Các hàm lồi trên r

Từ đó chúng ta có thể thấy đ-ợc rằng hàm lồi trên R là cơ sở để chuyển tiếp một cách tự nhiên khi nghgiên cứu các tập lồi trong không gian n- chiều hay rộng hơn là vô hạn chiều.. Ngoài r

Lời nói đầu

Cuốn luận văn này nhằm cung cấp cho bạn đọc một s ố tính chất của hàm lồi trên R Và các tính chất này liên quan đến nhiều kiến thức của Giải tích hàm

Từ đó chúng ta có thể thấy đ-ợc rằng hàm lồi trên R là cơ sở để chuyển tiếp một cách tự nhiên khi nghgiên cứu các tập lồi trong không gian n- chiều hay rộng hơn

là vô hạn chiều

Ngoài ra các bạn còn có thể xem đây là một tài liệu tham khảo thêm khi đi sâu vào nghiên cứu các tính chất của Giải tích lồi

Luận văn này bao gồm những nội dung sau:

Phần I Một số kiến thức chuẩn bị, các hàm lồi thực, tính lồi điểm

giữa, v.v

Phần II Một số bài tập và lời giải

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo TS Tạ Khắc C- đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này Vì trình độ và thời gian có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong bạn đọc thông cảm và gửi ý kiến

đóng góp với tác giả Tôi xin chân thành cảm ơn

Ng-ời thực hiện :

Lê Hữu Hải

Môc Lôc

1.1 §Þnh lÝ víi mäi x,y,zEn ,vµ R, ta cã

a) <x,x >=0 nÕu vµ chØ nÕu x = ( kÝ hiÖu vect¬ kh«ng cña En )

i i

x

1 1

1

,

i n

i

i x x

i n

i

i i

) (

x

, )

1.2 Định nghĩa Nếu <x,y> =0, thì x và y đ-ợc gọi là trực giao với nhau 1.3 Định nghĩa Chuẩn của một véc tơ x, ký hiệu là ||x|| đ-ợc cho bởi

||x||=<x,y>1/2 Nếu giá trị ||x||=1 thì x đ-ợc gọi là véctơ đơn vị

1.4 Định lý Với mọi x,y Rn, và với mọi R, ta có

(a) ||x||>0 và ||x||=0 khi và chi khi x=0 (b) ||x|| = ||||x||

T-ơng đ-ơng vơi |xi|=0 <=> x=(0,0,0, ,0)

Suy ra điều phải chứng minh

1 2

1

2 2

1

2

x x

x x

n

i i n

i i n

x

2 2

|)

|

| (|

i n

i i i

Đại l-ợng này còn có thể viết d-ới dạng tọạ độ d(x,y) = [

ở đây x=(x1, ,xn), y=(y1, yn) En

1.6 Định lý Với mọi x,y,z  En và R ta có

(a) d(x,y)=0 nếu và chỉ nếu x=y

1.9 Định nghĩa Một tập S đ-ợc gọi là một tập mở nếu mỗi điểm của nó là

điểm trong của S

1.10 Định nghĩa Họ tất cả các tập con mở của En đ-ợc định nghĩa nh- trên đ-ợc gọi là một tôpô thông th-ờng của En, nếu S là một tập con không rỗng của En thì tôpô t-ơng đối trên S là họ của tất cả các tập U sao cho U= SV, ở đây

V là mở trong En

Dễ dàng thấy rằng hình cầu mở toàn bộ không gian En và tập rỗng là mở Hợp của một họ bất kỳ các tập mở là mở, giao của một họ hữu hạn bất kỳ các tập

mở là mở

1.11 Định nghĩa Một tập S đ-ợc gọi là đóng nếu phần bù của nó

CS=En\S là mở

1.12 Định nghĩa Một tập S đ-ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một >0 sao

cho S B (,)

1.13 Định nghĩa Phần trong của một tập S là hợp tất cả các tập mở đ-ợc

chứa trong S Bao đóng của S là giao của tất cả các tập đóng của S Phần trong của

S đ-ợc ký hiệu là intS, bao đóng của S đ-ợc ký hiệu là clS

1.14 Định nghĩa Một hàm f : En Em đ-ợc gọi là liên tục trên En nếu f-1(u) là tập con mở trong En với mọi U mở trong Em

Ta có thể dễ dàng phát biểu định nghĩa của tính liên tục nói trên bằng nhiều

cách khác nhau

1.Theo ngôn ngữ hình câù mở: Hàm f liên tục tại điểm xEn, nếu mỗi > 0,

tồn tại một  > 0 sao cho f(b(x, ))  B(f(x),), nếu f liên tục tại mọi điểm của tập

