Đối ngẫu của bài toán tối ưu vector lồi mở rộng

Cácbài toán tối ưu vector lồi mở rộng là sự mở rộng của bài toán tối ưu vector lồinảy sinh trong quá trình xây dựng và giải thích các mô hình kinh tế; trong lựachọn phương án tối ưu về t

NGUYỄN CHÍ THÀNH

ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN

TỐI ƯU VECTOR LỒI MỞ RỘNG

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số :60 46 40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS HOÀNG QUANG TUYẾN

Đà Nẵng - Năm 2011

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Tối ưu đa mục tiêu không lồi được các nhà toán học rất quan tâm trong vàichục năm trở lại đây, không chỉ từ quan điểm lý thuyết mà còn từ thực tế Cácbài toán tối ưu vector lồi mở rộng (là sự mở rộng của bài toán tối ưu vector lồi)nảy sinh trong quá trình xây dựng và giải thích các mô hình kinh tế; trong lựachọn phương án tối ưu về tài chính, kỹ thuật, sản xuất, vận tải và trong nhiềulĩnh vực hiện đại khác Khi nghiên cứu bài toán tối ưu vector lồi mở rộng thì lýthuyết đối ngẫu cũng là một trong những công cụ quan trọng Phân tích songsong một cặp bài toán đối ngẫu cho trường hợp lồi mở rộng (rộng hơn bài toánlồi) ta cũng nhận được những kết luận hay cả về mặt toán học và cả về ý nghĩathực tế rất hiện đại Do đó, tôi chọn đề tài:

" Đối ngẫu của bài toán tối ưu vector lồi mở rộng"

với nội dung là nghiên cứu các dạng đối ngẫu mới cho bài toán tối ưu vector lồi

mở rộng Có thể nói rõ hơn, qui hoạch lồi đóng vai trò cơ bản trong lý thuyết tối

ưu và trong các kết quả đối ngẫu, Tuy nhiên, đối với nhiều bài toán gặp phảitrong kinh tế, trong kỹ thuật, giả thuyết lồi trở nên quá nặng Do đó, cần phảigiảm nhẹ Trên thực tế có thể giảm nhẹ giả thuyết lồi mà vẫn đạt được kết quả(Định lý Kuhn - Tucker, ) Hàm invexity (Tính lồi bất biến) là một ví dụ như là

sự mở rộng của lớp hàm lồi

Đề tài khảo cứu một số dạng đối ngẫu mới cho các bài toán tối ưu vector lồi mởrộng:

1-Đối ngẫu Mond - Weir (tổng quát) cho bài toán tối ưu vector khả vi

2-Đối ngẫu Mond - Weir (tổng quát) cho bài toán tối ưu vector không khả vi.3-Đối ngẫu Mond - Weir (tổng quát) cho bài toán tối ưu vector không khả vi cóhàm d-Univex

4-Đối ngẫu Mond - Weir (tổng quát) cho bài toán tối ưu vector không khả vi cóhàm d-Type-I Univex

5-Đối ngẫu cho bài toán tối ưu vector (P) trong không gian Banach

6-Đối ngẫu cho bài toán tối ưu phân thức (P)

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Luận văn khảo cứu một số kết quả đối ngẫu mới (trong vòng 10 năm trở lại đây)cho một số bài toán tối ưu vector lồi mở rộng

3 Phương pháp nghiên cứu

Hệ thống các kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, hàm tuyến tính, hàm khả vi,

hàm không khả vi, hàm Invex, hàm quasiinvex, pseudoinvex, hàm Type-I và hàmType-I mở rộng, hàm V-Invex và hàm Univex, để phục vụ cho nhu cầu nghiêncứu đề tài.

