Chuyên đề Đại số Ôn Tuyển sinh 10 CHUYÊN

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU:Dạng 1 : Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị của biểu thức: Phương pháp: Biến đổi các biểu thức trong dấu về dạng = 2 , sau đó dựa vào dấu của A để

2

• Cho số thực a không âm, căn bậc hai số học của a ký hiệu là a là một số thực không

âm x sao cho bình phương của nó bằng a

• Với hai số thực không âm a,b tacó: a£ bÛ £a b

• Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn bậc hai ta cần lưu ý:

với A.B ≥0; B≠0+

=

A A

với A>0; (Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

Mọi số thực a>0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau Căn bậc chẵn dương ký hiệu là

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU:

Dạng 1 : Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị của biểu thức:

Phương pháp:

Biến đổi các biểu thức trong dấu về dạng

= 2

, sau đó dựa vào dấu của A để

mở giá trị tuyệt đối nếu có

Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc:

- - = 4x 1 1 4x 1 1

là số tự nhiên

d) Tính x+y biết (x + x 2 + 2019 y)( + y 2 + 2019)= 2019

e) Cho các số thực x,y thỏa mãn: (x + y 2 + 1 y)( + x 2 + = 1) 1

Tính giá trị cua x+y Lời giải:

A 8 4 3 8 4 3 = -8 4 3 8 4 3 2 8 4 3 8 4 3+ + - - +

- = 2 - 2 2+ - 2 + + 2 Þ - ³ - 2 + + 2 ³ 2(1 xy) x y 2 (xy 1) (x y) (1 xy) (xy 1) (x y) |xy 1|

-Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi + = Û

=-2 (x y) 0 x y

hay x + y = 0

Ví dụ 3

a, Cho x= 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+ Tính giá trị biểu thức:

4 3 2 2

2 2 2 2

a b

P a b≤ + + + ≤

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b= = ⇔ =1 x 0

a, Cho số nguyên dương n≥2

Tính giá trị biểu thức sau theo n:

= +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D= 1− +x 1+ +x 2 x

(Tuyển sinh Hà Nội 2018)

dẫn đền A≥ − =2 1 1, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0

khi đó giá trị nhỏ nhất của A là 1

Hay GTNN của C là 24 tại a=4,b=16,c=36

e, Đặt 8− =x a, x+ =3 b do 0≤ ≤x 5 suy ra

2 2

11

2 2

Ta có: 0≤ ≤x 5 thì P x= 8 − + −x (5 x) x+ ≥ 3 x 3 + −(5 x) 3 5 3 =

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc x=5.

x=

Vậy GTNN của P là 5 3, GTLN của P là

5 22 2

f, Điều kiện để biểu thức A xác định là x>4

g, Điều kiện ( ) ( )

2 2

Ví dụ 2

a, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

x A

3 11

x C

−

=

d, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:D= 9− +x x.

e, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:E= − +x2 4 9( −x) (1 3 + x)

f, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải

Kết hợp ( ) ( )1 , 2

ta suy ra GTLN của B bằng

1 4 tại x=9.

Chú ý:Học sinh hay mắc sai lầm khi đưa về

2 2

với A B, là số nguyên, C nhận giá trị nguyên hoặc vô

tỉ thì P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi Clà số nguyên và Clà ước số của B.

+ Đối với các biểu thức

+ Đối với các bài toán tổng hợp học sinh cần chú ý điều kiện ban đầu để loại các giá trị không thỏa mãn

x

+

= +

là số nguyên

b, Tìm tất cả các số thực x để

2 1

+

= +

là số nguyên

Lời giải

TH1: P= ⇔1 3 x+ =5 x+ ⇔2 2 x = −3 vô lí

TH2: P= ⇔ 2 3 x+ = 5 2( x+ ⇔ 2) x = − 1

vô lí

Vậy không tồn tại x để P là số nguyên

Cách khác: Giả sử tồn tại giá trị x≥0

+

= +

không thể xảy ra Tóm lại P không thể nhận giá trị nguyên

III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

1 366.

x x

2 0

x x

2 0

x x

đối chiếu điều kiện suy ra 0≤ <x 4.

