TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO 10

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến Bài 1... c Tìm điều kiện của a, b để A 0 Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên Tìm giá trị

Phần II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức không có điều kiện.

Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau

x 2 2.x 2

x 2

 (với x  2) c) 9x2 2x (với x < 0) d) x 4 16 8x x2 (với x > 4)

Bài 3 Cho biểu thức: (2 x y)(2 x y)

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định

b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

Bài 1 Cho biểu thức A2x x2 6x 9

Tính giá trị của A khi x 5

Bài 2 Cho biểu thức 1 1

B

1 x 1 x

  Tính giá trị của biểu thức khi x = 4

Bài 3 Cho biểu thức

Tính giá trị của biểu thức tại x  5

Tính giá trị của biểu thức tại x 3 2 2

Bài 6 Cho biểu thức A= 15a2 8a 15 16

a Rút gọn A

b Tính giá trị của A khi a 3 5

5 3

 

Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức

Bài 1 Cho biểu thức: A4x 4x2 12x 9

Tính giá trị của x, biết A  15

a b a b ab

  a) Tìm điều kiện của a, b để A xác định

b) Rút gọn A

c) Tìm điều kiện của a, b để A 0

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Tìm giá trị của m để A nhận giá trị nguyên

b) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức B nhận giá trị nguyên

Bài 3 Cho biểu thức a 2 1 a 3a 3 9a

Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên

Bài 4 Cho biểu thức x 2 x 1 x 5 x 12

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Dạng 6 Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức

b Tính giá trị của biểu thức A biết x 4

c Tính giá trị của x biết A 1

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của biểu thức A khi x 9

2 Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm

b) Phương pháp thế

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trước khi áp dụng các phương pháp giải hệ

Phần II PHÂN DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải hệ phương trình không chứa tham số

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau

3 2 132x 1 y 1 6

Dạng 2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số

Bài 1 Cho hệ phương trình

2

2

3mx (n 3) 6(m 1)x 2ny 13

a Giải hệ phương trình với m2 ; n1

b Giải hệ phương trình với m1 ; n  3

Dạng 3: Giải biện luận phương trình có chứa tham số

2 m







Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu các nghiệm của hệ phương trình

Bài 1 Cho hệ phương trình x 2y 5

Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình

1 Tìm 1 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình

 Thay xx ; y0 y0lần lượt vào (1) giải

 Thay xx ; y0 y0lần lượt vào (2) giải

Bài giải

 Thay x; y  1; 2  vào (1) ta có 3.1 2.  2  thoả mãn 7

Vậy x; y  1; 2  là nghiệm của (1)

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình

2

2

15m(m 1)x my (1 2m) (1)

34mx 2y m 3n 6 (2)

2 Tìm 2 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ Cho hệ phương trình 2mx (n 2)y 9

Bài giải

Thay x3; y  vào hệ phương trình ta có: 1

6m (n 2)( 1) 9 3m 2n 4 m 23(m 3) 2n( 1) 5 12m 2n 14 n 5

Vậy với m2; n thì hệ có nghiệm x5 3; y  1

Dạng 6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y

 Do x; y là nghiệm của hệ và thoã mãn (3) 

Suy ra x; y là nghiệm của       1 , 2 , 3

 Kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất

 Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại Giải pt chứa ẩn là tham số

 thì hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn (3)

Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên

Bài giải

 Từ (2) ta có ymx 1 Thay vào (1) ta được m2 x 2 mx – 1  5

73mx 2x 7 x(3m 2) 7 x

3m 2

       

 (

2m3

+ Với 3m2  1 m  Thay m1   vào (3) ta có 1 y (nhận) 6

Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m  hoặc m3  1

Bài giải

 Từ (1) ta có y2 – m – 3 x  y2mx3x

 Thay vào (2) ta có mx2 2 – mx 3x8 mx6x4x(6m)4

4x

+ Với 6 – m 1 m thay vào (3) ta có y5  6 (nhận)

+ Với 6 – m  1 m7 thay vào (3) ta có y 18  (nhận)

+ Với 6 – m2m4 thay vào (3) ta có y 0 (nhận)

+ Với 6 – m  2 m8 thay vào (3) ta có y 17  (nhận)

+ Với 6 – m4m2 thay vào (3) ta có y 3 (nhận)

+ Với 6 – m  4 m 10 thay vào (3) ta có y = 9 (nhận)

Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m2; 4;5; 7;8;10

Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

 Thay x2m vào y3mx – 6m2m ta được y2 m+2.

