luận văn thạc sĩ một số bài toán tối ưu trên đồ thị và ứng dụng

Nếu giữa hai đỉnh bất kỳ có không quá một cạnh thì G được gọi là một đồ thịNếu với hai đỉnh u, v bất kỳ, có nhiều nhất một cạnh đi từ u tới v thì G được gọi là một đồ thị đơn có hướng...

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

Lê Thị Phương Loan

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

Lê Thị Phương Loan

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu, nghiêncứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Hoàng Thạch Cáckết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được tríchdẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hộiđồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa được công bố trên bất kỳ mộtphương tiện nào.

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên

Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2019

Người cam đoan

Lê Thị Phương Loan

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS NguyễnHoàng Thạch Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫnhiệu quả cùng những kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của Học việnKhoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trongquá trình tôi thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán học và các thầy cô anh chị trong phòng

Cơ sở Toán học của Tin học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Xin cảm ơn các bạn học viên chuyên ngành Toán ứng dụng khoá 2017- 2019 đãgiúp đỡ, động viên tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết Vì vậytôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn họcviên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 7

1.1.1 Các định nghĩa và thí dụ 7

1.1.2 Biểu diễn đồ thị 11

1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ TÍNH LIÊN THÔNG 15

1.2.1 Đường đi và chu trình 15

1.2.2 Tính liên thông 17

2 BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ 19 2.1 BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 20

2.2 THUẬT TOÁN DIJKSTRA 21

2.2.1 Mô tả thuật toán 21

2.2.2 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán 23

2.2.3 Độ phức tạp của thuật toán 27

2.2.4 Ví dụ 27

2.3 THUẬT TOÁN BELLMAN-FORD 28

2.3.1 Mô tả thuật toán 28

2.3.2 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán 30

2.3.3 Độ phức tạp của thuật toán 31

2.3.4 Ví dụ 32

2.4 SO SÁNH 33

3 ỨNG DỤNG: BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH 34 3.1 MÔ TẢ BÀI TOÁN 35

3.2 MÔ HÌNH ĐỒ THỊ 37

3.2.1 Phương pháp thế năng 37

3.2.2 Phương pháp PERT 42

4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 46 4.1 KẾT LUẬN 46

4.2 KIẾN NGHỊ 46

LỜI NÓI ĐẦU

Trong khi tối ưu luôn là một trong những lĩnh vực quan trọng và có lịch sửlâu đời của toán học ứng dụng, thì tối ưu tổ hợp lại là một nhánh khá "trẻ" chỉbắt đầu phát triển mạnh từ khoảng đầu thế kỷ 20, do nhu cầu phát sinh từ mộtnền sản xuất hiện đại, quy mô lớn Các bài toán tối ưu tổ hợp hiện diện khắpnơi trong cuộc sống hiện đại, từ việc lên kế hoạch, tổ chức các dây chuyền sảnxuất, kho bãi đến những khía cạnh đời thường gần gũi hơn như giao thông đôthị, sắp xếp thời khóa biểu,

Cũng được phát triển mạnh trong thế kỷ 20 là lý thuyết đồ thị Các mô hình đồthị cho phép thể hiện một cách trực quan các tập hợp các đối tượng rời rạc vàcác mối quan hệ giữa chúng Ban đầu gắn liền với khoa học máy tính, hiện nay

lý thuyết đồ thị bản thân nó đã trở thành một lĩnh vực toán học riêng và vẫnphát triển mạnh Các mô hình đồ thị có thể được tìm thấy trong thiết kế máytính và phần mềm, trong mạng viễn thông, trong sinh học, trong các nghiên cứu

về mạng xã hội, trong kinh tế,

Một số bài toán tối ưu tổ hợp có thể được mô hình hóa (và giải) một cách rất

tự nhiên bằng ngôn ngữ đồ thị Luận văn này sẽ tập trung vào một lớp bài toántiêu biểu trong số đó

Trong khuôn khổ luận văn, tôi sẽ trình bày mô hình toán học và phương phápgiải, sau đó minh họa bằng một ứng dụng thực tiễn

Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trình bày các khái niệm, tính chất, mệnh đề,

các nội dung cơ bản để phục vụ cho nội dung trong luận văn

Chương 2 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị Đây là phần chính

của luận văn Trong chương này sẽ nêu ra bài toán, phương pháp giải, giả mã vàchứng minh tính đúng đắn của các thuật toán

