Hiệu suất của thuật toán xấp xỉ đối với một số bài toán tối ưu trên đồ thị

Trần Vĩnh Đức, luận vănthạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Hiệu suất của thuậttoán xấp xỉ đối với một số bài toán tối ưu trên đồ thị” đượchoàn thành bởi chính sự nhận thức của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĨNH ĐỨC

HÀ NỘI, 2017

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.

Để hoàn thành được luận văn này, tôi đã nhận được rất nhiều sự độngviên, giúp đỡ của các cá nhân và tập thể

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Vĩnh Đức.Thầy đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp

đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phòng Sau đạihọc, các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạylớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè, đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Hạnh

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Vĩnh Đức, luận vănthạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Hiệu suất của thuậttoán xấp xỉ đối với một số bài toán tối ưu trên đồ thị” đượchoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Hạnh

|A| Lực lượng của tập A

log n Lôgarit cơ số 2 của n

bxc Số nguyên lớn nhất không vượt quá x

dxe Số nguyên bé nhất không nhỏ hơn x

ηlow(G) Số các đỉnh bậc thấp của đồ thị G

ηhigh(G) Số các đỉnh bậc cao của đồ thị G

ηh.ex.U (G) Số các đỉnh bậc ngoại vi cao tương quan đến tập U ⊂ V

của đồ thị G = (V, E)

ηh.in.ex.U (G) Số các đỉnh bậc nội vi và ngoại vi cao tương quan đến

tập U ⊂ V của đồ thị G = (V, E)degG(v) Bậc của đỉnh u trong đồ thị G

degex.G,U (u) Bậc ngoại vi của đỉnh u, u ∈ U, tương quan đến tập U ⊂ V

Mục lục

1.1 Một số khái niệm về đồ thị 31.2 Hiệu suất của thuật toán xấp xỉ 6

2.1 Thuật toán tham lam đối với bài toán LPATH 102.2 Hiệu suất của thuật toán tham lam GrLPATH 15

3.1 Thuật toán tham lam đối với bài toán

MIN-MAXL-MATCH 183.2 Hiệu suất của thuật toán tham lam GrM 23

4.1 Định nghĩa 254.2 Thuật toán tham lam đối với bài toán MIN-CDS 294.2.1 Thuật toán MIN-CDS 29

4.3 Hiệu suất của thuật toán tham lam GrCDS 37

5.1 Giá trị của nhát cắt 405.2 Hiệu suất của thuật toán giải bài toán MAX-CUT 44

Mở đầu

Các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tế nhưtrong quy hoạch tuyến tính, toán học, logic Khi nghiên cứu những bàitoán tối ưu, ta mong muốn tìm được nghiệm tối ưu trong thời gian đathức Tuy nhiên, nhiều bài toán tối ưu quan trọng thuộc lớp NP-khó.Đối với những bài toán này, ta không hi vọng có thuật toán tìm nghiệmtối ưu trong thời gian đa thức, trừ phi P = NP Vì vậy, mục tiêu đưa ra

là tìm được nghiệm càng gần tối ưu càng tốt trong thời gian đa thức

Để đạt được điều này, người ta thường sử dụng thuật toán xấp xỉ

Để đánh giá hiệu suất của thuật toán xấp xỉ, ta thường xem xét hiệusuất trong trường hợp xấu nhất hoặc trong hầu hết mọi trường hợp.Hiệu suất trong trường hợp xấu nhất cũng chính là hiệu suất trong mọitrường hợp của bài toán Hiệu suất này được gọi là hiệu suất tuyệt đối.Hiệu suất được xem xét trong hầu hết mọi trường hợp cho ta thông tin

về hiệu suất đảm bảo đối với thuật toán xấp xỉ Hiệu suất này được gọi

là hiệu suất hầu chắc chắn của thuật toán Hiệu suất hầu chắc chắn thểhiện một cách khái quát nhất hiệu quả thực sự của thuật toán xấp xỉ.Luận văn này nhằm nghiên cứu các thuật toán xấp xỉ đối với một

số bài toán tối ưu trên đồ thị và đánh giá hiệu suất của chúng Cụ thể,luận văn nhằm:

• Tìm hiểu các kết quả cơ bản về thuật toán xấp xỉ đối với một sốbài toán tối ưu trên đồ thị.