 Thay x2m; ym vào A ta được: 2

Vậy MaxA16 khi m 2

Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào tham số

a CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất

b Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài giải

a Ta có   2

2m.3m – 3 1 6m  3 0 mVậy hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 1 Cho hệ phương trình (m 1)x y m

Bài 2 Cho hệ phương trình

2

2

5x ay a 12a3ax y 6a a 2

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 Cho hệ phương trình

2

2x 3y 73mx (m 3)y m 6m 3

Bài 5 Cho hệ phương trình x my 3

Bài 6 Cho hệ phương trình (m 2)x y 3

Bài 8 Cho hệ phương trình: (m 1)x 2y 5

Bài 10 Cho hệ phương trình

2

2

3mx y 6m m 25x my m 12m

Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

- -Phần I LÝ THUYẾT

I Định nghĩa

II Phân loại

1 Phương trình khuyết c có dạng ax2bx0 (a, b0)

Phương pháp giải: 2

x 0

ax bx 0 x(ax b) 0 b

xa

Phần II PHÂN DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số

Bài 1 Giải phương trình x2 5x  6 0

Bài 2 Giải phương trình 3x212x6 30

Bài 3 Giải phương trình 2

x 2( 3 1)x 2 3  0

Dạng 2: Tìm giá trị tham số khi biết số nghiệm của phương trình

 Đặt điều kiện 2

ax bx c 0 (a0)

- Để phương trình vô nghiệm thì  0 hoặc ' 0

- Để phương trình có nghiệm kép thì   hoặc '0   0

- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì   hoặc '0   0

Tổng quát: Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Cách 1: Chứng minh a.c0 Cách 2: Chứng minh 0

Bài 1 Cho phương trình x2(2m 3)x m2 2m 1 0 

a) Tìm m để phương trình vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 2 Cho phương trình (m 3)x 22(m5)xm 1 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 4 Cho phương trình (2m 10)x 2 (3m 15)x m 1 0 

Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bài 1 Cho phương trình 7x2(3m 1)x m2  1 0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bài giải

Ta có a.c5.m – 12  5 m 210 m

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bài 2 Cho phương trình x22(m3)x2m4 0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài giải

Ta có  ' (m 3) 2 (2m4)m2 4m 4 9(m2)2  với mọi m 9 0Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 3 Cho phương trình (m2m3)x22(m3)x  5 0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

2 2

           

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2bx c 0

- Nếu b = 0 và c0thì phương trình vô nghiệm

- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

 Nếu a0thì phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số

2

b 4ac

   (hay  ' b '2ac)

- Nếu  0 ( ' 0)thì phương trình vô nghiệm

- Nếu  0 ( ' 0) thì phương trình có nghiệm kép x1 x2 b

Bài 1 Giải và biện luận phương trình (m 2)x 2 2(m 1)x m 0

Bài 2 Giải và biện luận phương trình (m 3)x 22mxm 6  0

Bài 2 Cho phương trình 5x2 12xm 3  0

Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

Bài 3 Xác định m để phương trình (m2 1)x2mx  vô nghiệm 5 0

Bài 4 Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

CMR phương trình 2 2 2 2 2 2

b x (b c a )xc  vô nghiệm 0

Bài 5 Xác định m để phương trình (m2)x22(m 1)x m có đúng một nghiệm 0

Bài 6 Cho phương trình (5m21)x2(31m 13)x   6 0

CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 7 Cho phương trình x22(m4)x6m 1  0

CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 8 Xác định m để 2 phương trình x2 mx2 và 0 x22xm 0

có nghiệm chung

Chủ đề 4 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 Hai người đi trên hai con đường vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc

từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km Tìm vận tốc và quãng đường biết rằng nếu hai người đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngược chiều nhau thì mỗi giờ họ cách nhau 7km

Bài 2 Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định Nếu

người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1giờ Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2giờ so với dự định Hỏi người đó đi với vận tốc và thời gian dự định bao nhiêu?

