Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong giải tích lồi

Từ khái niệm đoạn thẳng cho thấy: Tập M lồi khi và chỉ khi đoạn thẳng nối 2 điểm thuộc M thì nằm trọn trong M Ví dụ: Các nửa không gian là các tập lồi.. Hàm f được gọi là lồi trên M nế

LỜI NÓI ĐẦU Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết toán học nói chung, các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng nói riêng Hàm lồi là kiến thức cơ bản nhất của giải tích lồi Việc nghiên cứu, tìm hiểu về hàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích lồi là rất cần thiết Vì vậy chúng tôi

đã chọn đề tài “Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong giải tích lồi”

Mục đích của đề tài là nêu lên một số nội dung chính của hàm lồi và 5 định

lý quan trọng của giải tích lồi

Khoá luận được chia làm hai chương:

Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản và các vấn đề liên quan đến hàm lồi

Chương 2 trình bày một số định lý quan trọng của giải tích lồi

Khoá luận được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh với sự giúp đỡ, hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của thầy giáo TS Trần Xuân Sinh và những ý kiến đóng góp của các thầy giáo thuộc tổ Điều khiển khoa Toán

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hướng dẫn và các thầy giáo trong tổ Điều khiển và các thầy giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp

đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận

Vinh, 4- 2004

Tác giả

Chương 1

HÀM LỒI Đ1 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ

i

1

 = 1 thì X gọi là tổ hợp lồi của hệ điểm đã cho

1.1.1.2 Đoạn thẳng

Cho 2 điểm x1

, x2 R n Tập hợp các điểm là tổ hợp lồi của hai điểm đã cho

gọi là đoạn thẳng nối x1

Chú ý: Tập  cũng được xem là tập lồi

Từ khái niệm đoạn thẳng cho thấy: Tập M lồi khi và chỉ khi đoạn thẳng nối

2 điểm thuộc M thì nằm trọn trong M

Ví dụ: Các nửa không gian là các tập lồi

Các tam giác và hình tròn là các tập lồi

Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi

Ví dụ: Các tập sau đây trong R n

(1, , n)  R n : i 0, i = 1, , n (orthant không âm)

Tập hợp xR n:c,x =  được gọi là siêu phẳng xác định bởi c và 

1.1.1.9 Nửa không gian

Tập hợp x  R n : x, c  được gọi là nửa không gian giới hạn bởi siêu

phẳng

x  R n : x, c = 

1.1.1.10 Tập lồi đa diện

Cho các nửa không gian M i = x  R n: x, c ii

Dễ dàng thấy rằng các tập M

, x2 A Khi đó x1, x2 A ( I) Với  I, do A

lồi cho nên

 x1 + (1 - )x2 A , ( [0, 1])

Ta suy ra  x1 + (1 - )x2 A

Từ định nghĩa 1.1.1.3 ta nhận được các mệnh đề sau:

1.1.2.2 Mệnh đề Cho các tập lồi A i R n, i R (i = 1,m ) Khi đó

1 ) Khi đó tích Đề cac A1A2 A m là tập lồi trong Y1Y2 Y m

1.1.2.4 Mệnh đề Cho ánh xạ tuyến tính T: R n R n Khi đó

a) A lồi thuộc R n thì T(A) lồi

b) B lồi thuộc R n thì nghịch ảnh T-1(B) của B là tập lồi

Từ định nghĩa 1.1.1 ta có đính lý sau:

1.1.2.5 Định lý Giả sử tập A lồi thuộc R n , với x1

, ., x m  A, theo đó, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1

, , x m

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp

Với m = 2, với mọi 1, 2  0, 1 + 2 = 1, x1, x2  A, theo định nghĩa 1.1.3

 = 1, x = 1x1 + + k x k + k+1 x k+1  A

Có thể xem như k +1 < 1, bởi vì nếu k +1 = 1 thì 1 = = k = 0 và ta có

ngay x  A Khi đó

gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f

Hàm f được gọi là lồi trên M nếu tập epif lồi trong R nR

1.2.1.2 Miền hữu hiệu (effective danain) của hàm f, kí hiệu là domf, được

định nghĩa như sau

Hàm f lồi thì domf lồi

Thật vậy, tập domf là hình chiếu của epif trên M

domf = x  M : f(x) < + = x : r  R, (x, r)  epif

Như vậy, qua một ánh xạ tuyến tính thì tập lồi epif có ảnh là tập domf Do

đó domf lồi

, r)  epi(.) nghĩa là x(*) r, x(*) M lồi

(y(*), s)  epi(.) nghĩa là y(*) s, y(*) M lồi

Chứng minh Lấy (x, r)  epif nên f(x)  r hay ax2 + bx + c  r,

(y, s)  epif nên f(y)  s hay a’y2 + b’y + c’  s

Ví dụ 5: Giả sử M  R n , M   Khi đó hàm chỉ (indicatos function) (.\ M)

a) Giả sử f là hàm lồi Không mất tính tổng quát xem như  (0, 1) với (x, r)  epif , (y, s)  epif ,  (0, 1)

Do epif là tập lồi nên ta có

(x, r) + (1- )(y, s) = [x + (1- )y, r + (1- )s]  epif

Thật vậy, (x, r)  epif nên f(x)  r

(y, s)  epif , suy ra f(y)  s

Chứng minh Trước hết ta thấy với x i X, i 0, 



k i

)(

k k

i i k

i k

k

f

1 1

1

1 1

1)1



k i

1

11

k i i k

i

i x f

i

1

 f(x i)

 f(x i)

1.2.3 Hệ quả Cho X là tập lồi Hàm f : X  [-, +] là lồi khi và chỉ khi

f(x + (1 -)y) r + (1 -)s, (2.3) trong đó  [0, 1] và x, y  X thoả mãn f(x)  r, f(y)  s

Điều kiện đủ: Cho f(x + (1 -)y) r + (1 -)s chứng minh f lồi

Lấy (x, r)  epif, (y, s)  epif Khi đó

x1 + (1- )x2x : f(x) <  Vậy x : f(x) <  là tập lồi

b) Tương tự như a), ta có x : f(x)  là tập lồi

Định nghĩa Hàm f xác định trên tập lồi X được gọi là thuần nhất dương

(poritively homogencous), nếu với mọi x  X,  (0, +), ta có

22

Xét epif Với (x, r) và (y, s)  epif ta có

Ta được epif khép kín với phép nhân vô hương 

Từ đó cho thấy epif là nón lồi, vậy f lồi 

1.2.7 Hệ quả Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương Khi đó

(Hay tổng của các hàm lồi là hàm lồi)

Chứng minh Theo tính chất 1.2.3 ta cần chứng minh

f(y), x - y  f(x) - f(y), (x,y  X), trong đó f(y) = f y , ,f yn

Điều kiện cần: Cho f lồi, ta chứng minh f(y) - f(x)  (1- )f(y), x - y với

mọi x, y  X và  (0, 1), do f là hàm lồi nên ta có

f(y) - (1- )f(y)  f[x + (1- )y]

Suy ra

 f(y) -  f(y)  f[x + (1 - )y] - f(y),

hay với mọi  (0, 1) ta có

Nhận xét Tính chất 1.2.9 có ứng dụng trong lý thuyết quy hoạch lồi Bài

toán quy hoạch lồi có dạng:

låi

X

x min f(x), trong đó f là lồi 

Sử dụng tính chất 1.2.9 thì ta có f lồi khi và chỉ khi

Định nghĩa Cho hàm lồi f(x) xác định trên tập lồi X Điểm x0  X được gọi

là cực tiểu địa phương của f(x) nếu tồn tại lân cận x0sao cho

Chứng minh Giả sử x0 X là điểm cực tiểu địa phương của f có nghĩa là tồn

tại lân cận x0sao cho

Với mọi  > 0,  đủ bé thì

f(x0)  f(x’), x’  X

Bất đẳng thức trên nói lên rằng x0

là cực tiểu tuyệt đối (toàn cục) 