A thì ta nói nó liên tục trên A

2 Theo ngôn ngữ dãy :Hàm f liên tục trên En nếu và chỉ nếu với mọi dãy

{xk}En hội tụ tới điểm xEn thì dãy{f(xk)} hội tụ tới f(x) Em

1.15 Định lý Mỗi một trong các hàm sau đây là liên tục

(a) f: EnxEn En đ-ợc xác định bởi f(x,y)=x + y (b) Với mỗi điểm a cho trứơc trong En, hàm fa : EnEn đ-ợc xác

Chứng minh (a) Cho tr-ớc  > 0, giả sử  = / 2, nếu (x0,y0) EnxEn, thì

mọi (x,y) EnxEn, với d((x,y),( x0,y0))<  ta có :

d((x,y),( x0,y0)) = {[d(x,x0)]2 + [d(y,y0)]2}1/2

Do đó d(x,x0)<  và d(y,y0) <  từ đó suy ra rằng

d((x+y),( x0 +y0))  d((x+y),( x+y0)) + d((x+y0),( x 0+y0))

= d(x,y0) + d(x,x0) <  + del+a = 

Nh- vậy nếu (x,y) B ((x0,y0), ), thì f(x,y)  B (f(x0,y0), )

do đó f liên tục tại (x0,y0) và do(x0,y0) là một điểm tuỳ ý trong En nên f liên tục

(b) Suy từ (a)

(c) Giả sử >0 và x En, nếu 0, ta lấy =1/||, khi đó mỗi y  En

sao cho d(x,y)< ta có

Nếu =0 thì d(f(x, f(y)) = d( ,) = 0 < với mọi >0

Trong cả hai tr-ờng hợp ta đều có f (b(x, ))B(f (x), ) tức là f liên tục

(d) Đ-ợc suy từ (a) và (c)

1.16 Định nghĩa Nếu A,B En và R, ta định nghĩa

A+B = x+y : x A, yB

A = {x : xA } Nếu A chỉ gồm một điểm, A= {x} thì ta viết x+B thay cho A+B Tập x+B

đ-ợc gọi là một dịch chuyển của B, tập A đ-ợc gọi là nhân vô h-ớng của A, nếu

0 thì tập x+A đ-ợc gọi là đồng dạng với A

1.17 Định lý Một tập đồng dạng với một tập mở là một tập mở

Chứng minh Với xEn,  0 hàm f(y) = x+y là liên tục

Theo định lý 1.15 với  0 ta cũng có hàm ng-ợc f-1(z) với

f-1(z) = - (1/)x + (1/)z liên tục

Do đó nếu A là tập mở thì (f-1)-1(A) = f(A) = x+ A là tập mở

1.18 Hệ quả Mỗi tập đồng dạng với một tập đóng là tập đóng

Chứng minh Với 0, hàm f(y) = x+ y là ánh xạ 1-1

Do đó f(ca) = cf(a) với mọi A  En Vậy từ định lý 1.17 nói trên ta suy ra

điều khẳng định

Để ý rằng tổng A+B của hai tập A,B En có thể biểu diễn d-ới dạng các

chuyển dịch nh- sau A+B = (x+B) =  (A+y)

xA yB

1.19 Định nghĩa Biên của một tập A ký hiệu bdA hoặc FrA, đ-ợc xác

định bởi bdA = clA cl(cA)

Hoặc ta có thể phát biểu theo thuật ngữ hình cầu mở:

Một điểm x bdA nếu và chỉ nếu mỗi >0, hình cầu mở B(x, ) sẽ cắt A

1.21 Định lý (Heine – Borel) Một tập con S của En là Compact nếu và

chỉ nếu mọi phủ mở F của S, tồn tại một họ hữu hạn các tập thuộc F mà nó cũng

phủ S

1.22 Hệ quả Nếu A  En là tập compact và f: En  Em là hàm liên tục, thì

f(A) là tập compact

Chứng minh Giả sử A là tập compact và f là hàm liên tục

Gọi F= {F: A} là một phủ mở của F(A) Khi đó do f liên tục nên

f-1(F) mở với mọi cA Do họ {f-1(F) : A} phủ A và A compact nên tồn tại họ con hữu hạn {f-1(Fi) :i=1, ,k} phủ A Khi đó {Fi:i=1, ,k} phủ

f(A)

