Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về thể tích khối đa diện

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về thể tích khối đa diện ”.. 1.2

MỤC LỤC

Nội dung Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Hệ thống kiến thức trọng tâm cơ bản 3

2.3.2 Phân loại một số dạng bài tập tính thể tích khối đa diện 9

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

Danh mục các đề tài SKKN được xếp loại cấp tỉnh 18

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi nhận thấy học sinh lớp 11,12 rất e ngại học phần hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế Do vậy mà có rất nhiều học sinh học yếu phần này Trên thực tế, hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng vì nó không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian mà còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh….Thêm vào đó

hình học không gian còn là một phần rất quan trọng trong nội dung thi THPTQG của Bộ giáo dục, nếu học sinh không nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng, khó khăn khi làm bài về phần này trong đề thi

Qua quá trình công tác, giảng dạy nhiều năm tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên Do đây là phần nội dung kiến thức khó nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh đó cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các

phương pháp thành một chuyên đề: “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về thể tích khối đa diện ” .

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 12 thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp tính của một số dạng bài toán liên quan đến thể tích khối đa diện Học sinh thông hiểu, vận dụng và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi giải toán

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 12 qua các năm giảng dạy

từ trước đến nay và hiện nay của tôi tại trường THPT yên định 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài, nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình SGK Hình học 12, sách bài tập, sách tham khảo,… Nghiên cứu khả năng tiếp thu của học sinh để có cách trình bày thật dễ hiểu, phù hợp với từng đối tượng học sinh

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Khi giải một bài toán về tính thể tích khối đa diện ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như:

Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? Hình vẽ thể hiện hết các yêu cầu của đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như

thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn Ngoài ra chúng ta còn nắm vững

hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: Các bài toán

về quan hệ song song, quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc, cách tính thể tích

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Tôi yêu cầu học sinh thực hiện bài tập:

Bài toán: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA2 , a AB a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC

a, Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)

b, Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a

*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài

Kết quả của lớp 12A2 ( sĩ số 41)

Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời lời giải

Như vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả đạt được là rất thấp; sau khi nêu lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Hệ thống kiến thức trọng tâm cơ bản

A Kiến thức hình học phẳng

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho C vuông ở A ta có:

1.1 Định lý Pitago: 2 2 2

BC AB AC 1.2 BA2 BH.BC; CA2 CH.CB

1.3 AB.AC BC.AH

1.4 2 2 2

AH AB AC

1.5 BC 2AM

1.6

sin B , cos B , tan B , cot B

1.7 b a.sin B a.cosC,  c a.sin C a.sin B, 

H M A

a

a

sin B cos C

; bc.tan Bc.cot C

2 Hệ thức lượng trong tam giỏc thường

2.1 Định lớ hàm số cụsin: 2 2 2

a b c  2bc.cos A 2.2 Định lớ hàm số sin:

2R sin A sin B sin C 

3 Cỏc cụng thức tớnh diện tớch

3.1 Cụng thức tớnh diện tớch tam giỏc

a

, p là nửa chu vi 3.2 Diện tớch hỡnh vuụng: 2

Sa (a chiều dài một cạnh 3.3 Diện tớch hỡnh chữ nhật: S  a.b (a, b là chiều dài, chiều rộng)

3.4 Diện tớch hỡnh thoi:

1

S a.b ( trong đó a,b là độ dài 2 đ ờng chéo) 2

 3.5 Diện tớch hỡnh bỡnh hành: Sa.h (h là chiều cao ứng với cạnh a)

3.6 Diện tớch hỡnh trũn: S .R2

Chỳ ý:

Cần nắm chắc tớnh chất của tam giỏc vuụng, cõn, đều, 4 điểm đặc biệt trong tam giỏc ( trọng tõm, trực tõm, tõm đường trũn nội, ngoại tiếp tam giỏc) Trong tam giỏc đều thỡ 4 điểm đú trựng nhau

Tớnh chất của hỡnh vuụng, hỡnh bỡnh hành, hỡnh thoi, hỡnh chữ nhật, hỡnh thang…

B Quan hệ song song

1 Đường thẳng song song với mặt phẳng

1.1 Định nghĩa: a // P   a P 

1.2 Cỏch chứng minh đt song song mp:

 

 

 

d // a d // P

 







 

 1.3 Tớnh chất: (Ứng dụng vào bài toỏn xỏc định giao tuyến hoặc chứng minh hai đường thẳng song song trong khụng gian)

Định lí 1:

 

 

   

a // P









 