1 2

2 1

(

x x x

x f x x

1 2

2 1 1

1

)(

x x x

x f x x

x x

x f x x

2 2 1 1 2

x x

x

x x

f x f

2 2 1 1 2

x x

x x

f x f

x x

x x

f x f

Vì f ”(x)  0, x  [a, b] nên f’(x) là hàm đồng biến trên [a, b] do 1 < 2, ta

x x

x f x x

x x

x x

f x f

Vì vậy, epif đóng theo tất cả các tập Lf đóng

Ngược lại, giả sử tất cả các tập Lf đóng, ta chứng minh epif đóng

Thật vậy,

Lf = 



  L f (*) Giả sử (x0, 0) epif Để chứng minh epif đóng, ta chứng minh tồn tại lân cận V của (xo, o) sao cho

(epif)  V = 

Bởi vì (x0,0) epif cho nên x  L0f Từ công thức (*) suy ra  > 0 sao

cho x0L f Do đó, tồn tại lân cận V của xo sao cho

(L f)  V =  Đặt V = (x, )  X  R : x  V,  < 

Khi đó, V là lận cận điểm (xo, o) trong X  R

Nếu (x, )  V thì x  L f Do  < , x Lf

Vì vậy, f(x) > , nghĩa là (epif)  V =  Vậy epif đóng 

Nhận xét:

Tính chất lồi của hàm không giống tính chất đóng Cụ thể nếu hàm f lồi thì

tất cả các tập mức dưới của nó là lồi Nhưng điều ngược lại không đúng

Cho (X  R) là tập lồi trong R n+1 , và f(x) = inf R : (x, )  (X  R)

Khi đó f là hàm lồi trên R n

Chứng minh Áp dụng tính chất 1.2.3 ta suy trực tiếp kết quả 

Chương 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG VỀ HÀM LỒI Trong giải tích lồi có 5 mệnh đề quan trọng, bao gồm

1 Bổ đề Hoàng Tụy

p i : các số thực lấy giá trị hữu hạn hoặc p i = - 

i i i

i y q y p

y q p

Xét tập lồi M  X Y với X là không gian tuyến tính, Y = R n Giả sử p  q và với mỗi điểm u = (x, y) x  X, y  Y có ít nhất một điểm (x', y')  M sao cho y' = - y với mọi  > 0

2.1.1 Bổ đề Hoàng Tụy

Với những giả thiết đã nêu, để một hàm lồi f(u) trên M thoả mãn hệ thức

p, q, y + f(u)  0, (u = (x, y)  M) (2.1) thì điều kiện cần và đủ là có một vectơ a = (a i )  R n sao cho p  a  q và

n

i 1

 a i y i + f(u)  0 (2.2)

Chứng minh Điều kiện cần:

Với n = 1 ta kiểm tra thấy mệnh đề đúng

Xét với n > 1, với mỗi u = (x, y) ta thấy:

Khi y = 0 thì hiển nhiên

Nhưng f(u0) = (x0, y0) với y0 = 0, theo (2.1) ta có f(u0)  0

Do vậy, với mọi u = (x, y), y > 0 và u' = (x', y'), y' < 0 ta có

maxz, p  minv, q và a  R sao cho p  a  q, z  t  v

Từ z  t  v, suy ra với mọi u = (x, y), y  0 ta có

ay + f(u)  z(u).y + f(u) = 0

Giả sử bổ đề đúng với n = k -1, ta chứng minh bổ đề đúng với n = k

= M thì theo giả thiết quy nạp bổ đề đúng

Nếu M0 M thì có ít nhất một u = (x,y), y k  0, theo giả thiết ban đầu ta có

M+ và M_ đều khác rỗng Khi đó ta đặt

y i + f(u)  0

Do đó p, q, y + f(u)  0

Vậy bổ đề được chứng minh

2.1.2 Các trường hợp riêng của bổ đề Hoàng Tụy

Trường hợp 1: Khi p, q, y là các số thực, từ bổ đề Hoàng Tụy ta có hệ quả

2.1.2.1 Hệ quả Với giả thiết đã nêu, nếu một hàm lồi f xác định trên M

thoả mãn hệ thức

p, q, y + f(u)  0 (u = (x,y)  M) thì điều kiện cần và đủ là có một số thực a sao cho p  a  q và u = (x,y)  M thì ay + f(u)  0