Phương pháp tham khảo tài liệu: Tìm hiểu chi tiết các khái niệm, bổ đề, mệnh

đề, định lý, hệ quả, về lý thuyết đối ngẫu

Nghiên cứu các tài liệu trong nước và ngoài nước, Giáo trình hoặc các bài báoliên quan,

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Hệ thống được một số dạng bài toán tối ưu vector lồi mở rộng

Trình bày chi tiết các dạng đối ngẫu mới của các bài toán tối ưu vector lồi mởrộng rất hữu ích về nghiên cứu lý thuyết cũng như ý nghĩa thực tế

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mục lục, mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ bản về hàm lồi mở rộng

Chương 2 Hàm Type-I mở rộng và các hàm liên quan

Chương 3 Đối ngẫu của bài toán tối ưu vector lồi mở rộng

0 < λ < 1, ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2)

f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y), ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1]

hoặc tương đương

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1]

f (x) ≤ f (y) ⇒ (x − y)∇f (y) ≤ 0, ∀x, y ∈ X

Chú ý 1.1.1 Một tính chất quan trọng của hàm lồi khả vi là bất kì điểm dừngnào cũng là điểm cực tiểu toàn cục

f (x) < f (y) ⇒ (x − y)∇f (y) < 0, ∀x, y ∈ X

hoặc tương đương nếu

(x − y)∇f (y) ≥ 0 ⇒ f (x) ≥ f (y), ∀x, y ∈ X

Định nghĩa 1.1.6 Hàm f : X → R khả vi trên tập mở X ⊂ Rn là giả lồi chặt

f (x) ≤ f (y) ⇒ (x − y)∇f (y) < 0, ∀x, y ∈ X, x 6= y.hoặc tương đương nếu

(x − y)∇f (y) ≥ 0 ⇒ f (x) > f (y), ∀x, y ∈ X, x 6= y

Các hàm lồi đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu Bài toán tối ưu:

Min f (x), với mọi x ∈ X ⊆ Rn,

1.2 Hàm Invex và các hàm mở rộng

f (x) ≤ f (y) ⇒ ηT(x, y)∇f (y) ≤ 0, ∀x, y ∈ X

(y + λη(x, y)) ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1], ∀x, y ∈ X

và

f (y + λη(x, y)) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ [0; 1], ∀x, y ∈ X

1.3 Hàm Type-I và các hàm liên quan

Hanson và Mond đã đưa ra hai lớp hàm mới, hai lớp hàm này không chỉ đủ

mà còn cần cho tính tối ưu trong các bài toán gốc và bài toán đối ngẫu tươngứng Cho

P = {x : x ∈ X, g(x) 5 0} và D = {x : (x, y) ∈ Y },

f (x) − f (¯x) = [∇xf (¯x)]Tη(x, ¯x), ∀x ∈ P

và

−g(¯x) = [∇xg(¯x)]Tη(x, ¯x), ∀x ∈ P

các bất đẳng thức chặt trong định nghĩa trên

f (¯x) − f (x) = [∇xf (x)]Tη(x, ¯x), ∀x ∈ P

và

−g(x) = [∇xg(x)]Tη(x, ¯x), ∀x ∈ P

các bất đẳng thức chặt trong định nghĩa trên

Định nghĩa 1.3.3 Hàm mục tiêu và hàm ràng buộc Pseudo-Type-I

Định nghĩa 1.3.4 Hàm mục tiêu và hàm ràng buộc Quasi-Type-I

f (x) − f (¯x) 5 0 ⇒ [∇xf (¯x)]Tη(x, ¯x) 5 0, ∀x ∈ P

và

[∇xg(x)]Tη(x, ¯x) = 0 ⇒ −g(x) = 0, ∀x ∈ P

[∇xf (¯x)]Tη(x, ¯x) = 0 ⇒ f (x) − f (¯x) = 0, ∀x ∈ P

và

−g(x) 5 0 ⇒ [∇xg(x)]Tη(x, ¯x) 5 0, ∀x ∈ P

1.4 Hàm Univex và các hàm liên quan

1.5 Hàm V-Invex và các hàm liên quan

Jeyakumar and Mond (1992) đã giới thiệu khái niệm của hàm V-Invex cho một

mục tiêu bị ràng buộc, như sau:

hàm η : X × X → Rn và αi : X × X → R+− {0} sao cho mỗi x, ¯x ∈ X và cho

i = 1, 2, 3 p,

fi(x) − fi(¯x) = αi(x, ¯x)∇fi(¯x)η(x, ¯x).Định nghĩa 1.5.2 Bài toán tối ưu vector:

Chương 2

Hàm Type-I mở rộng và các hàm liên quan

2.1 Hàm Type-I Univex mở rộng

Chúng ta định nghĩa bài toán Type-I Univex mở rộng.Trong định nghĩa sau,

b0, b1 : X × X × [0, 1] → R+, b(x, a) = lim

λ→0b(x, a, λ) ≥ 0,

và η : X × X → Rn là một hàm giá trị vector n-chiều

Xét bài toán quy hoạch đa mục tiêu sau:

a ∈ X0 nếu tồn tại hàm giá trị thực b0, b1, φ0, φ1 và η sao cho

b0(x, a)φ0(f (x) − f (a)) ≤ 0 → (∇f (a))η(x, a) < 0,

−b1(x, a)φ1(g(a)) 5 0 → (∇g(a))η(x, a) 5 0,

Nếu (V P ) là Pseudo-Type-I Univex chặt yếu tại mỗi a ∈ X, ta nói (V P ) là

b0(x, a) = 1 = b1(x, a), φ0 và φ1 như những hàm đồng nhất, Chúng ta đượcPseudo-quasi-Type-I chặt yếu

tại a ∈ X0 nếu tồn tại hàm giá trị thực b0, b1, φ0, φ1 và η sao cho

b0(x, a)φ0(f (x) − f (a)) ≤ 0 → (∇f (a))η(x, a) ≤ 0,

−b1(x, a)φ1(g(a)) 5 0 → (∇g(a))η(x, a) 5 0,

cho mỗi x ∈ X0 và với mọi i = 1, , p và j = 1, , m.

Nếu (V P ) là pseudo-quasi-Type-I Univex mạnh tại mỗi a ∈ X , ta nói (V P ) là

b0, b1, φ0, φ1 và η sao cho

b0(x, a)φ0(f (x) − f (a)) ≤ 0 ⇒ (∇f (a))η(x, a) 5 0,

−b1(x, a)φ1(g(a)) 5 0 ⇒ (∇g(a))η(x, a) ≤ 0,

Nếu (V P ) là quasi-Pseudo-Type-I univex chặt yếu tại mọi a ∈ X, ta nói (V P )

với b0, b1, φ0, φ1 và η tại a ∈ X0 nếu tồn tại hàm giá trị thực b0, b1, φ0, φ1 và η

sao cho

b0(x, a)φ0(f (x) − f (a)) ≤ 0 ⇒ (∇f (a))η(x, a) < 0,

−b1(x, a)φ1(g(a)) 5 0 ⇒ (∇g(a))η(x, a) < 0,

Nếu (V P ) là Pseudo-Type-I Univex chặt yếu tại mỗi a ∈ X, ta nói (V P ) là

Univex mở rộng

2.2 Hàm d-Type-I không khả vi và các hàm liên quan

Xét bài toán tối ưu vector sau:

η : X × X → Rn là hàm vector.f0(u, η(x, u)) là ký hiệu đạo hàm của f theo

Cho D = {x ∈ X : g(x) 5 0} là tập tất cả các giá trị chấp nhận được của bài

J (x) = {j ∈ M : gj(x) = 0} và J (x) = {j ∈ M : ge j(x) < 0} Nó hiển nhiênrằng J (x) ∪ eJ (x) = M

η : X × X → Rn là một hàm giá trị vector n-chiều

Định nghĩa 2.2.1 f được gọi là d-Univex đối với b0, φ0 và η tại u ∈ X nếu tồn

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≥ f0(u, η(x, u))

tại u ∈ X nếu tồn tại b0, φ0 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≤ 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) < 0

u ∈ X nếu tồn tại b0, φ0 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≤ 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) ≤ 0

u ∈ X nếu tồn tại b0, φ0 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≤ 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) 5 0

u ∈ X nếu tồn tại b0, φ0 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) < 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) ≤ 0

u ∈ X nếu tồn tại b0, φ0 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) 5 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) ≤ 0

tại u ∈ X nếu tồn tại b0, b1, φ0, φ1 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) = f0(u, η(x, u))

và

−b1(x, u)φ0(g(u)) = g0(u, η(x, u))

sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≤ 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) < 0

và

−b1(x, u)φ0(g(u)) 5 0 ⇒ g0(u, η(x, u)) 5 0

b0, b1, φ0, φ1 và η tại u ∈ X nếu tồn tại b0, b1, φ0, φ1 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≤ 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) ≤ 0