• Nghiên cứu các phương pháp đánh giá hiệu suất của các thuật toánxấp xỉ

• Nghiên cứu hiệu suất tuyệt đối và hiệu suất hầu chắc chắn của cácthuật toán xấp xỉ đối với một số bài toán tối ưu trên đồ thị

Luận văn không có kết quả mới Đóng góp chính của luận văn là tổnghợp một số kết quả gần đây liên quan đến phân tích hiệu suất của cácthuật toán xấp xỉ đối với một số bài toán tối ưu trên đồ thị

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 5 chương Chương 1nhằm nhắc lại một số khái niệm cũng như các kết quả bổ trợ cần thiếtđược sử dụng ở chương sau; 4 chương còn lại trình bày các kết quả liênquan đến phân tích xác suất của các thuật toán xấp xỉ cho 4 bài toánquan trọng trên đồ thị:

1 Bài toán đường đi dài nhất Các tài liệu tham khảo của chương này

là [1, 6, 10, 11]

2 Bài toán ghép cặp Các tài liệu tham khảo của chương này là [14, 5]

3 Bài toán tập khống chế Các tài liệu tham khảo của chương này

là [15, 9, 12]

4 Bài toán MAX-CUT Các tài liệu tham khảo của chương này là [13, 8]

u, v được gọi là các đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e.Khi đó, hai đỉnh u, v được gọi là kề nhau hay láng giềng của nhau Tacũng thường kí hiệu cạnh {u, v} ngắn gọn là uv.

Định nghĩa 1.2 Cho v là một đỉnh của đồ thị G Bậc của đỉnh vtrong G, kí hiệu là degG(v), được định nghĩa bởi số các cạnh của G liênthuộc v, tức số tất cả các láng giềng của v trong G

Hình 1.1: Một biểu diễn trên mặt phẳng của đồ thị

Đồ thị có thể vẽ trên mặt phẳng với các đỉnh là các điểm và các cạnhnối là các đường thẳng hoặc đường cong nối các điểm này Đây là mộttrong những ưu điểm của lý thuyết đồ thị Nó cho phép mô tả các lậpluận và chứng minh theo cách rất trực quan và sáng sủa

Định nghĩa 1.3 Đồ thị G0 = (V0, E0) được gọi là đồ thị con của đồ thị

G = (V, E) nếu V0 ⊆ V và E0 ⊆ E Đồ thị G0 được gọi là đồ thị conbao trùm của G nếu V0 = V Khi E0 chứa tất cả các cạnh của G mà haiđỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V0 thì G0 được gọi là đồ thị con của Gcảm sinh bởi tập đỉnh V0 hay đồ thị con cảm sinh bởi G = (V, E) trêntập đỉnh V0, kí hiệu là G0 = G[V0]

Hình 1.2: Một đồ thị con và đồ thị bao trùm của G

Ví dụ 1.2 Một đồ thị con và một đồ thị con bao trùm của đồ thị trongHình 1.1 được chỉ ra trong Hình 1.2

Định nghĩa 1.4 Cho đồ thị G = (V, E) Một đường đi L trong G làmột dãy các đỉnh khác nhau sao cho hai đỉnh kế tiếp nhau của L đều kềnhau trong G

Định nghĩa 1.5 Đồ thị G được gọi là liên thông nếu giữa hai đỉnh tùy

ý của G đều có một đường đi Trong trường hợp ngược lại, đồ thị Gđược gọi là không liên thông

Định nghĩa 1.6 Một đồ thị liên thông và không có chu trình được gọi

là cây Các đỉnh bậc một của cây được gọi là lá hay đỉnh cuối, còn cácđỉnh bậc lớn hơn một được gọi là đỉnh trong

Cây bao trùm của đồ thị G là một đồ thị con bao trùm của G saocho nó là một cây

Hình 1.3: Đồ thị không liên thông và đồ thị liên thông.

Như đã biết, nhiều bài toán tối ưu tổ hợp thuộc lớp NP-khó, có nghĩarằng ta không hy vọng tìm được thuật toán chạy trong thời gian đa thức,trừ phi P=NP Trong tình huống này, sử dụng phương pháp giải xấp xỉ

là cần thiết

Thuật toán xấp xỉ là thuật toán tìm lời giải chấp nhận được cho cácbài toán tối ưu tổ hợp Nó thường được sử dụng cho các bài toán NP-khó, hoặc các bài toán có thuật toán đa thức nhưng quá chậm cho dữliệu lớn Từ góc độ giải xấp xỉ, các bài toán NP-khó có độ khó rất khácnhau