Trường hợp 2: Giả sử tập lồi M nhận điểm O là điểm trong tương đối, tức là ứng với mỗi y  M, có một số  > 0, sao cho -y  M khi đó điều kiện ban đầu của bổ đề Hoàng Tuỵ được thoả mãn Mặt khác nếu f là hàm lồi đồng nhất O

2.1.2.2 Hệ quả Nếu M là tập lồi, nhận O làm điểm trong tương đối thì điều

kiện cần và đủ để tồn tại vectơ a  R2 sao cho p  a  q và a,y = 0, y  M thì

p, q, y 0, y  M

Trường hợp 3: Nếu M là tập hợp các nghiệm của hệ phương trình Ax  0,

trong đó A là ma trận cấp m  n và p = q, ta có hệ quả (gọi là bổ đề Farkas):

2.2.1.1 Không gian tuyến tính Một tập hợp X được gọi là một không gian

tuyến tính nếu ứng với mỗi cặp phần tử x, y  X, theo một quy tắc nào đó, ta được một phần tử thuộc X, ta gọi tổng của x và y (ký hiệu là x + y) Khi đó ứng với mỗi phần tử x  X và mỗi số thực , theo một quy tắc nào đó, ta được một

phần tử thuộc X, gọi là tích của x với  (Ký hiệu là x)

Đồng thời các quy tắc vừa nêu phải thõa mãn 8 điều kiện sau:

viii) (x + y) = x + y

2.2.1.2 Không gian định chuẩn Một không gian tuyến tính X nếu ứng với

mỗi x  X, ta có một số x, gọi là chuẩn của nó, sao cho với x, y  X và một

số thực  thoả mãn các điều kiện

i) x > 0 nếu x  0 và x = 0 nếu x = 0

ii) ax =   x

iii) x + y x + y

Khi đó không gian tuyến tính X được gọi là không gian định chuẩn

2.2.1.3 Dãy cơ bản Cho không gian định chuẩn X, dãy x n gọi là dãy cơ bản nếu

m n m

n x x



 ,

2.2.1.4 Không gian Banach Không gian Banach X (còn gọi là “không gian

đủ”) là không gian định chuẩn X có mọi dãy cơ bản đều hội tụ

2.2.1.5 Phiếm hàm, phiếm hàm tuyến tính

Cho không gian tuyến tính X Một số hàm f(x) xác định trên X mà lấy giá trị thực (hoặc phức) được gọi là một phiến hàm trên X

Nếu với x, x1, x2 X và  R thoã mãn

+ f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

+ f(x) = f(x)

Khi đó X gọi là phiếm hàm tuyến tính

2.2.1.6 Không gian liên hợp Cho phiếm hàm tuyến tính f liên tục, xác

định trên không gian định chuẩn X Khi đó chuẩn của f được xác định là

 x f f

1





x sup

Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian tuyến tính định

chuẩn X lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn X *

và X * được gọi là

không gian liên hợp của X

2.2.1.7 Dưới tuyến tính, sơ chuẩn

Cho không gian tuyến tính X, hàm f : X  R được gọi là dưới tuyến tính

nếu

f(x1+x2)  f(x1) + f(x2), với  x1, x2 X

f(x) = f(x), x  X và  0

Một phiếm hàm dưới tuyến tính f được gọi là một sơ chuẩn nếu với mọi

số  ( thực hoặc phức tuỳ vào không gian ta đang xét) ta có

Chú ý: Nếu tập M có điểm trong thì mọi điểm bọc của M cũng là điểm trong

2.2.1.9 Hình chiếu Cho tập lồi M  R n , v  R n , ta gọi p là hình chiếu của v trên M ký hiệu là p = p(v), nếu p  M và

 = v - p = xv

M x

và x - pv - p Việc chứng minh có thể xem [1]