−b1(x, u)φ1(g(u)) 5 0 ⇒ g0(u, η(x, u)) 5 0

sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≤ 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) 5 0

và

−b1(x, u)φ1(g(u)) 5 0 ⇒ g0(u, η(x, u)) ≤ 0

b0, b1, φ0, φ1 và η tại u ∈ X nếu tồn tại b0, b1, φ0, φ1 và η với mọi x ∈ X sao cho

b0(x, u)φ0(f (x) − f (u)) ≤ 0 ⇒ f0(u, η(x, u)) < 0

và

−b1(x, u)φ1(g(u)) 5 0 ⇒ g0(u, η(x, u)) < 0

2.3 Các hàm Type-I liên thông nửa địa phương

λ ∈ [0, 1] Ta nói rằng tập X0 là Invex nếu X0 là Invex tại bất kỳ x ∈ X0

tại x, ¯x ∈ X0, nếu cho bất kỳ x ∈ X0, ở đó tồn tại 0 < aη(x, ¯x) 5 1 sao cho

¯

x + λη(x, ¯x) ∈ X0 với bất kỳ λ ∈ [0, aη(x, ¯x)]

f (¯x + λη(x, ¯x)) 5 λf (x) + (1 − λ)f (¯x) với 0 < λ < dη(x, ¯x)

x ∈ X0, ở đó tồn tại một số dương dη(x, ¯x) 5 aη(x, ¯x) sao cho f (x) 5 f (¯x) và

0 < λ < dη(x, ¯x) suy ra f (¯x + λη(x, ¯x)) 5 f (¯x)

(df )+(¯x, η(x, ¯x)) tồn tại với mỗi x ∈ X¯ 0 Khi đó

(df )+(¯x, η(x, ¯x)) = lim

λ→0+

1

λ[f (¯x + λη(x, ¯x)) − f (¯x)]

Chú ý 2.3.1 Các hàm được định nghĩa trên là khả vi

2.4 Hàm Invex không trơn và các hàm liên quan

2.5 Hàm Type-I và các hàm liên quan trong không gian

Banach

sau:

(P) M in{f (x) : x ∈ C, −g(x) ∈ K},

∂c(x) = inf {kx − ck : c ∈ C}

Hàm khoảng cách thì không khả vi hầu khắp nơi, nhưng là Lipschitz địa phương

∂c0(¯x, d) = 0

là tập của tất cả các tập con compact định chuẩn của G) và một hàm

r : E × E → R+ thỏa mãn các điều kiện sau:

x→¯ x,

d→0

r(x, d) = 0;

2 Tồn tại α > 0 sao cho t−1[h(x + td) − h(x)] ∈ (d) + kdkr(x, t)BG, với mọi

x ∈ ¯x + αBG và t ∈ (0, α), trong đó BG ký hiệu là hình cầu đóng xung tâm

3 R(0) = {0} và R là nửa liên tục trên

g : E → R được gọi là Type-I tại x ∈ C, đối với C nếu với mọi y ∈ C, tồn tại

η(y, x) ∈ TC(x) sao cho

f (y) − f (x) ≥ f0(x; η(y, x)),

−g(x) ≥ g0(x; η(y, x))

mọi y ∈ C, tồn tại η(y, x) ∈ TC(x) sao cho

f (y) ≤ f (x) ⇒ f0(x; η(y, x)) ≤ 0,

−g(x) ≤ 0 ⇒ g0(x; η(y, x)) ≤ 0

f0(x; η(y, x)) ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x),

g0(x; η(y, x)) ≥ 0 ⇒ −g(x) ≤ 0

f (y) ≤ f (x) ⇒ f0(x; η(y, x)) ≤ 0,

g0(x; η(y, x)) ≥ 0 ⇒ −g(x) ≥ 0.Nếu trong định nghĩa trên, ta có

g0(x; η(y, x)) ≥ 0 ⇒ −g(x) > 0

f0(x; η(y, x)) ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x),

−g(x) ≤ 0 ⇒ g0(x; η(y, x)) ≤ 0.Chú ý 2.5.1 Ta sử dụng khái niệm tính Invex suy rộng ( Type-I,

