Một số bài toán dao động tử điều hoà

Các bài toán về quang học, cơ học đều có thể đợc quy về bài toán dao động tử điều hòa.. Những ví dụ nêu trên chứng tỏ lý thuyết về dao động tử điều hòa tuyến tính là một trong những bài

Trờng đại học vinh Khoa vật lý

-

-Một số bài toán dao động tử điều hoà

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Phần Mở đầu

Bài toán dao động tử điều hòa có nhiều ứng dụng trong vật lý

Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng là một ví dụ

về dao động tử điều hòa lợng tử Các dao động nhỏ của các nguyên tử trong phân

tử là những ví dụ về loại dao động tử đó Cả chuyển động nhiệt của tinh thể cũng

có thể đợc biểu diễn dới dạng tập hợp các dao động tử tuyến tính Bài toán dao

động tử điều hòa cũng đợc gặp trong điện động lực học lợng tử độc lập Các bài toán về quang học, cơ học đều có thể đợc quy về bài toán dao động tử điều hòa

Những ví dụ nêu trên chứng tỏ lý thuyết về dao động tử điều hòa tuyến tính

là một trong những bài toán quan trọng của cơ học lợng tử

Ngay công trình đầu tiên về lợng tử trờng điện từ, Đirắc đã đề nghị đa ra các toán tử sinh và hủy để nghiên cứu nghiệm của dao động tử điều hòa Sau đó các nhà bác học cùng thời sau Suskin và Giogower đã chứng minh rằng các toán tử sinh và hủy không phải là các toán tử éc-mít và còn không có cả hàm riêng và trị riêng

Tổng quan lý thuyết về dao động tử điều hòa và giải một số dạng bài tập

điển hình của dao động tử điều hòa là mục đích của khóa luận tốt nghiệp Với mục

đích trên khoá luận tốt nghiệp ngoài phần mở đầu và kết luận còn đợc chia làm 3 chơng:

Chơng I: Giới thiệu một số kiến thức cơ sở nh ký hiệu Đirắc về mặt định

nghĩa Tìm hiểu cụ thể các khái niệm ket và bra, các tính chất của chúng và xem xét tích trong và tích ngoài của ket và bra Điểm lại một số kiến thức cơ bản về toán tử Tác dụng của toán tử lên các ket và bra

Chơng II: Trong chơng này các kiến thức cơ bản của dao động tử điều hòa

đợc trình bày một cách có hệ thống từ dao động tử điều hòa theo cơ học cổ điển

đến cơ học lợng tử Nghiệm của dao động tử điều hòa giải bằng phơng pháp đại số

sử dụng các toán tử sinh, hủy, toán tử số hạt

Giới thiệu dao động tử điều hòa 1 chiều và 2 chiều Giải bài toán dao động

tử điều hòa 2 chiều

Tìm hiểu về đa thức Hermite và các tính chất của đa thức

Chơng III: Giới thiệu và giải một số bài tập điển hình về dao động tử điều

hòa bằng việc vận dụng các phơng pháp toán tử

là chỉ số biểu diễn Ta xét tại một thời điểm xác định, nên hàm sóng trong biểu diễn tọa độ có dạng ψa(x)

Hàm này đợc Đirắc ký hiệu bằng ϕ, gọi là ket vectơ, hay bằng a Chẳng hạn hàm sóng ϕnlmj, mô tả trạng thái với các số lợng tử đã cho nlmj đợc ký hiệu bằng ket vectơ nlmj Hàm sóng *

nlmj

ϕ liên hợp phức với hàm ψnlmj đợc ký hiệu bằng bra vectơ ϕ hay một cách tơng ứng bằng nlmj Ket vectơ đợc liên

hệ với bra vectơ bằng hệ thức đơn giản

Xem xét không gian vectơ phức có số chiều phụ thuộc bản chất hệ vật lý mà

ta xét Khi số chiều vô hạn thì không gian vectơ phức đó đợc gọi là không gian Hilbert

Trạng thái của hệ đợc biểu diễn bởi vectơ trạng thái trong không gian vectơ phức theo ký hiệu Đirắc đợc gọi là ket α