Chương 3 Ứng dụng: Bài toán lập kế hoạch Nêu ra một mô hình thực tiễn,

và cách áp dụng từ bài toán tìm đường đi ngắn nhất bên trên để giải quyết môhình đó

Các khái niệm, nội dung trong luận văn được tham khảo từ các tài liệu [1], [2],[3], [4], [5], [6] và viết lại theo ý hiểu của tác giả

Danh sách bảng

3.1 Ví dụ mô hình dự án 36

Danh sách hình vẽ

1.1 Đơn đồ thị vô hướng(a) và có hướng(b) 9

1.2 Đơn đồ thị vô hướng có trọng số(a) và có hướng có trọng số (b) 9

1.3 Hai phép biểu diễn đồ thị vô hướng trong hình 1.1a 12

1.4 Hai phép biểu diễn đồ thị có hướng trong hình 1.1b 13

1.5 Hai phép biểu diễn đồ thị có trọng số trong hình 1.2a 14

1.6 Ví dụ về một đồ thị có hướng 16

2.1 Minh họa cho chứng minh ý 1 23

2.2 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 1 24

2.3 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 2 25

2.4 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 3 26

2.5 Thực thi thuật toán Dijkstra 27

2.6 Minh họa cho chứng minh trường hợp 2 31

2.7 Thực thi thuật toán Bellman-Ford 32

3.1 Đồ thị Conjunctive 38

3.2 Biểu diễn đồ thị của bảng 3.1 bằng phương pháp thế năng 39

3.3 Biểu diễn kết quả bằng phương pháp thế năng 42

3.4 Biểu diễn đồ thị của bảng 3.1 bằng phương pháp PERT 44

3.5 Biểu diễn kết quả bằng phương pháp PERT 44

3.6 Biểu diễn của bài toán bằng biểu đồ Gantt 45

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các khái niệm, nội dung được trình bày sau đây nhằm phục vụ cho nội dungtrong khuôn khổ luận văn Để tìm hiểu thêm các kiến thức về đồ thị, độc giả cóthể tham khảo các tài liệu trong mục tài liệu tham khảo

1.1.1 Các định nghĩa và thí dụ

Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị vô hướng G = (V, E) được xác định bởi:

• V là một tập khác rỗng gồm các đỉnh,

• E là tập các cặp đỉnh (không thứ tự), được gọi là cạnh Hai đỉnh thuộc một

cạnh được gọi là các đầu mút của cạnh đó.

Trong khuôn khổ luận văn, ta xét các đồ thị hữu hạn, tức là có tập hợp đỉnh

hữu hạn

Nếu giữa hai đỉnh bất kỳ có không quá một cạnh thì G được gọi là một đồ thị

Nếu với hai đỉnh u, v bất kỳ, có nhiều nhất một cạnh đi từ u tới v thì G được

gọi là một đồ thị đơn có hướng.

Nếu (a, b) ∈ E thì (a, b) được gọi là cạnh (cung) của G với đỉnh đầu là a, đỉnh

cuối là b và có hướng đi từ a tới b

Ví dụ 1.1.1 a Đồ thị vô hướng G = (V, E) trong đó:

V = {a, b, c, d, e, f },

E = {(a, b), (a, e), (b, e), (c, d)} (Hình 1.1.a)

b Đồ thị có hướng G = (V, E) trong đó:

V = {a, b, c, d, e, f },

E = {(a, b), (b, e), (c, d), (d, c), (e, a), (f, f )} (Hình 1.1b)

Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị có trọng số (hay trọng đồ), nếu mỗi cạnh có một trọng số kết hợp, thường được cung cấp bởi một hàm trọng số

(a) Đơn đồ thị vô hướng (b) Đơn đồ thị có hướng

Hình 1.1: Đơn đồ thị vô hướng(a) và có hướng(b)

và w(a, b) = 3, w(a, e) = 4, w(b, e) = 4.5, w(c, d) = 6 (Hình 1.2a)

Hình 1.2: Đơn đồ thị vô hướng có trọng số(a) và có hướng có trọng số (b)

Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị H = (W, F ) sao

cho W ⊂ V, F ⊂ E.

Tiếp sau đây là một số thuật ngữ cơ bản của lý thuyết đồ thị

Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các đỉnh và các cạnh của đồ thị vô hướng.