Chẳng hạn, bài toán xếp ba lô có thuật toán xấp xỉ với tỉ lệ lớn hơn

1, bài toán Clique không thể tính xấp xỉ với tỉ lệ n1−ε với mọi ε > 0.Khi xây dựng thuật toán xấp xỉ cho bài toán tối ưu NP-khó, ngoàiyêu cầu về thời gian đa thức đối với thuật toán, ta mong sao trên mỗi

dữ kiện bất kì của bài toán, thuật toán cho ta một nghiệm chấp nhận

được càng gần tối ưu càng tốt Độ chênh lệch giữa nghiệm tìm được bởithuật toán và nghiệm tối ưu thường được biểu thị thông qua một đạilượng được gọi là hiệu suất của thuật toán Hiệu suất của thuật toánđược định nghĩa như sau.

Cho một bài toán tối ưu tổ hợp Π với tập dữ kiện DΠ Giả sử AΠ làthuật toán xấp xỉ giải bài toán Π

Định nghĩa 1.7 Hiệu suất RAΠ(d) của thuật toán xấp xỉ AΠ trên dữkiện d của bài toán cực tiểu hóa (cực đại hóa) Π là tỉ số AΠ (d)

OP T Π (d) (tươngứng là OP TΠ (d)

AΠ(d) ), trong đó AΠ(d) là giá trị của nghiệm chấp nhận được

mà thuật toán AΠ tìm được khi thực thi trên dữ kiện d và OP TΠ(d) làgiá trị của nghiệm tối ưu của bài toán Π đối với d

Hiệu suất tuyệt đối RAΠ của thuật toán AΠ khi giải bài toán Π vớitập dữ kiện DΠ được định nghĩa bởi đại lượng sau:

RAΠ=inf{r ∈ R : RA Π(d) ≤ r đối với mọi d ∈ DΠ}

trong đó, R là tập các số thực

Hiệu suất hầu chắc chắn là hiệu suất nhằm biểu thị một cách đơngiản hiệu suất của thuật toán xấp xỉ AΠ trên hầu hết mỗi dữ kiện củabài toán Π Hiệu suất hầu chắc chắn Ra.sA

Π được định nghĩa như sau:

Ra.sAΠ=inf{r ∈ R : RAΠ(d) ≤ r đối với hầu hết d ∈ DΠ}

trong đó R là tập các số thực, “RA Π(d) ≤ r đối với hầu hết d ∈ DΠ”được hiểu theo nghĩa xác suất là Pr

theo một phân bố xác suất nào đó và được giả thiết là hữu hạn, nhưng

Π được xác định bằng phương pháp phân tích xác suất dựatheo một phân bố xác suất cho trước nào đó trên tập D(n)Π , thông thường

là theo phân bố xác suất đều Chẳng hạn, đối với các bài toán tối ưu trên

đồ thị vô hướng, tập D(n)Π có thể là Gn, tập tất cả các đồ thị vô hướng

G = (V, E) với n đỉnh được gán nhãn, V = {1, 2, , n} Trong trườnghợp này, phân bố xác suất đều trên Gn được cho bởi xác suất 1/2(n2),xác suất xuất hiện mỗi đồ thị của Gn, và mỗi đồ thị G = (V, E) ∈ Gn

đều được xem xét như một đồ thị ngẫu nhiên, trong đó các cạnh cho Eđược chọn một cách độc lập với xác suất 12 Rõ ràng, Gn có 2(n2) đồ thị

Để thuận tiện, trong luận văn này tập Gn được viết như sau:

Gn = {Gi | i = 1, 2, , p} với p = 2(n2)

Theo định nghĩa, hiệu suất tuyệt đối RAΠ và hiệu suất hầu chắc chắn

Ra.sAΠ của thuật toán AΠ đều lớn hơn hoặc bằng 1 Chúng càng gần 1 baonhiêu thì thuật toán AΠ càng tốt bấy nhiêu Cùng với hiệu suất tuyệtđối, hiệu suất hầu chắc chắn thể hiện một cách khái quát hiệu quả thực

sự của thuật toán Các nghiên cứu chứng tỏ rằng, đối với nhiều bài toántối ưu NP- khó, mọi thuật toán xấp xỉ đều có hiệu suất tuyệt đối bằng

∞ , trong đó có những thuật toán đơn giản có hiệu suất hầu chắc chắnrất nhỏ, thậm chí bằng 1 Điều này có nghĩa là, trên hầu hết mỗi dữ kiệncủa bài toán, những thuật toán ấy cho ta nghiệm rất gần với tối ưu