Vậy P 4≤ khi và chỉ khi 0≤ <x 4 hoặc x>9.

b) Tính giá trị của P biết x= −3 2 2.

b, Tính giá trị của P khi x=4

c, Tìm các giá trị của x để P là số tự nhiên

{3; 4;5;6;7} 5 {3;4;5;6;7} 1 5; ; ; ;15 5 5

2 3 4 1

(với m là số nguyên dương và x≥0 )

b, Tính giá trị của biểu thức P khi a=3- 5 và b = 0,5

c,Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a2 +4b2 =8

Thỏa mãn điều kiện

Bài 11: Cho biểu thức P =

: 9

thỏa mãn (*) Vậy GTNN của P là 20 khi x=100

Bài 12 Cho biểu thức A =

,

1 1

B x

Bài 13 Cho biểu thức ( 32) ( 2 1) 1 : 1 1 1 1

b, Tính P khi x= 3+2 3

c, Với giá trị nào của x thì

1 8

x P

x x

.( 1)( 2) ( 2)

x x

−

b, Ta có P-4=

( )2 1

x x

−

≥ ⇒ ≥

, Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=1

c, Tìm x thỏa mãn điều kiệnx x.(P-2)+x+4=3

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI

I HÀM SỐ BẬC NHẤT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa:

+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b= + trong đó a và b

là các số thực cho trước và a≠0

.+ Khi b=0

thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax= , biểu thị tương quan tỉ lệthuận giữa y và x

2 Tính chất:

a Hàm bậc nhất, xác định với mọi giá trị x∈ ¡

b Trên tập số thực, hàm số y ax b= + đồng biến khi a>0

−

+ a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b= +

4 Cách vẽ đồ thị hàm sốy ax b= +

+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm

+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ

Đường thẳng đi qua N(0; )n song song với trục hoành có phương trình: y n− =0

Cho hai đường thẳng ( ) :d1 y ax b= + và đường thẳng

' ' ' 2

( )d ⇔ ≠a a

.'

a Tìm m để ( ) // (d ).d1 2

b Gọi A là điểm thuộc đường thẳng ( )d1 có hoành độ x=2

Viết phương trình đườngthẳng ( )d3 đi qua A vuông góc với ( )d1

c Khi ( ) // (d ).d1 2 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ),( ).d1 d2

d Tính khoảng cách từ gốc tọa O đến đường thẳng ( )d1 và tính S∆OMN với M N, lần lượt là

giao điểm của ( )d1 với các trục tọa độ Ox Oy,

Lời giải

a Đường thằng ( ) // (d )d1 2 khi và chỉ khi

2 2

, a 1 , 1 , 1.

Đường thẳng ( )d3 có dạng y= − +x b. Vì ( )d3 đi qua A(2; 4) suy ra 4= − + ⇒ =2 b b 6.

Vậyđường thẳng ( )d3 là y= − +x 6

c Khi ( ) // (d )d1 2 thì khoảng cách giữa hai đường thẳng

d Gọi M N, lần lượt là giao điểm của đường thẳng ( )d1 với các trục tọa độ Ox Oy, . Ta có:

Trong tam vuông OMNta có:

+ Tìm các giao điểm M N, của ( )d với các trục tọa độ.

+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông OMN(công thức (*)) để tính đoạn OH

Bẳng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:

Cho điểm M x y( ; )0 0 và đường thẳng ax by c+ + =0. Khoảng cách từ điểm M đến đườngthẳng là:

a Tìm điểm cố định mà đường thẳng ( )d luôn đi qua

b Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d là lớn nhất

c Tìm m để đường thẳng ( )d cắt các trục tọa độ Ox Oy, lần lượt tại A B, sao cho tam giác

0

3 1 0

2 1 0 1

+ Để ý rằng với

2 3

m=

thì đường thẳng

1 ( ) : 0

+ Nếu

2 3

m≠

đường thẳng ( ) d có thể viết lại:

1

m=

không thỏa mãn điều kiện (Do ( )d không cắt Oy). Xét

2 , 3

m=

là thỏa mãn điều kiện bài toán

Cách 2 Dễ thấy

2 , 0 3

không thỏa mãn điều kiện

Xét

2 0; , 3

không thỏa mãn, do đường thẳng ( )d đi qua gốc tọa độ

Kết luận:

1 2

m=

Ví dụ 3:

Cho hai đường thẳng ( ) :d1 mx+(m−1)y−2m+ =1 0, (d ) : (12 −m x my) + −4m+ =1 0

a Tìm các điểm cố định mà ( ),( )d1 d2 luôn đi qua

b Tìm m để khoảng cách từ điểm P(0; 4) đến đường thẳng ( )d1 là lớn nhất

c Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I. Tìm quỹ tích điểm I khi mthay đổi

d Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB với A B, lần lượt là các điểm cố định mà

đường thẳng đi qua P(0; 4), (1;1)A ta có hệ:

Xét đường thẳng ( ) :d1 mx+(m−1)y−2m+ =1 0

Nếu m = 1 ⇒(d ) :1 x− =1 0 không thỏa mãn điều kiện

Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng

(d1), (d2) luôn vuông góc và cắt nhau tại điểm I

Mặt khác theo câu a) ta có (d1), (d2) lần lượt đi qua

hai điểm cố định A, B suy ra tam giác IAB vuông

tại A Nên I nằm trên đường tròn đường kính AB

và chỉ khi IH=IK Hay tam giác IAB vuông cân tại

I

Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Ta có các kết quả quan trọng sau:

+ Xét hàm số y= f x( )=ax b+ với m x n≤ ≤ khi đó GTLN, GTNN cuả hàm số sẽ đạt được

tại x=m hoặc x=n Nói cách khác:

Như vậy, để tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f x( )=ax b+ với m x n≤ ≤ ta chỉ cần tính

các giá trị biên là f(m),f(n) và so sánh hai giá trị đó để tìm GTLN, GTNN.