Bài giải

- Gọi vận tốc mà người đó dự định đi là x km / h  x  0

- Gọi thời gian mà người đó dự định đi là y h y    0

- Quãng đường AB là xy

- Khi tăng vận tốc 10km/h thì vận tốc lúc đó là: x +10 (km/h) Và thời gian giảm

đi 1giờ nên thời gian đi hết quãng đường là: y – 1 (h)

- Khi giảm vận tốc đi 10km/h thì vận tốc lúc đó là : x – 10 (km/h) Và thời gian tăng thêm 2giờ nên thời gian đi hết quãng đường là y + 2 (h)

- Do quãng đường AB không đổi nên ta có hệ phương trình:

(x 10)(y 1) xy x 10y 10 x 30(tm)(x 10)(y 2) xy 2x 10y 20 y 4(tm)

Vậy vận tốc người đó dự định đi là 30km/h, thời gian dự định đi là 4giờ

Bài 3 Hai bến sông A và B cách nhau 240km Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến địa

điểm C nằm chính giữa hai bến A và B, cùng lúc đó một ca nô ngược dòng từ B đến C

ab 10a  Điều kiện: 0b a9; 0b , a, b   9

abc100a 10b c Điều kiện: 0a9; 0b, c , a, b, c   9

BÀI TẬP

Bài 1 Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai chữ số

ta được số mới có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 280 Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta được số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị

Bài giải

- Gọi số cần tìm là: ab10ab Điều kiện: 0a9; 0b , a, b   9

- Do khi thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 280 đơn vị nên ta có: a1b ab 280100a 10 b 10a   b280a (1) 3

- Do khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên ta có:

baab1810b a 10a  b18b a  (2) 2

Từ (1) và (2) ta có a = 3; b = 5

Vậy số cần tìm là 35

Bài 2 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng

chục 4 đơn vị Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 3 và

dư 7

Bài giải

- Gọi số cần tìm là: ab10ab Điều kiện 0a9; 0b , a, b   9

- Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có: b – a = 4 (1)

- Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thươnglà 3 và dư 7 nên ta có: ab3(ab)710ab3a3b77a2b (2) 7

 Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị

 Tìm trong một đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao nhiêu phần công việc

 Phần công việc bằng 1/thời gian

BÀI TẬP

Bài 1 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8giờ thì xong Nếu người thứ nhất

làm trong 6giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong việc?

Bài giải

Cách 1

- Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình thì xong việc là: x (giờ) (x >0)

- Gọi thời gian người thứ hai làm một mình thì xong công việc là y (giờ) (y >0)

- Trong 1 giờ người thứ nhất làm được 1

x(công việc)

- Trong 1 giờ người thứ hai làm được 1

y(công việc)

- Trong 1 giờ cả hai người làm được 1

8 (công việc) nên ta có:

- Gọi số phần công việc người thứ nhất làm trong một giờ là x x  0

- Số phần công việc người thứ hai làm trong một giờ là y y  0

- Do hai người làm chung trong 8 giờ thì xong việc nên ta có:

Bài 2 Trong một bể nước có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào Nếu mở cùng hai vòi

thì sau 6 giờ sẽ đầy bể Hỏi vòi chảy vào chảy trong bao lâu thì đầy bể Biết rằng thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn vòi chảy ra hết bể nước đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vòi không đổi