1.23 Định nghĩa Hai tập hợp A và B đ-ợc gọi là tách nhau nếu cả AclB

lẫn BclA đều rỗng Một tập S gọi là liên thông nếu S không là hợp của hai tập

hợp tách nhau Một tập con C của S đ-ợc gọi là một tập thành phần của S nếu C là

tập con liên thông cực đại của S sao cho nếu D là tập con liên thông bất kỳ của S

chứa C thì B = C

Đ 2 Các hàm lồi thực

Ta ký hiệu I là khoảng đóng, mở hoặc nửa mở, hữu hạn hau vô hạn trong R

2.1 Định nghĩa Xét hàm f là một hàm từ I  R, khi đó f đ-ợc gọi là lồi nếu :

f(a + (1- )b) f(a) + (1-)f(b) (1)

với mọi a,b I và mọi R, với mọi 0<<1

Hình 1: Chỉ ra ý nghĩa hình học của tính lồi Đ-ơng thẳng với các điểm mút (a,f(a)) và (b,f(b)) không nằm ở phía d-ới đồ thị

2.2 Một số công thức t-ơng đ-ơng của tính lồi của f: I  R

(a) f x  f (a)

a b

x b





+ f (b)

a b

a x





(*) với mọi a,b,x I, trong đó a< x <b

Ta có thể biến đổi vế phải của (*) nh- sau:

f (a)

a b

x b





a b

a x





= f(a) + ( ) ( )(x a)

a b

a f b f







(b) f(a+ b) f(a) + f(b) , với mọi ,R , >0, >0 và +=1

2.3 Các tính chất của hàm lồi

(a) Nếu f và g là hai hàm lồi và 0, 0, thì f + g là lồi

(b) Giả sử f: I  R là lồi thì 



n

i i

i x f

1 )

1 1

(c) Tæng h÷u h¹n c¸c hµm låi lµ hµm låi

(d) Giíi h¹n cña mét d·y c¸c hµm låi lµ hµm låi

(e) Gi¶ sö f lµ supremum(theo ®iÓm) cña hä tuú ý c¸c hµm låi I  R

NÕu f h÷u h¹n hÇu kh¾p n¬i trªn I th× f lµ hµm låi

Chøng minh (a) Do f lµ hµm låi nªn víi mäi x1,x2I vµ 1, 2 >0 ,

1+2=1 ta cã

f(1x1+2x2) 1f(x1) + 2f(x2)

Víi mäi  0 ta cã

 f(1x1+2x2)  (1f(x1) + 2f(x2)) (a) t-¬ng tù ta cã g(1y1+2y2)  (1f(y1) + 2f(y2)) (b)

2 1

2 1

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

1 2

1x1+2x2+… +k+1xk+1 = 2 1 1

1

2 1



Víi n=3 ta cã, 

 3

1

i i

 =1 th×

2 1

2 1

2 1

1 2

2 1

2 1

1 2

2 1

2 1

1 2

1

i i

1

2 1

1

2 1

( )[

1

2 1



n

i i



2.4 §Þnh lý XÐt f: I R lµ hµm låi th×

x b

x f b f a

b

a f b f a

x

a f x f

(

(2)

víi ®iÒu kiÖn a,b,x I, a < x < b

NÕu f lµ hµm låi chÆt th× (2) kh«ng x¶y ra dÊu b»ng

x b





+ f (b)

a b

a x





 (b-a)f(x)  bf(a) – xf(a) + xf(b) – af(b)

 bf(x) - af(x) - bf(a) + af(a)  af(a) – xf(a) + xf(b) – af(b)

 b(f(x) - f(a)) – a(f(x) - f(a))  (a – x)f(a) + (x – a)f(b)

 (b – a)(f(x) - f(a)  (a – x)f(a) + (x – a)f(b) Do a < x < b ta cã

f(a)

f(b)



0

f(x) – f(a)  f (a)

a b

x a





+ f (b)

a b

a x





= [f(b) f(a)]

a b

a x

a x

a f b f a

x

a f

x b





+ f (b)

a b

a x





suy ra f(x) – f(b)  - ( ) ( )(b x)

a b

a f b

a f b

a f b f x

b

x f b f

với mọi a < x < b (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra

a b

a f b f a

x

a f x f

x b

x f b f



 ( ) )

(

Vậy ta có điều phải chứng minh

Theo định nghĩa 2.1 ta có : nếu f là hàm lồi chặt thì ta có

f(x) < ( ) f(b)

a b

a x a f a b

x b

a x

a f b f a

x

a f x f

với mọi a < x <b

và ta cũng có

a b

a f b f x

b

x f b f

với mọi a < x < b

Ta có

a b

a f b f a

x

a f x f

<

x b

x f b f



) (

Đó là điều phải chứng minh

2.5 Định lý Cho f : I  R là hàm lồi thì f có đạo hàm phải và đạo hàm trái

tại mọi điểm của tập IntI và f '

