Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề hình học 10 nguyễn phú khánh

http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên hình 2 thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn EF và HG ngược hướng.. b Xác định các vectơ khác vectơ

Trang 1

http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word 1

BỘ TÀI LIỆU GỒM 300 TRANG FILE , LỜI GIẢI CHI TIẾT

CHÚNG TÔI XIN TRÌNH DẪN MỘT PHẦN NHỎ NỘI DUNG BỘ

TÀI LIỆU NÀY

CHƯƠNG I: VECTƠ

§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa vectơ:

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là

trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ

rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm

cuối

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta

kí hiệu : AB

Vectơ còn được kí hiệu là: , , , , a b x y

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu là 0

2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ

- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương

- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng

E F

Trang 2

http://toptoc.vn – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn

EF và HG ngược hướng

Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ

3 Hai vectơ bằng nhau

- Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB,

kí hiệu AB

Vậy AB AB

- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB CD

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có

điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác

Lời giải

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn ,A B ta xác định được hai vectơ khác

vectơ-không là AB BA Mà từ bốn đỉnh , , ,, A B C D của ngũ giác ta có 6 cặp

điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm , , A B C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ

khi AB AC cùng phương ,

Lời giải

Nếu , ,A B C thẳng hàng suy ra giá của AB AC đều là đường thẳng đi qua ,

ba điểm , ,A B C nên AB AC cùng phương ,

Hình 1.3

Trang 3

Ngược lại nếu AB AC cùng phương khi đó đường thẳng AB, và AC

song song hoặc trùng nhau Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A

nên hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm , ,A B C thẳng

hàng

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của

, ,

BC CA AB

a) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm

đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho

b) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB có điểm đầu

và điểm cuối lấy trong điểm đã cho

c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu ,A B

Lời giải (Hình 1.4)

a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN là

NM AB BA AP PA BP PB

b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB là AP PB NM , ,

c) Trên tia CB lấy điểm B' sao cho

'

Khi đó ta có BB' là vectơ có điểm đầu

là B và bằng vectơ NP

Qua A dựng đường thẳng song song

với đường thẳng NP Trên đường

thẳng đó lấy điểm A' sao cho AA'

cùng hướng với NP và AA' NP

Khi đó ta có AA là vectơ có điểm đầu '

là A và bằng vectơ NP

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Gọi M là trung điểm của

AB , N là điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài của vectơ sau

Trang 4

Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có

điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác

Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm

A, B, C, D, O

a) Bằng vectơ AB ; OB

b) Có độ dài bằng OB

Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng

a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?

b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng ?

Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt

Trang 5

Bài 1.6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Hãy tìm các vectơ khác không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho

vectơ-a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC

Bài 1.7: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB Tính độ dài của các vectơ AB AC OA OM OA, , , , OB

Bài 1.8: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm Gọi I là trung

điểm của AG

Tính độ dài của các vectơ AB AG BI , ,

Bài 1.9: Cho trước hai điểm ,A B phân biệt Tìm tập hợp các điểm M thoả

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,

BC, CD, DA Chứng minh rằng MN QP

Lời giải (hình 1.6)

Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình

của tam giác ABC suy ra MN / /AC và

1

2

MN AC (1)

Tương tự QP là đường trung bình của tam

giác ADC suy ra QP/ /AC và

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là trung điểm của

BC Dựng điểm B' sao cho B B' AG

N M

Q

P A

D

Hình 1.6

Trang 6

a) Chứng minh rằng BI IC

b) Gọi J là trung điểm của BB' Chứng minh rằng BJ IG

Lời giải (hình 1.7)

a) Vì I là trung điểm của BC nên BI CI và

BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ

BI,IC bằng nhau hay BI IC

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Trên các đoạn thẳngDC AB theo ,

thứ tự lấy các điểm ,M N sao cho DM BN Gọi P là giao điểm của

Trang 7

Dễ thấy DB QB cùng hướng vì vậy , DB QB

a) Định nghĩa: Cho hai vectơ ;a b Từ điểm A tùy ý vẽ AB a rồi từ B

vẽ BC b khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ ;a b

2 Hiệu hai vectơ

a) Vectơ đối của một vectơ

Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a

Kí hiệu a

b

b a

Trang 8

Như vậy a a 0, a và AB BA

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:

Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b Kí hiệu là a b a b

3 Các quy tắc:

Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BC AC

Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì

Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA AB

Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A A1, , ,2 A n thì

1 2 2 3 n 1 n 1 n

 DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ

1 Phương pháp giải

Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ

 Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó

 Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC 300 và BC a 5

Tính độ dài của các vectơ AB BC , AC BC và AB AC

Trang 9

 Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

b) Chứng minh rằng u MA MB MC MD không phụ thuộc vị trí

điểm M Tính độ dài vectơ u

D

B

C C'

Hình 1.11

Trang 10

Suy ra u không phụ thuộc vị trí điểm M

Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C'

Khi đó tứ giác ADBC' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra DB AC'

Bài 1.18: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện của

A,B sao cho OA OB nằm trên phân giác của góc Oxy

 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ

 Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành

vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt

ba quy tắc tính vectơ

Trang 11

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần

xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp về

vế đơn giản hơn

B

Hình 1.12

Trang 12

N là trung điểm của ACCN NA

Do đó theo quy tắc ba điểm ta có

A

Trang 13

Trang 14

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k 0 là một vectơ, kí hiệu là

ka, cùng hướng với cùng hướng với a nếu k 0, ngược hướng với a nếu

3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

 b cùng phương a ( a 0) khi và chỉ khi có số k thỏa b ka

 Điều kiện cần và đủ để A B C, , thẳng hàng là có số k sao cho

AB kAC

4 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho a không cùng phương b Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn

x ma nb với m n, là các số thực duy nhất

 DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một

số

Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về

phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với

các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng

Trang 15

Hình 1.14

Trang 16

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng u 4MA 3MB MC 2MD không phụ thuộc vào

vị trí điểm M

b) Tính độ dài vectơ u

a) Gọi O là tâm hình vuông

Theo quy tắc ba điểm ta có

Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Lấy điểm A' trên tia OAsao cho OA'3OA khi đó

B A'

Hình 1.15

Trang 17

Bài 1.26 Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi điểm M , N lần lượt là trung điểm BC CA, Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng

Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng u MA 2MB 3MC 2MD không phụ thuộc vào

 Các tính chất phép toán vectơ

 Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ

 Tính chất trung điểm:

M là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 0

M là trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM(Với O là điểm tuỳ ý)

 Tính chất trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác ABC GA +GB +GC =O

G là trọng tâm của tam giác ABC OA+OB+OC =OG(Với O là điểm tuỳ ý)

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD,

O là trung điểm của IJ Chứng minh rằng:

B

Hình 1.16

14

Trang 18

b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA OB 2OI OC, OD 2OJ

Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI OJ 0

Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên GG3 1 GB GC GA1

Tương tự G G2, 3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC ACB1, 1 suy ra

Trang 19

a) Dễ thấy HA HB HC 2HO nếu tam

giác ABC vuông

Nếu tam giácABC không vuông gọi D là điểm

đối xứng của A qua O khi đó

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB c BC, a CA, b và có trọng

tâm G Gọi D E F, , lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC CA AB, ,

R G

Hình 1.18

Trang 20

I A

Hình 1.19

Ta có ACGPb PR, BCa và ACBGPR (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)

Suy ra ACB GPR c g c

GR AB c và PGR BAC

Ta có QGP BAC 1800 QGP GPR 1800 Q G R, , thẳng

hàng do đó G là trung điểm của QR

Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có

GN GP GQ GR GQ 0

Vậy a GD2 b GE2 c GF2 0

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB c BC, a CA, b Gọi

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng

aIA bIB cIC 0

Lời giải

Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A

Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai

B’;song song với BI cắt AI tại A’

B'

C'

Hình 1.20

Trang 21

Bài 1.29: Cho tam giác ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là

trọng tâm tam giác Chứng minh rằng

6 6 với M là trung điểm của BC

Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC Chứng minh rằng

Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O M là điểm tùy ý trong tam giác

Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh rằng:

2

Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Một đường thẳng là

đường thẳng bất kỳ Gọi G là trọng tâm ABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C, G lên đường thẳng

Chứng minh rằng : AA'BB'CC'3GG'

Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n 1 vectơ bất kì

trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại Chứng minh rằng tổng n

vectơ cho ở trên bằng vectơ không

Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB c BC, a CA, b Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,

CA, AB Chứng minh rằng:

Trang 22

 Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AM a trong đó điểm A và a

đã biết Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho AM a , để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ a suy ra điểm

ngọn vectơ này chính là điểm M

 Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trang 23

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M N P sao cho , ,

Suy ra M là trung điểm AI

b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có

NK NH 0 N là trung điểm của KH

c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB PC PD 3PG

Suy ra 3PA PB PC PD 0 3PA 3PG 0

0

    là trung điểm AG

Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực , thoả mãn

0 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn

Vì A, B cố định nên vectơ AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất

điểm I thoả mãn điều kiện

Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA 2MB 3MC 0

Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết

Trang 24

Bài 1.43: Cho tam giác ABC với các cạnh AB c BC, a CA, b

Tìm điểm M sao cho aMA bMB cMC 0

Bài 1.44: Cho tam giác ABC và ba số thức , , không đồng thời bằng

gọi là trọng tâm của hệ điểm A i

b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với điểm M bất kỳ ta

Trang 25

Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính

chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Đặt a AB b, AC

a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: 1

, 23

b) Hãy phân tích CM AN MN, , qua các véc tơ a và b

c) Gọi I là điểm thỏa: MI CM Chứng

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM 3CM ,

trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN 5MN G là trọng tâm tam giác ABC

a) Phân tích các vectơ AM BN, qua các véc tơ AB và AC

b) Phân tích các vectơ GC MN qua các véc tơ GA, và GB

Trang 26

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm

trên hai cạnh AB và CD sao cho AB 3AM CD, 2CN và G là trọng tâm

tam giác MNB Phân tích các vectơ AN MN AG, , qua các véc tơ AB và AC

M

Hình 1.25

Trang 27

a) Biểu diễn các vectơ AP AN AM theo các vectơ , , ABvà AC

b) Biểu diễn các vectơ MP , MN theo các vectơ AB và AC

b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 1.48 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB 2JC a) Hãy phân tích AI AJ theo , AB và AC

b) Hãy phân tích AG theo AI và AJ

Bài 1.49: Cho hai vectơ ,a b không cùng phương Tìm x sao cho

Cách 2: Chứng minh OA1 OA2 với O là điểm tuỳ ý

 Để chứng minh hai tam giác ABC và A B C' ' ' cùng trọng tâm ta làm như sau:

Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm ABC trùng với ' G là trọng

Trang 28

IJ JI IJ 0 hay I trùng với J

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các

điểm M, N, P sao cho AM BN CP

AB BC CA Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

Lời giải

Giả sử AM k

AB suy ra AM kAB BN ; kBC CP ; kCA

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm ABC và MNP

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA GB GC 0

Ta có: GM GN GP GA AM GB BN GC CP

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

Ví dụ 3: Cho lục giác ABCDEF Gọi M N P Q R S, , , , , lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB BC CD DE EF FA Chứng minh rằng hai tam , , , , ,

B

A

D C

Hình 1.26

Trang 29

Bài 1.50 Cho các tam giác ABC A B C, ' ' ' có G, G’ lần lượt là trọng tâm

Chứng minh rằng: AA' BB' CC' 3GG' Từ đó suy ra điều kiện cần

và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm

Bài 1.51 Cho tam giácABC, vẽ các hình bình hành ABIJ BCPQ CARS , ,Chứng minh rằng RIP, JQS có cùng trọng tâm

Bài 1.52 Cho tam giác ABCcó A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và A B C' ' ' có cùng trọng tâm

Bài 1.53 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

B

A

D

C B'

C' D'

Hình 1.27

Trang 30

Bài 1.54 Cho tam giác ABC Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi

Chứng minh rằng ABC và A B C' ' ' cùng trọng tâm

Bài 1.55 Cho ABCvà A B C' ' 'có cùng trọng tâm G, gọi G G G1, 2, 3là trọng tâm các tam giác BCA CAB ABC', ', '.Chứng minh rằng

G G G1 2 3cũng có trọng tâm G

Bài 1.56 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi G G G G1, 2, 3, 4lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB Chứng minh

rằng G cũng là trọng tâm tứ giác G G G G1 2 3 4

Bài 1.57 Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác

Gọi , ,A B C1 1 1 lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng tam giác ABC và A B C1, 1, 1 có cùng trọng tâm

Bài 1.58 Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác Gọi

OA2 a OB2 b OC2 c Chứng minh O là trọng tâm tam giác A B C2 2 2

 DẠNG 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước

- Nếu MA kBC với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì

+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k R

+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC

với k 0

Trang 31

+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng

BC với k 0

- Nếu MA kBC B, C với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn :

Hình 1.28

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	2,57 MB