Chuyen de hinh hoc 10 hay gap

chuyên đề hình học lớp 10 hay gặp

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 5 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

I.TRỤC TỌA ĐỘ:

1 Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và

một vectơ đơn vị ir( tức là i = 1r

)

Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ ir

được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ Kí hiệu (O ; ir

) hay '

x Ox hoặc đơn giản là Ox

2 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:

+ Cho vec tơ uur

nằm trên trục (O ; ir

) thì có số thực a sao cho ur =a iur với a RÎ Số a như thế được

gọi là tọa độ của vectơ uuur

đối với trục (O ; ir

)

+ Cho điểm M nằm trên (O ; ir

) thì có số m sao cho OMuuur =miur Số m như thế được gọi là tọa độ của

điểm M đối với trục (O ; ir

)

Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OMuuur

3 Độ dài đại số của vec tơ trên trục :

Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ ABuuur kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của vectơ ABuuur trên trục Ox

Như vậy ABuuur=AB i.r

Tính chất :

+ AB = - BA

+ ABuuur =CDuuurÛ AB =CD

+ A B C" ; ; Î ( ; ) :O iur AB +BC =AC

II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị lần lượt là ,i jr r Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục tung.

Kí hiệu Oxy hay (O i j; ,r r)

2 Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ

+ Trong hệ trục tọa độ (O i j; ,r r) nếu ur =xir+yjr thì cặp số (x y được gọi ; )

là tọa độ của vectơ ur, kí hiệu là ur =(x y; ) hay u x yr( ; )

x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ ur

+ Trong hệ trục tọa độ (O i j; ,r r), tọa độ của vectơ OMuuur gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M =(x y; ) hay M x y x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.( ; )

1

Chương

ir

Hình 1.30

Hình 1.31

Trang 2

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì

( ; )

M x y Û OMuuur=xir+yjr=OHuuur+OKuuur

Như vậy OHuuur=xi OKr uuur, =yjr hay x OH y OK= , =

3 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác.

+ Cho A x y( ; ), ( ; ) và M là trung điểm AB Tọa độ trung điểm (A A B x y B B M x y M; M ) của đoạn thẳng

x = + ,y = +

+ Cho tam giác ABC có A x y( ; ), ( ; ),A A B x y B B C x y( C; C ) Tọa độ trọng tâm (G x y của tam giác G; G)

ABC là A B C

G

3 và

G

2

4 Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho ur = ( ; )x y ;uur'=( '; ')x y và số thực k Khi đó ta có :

u u

y y

ïï

= Û íï =

ïî

' '

'

r ur

2) u vr ± =r (x±x y'; ±y')

3) ku.r =( ; )kx ky

4) u'ur cùng phương ur(u ¹ 0r r) khi và chỉ khi có số k sao cho x kx

y ky

ïï

íï = ïî

' ' 5) Cho A x y( ; ), ( ; ) thì A A B x y B B ABuuur=(x B - x y A; B - y A)

AB là:

x x y y

x y x y

Lời giải Chọn B

2

I

x x x

x x x x

AB AI IB

y

+

 =





uur uur

x x y y

Câu 2: Cho các vectơ ur=(u u1; 2), vr=(v v1; 2) Điều kiện để vectơ u vr r= là

=



 =

= −



 = −

=



 =

=



 =

Lời giải Chọn C

Trang 3

Ta có: 1 1

u v

=





r r

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x y( A; A) và B x y Tọa độ của vectơ ( B; B) uuurAB là

Lời giải Chọn D

Theo công thức tọa độ vectơ uuurAB=(x B−x y A; B −y A)

giác ABC là:

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC⇒OA OB OCuuur uuur uuur+ + =3OGuuur với O là điểm bất kì Chọn O chính là gốc tọa độ O Khi đó, ta có:

3

G

x x x x

OA OB OC OG

y

 =





uuur uuur uuur uuur

;