Giả thiết rằng trạng thái ket này chứa đựng tất cả các thông tin về hệ vật lý, tất cả các thông tin mà chúng ta có thể biết về trạng thái đó

1.2.2 Tính chất

- Ket có tính cộng đợc

γ β

Trong vật lý thì α và αC biểu diễn cùng một trạng thái vật lý (chỉ có hớng là quan trọng trong không gian vectơ)

Một đại lợng quan sát đợc thì đợc biểu diễn bằng một toán tử Aˆ trong không gian vectơ mà ta xét

ứng với mỗi ket α tồn tại 1 bra ký hiệu α

Trong không gian bra, không gian bra đợc khai triển bởi các bra riêng { }a'tơng ứng với các ket riêng { }a'

Chúng ta có thể xem không gian bra nh ảnh gơng của không gian ket

bra tơng ứng của ket Cα là C* α

a Tích trong

Tích vô hớng của bra vectơ β và ket vectơ α đợc ký hiệu bằng:

( )( ) β α α

Tính chất này đợc gọi là mêtric xác định riêng

ket α và bra β đợc gọi là trực giao nếu:

0

=

α β

α ~ đợc gọi là ket đã chuẩn hóa nếu:

α α α

Các toán tử có tính chất Xˆ +Yˆ=Yˆ+Xˆ Có tính chất giao hoán

(Y Z) (X Y) Z

Xˆ + ˆ+ˆ = ˆ +ˆ +ˆ Có tính chất kết hợpToán tử Xˆ đợc gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

X α ← →DC α

*

ˆ

X đợc gọi là liên hợp éc-mít hay gọi là liên hợp của Xˆ

Toán tử X đợc gọi là tự liên hợp (toán tử éc-mít) nếu

α β α

β ,Xˆ = Xˆ,

Phép nhân:

X Y Y

Xˆ ˆ ≠ˆˆ : không có tính chất giao hoán

( )XˆYˆ Zˆ =XˆYˆZˆ: có tính chất kết hợp

( )XˆYˆ +=Yˆ+Xˆ+

chơng ii:

dao động tử điều hòa

i dao động tử điều hòa 1 chiều

2.1.1 Theo cơ học cổ điển

- Cấu hình:

- Phơng trình chuyển động

kx dt

x d

ω0: gọi là tần số dao động và phơng trình có thể viết dới dạng:

0 2

2

= + x dt

x d

2

1

x x

2 2

1

x

k x m

V =

Phơng trình vi phân tổng quát cho thế dao động tử điều hòa có thể đợc giải bằng cách sử dụng kỹ thuật thông thờng, đợc áp dụng trong việc giải các bài tập cơ học lợng tử

Nhiều bài toán vật lý có thể đợc quy về dao động tử điều hòa với những

ϕ k x E x

2



(2)Giải phơng trình (2) bằng phơng pháp đại số

Định nghĩa: =  + 0 

ˆ 2



0 2 0

ˆ 2

m a

2

1 2

2

a a

x m

n n

1 ˆ ˆ

0

0 2

1 ˆ

0 ˆ

2 1

1 0

ϕ ϕ

a a

(20)

Sẽ thấy (19) có một nghiệm không tầm thờng đối với ϕ0.