Nếu (u, v) là một cạnh nằm trong đồ thị G = (V, E) ta nói đỉnh v kề với đỉnh

u Trong đồ thị vô hướng, quan hệ kề là đối xứng

Nếu e = (u, v) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với hai đỉnh u và

v, hoặc cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi

là các đỉnh đầu của cạnh (u, v).

Để biết có bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, ta dựa vào định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.4 Bậc của một đỉnh trong một đồ thị vô hướng là số lượng các

cạnh liên thuộc trên nó.

Ký hiệu: deg(v).

Đỉnh v được gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v) = 0.

Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu deg(v) = 1.

Ta xét các thuật ngữ tương tự cho đồ thị có hướng

Tương tự với đồ thị vô hướng, ta có khái niệm về quan hệ kề đối với đồ thị cóhướng Và trong một đồ thị có hướng, quan hệ kề không nhất thiết đối xứng.Nếu v kề với u trong một đồ thị có hướng, đôi lúc ta viết u → v

Nếu (u, v) là một cạnh trong một đồ thị G = (V, E) , ta nói rằng (u, v) liên

thuộc từ (incident from) đỉnh u và liên thuộc đến (incident to) đỉnh v.

Định nghĩa 1.1.5 Trong một đồ thị có hướng, bậc đi ra của một đỉnh là số

lượng cạnh rời khỏi nó, bậc đi vào của một đỉnh là số lượng cạnh nhập vào nó Bậc của một đỉnh trong đồ thị có hướng là bậc đi ra cộng bậc đi vào của nó.

Hay ta còn có thể viết dưới dạng sau:

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng và v ∈ V Kí hiệu:

d+(v) = {x ∈ V |(v, x) ∈ E}

d−(v) = {y ∈ V |(y, v) ∈ E}

Khi đó |d+(v)| được gọi là bậc đi ra, |d−(v)| được gọi là bậc đi vào của v.

d(v) = d+(v) + d−(v)

Đỉnh v được gọi là đỉnh cô lập nếu d+(v) + d−(v) = 0

Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu d+(v) + d−(v) = 1

1.1.2 Biểu diễn đồ thị

Biểu diễn đồ thị trên mặt phẳng là một biểu diễn cho ta phép nhìn nhận đốitượng này một cách khá trực quan Tuy nhiên, ta vẫn cần tới các biểu diễn kháccủa đồ thị để đáp ứng các đòi hỏi khác nhau của các ứng dụng Và có hai cáchthường dùng để biểu diễn một đồ thị G = (V, E) : sử dụng một danh sách kềhoặc sử dụng một ma trận kề Phép biểu diễn danh sách kề cung cấp một cách

gắn gọn để biểu diễn các đồ thị thưa - là những đồ thị mà |E| nhỏ hơn nhiều

so với |V |2 Phép biểu diễn ma trận kề được ưa dùng khi đồ thị là trù mật -|E|

sát với |V |2 hoặc khi ta cần nhanh chóng biết một cạnh nối hai đỉnh đã cho haykhông

Biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề

Trong khoa học máy tính, danh sách kề là một cấu trúc dữ liệu gắn bó chặt chẽ

với việc biểu diễn đồ thị

Phép biểu diễn danh sách kề của một đồ thị G = (V, E) gồm một mảng Adj

có độ lớn là |V |, ứng với các đỉnh của V Với mỗi đỉnh u của đồ thị, ta chotương ứng với nó một danh sách các đỉnh kề với u, nghĩa là sao cho có cạnh

(u, v) ∈ E.

Nếu G là một đồ thị có hướng thì tổng các chiều dài của tất cả các danh sách kề

là |E|, bởi mỗi cạnh (u, v) thể hiện v xuất hiện trong Adj[u]

Nếu G là một đồ thị vô hướng thì tổng các chiều dài của tất danh sách kề là

2|E|, vì nếu (u, v) là một cạnh vô hướng thì u xuất hiện trong danh sách kề của

v và ngược lại

Danh sách kề có thể thay đổi để biểu diễn đồ thị có trọng số Khi đó, trọng số

w(u, v) của cạnh (u, v) được lưu trữ với đỉnh v trong danh sách kề của u.Một nhược điểm của phép biểu diễn danh sách kề đó là để xác định xem mộtcạnh đã cho (u, v) có tồn tại trong đồ thị hay không, ta không còn cách nàonhanh hơn là tìm kiếm v trong danh sách kề Adj[u].Có thể khắc phục nhượcđiểm này bằng một phép biểu diễn ma trận kề của đồ thị, để đổi lại, ta phảidùng nhiều bộ nhớ hơn

Ví dụ 1.1.3 Hai phép biểu diễn đồ thị vô hướng Hình 1.1a.