A Hai vectơ ur =(2; 1 và − ) vr= −( 1;2)đối nhau

B Hai vectơ ur =(2; 1 và − ) vr= − −( 2; 1)đối nhau

C Hai vectơ ur =(2; 1 và − ) vr= −( 2;1)đối nhau

D Hai vectơ ur =(2; 1 và − ) vr=( )2;1 đối nhau

Ta có: ur=(2; 1− = − −) ( 2;1)= −vr ⇒ur và vr

đối nhau

Câu 6: Trong hệ trục (O i j; ;r r)

, tọa độ của vec tơ i jr r+ là:

A (−1;1) B ( )1;0 C ( )0;1 D ( )1;1

Ta có: r ri+ =j ( ) ( ) ( )1;0 + 0;1 = 1;1

là:

A ( )2;4 B ( )5;6 C (15;10 ) D (50;6 )

Trang 4

Ta có: uuurAB=(10 5;8 2− − =) ( )5;6

2

1 1;

2

1

; 2 2

Lời giải Chọn A

Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là: ; 1 0 0 ( 2); 1; 1

x x y y

I = + +  = + + −  = − 

( )3;5

B Tọa độ của đỉnh C là:

A ( )1;7 B (− −1; 7) C (− −3; 5) D (2; 2− )

Ta có:

2 3

0

O

C

O

y



Ta có: ar= −( 4;0) ⇒ = − +ar 4ri 0rj= −4ir

Câu 11: Cho hai điểm A( )1;0 và B(0; 2− ).Tọa độ điểm D sao cho uuurAD= −3uuurAB là:

A (4; 6− ) B ( )2;0 C ( )0;4 D ( )4;6

( ) ( ( ) )

3

6

D

y

=

uuur uuur

Câu 12: Cho ar = −( 5;0 ,) br =( )4;x Haivec tơ ar

và br cùng phương nếu số x là:

Ta có: ar

và br cùng phương khi a k br = r⇒ =x 0

Câu 13: Cho ar = −( 1; 2 ,) br=(5; 7− ) Tọa độ của vec tơ a br r− là:

A (6; 9− ) B (4; 5− ) C (−6;9) D (− −5; 14)

Ta có: a br r− = − −( 1 5; 2 7+ = −) ( 6;9)

là:

Lời giải

Trang 5

Chọn B

Ta có: uuurAC = AC= AB2+BC2 = 32+42 =5

có tọa độ là:

A (−1;2) B (− −1; 2) C ( )1;2 D (1; 2− )

Ta có vectơ đối của uuurAB

là BAuuur= − − − = − −(0 1; 2 0) ( 1; 2)

Câu 16: Cho ar =(3; 4 ,− ) br= −( 1; 2) Tọa độ của vec tơ a br r+ là:

Ta có: a br r+ = + −(3 ( 1);( 4) 2− + =) (2; 2− )

A Hai vec tơ ur=( )4;2 và vr=( )8;3 cùng phương

B Hai vec tơ ar = −( 5;0) và br= −( 4;0) cùng hướng

C Hai vec tơ ar=( )6;3 và br=( )2;1 ngượchướng

D Vec tơ cr=( )7;3 là vec tơ đối của dur= −( 7;3)

Ta có: 5

4

ar= br suy ra ar

cùng hướng với br

Câu 18: Cho ar =( )x;2 ,br = −( 5;1 ,) cr=( )x;7 Vec tơ cr=2ar+3br nếu:

7 2.2 3.1

x x

c= a+ b⇔ = + − ⇔ =x



Câu 19: Choar =(0,1),br = −( 1;2),cr= − −( 3; 2).Tọa độ củaur =3ar+2br−4cr:

A (10; 15− ) B (15;10 ) C (10;15 ) D (−10;15)

Ta có: ur=3ar+2br−4cr=(3.0 2.( 1) 4.( 3);3.1 2.2 4.( 2)+ − − − + − − ) (= 10;15)