- và f+’ không giảm trên IntI Nếu c IntI

thì f'(c)  f'(c),

và f(x)  f(x)  f'(c)(xc),f(x)  f'(c)(xc) với mọi x I

* ý nghiã hình học Các tiếp tuyến trái tại c, và các tiếp tuyến phải tại c nằm d-ới đồ thị của hàm f đ-ợc minh hoạ trong hình 3

Chứng minh Cho f : I  R là hàm lồi và giả sử c intI

Xét [a,b] I, với a < c < b, theo định lý 2.4 ta có

c x

c f x f a

c

a f c f

với mọi x  [c,b]

Theo định lý 2.4 ta có x 

c x

c f x f



) (

không giảm trên [c,b], nên đạo hàm

phải là f’

+(c) =

c x

c f x f

T-ơng tự ta có f’-(c) =

c x

c f x f

Nếu a < c <d <b thì với giá trị h nhỏ vừa đủ ta có

h

h c f c

f( )  (  ) 

h

h d f d f h

c f h c

f(  )  ( ) ( )  (  )

t-ơng đ-ơng với

h

h d f d f h

c f h c f h

h c f c f

h h

h

) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim

0 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.6.Định lý f: I R đ-ợc coi là thoả mãn điều kiện lipsit đối với I0I, nếu tồn tại K > 0, sao cho |f(x) – f(y)| < k | x – y | với mọi x, y  I0

Điều này có nghĩa là f(x) là liên tục đều trên I0 ,và là đại l-ợng biến thiên

bị chặn trên mỗi đoạn đóng của I0

Định lý Giả sử f: I R là hàm lồi và [a,b] intI,

khi đó

(a) f thoả mãn điều kiện lipsit [a,b]

(b) f là liên tục trên int I

Chứng minh a) Tồn tại c,d I, sao cho c <a <b <d, theo định lý 1.5 ta có

f+’(a)  f-’(x) 

y x

y f x f



) (

 f-’(y)  f-’(b), với mọi a  x  y b

Ta suy ra |f(x) – f(y) |  k | x – y | với mọi k = max(| f+’(a) |, |f-’(b)|)

Ta có điều phải chứng minh

b) Từ chứng minh (a), ta có do [a,b]  intI,

Ta suy ra f là liên tục trên intI

2.7 Định lý Giả sử f: IR là hàm lồi thì

(a) Trên int( I), f’

- là liên tục trái f’

+ là liên tục phải

(b) Chỉ có không quá đếm đ-ợc điểm mà f không khả vi

Chứng minh (a) Theo tính liên tục của f trên intI, chúng ta có

với mọi x,y,z intI thì

x y

x f y f



) (

=

z y

z f y f



) (

+(z)

với mọi x < z <y, lấy giới hạn y x ta có

x y

x f y f x

 ( ) )

( lim

Vậy ta chứng minh đ-ợc tính liên tục phải của f,+

Tính liên tục trái đ-ợc chứng minh t-ơng tự

Thật vậy ta có

) ( lim ) ( ) ( lim ) ( )

z x

z f x f y

x

y f x f

y z

ta có lim ( ) ( ) f '(z)

y x

y f x f

Suy ra điều phải chứng minh

(b) Theo định lý 1.5 ta có f+’(x)  lim f-’(y)  f+’(z),

với mọi x, y, z  int(I) và x < y < z

Nếu f+’ liên tục tại y ta có f+’(y) = lim f '(x) lim f'(z) f '(y)

y z y

Ta lại có tập hợp các điểm hàm đơn điệu gián đoạn có lực l-ợng không quá đếm

đ-ợc, từ đó ta có điều phải chứng minh

Đ 3 Tính lồi điểm giữa

3.1 Định nghĩa Hàm f : IR đ-ợc gọi là lồi điểm giữa nếu mọi a,bI

ta có :

)]

( ) ( [ 2

1 ) 2

) (a b f a f b

Hình 4 chỉ ra ý nghĩa hình học của sự lồi điểm giữa : Điểm giữa của đoạn thẳng nối hai điểm trên đồ thị của f không nằm giữa phần d-ới điểm t-ơng đ-ơng trên