 

   

P // a

Q // a d // a













2 Hai mặt phẳng song song

2.1 Định nghĩa:    P // Q     P  Q 

2.2 Cách chứng minh hai mp song song:

 

   

a, b P

a // Q , b // Q







 2.3 Tính chất

T/c 1:

   

P // Q

a // Q









   

   

   

P // Q











C Quan hệ vuông góc

1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1.1 Định nghĩa: a P  a c, c  P

1.2 Cách chứng minh đt vuông góc với mp:

 

 

 

d a, d b







1.3 Định lí 3 đường vuông góc:

Cho a   P , b P , '

a là hình chiếu của a trên (P) Khi đó: b a ba'

2 Hai mặt phẳng vuông góc

2.1 Định nghĩa:          0

P  Q  P , Q 90

2.2 Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

 

 







 2.3 Tính chất

T/c 1:

   

   

 

 

a P , a d









   

 

 

 









T/c 3:

   

   

   

 







3 Khoảng cách

3.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

 d O; P    OH, OH P t¹i H

 Nếu    P // Q  d P ; Q      d A; Q    (với A P )

 Nếu a // P   d a; P    d A; P    (với A a )

3.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

 d O;   OH;OH tại H.a

 Nếu 1//2 d 1; 2 d O; 2 (với O  1)

3.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Trường hợp 1: Nếu ab

- Dựng mặt phẳng   chứa a vuông góc với b

tại B Dựng BA a tại A

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b



B A a b

Trường hợp 2: Nếu a  b; a và b chéo nhau

Cách 1:

- Dựng   chứa a và // b Chọn M trên b kẻ MM  '  

tại M’ Từ M’ dựng b // b' cắt a tại A Từ A kẻ AB // M M'

cắt b tại B Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

M

M'

 a B

A b' b

Cách 2:

- Dựng    tại O, a   cắt b tại I Dựng hình chiếu

vuông góc b' của b trên   Trong   kẻ OHb'

Từ H, kẻ c // a, c b  B Từ B kẻ d // OH, d a  A

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b n

b

b'

I

B

O

H A

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa mặt phẳng chứa một trong hai

đường thẳng đó và song song với đường thẳng còn lại

A

A'

a

b



Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần

lượt chứa hai đường thẳng đó



A

A'

a

b



Cách 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

là khoảng cách bé nhất so với các khoảng cách giữa hai

điểm bất kì lần lượt thuộc hai đường thẳng ấy (độ dài

đoạn vuông góc chung)

M

N B

A a

b

4 Góc

1 Góc giữa hai đt a và b

là góc giữa hai đường thẳng '

a và '

b cùng đi qua một điểm

b'

2 Góc giữa đt a không vuông góc với mp (P)

là góc giữa a và hình chiếu '

a của nó trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói

rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 90 0

a

3 Góc giữa hai mặt phẳng

là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc

với hai mặt phẳng đó

Hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai

mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một

điểm

Q

b a P

b a Q P

Trên đây là cơ sở lý thuyết cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản để tập trung vào bài toán chính là thể tích

D Thể tích khối chóp, lăng trụ

1 Công thức tính

+) K.chãp

1

3



(B là dt đáy khối chóp; h là chiều cao) +) VK.L trô B.h (B là diện tích đáy khối lăng trụ; h là chiều cao)

2 Các dạng toán thường gặp với khối chóp, khối lăng trụ.

2.1 Khối chóp:

a Khối chóp đều

b Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy (hoặc hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy)

c Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy

2.2 Khối lăng trụ:

a Khối lăng trụ đều

b Khối lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

c Khối lăng trụ có chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh trùng vào tâm đáy hoặc trùng vào trung điểm của cạnh đáy

Chú ý:

Cần phân biệt khối chóp đều với khồi chóp có đáy là đa giác đều; khối lăng trụ đều và khối lăng trụ có đáy là đa giác đều

Nắm chắc các tính chất của khối chóp đều và khối lăng trụ đều

3 Kiến thức liên quan

3.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông, t/c các hình vuông, hình thoi,…

3.2 Tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SB lần lượt lấy các

điểm M, N, P Khi đó

S.MNP S.ABC

3.3 Quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách

4 Ứng dụng của thể tích

Từ việc biết thể tích ta có thể giải quyết nhiều bài toán khác trong không gian đặc biệt là tính khoảng cách

E Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện.