Ngoài ra

0 0

0 1 ˆ ˆ

ˆa+ ϕ = a+ ϕ = ϕ

Trị riêng của Nˆ tơng ứng với ϕ1 là một số nguyên 1

Tơng tự dựa vào (14) → chỉ số n đánh dấu hàm riêng ϕn là số nguyên

(23)Trị riêng năng lợng của dao động tử điều hòa là

β ω

β

2

1 ˆ

2

ˆ 2

β ω

β

2

1 ˆ

2

ˆ 2

Ph¬ng tr×nh Schr  o  dingerkh«ng phô thuéc t trë thµnh

0 2

2 1 ˆ

ˆ

0 0

2 ζ

§iÒu kiÖn chuÈn hãa cña ϕ0( )ζ

2 0 2

2 0 2 2

1

2

A d

e A

2

e B e

B x

β ζ

p

p

Chuẩn hóa theo x

β

2 0 2

1 2 0

2

ˆ

! 1

ˆ 2

1 ˆ

2 1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+

+ +

1

2

ζ ζ ζ

1

2 2

n

Toán tử vi phân bậc n ( )n

aˆ+ tác động lên hàm mũ 2

2 ζ

−

e cho ta hàm mũ nhân với đa thức bậc n theo ζ

ζ e−n

Hn ( )ζ là đa thức Hermite

Hn ( )ζ là đa thức bậc n đối xứng với n chẵn, phản đối xứng với n lẻ

Đa thức Hermite là nghiệm của phơng trình vi phân

n e

ζ e−n

! 2 0

2 1

n E

n A

n

n n

ˆ

+ +

n n

n a

n a

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Thay cho ϕn ta viết n

n n n N

n n n a

n n n a

=

+ +

1 ˆ

{ }ϕn đợc chuẩn hóa và là các trạng thái riêng của một toán tử éc-mít →

chúng tạo thành một chuỗi trực giao

H

H

l n l

ii dao động tử điều hòa 2 chiều

Hamintơn của hạt khối lợng m trong không gian 2 chiều:

2 2

2 2 2

m m y x

Hˆ và Hˆ( )y tơng ứng với dao động tử điều hòa 1 chiều theo phơng x và

y trạng thái riêng và năng lợng riêng của Hˆ( )x và Hˆ( )y là

2 2

2 0 2

2 2 2 0 2

2 0 1

0

2 2

2

2

1 2

1

2 1

2

2 2 2 2

1 1 1

y y m

x x m

n E

n E

e A e

A

n n

n n n n

n n

β ω η

β

ω ζ

ω ω

η η

ϕ ζ

2 1

2 2

2 1 2

η ζ

η ζ

ϕ

η ϕ ζ ϕ η ζ ϕ

n n

1

2 1 0 2

1 0

2

2 1 2

+ +

n E

E E E

n

n n n

η e− +

0 0

,

0

2 2

0

,

0

2 2 2 2

2

1 1

,

ω

π π

η ζ

ϕ

β η

−

E

e e

y x

E 0,0 là trạng thái riêng duy nhất không suy biến

Tất cả các trạng thái khác đều suy biến

Các hàm riêng tơng ứng trị riêng năng lợng '

2 ' 1 2

1 ,n n n n

E = ϕ ϕ sao cho

2 1

E , suy biến bội 5

⇒ Các trạng thái riêng tơng ứng với trị riêng năng lợng E = 5  ω 0 là:

( ) ( )2 22 2

31 1 3 13

3 1

40 0 4 04

4 0

ϕ η ϕ ζ ϕ

ϕ η ϕ ζ ϕ ϕ

η ϕ ζ ϕ

ϕ η ϕ ζ ϕ ϕ

η ϕ ζ ϕ

k là hằng số k > 0 có thể chứng minh rằng tần số góc là ω = m k với m là khối lợng của dao động tử

a Giải phơng trình Schr   o dingercho thế này và tìm các trạng thái dừng cho hệ

b Tìm trị riêng năng lợng của dao động tử, giá trị cực tiểu bằng bao nhiêu Giải thích?

Giải:

a Ta có Hamintơn của hệ

2 2

2

dx

d m

⇒ phơng trình trị riêng

( ) m x ( )x E ( )x dx

x d

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

ζ

ψ ω ζ

ζ

ψ ζ

ζ

ψ ψ

d

d m dx

d d

d dx

d d

d dx

d dx

2 2

2

=

− + ψ ζ ωζ ψ ζ

ψ

d

d

(1.7)Với ζ lớn (x lớn), phần chiếm u thế của phơng trình (7) là

2 2

2

=

− ζ ψ ζ

ψ

d

d

(1.8)Nghiệm của phơng trình này dẫn tới tính chất tiệm cận của hàm sóng với ζ

lớn

( ) 2

2

ζ ζ

Ta có thể giả thiết ( ) ( ) 2

2

ζ ζ ζ

ζ ζ

d

d d

d

= ''( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2

2 2

2 ' 2

2

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

− +

=

− +

− +

d d

Tính chất của hàm sóng xung quanh ζ = 0 (x = 0) đợc chỉ ra bởi các đa

thức này Để giải phơng trình này ta đặt:

( ) n

n n

2 2

2

1 2

1

n

n n

n

n

a d

d

ζ ζ

n

n n

na d

d

ζ ζ

0

n

n n

C ζ đồng nhất bằng 0, thì tất cả các hệ số

C n phải = 0 cho các hệ số của ζn = 0 ta thu đợc công thức truy chứng

a n+2 (n+2)(n+1) + (ε-2n-1)a n = 0 (1.18)

HH

Hoặc n ( )( )a n

n n

n a

1 2

1 2

− +

Các giá trị a0 và a1 thu đợc từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

b Nh ở câu a ta hy vọng hàm sóng tiệm cận tới 2

2 ζ

Nh vậy ta thu đợc điều kiện lợng tử cho các giá trị riêng của năng lợng Khi

n = 0 hệ đạt tới giá trị năng lợng cực tiểu  ω

2

1

0 =

E nhiệt độ T = 0 E0 đợc gọi là mức năng lợng 0,

Giá trị này thu đợc từ hệ thức bất định

2 ∆ =

và là giá trị năng lợng cực tiểu của hệ

Bài tập 2:

Một hạt có cơ năng E=2ωchuyển động trong thế của một dao động tử

điều hòa Tính xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển So sánh kết quả này với xác suất tìm thấy hạt ở các mức năng lợng cao hơn

Giải:

Với dao động tử cổ điển ta có

x = A nω cosωt p = -mA nω sinωt (2.1)

Do đó năng lợng là

2 2

1 2

2 2 2

2

2

n n

A m x m m

2 0

0 0

1 2

πλ ψ

0 0

2 1 2

A

A d e d

e

Ta có = ⇒ = − ∫1 −

0 0

* Với các trạng thái kích thích ta có xác suất để tìm thấy hạt ở các mức năng lợng cao hơn là

x n

n n

x d e

x n

dx e

x n

p

2 1

2 2

2 2

! 2

1 1

! 2

1 2

1

λ λ

π λ

2

! 2

2 1

Ta cũng tìm đợc

(16 16 4) 1 1 (4 4 1) 0 , 0951 4

1 1

5 0

2 4 5

0

2 4

2

2 2

= +

−

−

= +

−

−

π η

η η

p

Nh vậy ta thấy p0 = 0,1573; p 1 = 0,1116; p 2 = 0,0951

Thấy pn giảm khi mốc năng lợng cao hơn

Lý do: Các hạt nơi mức năng lợng cao hơn là cổ điển hơn so với các hạt với mức năng lợng thấp hơn → xác suất tìm thất hạt ở trong vùng cấm cổ điển thì bé hơn

2

m m

p

Giá trị trung bình của năng lợng là :

2 2 2

2 2

ˆ

x

m m

p E

2 2 2

n

2 ψ ψ

ζ ζ

ζ

n n

n n

ζ

d i

d e n

i

n n

2

m m

2

2

m x m

( ) 4 ( ) 0

2 3

2

=

∆ +

d

E d

x x

2 2

0

2 min

ω ω ω



= +

=

∆ +

∆

x m

Nh dự đoán

ở đây ta thu đợc nghiệm chính xác bằng cách dùng cận dới của hệ thức bất

định ∆x ∆p=2 Điều này thu đợc từ kết quả rằng trong trạng thái cơ bản ta có dạng Gaussian của hàm riêng

