Chuyên đề hình học 10

Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳngVí dụ 2 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M 5; -3 và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB... - 12 Lờ

Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng

Ví dụ 2 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 5; -3) và cắt hai trục tọa độ tại

hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB

A 3x - 5y - 30 = 0 B 3x + 5y - 30 = 0 C 5x - 3y - 34 = 0 D 5x - 3y + 34 = 0

Lời giải

Gọi A ∈ Ox ⇒ A(xA; 0); B ∈ Oy ⇒ B(0; yB)

Ta có M là trung điểm AB ⇒

Suy ra (AB): = 1 ⇔ 3x - 5y - 30 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 3 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M( 2; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm

A và B sao cho tam giác OAB vuông cân

A 2 B 3 C 1 D Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b)

Phương trình đoạn chắn (AB): =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔

Vậy phương trình ( AB) : x - y - 5= 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn đầu bài

Chọn A.

Ví du 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; -3) và B(-2; 0).

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(- 3; 0) và cắt trục Oy tại B(0; 3).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B(0;6).

Đường thẳng d đi qua hai điểm A(6;0) và B(0; 6) nên phương trình đường thẳng ddạng đoạn chắn là: + = 1

Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1;-2) và cắt hai trục tọa độ tại

hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB

Suy ra phương trình AB : = 1 hay – 4x + 2y + 8 = 0

Chọn A.

Ví dụ 9 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M(3;3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A

và B sao cho tam giác OAB vuông cân

A 2 B 3 C 1 D Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b)

Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB: =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(-2;0) và cắt trục Oy tại B(0; 4).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua điểm M( -1; 2) và

có hệ số góc k = 3

A 3x - y - 1 = 0 B 3x - y - 5 = 0 C x - 3y + 5 = 0 D 3x - y + 5 = 0

Lời giải

Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k = 3 nên đường thẳng có dạng: y= 3x + c

Do điểm M(-1;2) thuộc đường thẳng ∆ nên : 2 = 3.(-1) + c ⇔ c= 5

Vậy phương trình ∆: y = 3x + 5 hay 3x - y + 5 = 0

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k = -2 nên đường thẳng có dạng: y = - 2x + c

Do điểm M(2; -5) thuộc đường thẳng ∆ nên : -5 = - 2.2 + c ⇔ c= -1

Vậy phương trình ∆: y= - 2x - 1

Chọn A.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d biết điểm A(1; -1) thuộc đường thẳng d và

đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 600

A y = (x-1)- 1

B y = - √3(x - 1)

C y = √3(x - 1) - 1 hoặc y = - (x - 1) - 1

D y = √3(x - 1) - 1 hoặc y = - √3(x - 1) - 1

Lời giải

+ Do đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 600 nên hệ số góc của đường thẳng d là

k = tan600 = √3 hoặc k = tan1200 = - √3

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k= 2 nên đường thẳng có dạng: y = 2x + c

Do điểm M(-3; -9) thuộc đường thẳng ∆ nên : - 9 = 2.(-3) + c ⇔ c= - 3

Vậy phương trình ∆: y = 2x - 3 hay 2x - y - 3 = 0

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k = -1 nên đường thẳng có dạng: y= - x + c

Do điểm M(1; 0) thuộc đường thẳng ∆ nên : 0 = -1 + c ⇔ c= 1

Vậy phương trình ∆: y = - x + 1

Chọn A.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng d biết điểm A(2; 1) thuộc đường thẳng d và

đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 450

A y = - x + 3 B y = x + 1 C y = x - 3 hoặc y = x + 1 D y = x - 1 hoặc y = - x + 3

Lời giải

+ Do đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là

k = tan450 = 1 hoặc k = tan1350 = - 1

+ Nếu k = 1 thì đường thẳng (d) cần tìm là: y = 1.(x - 2) + 1 hay y = x - 1

+ Nếu k = -1 thì đường thẳng (d) cần tìm là: y = -1(x - 2)+ 1 hay y = - x + 3

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: (d1) y = x - 1 và (d2): y = - x + 3

+ Cách 2: Dựa vào số điểm chung của hai đường thẳng trên ta suy ra vị trí tương đốicủa hai đường thẳng:

Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2( nếu có) là nghiệm hệ phương trình:

Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau Nếu hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau

Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x- 2y+ 1= 0 và d2: -3x + 6y- 10= 0

A Trùng nhau.

B Song song.

C Vuông góc với nhau.

D Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

B Song song.

C Vuông góc với nhau.

D Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

C Vuông góc với nhau.

D Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Ví dụ 4 Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2x + 3y - 1 = 0?

⇔ m = 2

Chọn C

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình

a: mx + (m-1)y + 2m = 0 và b: 2x + y - 1 = 0 Nếu a song song b thì:

Để a // b khi và chỉ khi :

⇔ m = - 1Vậy với m = -1 thì hai đường thẳng a và b song song với nhau

Chọn B.

Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (a): 2x - 3y + 2 = 0 và (b): y - 2 = 0.

A Cắt nhau nhưng không vuông góc

B Song song

C Trùng nhau

D Vuông góc

Lời giải

Giao điểm ( nếu có) của hai đường thẳng (a) và (b) là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A(2; 2) (1)

Lại có đường thẳng (a) có VTPT n→( 2; -3) và đường thẳng (b) có VTPT n'→( 0; 1)

⇒ n→.n'→ = 2.0 - 3.1 = -3 ≠ 0 (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra hai đường thẳng đã cho cắt nhau nhưng không vuông góc

Chọn A.

Ví dụ 9 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a) : ( m- 3)x + 2y + m2 - 1 = 0

Giao điểm của hai đường thẳng này là nghiệm hệ phương trình:

Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A( 1; 2)

+ Nếu m ≠ 0 Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

Vậy giao điểm của (a) và trục hoành là điểm A( 5; 0)

Chọn D.

Ví dụ 11 Nếu ba đường thẳng (a): 2x + y- 4 = 0; (b) : 5x - 2y + 3 = 0 và

(c): mx + 3y - 2 = 0 đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?

A B - C 12 D - 12

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( ; )

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( -1; 3)

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

A Song song B Trùng nhau C Vuông góc nhau D Cắt nhau.

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Cách 1: Giải hệ phương trình thấy vô nghiệm nên hai đường thẳng song song

Cách 2: Đường thẳng a có vtpt n 1 → = (1; -2) và (b) có vtpt n 2 → = (-3; 6)

Hai đường thẳng a và b có: nên hai đường thẳng này song song

Câu 2: Đường thẳng (a) :3x - 2y - 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây?

A ( d1) : 3x + 2y = 0 B (d2) : 3x - 2y = 0

C (d3): -3x + 2y - 7 = 0 D (d4): 6x - 4y - 14 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Xét vị trí tương đối của đường thẳng a và d1 có:

⇒ Hai đường thẳng này cắt nhau

Câu 3: Hai đường thẳng (a): 4x + 3y - 18 = 0 và (b) : 3x + 5y - 19 = 0 cắt nhau tại điểm

Gọi giao điểm của hai đường thẳng a và b là A

Khi đó; tọa độ của điểm A là nghiệm hệ phương trình:

ta được Vậy giao điểm của hai đường thẳng là A( 3; 2)

Câu 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường

thẳng d: y = 2x - 1

A 2x - y + 5 = 0 B 2x - y - 5 = 0 C - 2x + y = 0 D 2x + y - 5 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d): y = 2x - 1 ⇔ (d): 2x - y - 1 = 0

Hai đường thẳng ( d): 2x - y - 1 = 0 và 2x + y - 5 = 0 không song song vì

Câu 5: Hai đường thẳng (a) : mx + y = m + 1 và (b): x + my = 2 song song khi và chỉ

+ Nếu m= 0 hai đường thẳng trở thành : ( a) y = 1 và ( b) : x = 2

Hai đường thẳng này cắt nhau nên với m= 0 thì không thỏa mãn

+ Nếu m ≠ 0

Để hai đường thẳng a và b song song với nhau khi và chỉ khi :

⇔ m = - 1Vậy với m = -1 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (a): 2x - 3my + 10 = 0 và

( b) : mx + 4y + 1 = 0 cắt nhau

A 1 < m < 10 B m = 1 C Không có m D Với mọi m.

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho trở thành:

(a): x + 5 = 0 và (b) : 4y + 1 = 0

Giao điểm của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :

Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau

+ Với m ≠ 0

Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

⇔ - 3m2 ≠ 8 hay m2 ≠ luôn đúng với m ≠ 0

Vậy hai đường thẳng a và b luôn cắt nhau với mọi m

Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a): mx + y - 19 = 0 và

(b): ( m - 1).x + (m + 1).y - 20 = 0 vuông góc?

A Với mọi m B m = 2 C Không có m D m = 1

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có đường thẳng ( a) nhận VTPT n→( m; 1)

Đường thẳng ( b) nhận VTPT n'→( m - 1; m + 1)

Để hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai VTPT của hai đường thẳng đóvuông góc với nhau.

⇔ n→.n'→ = 0 ⇔ m(m - 1) + 1(m + 1) = 0

⇔ m2 - m + m + 1 = 0 ⇔ m2 + 1 = 0 vô lí

vì m2 ≥ 0 với mọi m nên m2 + 1 > 0 với mọi m

Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a): 3mx + 2y + 6 = 0 và

Giao điểm của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau

+ Nếu m ≠ 0

Để hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:

⇔ 2( m2 + 2) ≠ 6m2 ⇔ 4m2 ≠ 4

⇔ m2 ≠ 1 nên m ≠ ±1

Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi m ≠ ±1

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (a) 7x - 3y - 1 = 0 và (b): x + 2 = 0.