+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y= f x( )=ax b+ có f m f n( ), ( ) 0≥thì f x( ) 0≥ với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện: m x n≤ ≤

Ví dụ 1: Cho các số thực 0≤x y z, , ≤2 Chứng minh rằng: 2(x y z+ + −) (xy yz zx+ + ) 4≤

Lời giải:

Ta coi y, z như là các tham số, x là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại như sau: f x( ) (2= − − +y z) 2(y z+ −) yz≤0 Để chứng minh f x( ) 0≤ ta cần chứng minh:(0) 0

+ f(0) 2(= y z+ −) yz− =4 (y−2)(2− ≤z) 0 với y,z thỏa mãn: 0≤ y z, ≤2

+ f x( ) 2(2= − − +y z) 2(y z+ −) yz− = − ≤4 yz 0 với y,z thỏa mãn: 0≤ y z, ≤2

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x,y,z)=(0;2;2) hoặc các hoán vị của bộ số trên

Ví dụ 2:

Cho các số thực không âm x y z, , thỏa mãn điều kiện: x y z+ + =1

Tìm GTLN của biểu thức P xy yz zx= + + −2xyz.

Lời giải

Không mất tính tổng quát ta giả sử

luôn đồng biến Từ đó suy ra

2 1

a b c= = =

III HÀM SỐ BẬC HAI KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hàm số

2 ( 0) :

y ax a= ≠

hàm số xác định với mọi số thực x.Tính chất biến thiên:

+) Nếu a>0 thì hàm số đồng biến khi x>0, nghịch biến khi x<0

+) Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x>0

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng Khi a>0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi a<0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới

Ví dụ 1:

a, Hãy xác định hàm số

2 ( )

d, Tìm m sao cho

3 ( ; )

B m m

thuộc parabol

e, Tìm các điểm trên parabol khác gốc tọa độ cách đều hai trục tọa độ

Lời giải

d

Thay tọa độ điểm B vào ( )P

ta được: m3 =m2 ⇔m3 −m2 = ⇔ 0 m m2( − = ⇔ = 1) 0 m 0

hoặc1

m=

e Gọi D là điểm thuộc ( )P

cách đều hai trục tọa độ Ta có:

C −

b Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

(Trích đề tuyển sinh vào 10 – trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015 – 2016)

M −

thuộc parabol nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình: ( )P : y ax= 2

hay2

(ứng với chiều cao của xe)

Đường thẳng này cắt Parabol tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho đường thẳng d y: = −1 và điểm F( )0;1

Tìm tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ I đến d bằng IF

Lời giải

4

a Xác định điểm M thuộc đường Parabol ( )P : y x= 2

sao cho độ dài đoạn IM là nhỏ nhất, trong đó I( )0;1

b Giả sử điểm A chạy trên Parabol ( )P : y x= 2

Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn OA

2

khi

2 2

2 2 2

I

a x

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A và B chạy trên parabol ( )P : y x= 2

sao cho( )

A B O≠

và OA OB⊥

Giả sử I là trung điểm của đoạn AB

a Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB

b Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định

c Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

x a y a AB

b a b a

hay(AB y) : = + (a b x ab) − = + (a b x) + 1.

Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng(AB y) : = + (a b x) + 1

luôn luôn đi qua điểm cố định (0;1).

trên ( )P lấy hai điểm A( 1;1)− ,(3;9).

B

a, Tính diện tích tam giác OAB.

b, Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của ( )P sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

C c c

thuộc cung nhỏ ( )P với − < <1 c 3.

Diện tích tam giác: S ABC =S ABB A′ ′−S ACC A′ ′−S BCC B′ ′.

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C(1;1).

IV MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN

b x a

2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai.

Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm Thông thường ta chứng minh:0

thức về bất đẳng thức, bất phương trình, trong một số bài toán khó ta cần nắm bắt được những tính chất đặc biệt của tam thức bậc hai để vận dụng.