Dạng 4 Toán diện tích

BÀI TẬP

Bài 1 Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích sẽ

tăng thêm 88m2 Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích

sẽ tăng thêm 18m2 Tìm kích thước hình chữ nhật

Bài giải

- Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là x m   x 0

- Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là y m   y 0

- Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x.y m 2

- Do khi tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng 88m2 nên ta có pt

Vậy chiều dài ban đầu của HCN là 10m, chiều rộng ban đầu của HCN là 8m

Bài 2 Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm được 900 sản phẩm Sang tháng 2 do sự thay

đổi nhân sự nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I, số sản phẩm của tổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II Vì tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm Hỏi trong tháng 1 mổi tổ sản xuất được bao

Bài giải

- Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng 1 là x (x0, x  )

- Số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng 1 là y ( y0, y  )

- Do cả hai tổ sản xuất trong tháng 1 được 900 sản phẩm nên ta có:

xy900 (1)

- Trong tháng 2 tổ I sản xuất được: 0,90.x (sản phẩm)

- Trong tháng 2 tổ II sản xuất được: 1, 20.y (sản phẩm)

- Do tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm nên ta có:

0,90.x 1, 20.y 9609x 12y 9600 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

x y 900 x 400(tm)9x 12 9600 y 500(tm)

Dạng 5: Toán mang yếu tố Vật lí

Bài 1 Hai điện trở mắc song song với nhau biết rằng điện trở thứ nhất lớn hơn điện trở

thứ hai 6Ω và điện trở tương đương của đoạn mạch là 4Ω Tính độ lớn của hai điện trở

Vậy độ lớn của điện trở thứ nhất là 12Ω, độ lớn của điện trở thứ 2 là 6Ω

Dạng 6: Toán năng suất kế hoạch

BÀI TẬP

Bài 1 Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 1200sp trong một thời gian nhất

định Nhưng trong thực tế sau khi làm xong 12 giờ với năng suất dự định thì tổ công nhân cải tiến kỹ thuật tăng năng suất lên 5sp trong 1 giờ Vì vậy họ đã hoàn thành số sản phẩm đó trước thời hạn là 6 giờ Hỏi mỗi giờ tổ công nhân dự định làm được bao nhiêu sản phẩm?

Dạng 7: Toán có quan hệ hình học

BÀI TẬP

Bài 1 Cho tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng

tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ 4:3 Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết một cạnh góc vuông của tam giác có độ dài là 14cm

Bài 2 Cho biết một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 24cm và cạnh

huyền là 50cm Tìm độ dài hai cạnh góc vuông?

Dạng 8: Toán phần trăm

BÀI TẬP

Bài 1 Trong một kho giấy có 1500 tấn giấy loại I và loại II Sau đó người ta bổ sung

vào kho thêm 255 tấn giấy cả hai loại, trong đó giấy loại I bằng 15% lượng giấy loại I trong kho, giấy loại II bằng 20% lượng giấy loại II trong kho Hỏi ban đầu lượng giấy loại I và loại II trong kho là bao nhiêu?

Dạng 9: Toán quan hệ giữa hai số

BÀI TẬP

Bài 1 Tìm hai số tự nhiên biết rằng hai số đó chia cho 3 được cùng một thương và số

dư lần lượt là 1 và 2 và tổng bình phương của chúng là 221

Bài 2 Trong chiến dịch Điện Biên Phủ một tiểu đội công binh nhận nhiệm vụ đào 60m

giao thông hào Nhưng đến khi nhận nhiệm vụ 2 chiến sĩ trong tiểu đội đã bị hy sinh Vì vậy bình quân mỗi chiến sỹ phải đào thêm 1m giao thông hào nữa mới hoàn thành công việc Hỏi tiểu đội công binh có bao nhiêu người?

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh Anh Quang góp vốn 15triệu

đồng, anh Hùng góp 13triệu đồng Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp Hãy tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng?

Bài 2 Trong phòng học có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh

không có chỗ Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế Hỏi lớp học có bao nhiêu ghế

và bao nhiêu học sinh?

Bài 3 Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định Nếu

giảm 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?