Pseudo-Type-I, quasi-Type-I, v v ) cho các hàm giữa các không gian Banach

g : E → G là Type-I, quasi-Type-I, Pseudo-Type-I, quasi-Pseudo-Type-I,

Pseudo-Type-I, quasi-Pseudo-Type-I, Pseudo-quasi-Type-I, theo hướng của các

v∗ ∈ K∗

Tính chất lồi suy rộng đóng vai trò cực kỳ to lớn trong nghiên cứu lý thuyếtđối ngẫu Năm 1981 Mond và Weir đã đưa ra một kiểu đối ngẫu dựa trên đốingẫu Wolfe Tiến bộ của đối ngẫu Mond-Weir nằm ở chỗ hàm mục tiêu giốngnhư hàm mục tiêu của bài toán gốc và kết quả đối ngẫu có được với điều kiệnnới rộng hơn so với điều kiện lồi của Wolfe.

x > y nếu và chỉ nếu xi > yi, i = 1, 2, n,

x = y nếu và chỉ nếu xi = yi, i = 1, 2, n,

x > y nếu và chỉ nếu xi > yi, i = 1, 2, n, nhưng x 6= y

3.1 Đối ngẫu Mond-Weir cho bài toán tối ưu vector

trong đó f : X → Rp và g : X → Rm là các hàm khả vi và X ⊆ Rn là một tập

Bài toán đối ngẫu Mond-Weir của bài toán (VP) là

Y0 = {(y, τ, λ) : τ ∇f (y) + λ∇g(y) = 0, λg(y) = 0, τ ∈ Rp, λ ∈ Rm, λ = 0}.Định lý 3.1.1 (Đối ngẫu yếu) Giả sử rằng

Định lý 3.1.4 (Đối ngẫu mạnh) Giả sử x¯ là một phương án hữu hiệu của (VP)

¯

λ ∈ Rm sao cho (¯x, ¯τ , ¯λ) là phương án khả thi của (MWD) Nếu một trong các

án hữu hiệu của (MWD)

3.2 Đối ngẫu Mond-Weir tổng quát cho bài toán tối ưu

Bài toán đối ngẫu Mond-Weir tổng quát của bài toán (VP) là:

λJtgJt(y) = 0, 1 5 t 5 r (3.4)

λ = 0, τ = 0 và τ e = 1;

(a) τ > 0, (f + λJ0gJ0(·)e, λJtgJt(·)) là Pseudo-quasi-Type-I Univex mạnh tại y

(b) (f + λJ0gJ0(·)e, λJtgJt(·)) là Pseudo-quasi-Type-I Univex chặt yếu tại y với

(c) (f + λJ0gJ0(·)e, λJtgJt(·)) là Pseudo-Type-I Univex chặt yếu tại y với bất kỳ

t, 1 5 t 5 r đối với b0, b1, ∅0, ∅1 và η, với ∅0, ∅1 tăng

Khi đó

f (x)  f (y) + λJ 0gJ0(y)e

(¯x, ¯τ , ¯λ) là phương án khả thi của (GMWD) Nếu bất kỳ tính đối ngẫu yếu trong

(GMWD)

3.3 Đối ngẫu Mond-Weir cho bài toán tối ưu vector

Cho D = {x ∈ X : g(x) 5 0} là tập tất cả các giá trị chấp nhận được của bài

J (x) = {j ∈ M : gj(x) = 0} và J (x) = {j ∈ M : ge j(x) < 0} Nó hiển nhiênrằng J (x) ∪ eJ (x) = M

f0(¯x, η(x, ¯x)) + ¯µTg0(¯x, η(x, ¯x)) = 0, ∀x ∈ X, (3.10)

¯

Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) được xét ở dạng Mond-Weir (1981):

là tập tất cả các phương án khả thi của (MWD)

Định lý 3.3.1 (Đối ngẫu yếu) Cho x và (y, ξ, µ) lần lượt là các phương án khảthi tương ứng của (P) và (MWD) Hơn nữa, ta giả sử rằng bất kỳ một trong cácđiều kiện sau được thỏa mãn:

(a) (f, µTg) là Pseudo-quasi-d-Type-I Univex mạnh tại y đối với η và ξ > 0;(b) (f, µTg) là Pseudo-quasi-d-Type-I Univex chặt yếu tại y đối với η;

(c) (f, µTg) là Pseudo-d-Type-I Univex chặt yếu tại y đối với η tại y trên

D ∪ prxW

Khi đó

f (x)  f (y)

phương hoặc phương án hữu hiệu yếu của (P) thỏa mãn điều kiện Slater suy

g0(¯x, η(x, ¯x)) trên X và cho gj liên tục với j ∈ bJ (¯x) Khi đó tồn tại µ ∈ R¯ m+ saocho (¯x, 1, ¯µ) là khả thi của (MWD) Nếu tính đối ngẫu yếu giữa (P) và (MWD)

phương của (MWD)

phương án hữu hiệu yếu của (P)

3.4 Đối ngẫu Mond-Weir tổng quát cho bài toán tối ưu

vector (P) không khả vi

Xét bài toán đối ngẫu Mond-Weir tổng quát của bài toán (P) :

là tập tất cả các phương án khả thi của (GMWD)

khả thi của (P) và (GMWD) tương ứng Nếu có bất kỳ một trong các điều kiệnsau:

(a) ξ > 0, (f + µJ0gJ0, µJtgJt) là Pseudo-d-Type-I Univex mạnh tại y trong

D ∪ prxWf, đối với η, ∀t, 1 5 t 5 r;

(b) (f + µJ0gJ0, µJtgJt) là Pseudo-quasi-d-Type-I Univex chặt yếu tại y trong

hoặc nghiệm hữu hiệu yếu của (P) và điều kiện Slater suy rộng được thỏa mãn,

(¯x, 1, ¯µ) là khả thi của (GMWD) Hơn nữa, nếu đối ngẫu yếu giữa (P) và

địa phương hoặc một nghiệm hữu hiệu yếu của (GMWD)

3.5 Đối ngẫu Mond-Weir cho bài toán tối ưu vector

(P) không khả vi có hàm d-Univex

Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) được xét ở dạng Mond-Weir (1981):

là tập tất cả các phương án khả thi của (MWD)

Chú ý 3.5.1 (còn có) Định lý 3.5.1 (đối ngẫu yếu); Định lý 3.5.2 (đối ngẫumạnh); Định lý 3.5.3 (đối ngẫu đảo) thể hiện mối quan hệ giữa nghiệm bài toángốc và nghiệm bài toán đối ngẫu của nó

3.6 Đối ngẫu Mond-Weir tổng quát cho bài toán tối ưu

vector (P) không khả vi có hàm d-Univex

Xét bài toán đối ngẫu Mond-Weir tổng quát của bài toán (P) :

là tập tất cả các phương án khả thi của (GMWD).

Chú ý 3.6.1 (còn có) Định lý 3.6.1 (đối ngẫu yếu); Định lý 3.6.2 (đối ngẫumạnh) thể hiện mối quan hệ giữa nghiệm bài toán gốc và nghiệm bài toán đốingẫu của nó

3.7 Đối ngẫu Mond-Weir cho bài toán tối ưu vector

(P) không khả vi có hàm d-Type-I-Univex

Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) được xét ở dạng Mond-Weir (1981):

là tập tất cả các phương án khả thi của (MWD)

thi của (P) và (MWD) tương ứng Giả sử có một trong các điều kiện sau:

ξ > 0, b0 > 0, a ≤ 0 ⇒ ∅0(a) ≤ 0 và µTg là quasi-d-Univex tại y trên D ∪ prxW

b0 ≥ 0, a ≤ 0 ⇒ ∅0(a) ≤ 0 và µTg là quasi-d-Univex tại y trên D ∪ prxW đốivới b1, ∅1 và η với a 5 0 ⇒ ∅1(a) 5 0

b0 ≥ 0, a ≤ 0 ⇒ ∅0(a) ≤ 0 và µTg là quasi-d-Univex chặt tại y trên D ∪ prxW