A (-2; 5) B (-2; -5) C (-2; -4) D (-4; 3)

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Giao điểm của hai đường thẳng a và b nếu có là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M( -2; -5)

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương

trình (a) : 3x – 4y + 15 = 0, ( b): 5x + 2y - 1 = 0 và (c) : mx - (2m - 1)y + 9m - 13 = 0.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( -1;3)

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

- m –(2m - 1).3 + 9m - 13 = 0 ⇔ - m - 6m + 3 + 9m - 13 = 0

⇔ 2m - 10 = 0 ⇔ m= 5

Vậy ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi m = 5

Câu 11: Cho 3 đường thẳng d1 : 2x + y - 1 = 0 ; d2 : x + 2y + 1 = 0 và d3 : mx - y - 7 = 0.

Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:

Lý thuyết: Tổng và hiệu của hai vectơ

Chuyên đề: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tổng hợp lý thuyết chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tổng hợp lý thuyết chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chủ đề: Phương trình đường thẳng

Các công thức về phương trình đường thẳng

Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách chuyển dạng phương trình đường thẳng: tổng quát sang tham số, chính tắc

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song (vuông góc) với 1 đường thẳng

Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng

Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Chủ đề: Phương trình đường tròn

Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính

Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn

Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng

Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng

Chủ đề: Phương trình đường elip

Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip

Viết phương trình chính tắc của Elip

Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip

Các dạng bài tập khác về đường Elip

Lý thuyết: Các định nghĩa

1 Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là và đọc là “ vectơ AB “.

Để vẽ được vectơ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Vectơ còn được kí hiệu là khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Định nghĩa Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ cùng phương.

3 Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ

đó Độ dài của được kí hiệu là | | , như vậy | | = AB.

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu

Chú ý Khi cho trước vectơ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho

Lý thuyết: Tổng và hiệu của hai vectơ

1 Tổng của hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ Lấy một điểm A tùy ý,

kí hiệu tổng của hai vectơ

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ

• (tính chất của vectơ – không).

4 Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Cho vectơ Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối củavectơ , kí hiệu là -

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đốicủa

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ Ta gọi hiệu của hai vectơ làvectơ

Như vậy

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta

có

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có

(quy tắc ba điểm);

(quy tắc trừ)

5 Áp dụng

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Lý thuyết: Tích của vectơ với một số

Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có

3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có

4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ cùng phương là có một số k để

Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để

5 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không cùng phương Khi đó mọi vectơ đều phân tíchđược một cách duy nhất theo hai vectơ nghĩa là có duy nhất cặp số h, ksao cho

Lý thuyết: Hệ trục tọa độ

1 Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm Ogọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị

Ta kí hiệu trục đó là (O ; )

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O; ) Khi đó có duy nhất một số k saocho Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm A và B trên trục (O; ) Khi đó có duy nhất số a sao cho

Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ đối với trục đã cho và kí hiệu a =

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa

độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy

b) Tọa độ của vectơ

lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy Ta có vàcặp số duy nhất (x; y) để

Như vậy

Cặp số (x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ Oxy vàviết = (x; y) hoặc (x; y) Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độcủa vectơ

Như vậy

Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khichúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ đối với

hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi Khi đó ta viết M(x; y)hoặc M = (x; y) Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M.Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M, còn được kí hiệu

là yM

Chú ý rằng, nếu MM1 ⊥ Ox, MM2 ⊥ Oy thì

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) Ta có

3 Tọa độ của các vectơ

Ta có các công thức sau:

chỉ khi có một số k sao cho u1 = kv1 và u2 = kv2

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A(xA, yA), B(xB, yB) Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trungđiểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là

b) Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG,yG) của tam giác ABC được tính theo công thức

Lý thuyết tổng hợp chương Vectơ

CÁC ĐỊNH NGHĨA

1 Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạnthẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng

Định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là và đọc là “ vectơ AB “ Để vẽđược vectơ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B

Vectơ còn được kí hiệu là khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuốicủa nó

2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơđó

Định nghĩa Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặctrùng nhau

Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai

3 Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của được kí hiệu là | | , như vậy | | = AB

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài,

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1 Tổng của hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ Lấy một điểm A tùy ý,

kí hiệu tổng của hai vectơ

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ

• (tính chất của vectơ – không).

4 Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Cho vectơ Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối củavectơ , kí hiệu là -

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đốicủa

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ Ta gọi hiệu của hai vectơ làvectơ

Như vậy

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta

có

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có