Chương 2

Bài toán đường đi dài nhất

Chương này trình bày một số kết quả liên quan đến phân tích xác suấtcủa thuật toán xấp xỉ cho bài toán đường đi dài nhất trên đồ thị Kếtquả chính được lấy từ tài liệu tham khảo [1] Bài toán được phát biểunhư sau

Bài toán 2.1 (Bài toán Longest path, hay LPATH) Cho một đồthị G = (V, E) Hãy tìm trong G một đường đi dài nhất, tức một dãynhiều nhất các đỉnh khác nhau sao cho hai đỉnh kế tiếp nhau đều kềnhau trong G

Ví dụ 2.1 Xét đồ thị G trong Hình 2.1 Dãy abcdef là một đường đitrong G và đường đi dài nhất trong G là abcdf ehkg

Bài toán LPATH là bài toán NP-khó vì nó chứa bài toán tìm đường điHamilton Do đó, bài toán không thể giải được trong thời gian đa thức,trừ phi P=NP Vì vậy, đối với bài toán này, ta cần tìm kiếm một lời giảigần đúng bằng thuật toán xấp xỉ thời gian đa thức

Hình 2.1: Đồ thị có đường đi dài nhất qua tất cả các đỉnh

Thuật toán tham lam cho bài toán LPATH được mô tả như sau:

Trên đầu vào là đồ thị G = (V, E)

Bước 1 Chọn tùy ý một đỉnh trong V rồi đánh dấu đỉnh này

Bước 2 Chọn tùy ý một đỉnh trong những láng giềng chưa được đánhdấu của đỉnh vừa đánh dấu rồi đánh dấu đỉnh này và lặp lại quátrình như vậy cho đến khi không thể

Bước 3 Đầu ra của thuật toán là đường đi được tạo thành bởi dãy cácđỉnh được đánh dấu

Để phân tích hiệu suất của thuật toán, ta sử dụng các tính chất liênquan đến bậc nhỏ nhất và bậc ngoại vi của đỉnh tương quan đến mộttập đỉnh chứa đỉnh ấy đối với hầu hết mỗi đồ thị Kết quả thu được tạo

cơ sở để thiết kế và phân tích thuật toán cho bài toán LPATH

Kí hiệu δ (G) là bậc nhỏ nhất của đồ thị Bây giờ, ta đánh giá δ (G)đối với hầu hết mỗi đồ thị G

Cho đồ thị G với n đỉnh Ta coi b = n2 −√n log n như một giới hạnđối với bậc các đỉnh của đồ thị G Ta nói rằng đỉnh v là đỉnh bậc thấpnếu degG(v) ≤ b Kí hiệu ηlow(G) là số các đỉnh bậc thấp của G.

Để so sánh δ (G) với b, ta xét biến ngẫu nhiên ηnlow := ηlow(G) trên

Gn Ta có các kết quả sau (theo [3]):

Pr (ξ < t.Eξ) > 1 − 1

tvới ξ = ηnlow và t = √

low n

Pr ηnlow = 0
> 1 − log n√

n

Kết quả của Định lí 2.1 cho ta thấy khi n đủ lớn thì log n√

n → 0 Do đó,Pr

Để đánh giá degex.G,U (u) đối với hầu hết các đồ thị, ta xét biến ngẫunhiên δn,m,uex := degex.G,U (u) trên Gn Khi đó ta có các kết quả sau (theo[3]):

(1) Eδn,m,uex. = n−m2 ,

(2) Varδn,m,uex. = n−m4 ,

(3) Cho đồ thị G = (V, E) với U ⊂ V thỏa mãn 1 ≤ m < n, trong đó

n = |V | , m = |U |, và bất cứ một đỉnh u ∈ U Khi n đủ lớn, ta có

Pr G ∈ Gn : b1 < degex.G,U (u) < b2
> 1 − log log n

4ntrong đó b1 = n−m2 − √ n

log log n, b2 = n−m2 + √ n

log log n

(4) Cho đồ thị G = (V, E) với U ⊂ V mà |U | = m và m thỏa mãn

Từ các kết quả này cho ta thấy, khi n đủ lớn thì log log n4n → 0 Do đó

Pr G ∈ Gn : degex.G,U (u) ≥ 1
> 1 − log log n

4n → 1Điều này có nghĩa là hầu hết với mỗi đỉnh cho trước đều có ít nhất mộtđỉnh ngoại vi của nó Từ đó ta có được kết quả sau