2.2.1.10 Tiên đề Zorn Nếu tập S được sắp một phần và mọi tập con được

sắp tuyến tính của S đều có cận trên thì S phải có một phần tử tối đại

2.2.2 Định lý Hahn- Banach

2.2.2.1 Định lý Cho một phiếm hàm tuyến tính f, xác định trong không

gian con M của không gian tuyến tính thực X Nếu có một hàm dưới tuyến tính

 xác định trong X, sao cho

f(x) (x) (x  M)

1) F là khuếch của f, nghĩa là F(x) = f(x) (x  M)

2) F(x) (x) (x  X)

Chứng minh Cho f1, f2 là 2 phiếm hàm tuyến tính xác định tương ứng trên

hai không gian con M1, M2 của X Nếu M1  M2, f1(x) = f2(x), x  M1,

f2(x) (x), x  M2, ta kí hiệu f1 < f2 Ta cần chỉ ra tồn tại hàm F xác định trên

X và có f < F (theo nghĩa “<” như đã nêu)

Gọi C = Phiếm hàm tuyến tính g: f < g Khi đó C  vì f  C và được sắp

một phần bởi liên hệ “<”

Nếu P là một tập hợp con được sắp tuyến tính của S thì cận trên của nó là

phiếm hàm có miền xác định bằng hợp của tất cả các miền xác định của các

phiếm hàm g  P và trùng với giá trị của từng phiếm hàm g ấy trên miền xác định của g Vậy theo tiên đề Zorn, C phải có một phần tử tối đại F Ta hãy chứng minh rằng miền xác định của F là toàn không gian X Khi ấy F sẽ thoả

mãn yêu cầu của định lý

Giả sử ngược lại, có một phần tử x0  X không thuộc miền xác định M của

2.2.2.2 Hệ quả Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một

không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F, xác định trên toàn bộ X, mà có

F = f

Chứng minh Với mọi x  M, ta có f(x f.x Vì (x) = f.x là một sơ

chuẩn, thoả mãn yêu cầu của định lý Hahn - Banach, cho nên f có thể khuếch thành F sao cho

Giả sử X là không gian lồi địa phương, X *

là không gian liên hợp của X, tức

là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

2.3.1 Định nghĩa Tập hợp M  X thoả mãn bất cứ đường thẳng nào đi qua hai điểm của M cũng nằm trong M được gọi là một đa tạp tuyến tính trong M Chú ý: Khái niệm đa tạp tuyến tính chính là khái niệm tập affine trong

không gian hữu hạn chiều

Nhận xét: H(x *

, ) là một đa tạp tuyến tính đóng có đối chiều bằng 1, khái niệm siêu phẳng ở đây trùng với khái niệm siêu phẳng trong không gian hữu hạn chiều ở chương 1

2.3.3 Định nghĩa Cho các tập hợp A, B  X Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x * 0 tách A và B nếu tồn tại số thực  sao cho

x * , y x * , x, (x  A, y  B) (*)

Nếu (*) có dạng

x * , y <  < x * , x, (x  A, y  B) thì ta nói x * tách ngặt A và B

2.3.4 Định lý tách thứ nhất Giả sử A, B là hai tập lồi trong không gian lồi

địa phương X, A  B = , intA   Khi đó tồn tại x *  X * , x * 0, tách A và B Chứng minh Ta có intA là tập lồi (theo “Giải tích lồi” - Phan Huy Khải, Đỗ

Văn Lưu, tr.7 mệnh đề 1.5)

Vì (intA)  B =  nên (intA) - B lồi mở và 0  (intA) - B Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng H = x : x * , x = 0 (theo định lý 3.1 tr 68 “Giải tích lồi” - Phan Huy Khải, Đỗ Văn Lưu) chứa không gian con tuyến tính 0 và không cắt

(intA) - B

Ta có x * liên tục, bởi vì H đóng Hơn nữa, x *  0 bởi vì nếu x * = 0 thì H = X,

và do đó H không phải là siêu phẳng của X nữa

Ta lại có (intA) - B nằm trong một nửa không gian sinh bởi H, chẳng hạn

nửa không gian trên Khi đó