Hình 1.3: Hai phép biểu diễn đồ thị vô hướng trong hình 1.1a

Ví dụ 1.1.4 Hai phép biểu diễn của đồ thị có hướng Hình 1.1b

(a) Biểu diễn danh sách kề của G (b) Biểu diễn ma trận kề của G

Hình 1.4: Hai phép biểu diễn đồ thị có hướng trong hình 1.1b

Dễ thấy rằng ma trận kề A của đồ thị có hướng G hoàn toàn xác định G Vìvậy, ma trận kề được coi là một biểu diễn của G Ta có một số tính chất:

Tính chất 1.1.1. i Ma trận kề của đồ thị vô hướng là một ma trận đối xứng.

ii Tổng các phần tử trên dòng i (cột j) bằng bậc của đỉnh tương ứng.

Cũng tương tự phép biểu diễn danh sách kề của một đồ thị, phép biểu diễn

ma trận kề có thể được dùng cho các đồ thị có trọng số Khi đó, nếu G là một

Hình 1.5: Hai phép biểu diễn đồ thị có trọng số trong hình 1.2a

1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ TÍNH LIÊN THÔNG

1.2.1 Đường đi và chu trình

Xét một đồ thị vô hướng

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng Một đường đi trong G là một dãy

v0e1v1e2v2 envn sao cho:

+ Với mọi i = 0, 1, 2, , n, vi ∈ V ,

+ Với mọi i = 1, 2, , n, ei ∈ E và ei = (vi−1, vi) hoặc ei = (vi, vi−1)

Khi đó, n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vn được gọi làđỉnh cuối của đường đi trên

Một chu trình là một đường có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Một đường đi đơn (chu trình đơn) là một đường đi (chu trình) không đi qua

cạnh nào quá một lần

Xét một đồ thị có hướng

Hoàn toàn tương tự, ta có các định nghĩa với đồ thị có hướng

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng Một đường đi trong G là một dãy

v0e1v1e2v2 envn sao cho:

+ Với mọi i = 0, 1, 2, , n, vi ∈ V ,

+ Với mọi i = 1, 2, , n, ei ∈ E và ei = (vi−1, vi)

Khi đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vn được gọi là

đỉnh cuối của đường có hướng trên Một đường đi đơn (chu trình đơn) là một

đường đi (chu trình) không đi qua cạnh nào quá một lần.

Trong trường hợp đồ thị có hướng, xét một đường đi v0e1v1e2v2 envn, mỗicạnh ei đều có đỉnh đầu là đỉnh đứng trước và đỉnh cuối là đỉnh đứng sau eitrong dãy, tức là nó được xác định bởi chính hai đỉnh đó

Vì vậy, khi đồ thị không có cạnh bội, ta biểu diễn đường đi bằng dãy các đỉnh,

bỏ qua các cạnh, và đơn giản gọi dãy các đỉnh v0v1v2 vn của G là đường đi

trong G nếu với mọi i = 0, 1, , n − 1, (vi, vi+1) là một cạnh của G

Ví dụ 1.2.1 Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng như hình 1.6 Khi đó:

a a → b → f → e → b → c là một đường đi có hướng với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là c với độ dài bằng 5.

b a → b → e → d → c → b → e → f là một đường đi vô hướng với đỉnh đầu

là a, đỉnh cuối là f với độ dài bằng 7.

c b → f → e → b là một đường đi có hướng khép kín.

d b → e → d → c → b là một đường đi vô hướng khép kín.

Hình 1.6: Ví dụ về một đồ thị có hướng

1.2.2 Tính liên thông

Xét một đồ thị vô hướng

Định nghĩa 1.2.1 Một đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông nếu với hai

đỉnh vivà vj khác nhau bất kỳ của G đều tồn tại một đường đi đơn trong G với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj.