Ngoài các kiến thức cơ sở trong SGK ta cần nắm thêm một số kết quả, bổ đề quan trọngsau:

+ Mọi tam thức bậc hai: f x( ) =ax2 + +bx c

ta còn có cách khác như sau: “Chỉ ra số thực α

sao cho( )

thì từ giả thiết ta suy ra a b c= = =0.

Do vậy phương trình có vô số nghiệm

Dưới đây ta xét trường hợp a b c+ + ≠0.

Ví dụ 4

a, Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a+2b+ =3c 1.

Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm 4x2 − 4 2( a+ 1)x+ 4a2 + 192abc+ = 1 0

ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

b, Ba phương trình đã cho lần lượt có

Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm

c, Nếu trong ba số a b c, , có một số bằng 0, chẳng hạn a= ⇒0 (2) có nghiệm x=0.

Ta xét a b c, , là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậchai lần lượt có:

a, Cho tam thức bậc hai f x( ) =x2 + +bx c

trong đó b c, là các số nguyên Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên k để được f k( ) = f (2015 ) (f 2016 )

b, Cho tam thức bậc hai f x( ) =x2 + +bx c.

a, Để chứng minh sự tồn tại của số k ta cần chỉ ra tính chất:

Với mọi đa thức bậc hai dạng f x( ) =x2 +px q+



Vậy ta có:

tồn tại một số không âm và một

số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm

Cách 4: Tại sao ta chỉ ra được

3 4

Vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai trong các bài toán GTLN, GTNN

Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2 2

ax bx c y

=

là một giá trị của biểu thức

thì (*) là phương trình bậc hai ẩn x. Điều kiện để phương

trình có nghiệm là: ∆ ≥0. Từ đó ta suy ra điều kiện của y0. Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức

+ Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau:

suy ra biểu thức y luôn xác định với mọi x. Gọi y0

là một giá trị của biểu thức khi đó ta có: (*)

y =

thì ∆ =0 nên+ GTNN của y là 0 khi và chỉ khi ( 00 )

5

0.

y x

( 00 )

28 5.

28

3

y x

x=

Trường hợp 2: P− ≠ ⇔ ≠1 0 P 1 phương trình (1) có nghiệm khi

( ) ( )2

Ta chia tử số và mẫu số cho

2

y

và đặt

x t y

=

thì

2 2

.

2 5

t t A

t t

− +

= + +

t= −

suy ra A0 =2 là một giá trị của biểu thức nhận được

+ Nếu A0 ≠2 thì (*) là một phương trình bậc hai có

Giải tương tự như câu

b) ta có − ≤ ≤6 A 3. Suy ra GTNN của A là −6 đạt được khi và chỉ khi

296y 176y 121 44P 0

2 2

2

a ab+ + abc≤

Lời giải

Từ giả thiết ta suy ra b= − −3 a c.

2

4 1 1

4 1

1

x x A

x x

a c

Một số ứng dụng cơ bản của định lý Vi-ét.

+ Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai

Bước 1: Kiểm tra điều kiện ∆ ≥0, sau đó áp dụng định lý Vi-ét

Bước 2: Biểu diễn biểu thức g x x( 1 , 2)

• Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ( )*

(a b c, , phụ thuộc tham số m), có hainghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều kiện cho trước h x x( 1 , 2) = 0 1( )

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình ( )*

• Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: Nếu phương trình ( )*

• Dấu của nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + + =bx c 0 (a≠ 0)

Bài toán 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ac<0.

Bài toán 2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt

đối bé hơn (hoặc nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn)

0 0

ac S

<



⇔  <



Bài toán 3: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt

đối lớn hơn (hoặc nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bé hơn)

0 0

ac S

S P

S P

P S

Bài toán 9: Phương trình có đúng một nghiệm dương:

Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Trường hợp 2: Phương trình có nghiệm kép dương

2

b a

Bài toán 10: Phương trình có đúng một nghiệm âm ⇒

Giải tương tự như bài toán 9.

Chú ý: Nếu chỉ là phương trình có nghiệm mà không nói phân biệt thì thay ∆ >0

bằng0.

∆ ≥

VI MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 − 2(m− 1)x m+ 2 − = 3 0

(x là ẩn, m là tham số) Tìm m đểphương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho

2

1 4 1 2 2 2 1 1.

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ ⇔ −' 0 2m+ ≥ ⇔ ≤4 0 m 2.

Vì x1 là nghiệm của phương trình nên 2 ( ) 2 2 ( ) 2

a) Giải phương trình khi m= −1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bìnhphương nghiệm còn lại

2 giá trị m đều thỏa mãn.

Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai: x2 − 2(m− 1) x m+ 2 − 2m− = 3 0

với m là tham số

+ Chứng minh rằng: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

+ Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x1+ =4 x2.