta thấy răng bài toán Steiner không còn là bài toán của

Fermat nữa, và nó hoàn toàn có một màu sắc khác

Bài toán mà Gauss đặt ra cho hệ thống các đường tàu nối các thành phố Harburg, Bremen, Hannover và Braunschweig được Bopp giải quyết một cách triệt để Trong hình 3.3, chúng ta đã thấy mô tả lời giải của bài toán này Hệ thống đường sắt tối ưu được bố sung

thêm một điểm, điểm Torricelli của tam giác với ba đỉnh là ba thành

phố Harburg, Bremen, Hannover, và Braunschweig được nối với Hannover bởi một tuyến đường sắt chạy thắng Melzak, vào năm

1961, đã là người đầu tiên nêu lên những tính chất cơ sở để xác định mạng giao thông tối ưu cho bài toán Steiner n điểm bắt kỳ Một tổng quan về bài toán Steiner trên mặt phẳng Ocolit được đưa ra bởi Gilbert va Pollak trong nam 1968

Vì lý do tối ưu, cho nên chúng ta nhận thấy ngay là mạng tối ưu cho bài toán SteIner chỉ bao gôm các đoạn thăng nôi mà không có

15 đường cong nào cả Mạng này phải liên thông và không có chu trình

(do điều kiện tối ưu của nó, nếu có chu trình ta có bỏ bớt một cạnh

trên chu trình mà không ảnh hưởng tới sự liên thông của đồ thị) Như

vậy, mạng tối ưu của bài toán Steiner phải là một cây mà cạnh của nó

là các đoạn thăng Ta gọi mạng tối ưu trong bài toán Steiner là cây

Steiner

3.2.2 Phân tích bài toán Steiner cho n = 4 điểm

Nghiệm của bài toán Steiner là một hệ thống các đoạn thăng nối

các điểm đã cho với các điểm Steiner ta thêm vào, cho nên chúng ta

không thể nêu quy luật tổng quát để xác định chính xác đó là các

điểm nào và các đoạn thăng đó được nối như thế nào Đề đi tới

phương pháp tông quát, ta giải bài toán cho trường hợp n = 4 điểm

Hơn thế nữa, ta chọn 4 điểm đó là 4 đỉnh của một hình vuông cạnh l

để dễ giải

3.2.3 Bài toán 2.1: Hãy dựng một mạng lưới giao thông nối 4 đỉnh

của một hình vuông ABCD cạnh 1 với tong độ dài nhỏ nhất, sao cho

từ một đỉnh tùy ý của hình vuông, ta có thể đi theo các cạnh tới các

đỉnh còn lại của hình vuông

Trong quá trình tìm kiếm mạng tối ưu, ta sẽ sử dụng định lí I

quen biết sau:

Định lí 1: Trên mặt phăng có một tam giác đều ABC và một điểm M

Khi đó ta có bắt đắng thức MB + MC > MA, với đăng thức chỉ khi M

năm trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Định lí 1 trên có thể chứng minh dễ dàng nhờ định lí Prômêtê

mở rộng, được phát biểu như sau:

Định lí 2: Cho trước 4 điểm ABCD, khi đó ta có bất đăng thức

AB.CD + AD.BC > AC.BD

Đăng thức xảy ra chỉ khi ABCD là một tứ giác nội tiếp

16

Ta thấy rằng mạng tối ưu của chúng ta phải là một cây chứa các đỉnh của hình vuông ABCD đã cho Bây giờ chúng ta xem xét bài toán theo số các điểm Steiner:

Nếu chỉ có không có điểm Steiner nào cả Như vậy, cây của chúng ta là cây với bốn đỉnh là đỉnh của hình vuông Do một cây có 4 đỉnh sẽ có đúng 3 cạnh Rõ

ràng khoảng cách giữa hai đỉnh của hình vuông không nhỏ hơn 1, cho nên cây tối ưu (có tổng độ dài các cạnh nhỏ nhất) là có tổng độ dài các cạnh là 3 (trong hình 3.4 là một ví dụ với 3 cạnh của hình vuông đơn vị này)

Hình 3.4 Nêu có đúng một điêm Steiner

D c OUD C

Hình 3.5

Ta thấy rằng do lý do tối ưu, nên bậc của điểm Steiner thêm vào (ta gọi là điểm M) phải ít nhất bằng 3 Nếu không, ta có thể vất bỏ nó

đi (nếu nó là đỉnh treo, hoặc thay thế hai cạnh xuất phát từ nó bởi cạnh nối 2 đỉnh láng giềng của nó trong trường hợp bậc của nó bằng 2) Như vậy chỉ có đúng 2 trường hợp phải khảo sát là ha1 trường hợp trong hình 3.5 ứng với trường hợp bậc của đỉnh M là 3 hay là 4 Ta xét hai trường hợp:

Bậc của M là 3

Dựng thêm một tam giác đều ADE ngoài hình vuông ABCD đã

cho Áp dụng định lí 11, ta có MA + MD > ME, và suy ra

MA +MD + MB + BC > EB + BC,

và thấy rằng độ dài của cây tối ưu không nhỏ hơn EB + BC

Trong trường hợp này, cây tối ưu có được khi M là giao điểm của DB

với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

\—

DO

Hinh 3.6

Dễ thấy góc E của tam giác ABE bằng 15°, cho nên BE =

2cos15°

Ta thay dễ dàng là cây tối ưu trong trường hợp bên phải có độ dài

bang 1+2cos 15°

Bậc của M la 4

Trong trường hợp này ta có A B

Như vậy độ dài của mạng giao thông ứng Iw

với trường hợp này không nhỏ hon 2/2 ›

và đạt được độ đài này khi M là giao điểm

hai đường chéo của hình vuông đơn vị đã D

Nếu có đúng hai điểm Steiner

Ta thấy như đã lập luận ở trên là bậc của các điểm Steiner thêm

vào, mà ta ký hiệu là M và N, phải ít nhất bằng 3 Ta có thể kiểm nghiệm thấy rằng mạng có hình dạng như trong hình 3.6 (hoặc tương

tự như vậy với M nỗi với A và B, còn N nối với C và D và N được

nối với M) Ta dựng hai hình tam giác đều ADQ và BCP ra phía ngoài hình vuông ABCTD như trong hình 3.8

Hinh 3.8

Ap dung định lí I1, ta có thể thấy rằng MA + MD > MQ và

tương tự là NB + NC > NP Do đó tổng độ dài các cạnh của cây của

ta không nhỏ hơn QM + MN + NP > PQ, với đẳng thức chỉ khi M và

N là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ và BCP với MN Như vậy cây tối ưu trong trường hợp này có tổng độ dài là

PQ=1+43

So sánh đáp số của ba trường hợp ta xét trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của ba trường hợp này là 1+3 Cái điều ngăn cản chúng ta chấp nhận giá trị đã tìm ra 1+3 này làm giá trị tối ưu là quan sát thấy càng thêm nhiều điểm Steiner, thì tổng độ dài các cạnh của mạng tối ưu tương ứng càng nhỏ Trong suốt quá trình lập luận ở trên chúng ta chưa có một cơ sở nào đặt chân để chứng tỏ được rằng chỉ

có thê thêm tối đa 2 điểm Steiner để thiết kế được mạng giao thông tối ưu cho hệ 4 điểm đã cho Đề thấy răng quả thật mạng tối ưu với bài toán n = 4 điêm chỉ có không quá 2 điêm Steiner, ta buộc phải sử

»

19 dụng các kiến thức về cây Trong phần tiếp, ta sẽ chứng tỏ rằng cây

tối ưu của bài toán Steiner với n điểm chỉ có không quá n - 2 điểm

Steiner Với định lí 13 được chứng minh trong mục sau, bài toán tìm

cây Steiner cho tập đỉnh hình vuông đơn vị mới có thể giải quyết triệt

dé, va độ dài của cây tối ưu cần tìm là 1+ 43

3.2.4 Phương pháp giải bài toán Steiner tổng quát

Như trong mục trên đã phân tích, chúng ta thấy hình học thuần

túy không thể giải quyết được bài toán Steiner Với hình học thuần

túy, chúng ta chỉ tính toán được độ dài tối ưu khi hình dáng của

mạng giao thông được hình thành Vấn để hết sức quan trọng trong

việc xác định được hình dáng của cây tối ưu là xác định được số

điểm Steiner của cây tối ưu Một kết quả đã biết được nêu mà không

có chứng minh đi kèm là một cây tối ưu của bài toán S(einer n điểm

chỉ có không quá n - 2 diém Steiner Ta chtmg minh khăng định đó

trong định lí sau đây:

Định lí 3: Cây tối ưu ít đỉnh nhất của bài toán Steiner n điểm có

không quá n - 2 điểm Steiner

Nhận xét 1: Những điểm cho trước có bậc trong G ít nhất là 1

Nhận xét 2: Điểm Steiner có bậc trong G ít nhất là 3

Để xác định được hình dáng của cây tối ưu, ta phải thêm nhiều

nhất là x <n -2 điểm Steiner và dựng một mô hình cây có x + n đỉnh

rồi xác định cụ thể vị trí hình học của các điểm Steiner như đã làm

trong bài toán 1 ở mục trên Nhưng ta thấy rằng ta luôn có thể giả sử

rằng cây Steiner có đúng x + n đỉnh qua các nhận xét sau:

Nhận xét 3: Nếu cây tối ưu G có một điểm Steiner M cé bac dg(M) >

3 thì ta có thể coi nó là trường hợp suy biến của đồ thị G' có thêm

điểm Steiner N với bậc dœ(N) = 3 và dœ(M) = de(M) - I1 (hình 3.9)

trong đó độ dài đoạn thăng MN là 0

20

Hình 3.9 Nhận xét 4: Nếu cây tối ưu G có một điểm đã cho trước A có bậc de(A) > 1 thì ta có thể coi nó là trường hợp suy biến của đỗ thị G' có thêm điểm Steiner M với bậc dœ(A) = I và dạ(M) = de(A) + 1 (hình 3.10), trong đó độ dài đoạn thăng MN là 0

Hình 3.10

Như vậy, ta có thể áp dụng nhận xét 3 và nhận xét 4 để có thể coi

cây tối ưu Steiner là trường hợp suy biến của một cây G có tính chất

là bậc của mỗi điểm cho trước đúng băng 1 và bậc của mỗi điểm Steiner đúng băng 3 Khi đó theo công thức tổng các bậc của đồ thị gấp đôi số cạnh, ta thu được

2(n+x-Ï)=3x+n— x=n-2,