Trong trường hợp ngược lại, đồ thị được gọi là không liên thông.

Một thành phần liên thông của G là một đồ thị con liên thông cực đại (theo

nghĩa bao hàm) của G.

Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.1 Với mọi cặp đỉnh u, v khác nhau, các thành phần liên thông

chứa u và chứa v hoặc trùng nhau, hoặc rời nhau Chúng trùng nhau khi và chỉ khi u và v được nối với nhau bởi một đường đi.

Xét một đồ thị có hướng

Định nghĩa 1.2.2 Một đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông yếu (liên

thông) nếu với hai đỉnh vi và vj khác nhau bất kỳ của G đều tồn tại một đường

đi đơn trong G với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj.

Trong trường hợp ngược lại, đồ thị được gọi là không liên thông.

Ngoài ra, ta có định nghĩa liên thông mạnh cho đồ thị có hướng

Định nghĩa 1.2.3 Một đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông mạnh nếu với

hai đỉnh bất kỳ khác nhau vi và vj, tồn tại cả đường đi với đỉnh đầu là vi, đỉnh cuối là vj và đường đi với đỉnh đầu là vj, đỉnh cuối là vi.

Nhận xét 1.2.1 Một đồ thị liên thông mạnh thì liên thông Điều ngược lại chưa

có một ý nghĩa to lớn, vì nhiều bài toán có thể đưa về dạng bài toán tìm đường

đi ngắn nhất Ví dụ, bài toán chọn một hành trình tiết kiệm nhất (theo khoảngcách hoặc thời gian hoặc chi phí) trên một mạng giao thông đường bộ, đườngthủy hoặc đường không, bài toán lập lịch thi công các công đoạn trong một côngtrình lớn, bài toán lựa chọn đường truyền tin với chi phí nhỏ nhất trong mạngthông tin, Và để giải quyết những bài toán đó, các thuật toán được xây dựngdựa trên cơ sở lý thuyết đồ thị tỏ ra là các thuật toán có hiệu quả Trong chươngnày chúng ta sẽ xét một số thuật toán như vậy

2.1 BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Cho một đồ thị có hướng có trọng số G = (V, E, w) Độ dài một đường đi

p = (v0v1 vk) được định nghĩa bởi:

Ta có thể có các dạng của bài toán:

1 Cho trước 2 đỉnh Tìm một đường đi ngắn nhất giữa chúng

2 Cho trước 1 đỉnh Tìm một đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến các đỉnh cònlại

3 Cho trước 1 đỉnh Tìm một đường đi ngắn nhất từ mỗi đỉnh đến đỉnh đó

4 Tìm một đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh

Ta dễ dàng nhận thấy, bài toán thứ hai và thứ ba là bài toán ngược của nhau, nên

hơn giải bài toán thứ hai, vì muốn tìm đường ngắn nhất giữa hai đỉnh, ta vẫnphải khảo sát cả đồ thị.

Ngược lại, việc giải bài toán thứ hai lại thực sự đơn giản hơn bài toán thứ tư, vàmột trong những thuật toán có độ phức tạp thấp để giải bài toán thứ tư là gọi nlần bài toán thứ hai, mỗi lần chọn đỉnh nguồn là một đỉnh của đồ thị

Thuật toán Dijkstra được mang tên nhà khoa học máy tính người Hà LanEdsger Dijkstra vào năm 1956 và công bố năm 1959, là một thuật toán giảiquyết bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn trong một đồ thị có hướng liênthông không có cạnh mang trọng số âm

Dữ kiện của bài toán quy về việc xét bài toán thứ nhất

Trong phần này, ta sẽ tập trung vào mô tả thuật toán và chứng minh tính đúngđắn của thuật toán Độ phức tạp sẽ thừa nhận, không chứng minh

2.2.1 Mô tả thuật toán

Thuật toán áp dụng cho các đồ thị liên thông có trọng số không âm

Trong thuật toán này, ở mỗi bước, ta đã xét thêm được một đỉnh v, xác địnhđược đường đi ngắn nhất từ s đến v Mục đích của việc cập nhật là để xét cácđỉnh lân cận u với v xem đường đi mới từ s đến u và thông qua v có ngắn hơnđường đi cũ hay không, nếu ngắn hơn thì ta thay thế nó cho đường đi cũ, và v

sẽ được gán cho p[u]