đồ thị

3.2 Định lý Nếu f : I R là hàm lồi điểm giữa và liên tục thì f là lồi

Chứng minh: Giả sử (ak) là một dãy trong I, từ (4) ta suy ra

f(

4

4 3 2

1

) ( (5)

Với mọi n có dạng 2k, giả sử (5) đúng với n= N,

N N

a a

a f a

1

) (

N

i i a

1

) (

N

i i a

f

Từ đó suy ra (5) đúng vói (N-1) vậy (5) xảy ra với mọi n  N

Ta suy ra f là hàm lồi

Đ 4 Tính khả vi của hàm lồi 4.1 Định lý Giả sử I là tập mở và xét f : I R là khả vi trên I đến cấp hai Thì f là lồi khi và chỉ khi f”(x) 0 với mọi x  I

Chứng minh Điều kiện cần Theo định lý 2.5, f’ không giảm trên I

Do vậy f”(x)  0 với mọi x  I

Điều kiện đủ Xét x, y  I, x < y, và 0 <  <1 Theo định lý Lagrăng tồn tại1, 2, sao cho:

x < 1 < x + (1 - )y < 2 < y

và tồn tại 3 sao cho

1 < 3 < 2

Ta có: f(x + (1 - )y) -f(x) - (1 - f(y)

=f(x+(1 - )y)- f(x + (1-)y) + f(x + (1 - )y) - f(x) - (1 - )f(y)

=  [ f(x + (1 - )y) - f(x)] + (1 - )f(x + (1 - )y) - f(y)

=  (1 - ) (y – x) f’(1) + (1 - )(x - y) f’(2)

= (1 - ) (y – x) (1-2)f’’(3) 0

 f(x + (1 - )y)  f(x) + (1 - )f(y)

Vậy ta suy ra f là hàm lồi

4.2 Nhận xét +) Từ chứng minh trên ta kết luận f là hàm lồi tuyệt đối nếu

Chứng minh rằng f là hàm lồi tuyệt đối nếu f’’(x) > 0 với mọi x  I,

và 0 << 1 Thật vậy:

Ta chứng minh f(x + (1 - )y) < f(x) + (1 - )f(y)

Điều đố t-ơng đ-ng với với e x + (1 - )y < ex + (1 - )ey

< ( 1 - ) ey (2)

Từ (1) và (2) suy ra ex + (1 - )y

< ex + (1 - )ey

Ta có f(x +(1 - )y) < f(x) +(1 - )f(y) với mọi x  R

Nghĩa là hàm f là lồi tuyệt đối Vậy ta có điều phải chứng minh

2 Cho hàm f : R  R

xx4

Là hàm lồi tuyệt đối trên R, nh-ng f’’(x) = 12x2  0 nên ta thấy f’’(0) = 0

Điều này mâu thuẫn với nhận xét Nh- vậy nếu hàm f là hàm lồi tuyệt đối

’’

Đ 5 Một số vấn đề về tích phân hàm lồi 5.1 Định lý Giả sử f là một hàm từ (a,b)  R

Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi f có thể biểu diễn d-ới dạng

f(x) = f(c) + x

c dt t

g )( với c,x  (a,b) (10)

Với g là hàm không giảm và liên tục phải: (a,b)  R

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f là hàm lồi và c,x  (a,b)

Theo định lý 2.5 và 2.7 ta có:

f’ + tồn tại và liên tục phải và không giảm

Đặt:

h() = x  

c

dt t f t

f



 ) ( ) (

  

Suy ra f(z) = f(x + (1 - )y)  f(x) + (1 - )f(y)

Vậy ta có f’(x) = g(x) với mọi

Vi vậy 2.1 chính là kết quả đ-ợc suy trực tiếp từ tính liên tục tuyệt đối của f trong 1.7

5.3 Cho f : [a,b] R là hàm lồi và ai [a,b], ( 1  i n),

ta có f( 



n

i i

a f

n 1

) (

1

, (12)

Điều này đã đ-ợc chứng minh ở 3.2

Định lý (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử f : (a,b) R là lồi

và g : [c,d] (a,b) liên tục

thì f(  d

c dx x g c

d ( ( ))

1

Chứng minh Đặt p =  d

c dx x g c

f( ( ))  d  

c

dx

p]) - [g(x) (p) f

c

dx x g

f( ( ))

khi đó d

c dx

d

-1 - [g(x) (p) f

f( ( ))

có nghĩa là d

c dx

c - d ( - [g(x) (p)

c

dx x g

f( ( ))

từ đó ta có d

c dx

f(p) d

c

dx x g

1 f(

f( ( ))

vậy g(x) dx)

c - d

1 f(