Câu 20: ChoA( ) ( )0;3 ,B 4; 2 Điểm D thỏa ODuuur+2DAuuur−2DBuuur r=0, tọa độD là:

2

( ) ( )

2

D

y



= −



uuur uuur uuur r

và B là:

Trang 6

A A(4;12 ,) ( )B 4;6 . B A(− −4; 12 ,) ( )B 6; 4

C A(−4;12 ,) ( )B 6; 4 D A(4; 12 ,− ) (B −6;4)

Ta có: M( )2;0 là trung điểm BC nên ( )

( 2)

0

2

B

x

B

+ −

 =



 =



( )0;4

6 ( 2)

4

3

A

x

A

+ + −

 =



 =



Câu 22: Cho ar = −3ri 4rj và b i jr r r= − Tìm phát biểu sai:

Ta có: ar= −3ri 4rj⇒ar(3; 4− ) , b i jr r r= − ⇒br(1; 1− ⇒ =) br 2

điểm M là:

A (0;10 ) B (0; 10− ) C (10;0 ) D (−10;0)

Ta có: M trên trục Oy⇒M( )0;y

Ba điểm A B M, , thẳng hàng khi uuurAB

cùng phương với uuuurAM

Ta có uuurAB= −( 3; 4 ,) uuuurAM = −( 1;y−2) Do đó, uuurAB

cùng phương với

10

y

AM ⇔ − = − ⇒ =y

−

uuuur

Vậy M(0;10).

hàng?

A A B C, , . B B C D, , . C A B D, , . D A C D, , .

Ta có: uuurAD(−2;10 ,) uuurAB(−1;5)⇒uuurAD=2uuurAB⇒ 3 điểm A B D, , thẳng hàng.

A E(1;18). B E(7;15) . C E(7; 1− ) D E(7; 15− )

Ta có: E đối xứng với C qua B⇒ B là trung điểm đoạn thẳng EC

3

4 2

E

x

E

+

 =



− =



Trang 7

( ) ( ) ( )

4

M M

y y

− + − =



=



uuuur uuur r

2MA BCuuur uuur− =4CMuuuur là:

6 6

M 

;

M− − 

;

M − 

;

M − 

( ) ( ) ( )

1

6

M

x





uuur uuur uuuur

nào sau đây là đúng?

A uuur uuurAB CD,

đối nhau B uuur uuurAB CD,

cùng phương nhưng ngược hướng

C uuur uuurAB CD,

cùng phương cùng hướng D A, B, C, D thẳng hàng

Ta có: uuurAB=( )4;3 ,CDuuur= − − ⇒( 8; 6) CDuuur= −2uuurAB

MA MB+ − MC=

uuur uuur uuuur r

là

A M(1;18). B M(−1;18) C M(−18;1) D M(1; 18− )

( ) ( ) ( )

18

M

y



= −



uuur uuur uuuur r

hình bình hành là:

Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi 5 5 2 8

uuur uuur

hình bình hành là:

Trang 8

Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi 1 2 5 2

AB DC

uuur uuur

Oy và qua gốc tọa độ O Tọa độ của các điểm B B', '' và B là:'''

A B' 2; 7 , B" 2;7 B"' 2; 7(− − ) ( ) và ( − ) B B' 7;2 , B" 2;7 B"' 2; 7(− ) ( ) và ( − )

C B' 2; 7 , B" 2;7 B"' 7; 2(− − ) ( ) và (− − ) D B' 2; 7 , B" 7; 2 B"' 2; 7(− − ) ( ) và ( − )

Ta có: B đối xứng với ' B(−2;7) qua trục Ox⇒B' 2; 7(− − )

''

B đối xứng với B(−2;7) qua trục Oy⇒B'' 2;7( )

'''

B đối xứng với B(−2;7) qua gốc tọa độ O⇒B''' 2; 7( − )

2

AM = − AB

uuuur uuur

là:

2

2 2 4 2

M M

y y



= −



uuuur uuur

Câu 34: Cho ar = −( 4,1)vàbr= − −( 3, 2) Tọa độ c ar r= −2brlà:

A cr=(1; 3− ) B cr=( )2;5 C cr= − −( 7; 1) D cr= −( 10; 3− )

Ta có: c ar r= −2br= − − −( 4 2.( 3);1 2.( 2)− − ) ( )= 2;5

Câu 35: Cho ar =(2016 2015;0), br=(4; )x Hai vectơ ,a br r

cùng phương nếu

Ta có: ,a br r

cùng phương ⇔ =a k br .r⇒ =x 0

2

A −  B −

  Khi đó a= −4AB=?

r uuur

A ar=(22; 32− ) B ar=(22;32) C ar= −( 22;32) D 11;8

2

a − 

r

Ta có: 4 4 2 7;5 3 (22; 32)

2

r uuur

Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy, cho ar =(m−2; 2n+1),br=(3; 2− ) Nếu a br r= thì

2

m= n= − C m=5,n= −2 D m=5,n=2

Trang 9

Ta có:

5

2 3

3

2

m m

a b

=



− =

r r

Tọa độ điểm B là:

A B(2;1). B B( 2; 1)− − C B(1; 2). D B(1; 2)−

Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành ⇒B( )2;1

Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy choar =(2;1), urb=(3; 4), cr=(7; 2) Cho biết c m a n br= .r+ .r Khi đó

m= − n= −

m= n=−

m= n=

Ta có:

22

5

m

m n

c m a n b

m n

n

 =



= +



Câu 40: Cho các vectơ ar =(4; 2 ,− ) br= − −( 1; 1 ,) cr=( )2;5 Phân tích vectơ br

theo hai vectơ ar và cr

, ta được:

br = − ar− cr B 1 1

br= ar− cr C 1 4

2

br= − ar− cr D 1 1

br = − ar+ cr

Giả sử

1

4

m

m n

b ma nc

m n

n

 = −





br= − ar− cr

3

a= x b= −  c= x

Vectơ cr uur=4a−3br nếu

Ta có:

4 3.( 5)

7 4.2 3

3

x x





r uur r

ba điểm thẳng hàng?

Ta có: uuurAB= −(3 m;3 2− m), uuurAC=( )4;4

Ba điểm A B C, , thẳng hàng khi và chỉ khi uuurAB

cùng phương với uuurAC

0

m

Trang 10

Câu 43: Cho hai điểm M(8; 1 ,− ) ( )N 3;2 Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì P có

tọa độ là:

A (−2;5) B (13; 3− ) C (11; 1− ) D 11 1;

2 2

Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM

8

2

P

x

P

+

 =



 =



uuur uuur

A ( )0;3 B 1;0

3

 . C ( )0;2 D ( )4;2

Ta có: A Ox B Oy∈ , ∈ ⇒A x( ) ( );0 ,B 0;y

A là trung điểm

1 0

1 2

2 3

3 0

2

x

x KB

y y

+

− +



.Vậy B( )0;3 .

uuur uuur

độ B là:

A ( )1;1 B (− −1; 1) C (−1;1) D (1; 1− )

Trang 11

Ta có: BPNM là hình bình hành nên 2 2 ( 1) 1

giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

A (1; 10− ) B ( )1;5 C (− −3; 1) D (− −2; 7)

,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

A ( )0;4 B ( )2;0 C ( )2;4 D ( )0;2

Ta có: P thuộc trục Oy⇒P( )0;y , G nằm trên trục Ox⇒G x( );0

G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:

1 5 0

2 3

0

3

+ +

 =



 =



Vậy P( )0;4 .

Câu 50: Cho các điểm A(−2;1 ,) ( ) ( )B 4;0 ,C 2;3 Tìm điểm M biết rằng CMuuuur+3uuurAC=2uuurAB

( ) ( ) ( )

5

3 3 3 1 2 0 1

M M

y y



= −



uuuur uuur uuur

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1,39 MB