0 4 4

1

2 πσ σ

p e e x

2 2

2

1 2

p m

2 2

2 2

2

1 2 2

1

m

p H x

m m

p

y x

Nh vậy hàm riêng có thể tách làm tích của 2 hàm

ψx(x): hàm riêng của H x và ψy(y): hàm riêng của H y

2

1

y y

x

Hψ = Eψ trong đó ψ(x,y) = ψx(x)ψy(y) do đó

Hψ , = x+ yψx ψy = xψx ψy + yψx ψy

=E xψxψy +E yψxψy =(E x +E y)ψxψy (4.3)Bởi vậy E=E x+E y=(n x+n y+ 1) ω =(n+ 1) ω (4.4.)Bậc suy biến của mỗi trạng thái E(nx , n y ) đợc tính (n+1) là một số nguyên

m m

=

2 2 2

2 2 2

0 2 2 2

22

22

22

z

m m

p H

y

m m

p H

x eE x

m m

p H

z z

y y

x x

ωω

2 2

2 2

2 3

3

2 2

2

! 2 1

! 2 1

λ λ

πλ ψ

πλ ψ

z n n

y n

n

e z n

z

e y n

H

1 2 2 1

2

x m x

ζ

m

eE x

2 0 1

2 1

ω ω

ζ

ψ

m

eE E

2

1 1

2

πλ ζ

2 1

2 0

m

eE E

ω



(5.9)VËy c¸c trÞ riªng n¨ng lîng lµ

( ) ( )2

2 0 1

1

2 2

1

eE n

2 0 3

2

3

3 2 1 3

eE n

n n E E E

Bµi tËp 6:

H

H

Xét một hạt khối lợng m chuyển động trong trờng thế điều hoà một chiều tại t = 0, hàm số đã chuẩn hoá là:

2

2 4 1 2

Ký hiệu Ψ~(p, t)là hàm sóng của hạt trong không gian xung lợng tại thời

điểm t Xác suất p để xung lợng dơng là

=

Ψ

0

2 1

~ ,

~

n

t n i n

n p e C

n x e C

(Φ~n p cũng là biến đổi Fourier của Φn(x))

Tính chất này đợc bảo toàn với mọi t, bởi vậy

Ψ

−

=

− Ψ

=

0

2 0

2 0

2

,

~ ,

~ ,

~ ,

(6.5)

Do Ψ~(p, t)đợc chuẩn hoá, nghĩa là

( , ) ~( , ) ~( , ) 1

0

2 2

+ Ψ

= Ψ

p

Bµi tËp 7:

a §iÒu kiÖn ban ®Çu nh bµi tËp 6 tÝnh Ψ(x,t)

b BiÕt tr¹ng th¸i cña h¹t t¹i t = 0 lµ

0

n

n

n x C

Vµ Ψ( )=∑ Φ ( ) − + 

n

t n i n

n x e C

= Ψ Φ

2

1

! 2

π

x n

2 2

2 1 1 2 1

2

1 2

1

1

!.2

λσ

πλ

π

H

H

σ λ

2 2 2 2 2 1

2 2 1 2

24

λσλ

η = + và 22 2 22

σ λ

σ

λ +

=

λ σ η

λ σ

σ λσ

π

e m

m

2 2 2

2

2 2

2

2 2

! 2 4

λ π

2 2

2 2

2

! 2 4

= 2 2 2 22 22

2 4

2 2

λ σ

λ σ σ λ

2

m

t m i m

C t

=

3 1 2 0

2

1 ,

t i t

i

e x e

x t

x

ω ω

(7.13)Theo định nghĩa x = Ψ (x,t)xˆ Ψ (x,t)

x x

t i t

i

0 1

1 0

1 1

0 0

2 1

Φ Φ

+ Φ Φ

+

+ Φ Φ

+ Φ Φ

=

ˆ ˆ

Ta hãy tính riêng từng phần

( ) Φ( ) =−∫∞∞Φ( ) Φ( ) =−∫∞ Φ( )

0 0

0 0

Vì ( ) 2

0 x

Φ đối xứng và x phản đối xứng nên tích phân này = 0

Trong một khoảng đối xứng Φ0( )x xˆ Φ0( )x = 0 và Φ1( )x xˆ Φ1( )x = 0

Bây giờ ta chỉ phải tính

Φ

= Φ

x

2 2

1 0

2

1 2

1 1

* 0 1

0

2

1

λ λ

λ π λ π

0

2

1 1

2

2

λ λ

= Φ

x x

x

(7.17)