> 1 − log log n

log n .Chứng minh Thật vậy, xét đồ thị G = (V, E) với |V | = n bất kì Đồ thị

Do đó, với mỗi đầu vào là đồ thị G, thuật toán tìm được một đường đi

L chứa hai đoạn L1 và L2 tương ứng với các đặc tính (T1) và (T2) trongquá trình thực hiện thuật toán

Theo đặc tính (T1), trên cơ sở một đỉnh được đánh dấu ở bước 1,thuật toán GrLPATH sẽ lựa chọn và đánh dấu được b = n2 −√n log n

đỉnh khác Dãy các đỉnh được đánh dấu tạo thành một đoạn L1 có độdài bằng b − 1 Khi đó

Pr G ∈ Gn : GrLPATH trên G tìm được L1
> 1 − log n√

nTiếp theo, theo đặc tính (T2), với mỗi đỉnh u của tập đỉnh U được đánhdấu trong L1, ta chọn và đánh dấu thêm một đỉnh Cùng với đỉnh cuốicùng của L1, dãy các đỉnh được đánh dấu tạo thành đoạn L2

Để đánh giá độ dài của đoạn L2, ta đánh giá số lần thuật toán GrLPATH

có thể thực hiện được trong bước lặp của bước 2 Kết quả (4) khẳng địnhrằng, thuật toán GrLPATH thực hiện được một phép lặp với xác suất lớnhơn 1 − log log n/4n Hơn nữa, với xác suất khá tốt, thuật toán thựchiện được ít nhất l = b2n/ log nc lần phép lặp với xác suất lớn hơn

1 − log log n/2 log n Bởi vậy, thuật toán GrLPATH tìm thêm được đoạn

L2 với độ dài b2n/ log nc với xác suất

Pr G ∈ Gn : GrLPATH trên G tạo ra L2
> 1 − log log n

2 log n

Vì vậy, đường đi L chứa hai đoạn L1, L2 có độ dài lớn hơn n2 + log nn Từ

đó ta có xác suất thuật toán GrLPATH tạo ra đường đi L với độ dài lớnhơn n2 + log nn là

Pr G ∈ Gn : GrLPATH trên G tạo ra L
> 1 − log log n

log n .hay



> 1 − log log n

log n .

Như vậy, trên hầu hết mỗi đồ thị G = (V, E) của bài toán LPATH,thuật toán tham lam GrLP ATH tìm được một đường đi với độ dài lớn hơn

|V |

2 + log|V ||V |

Định lí (2.2) đánh giá độ dài GrLPATH(G) của đường đi tìm được bởithuật toán tham lam GrLPATH trên hầu hết đồ thị G Từ đó ta có cơ sở

để đánh giá hiệu suất RGrLPATH(G) của thuật toán Kết quả đánh giáđược cho bởi định lí sau

có OP TLPATH 6 n − 1 < n Còn đối với những đồ thị G mà GrLP ATH(G) >

Điều này có nghĩa rằng thuật toán GrLPATH có hiệu suất hầu chắc chắnkhông vượt quá 2

Mặt khác, trong trường hợp xấu nhất, đồ thị G có n đỉnh mà RGrLPATH(G) =

n − 1 thì RGrLPATH(G) = ∞ Từ đó ta có kết luận sau

Hệ quả 2.4 Thuật toán GrLP có

Chương 3

Bài toán ghép cặp

Chương này trình bày một số kết quả liên quan đến phân tích xác suấtcủa thuật toán xấp xỉ cho bài toán ghép cặp trên đồ thị Kết quả đượclấy từ tài liệu tham khảo [14]

Trước khi đưa ra bài toán, ta có một số định nghĩa sau

Định nghĩa 3.1 Cho đồ thị G = (V, E) và F là một tập con của E

• Tập F được gọi là một ghép cặp của G nếu trong F không có haicạnh nào có đỉnh chung

• Một ghép cặp F được gọi là ghép cặp cực đại (Maximal matching)nếu không có ghép cặp nào khác trong G thực sự chứa F

Bài toán 3.1 (Bài toán Minimum maximal matching, hay

MIN-MAXL-MATCH) Cho đồ thị G = (V, E) Tìm một ghép cặp cực đại

F của G sao cho F có lực lượng nhỏ nhất

Ví dụ 3.1 Xét đồ thị trong Hình 3.1 Một số ghép cặp cực đại của đồthị là:

F1 = {a, d, f } , F2 = {a, m} , F3 = {h, e, f } , F4 = {b, c, f }

Hình 3.1: Ghép cặp cực đại trên đồ thị

Trong đó, F2 là ghép cặp cực đại nhỏ nhất trong đồ thị

Bài toán MIN-MAXL-MATCH là bài toán NP-khó và không thể giải đượcbằng thuật toán xấp xỉ thời gian đa thức với hiệu suất tuyệt đối nhỏhơn 76, trừ phi P= NP (theo [5])

MIN-MAXL-MATCH

Một thuật toán xấp xỉ đơn giản cho bài toán MIN-MAXL-MATCH là thuậttoán tham lam GrM Thuật toán GrM được mô tả như sau:

Trên đầu vào là đồ thị G = (V, E) và một tập F = ∅

Bước 1 Chọn tùy ý một cạnh trong E rồi đưa vào F và đánh dấu cạnhnày

Bước 2 Chọn tùy ý một cạnh trong các cạnh chưa được đánh dấu Nếu

nó không kề với cạnh nào đã đánh được dấu thì ta đánh dấu cạnh

đó và đưa vào tập F Lặp lại quá trình này cho đến khi các cạnhtrong E được xem xét.

Bước 3 Đầu ra của thuât toán một ghép cặp cực đại của G

Ví dụ 3.2 Xét đồ thị trong Hình 3.1 Thuật toán GrM sẽ chọn lần lượttừng cạnh trong số 10 cạnh của đồ thị Với mỗi cạnh được chọn thì lầnlượt 9 cạnh còn lại được xem xét

• Nếu a ∈ F thì thuật toán duyệt qua các cạnh {b, c, d, e, f, g, h, m, k}

Vì cạnh d và f không kề với cạnh a và không kề với nhau nên saukhi duyệt xong ta được tập F = {a, d, f }

• Nếu m ∈ F thì thuật toán duyệt qua các cạnh {a, b, c, d, e, f, g, h, k}

Vì cạnh a không kề với cạnh m nên cạnh a được chọn Sau đó,thuật toán duyệt qua các cạnh còn lại và cuối cùng ta được tập

F = {a, m} Quá trình tương tự sau khi ta xem xét hết các cạnh.Cuối cùng, ta tìm được ghép cặp nhỏ nhất là F = {a, m}

Nhận xét 3.1 Bằng cách phân tích thuật toán GrM cho một số đồ thịđặc biệt, ta thấy rằng lực lượng lớn nhất của một ghép cặp cực đại nhiềunhất gấp hai lần lực lượng nhỏ nhất của một ghép cặp cực đại Chẳnghạn, xét đồ thị G như Hình 3.2 dưới đây Dễ thấy, tập F1 = {a, e} làghép cặp cực đại có lực lượng lớn nhất Tập F2 = {c} là ghép cặp cực đại

có lực lượng nhỏ nhất Nếu thuật toán tìm được F2, vì F1 = OP TM (G),thì RGrM(G) = 2 Điều này có nghĩa thuật toán GrM có hiệu suất tuyệtđối bằng 2

Bây giờ ta phân tích hiệu suất của thuật toán tham lam GrM tronghầu hết mọi trường hợp

Bằng cách ước lượng và áp dụng công thức Stirling’s, ta có bổ đề sau.

Bổ đề 3.2 Giả sử h =n2 − 12√n log n Khi n đủ lớn, với k bất kì k ≤ h(i) Eµn,k−1 < Eµn,k ,

(ii) Eµn,k ≤ Eµn,h < n−log log n

Để phân tích thuật toán tham lam GrM trong hầu hết mọi trườnghợp, ta sử dụng các kết quả sau

Định lí 3.3 Cho G là một dữ kiện của bài toán MIN-MAXL-MATCH Khi

sự thuật toán Các nghiên cứu chứng tỏ rằng, nhiều toántối ưu NP- khó, thuật tốn xấp xỉ có hiệu suất tuyệt đối. .. 2

Bài toán đường dài nhất

Chương trình bày số kết liên quan đến phân tích xác suấtcủa thuật tốn xấp xỉ cho toán đường dài đồ thị Kếtquả lấy từ tài liệu tham khảo [1] Bài toán phát...

Chương trình bày số kết liên quan đến phân tích xác suấtcủa thuật toán xấp xỉ cho toán ghép cặp đồ thị Kết đượclấy từ tài liệu tham khảo [14]

Trước đưa tốn, ta có số định nghĩa sau

Định