Hoặc ( ) ( )

 2

1 0

ω

m x

0 0

0 1

ω

m x

x x x

Bài tập 8:

Xét dao động tử điều hoà một chiều với Hamintơn

2 2 2

=

2 2

m

i x m P i Q

HH

Tính aˆn và aˆ +n trong đó n là hàm riêng của dao động tử điều hoà với trạng thái n

Ta có thể viết:

n a

a n

Vậy aˆ +aˆn =n n Tơng tự

n a

a n

a H n H

a

n

a

ω ω



+ +

+ +

+ + + 2 = Ψ Ψ = ˆ ˆ

n n n a

a m

ω

2 2

m i

2

2 2

a a n m k

k k k a

1 1

m k

n k k

n k m k

x

ω ω

c kh trị gi nhận k

n k m n

n k m n

12

p

2 2

1 2

− + −

+

=

−

− + +

=

k n k

k m

i

k n k k

n k m

i k

p

n

, ,

ˆ

δ δ

n k n

m

i

n k n

1

12

x2 , , 2 ,

Có thể nói gì về hệ thức bất định ∆x ∆p?

Giải:

Dùng toán tử aˆ và aˆ+ có thể tính đợc

(2 1)2

(a a a a a a a )n m

n ˆ + ˆ + + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ +

ω 2

n n

n m

n n n n

n n n n n n n n n

n n n m

n n a n

n n a n n

n a n n

n a n m

n a a n n a a n n a a n n a n m

n n

n n

+ +

=

+ + + +

+ +

−

=

+ +

+ +

+ +

+ + +

−

−

=

+ + +

+

− +

+ + +

−

=

+ +

+

1 2

2 1 1

1 2

2 2

1

1 1 2

1 2

1 1

1 1

1 1

2

2

2 2

ω

δ δ

δ δ

, ,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

2 1 1

1 2

2 2

1 1

2 1

2

1 1 1

1 1

2 2

+

−

+ +

+ + + +

+ + +

− +

−

− +

n

n n m

n n n n n n n n n n

n n n n m

n n a n

n a n n

a n n

n a n m

n a a a a a a n m

, ,

, ,

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

δ δ

δ δ

ω ω ω ω

1 2 2

2 2

2 2

x x

n m p

p p

0

4

r r

V r

r r

r r

V dr

r dV

m

σ σ

6 14

12 0

2

2

2 36 42

156 4

σ

σ

r r

V dr

r V d

0

2

k U

Trong đó m là khối lợng iôn

1 0

2 3

m

V m

k V

Kết luận

Khóa luận đã đạt đợc một số kết quả chính:

• Giới thiệu ký hiệu Đirắc

Khảo sát tính chất và xem xét tác dụng của toán tử lên chúng

• Điểm lại một số tính chất cơ bản của toán tử

• Tổng quan một cách có hệ thống bài toán dao động tử điều hòa trong đó

có đề cập về phơng pháp giải bài toán với các toán tử sinh, hủy và số hạt để tìm nghiệm của bài toán dao động tử điều hòa 1 chiều và 2 chiều

• Giải cụ thể một số bài tập điển hình về dao động tử điều hòa bằng cách sử dụng phơng pháp toán tử và sử dụng ký hiệu Đirắc

Tài liệu tham khảo

1 Cơ học lợng tử - Đặng Quang Khang, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà

Nội, 1996

2 Cơ học lợng tử - Phạm Quý T - Đỗ Đình Thanh, NXB Đại học Quốc

gia Hà Nội ,1999

3 Cơ học lợng tử - Nguyễn Hoàng Phơng, NXB Giáo dục, 1977.

4 Bài tập vật lý lý thuyết - Tập 2, Phạm Quý T - Đỗ Đình Thanh, NXB

Đại học Quốc gia, 1999

5 Khoá luận tốt nghiệp "Bài toán dao động tử điều hoà trong hình thức

luận toán tử sinh và toán tử huỷ" - Nguyễn Đức Thắng - 41E Lý.