Phương pháp 1: Tính thể tích trực tiếp sử dụng công thức

Bước 1: Xác định và tính chiều cao

Bước 2: Xác định và tính diện tích đáy

Phương pháp 2: Tính thể tích bằng phương pháp phân chia thành tổng, hiệu các

khối cơ bản (đễ tính) hoặc so sánh với thể tích của một khối đã có

Cụ thể: Ta thường làm như sau:

Phân chia khối cần tính thểt tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản

( khối chóp hoặc khối lăng trụ ) mà các khối này dễ tính hơn

Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một khối đa diện khác đã biết thể tích)

Chú ý: đối với dạng này thường sử dụng khi:

- Khó xác định hoặc tính chiều cao

- Tính được diện tích đáy nhưng không dễ dàng

- Đối với loại này thường dùng đến tỉ số thể tích

Với mục đích để giúp các em học sinh có khả năng phản xạ tốt trong vệc lựa chọn phương pháp giải bài toán tính thể tích khối đa diện, sau đay tôi đưa ra các bài toán lồng ghép cả hai phương pháp trên để các em so sánh và có sự lựa chọn phù hợp khi giải toán

2.3.2 Phân loại một số dạng bài tập tính thể tích khối đa diện.

Dạng 1 Khối chóp đều

Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối B – 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC

với SA2 , a AB a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC

a, Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)

b, Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a

Nhận xét: khi giải bài toán hình không gian thì việc vẽ hình trực quan là rất quan

trọng, để vẽ hình trực quan thì học sinh phải xác định được chân đường cao Đối với hình chóp đều thì chân đường cao chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Ở bài toán này chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

a, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB, BC và O CM AN  O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (vì

ABC là tam giác đều)  SOABC

(vì SABC là hình chóp đều),

AB ABC  ABSO (1)

Ta có ABCM (2) Từ (1) và (2)

  , SCSMC

Mà AHSC gt   SC ABH

2a

M

C O

H

B A

S

b, Ta có

;

3

SO.MC a 11

MH

;

4

;

4

Cách 1 Tính trực tiếp bằng công thức

3

Cách 2 Sử dụng tỉ số thể tích

SABH

S.ABC

V SC 8

3

Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB a , cạnh bên

SAa 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, CD

a, Chứng minh MNSP

b, Tìm thể tích tứ diện AMNP

Giải:

a, Vì S.ABCD là hình chóp đều nên

CD SOP mà MN//CD nên

MN SOP  MNSP

b, Ta có:

MSMA d A, MNP d S, MNP

A.MNP S.MNP

Theo bài toán cơ bản, ta có:

S.MNP

S.ABP

V SA SB 4

S.MNP ABP

(O và H tương ứng là tâm của đáy ABCD

và trung điểm của AB)

S

M N

A

D

H

P O

2 3 2

S.MNP

(2)

Từ (1) và (2) 

3 A.MNP

a 6 V

48



(đvtt)

Dạng 2 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy hoặc có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B,  0

BAC30 Hai mặt bên SAB , SAC cùng vuông góc với (ABC) SA 2a 3    ,

SC; ABC 60 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC

Chứng minh rằng:

a, AHSBC b, Tính VS.ABC

c, Tính VABCHK d, Tính VH.ABC

e, Tính d B; SAC   

Nhận xét: Đối với bài toán này chân đường cao là điểm A bởi hai mặt phẳng

(SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC) và chúng cắt nhau theo giao tuyến SA do vậy SA là chiều cao của khối chóp SABC

Giải:

a, Ta có









SC, ABC SCA 60

mà BCAB(ABC vuông tại B)

mµ SB AH

A

B

C

S

H K

M

b, S.ABC ABC

1



Trong tam giác SAC:

AC SA.cot 60 2a 3 2a

3

Trong tam giác ABC:

2

BC AC.sin 30 2a a

2

2 ABC

2

3 S.ABC

c, Ta có VABCKH VSABC  VSAHK

Tính VS.AHK

Cách 1 Sử dụng tỉ số thể tích

Ta có

;

Vậy:

4 SAHK

2 2 SABC

V SB SC SB SC 5

SAHK ABCKH

Cách 2 Tính trực tiếp bằng công thức

SAKH AHK

1



Trong  SAC: SK.SC SA2  SK3a AKa 3

AH SA AB 12a 3a 12a

2a 3 AH

5

Ta có AHSBC AHK vuông tại H

2 2 a 3

5

AHK

3a S

5



3 SAHK

3a V

5

  VABCHK 2a3

5

Với 2 cách ở trên ta đã tính thể tích VABCHK thông qua thể tích VSAHK

Nếu tính trực tiếp thì VABCHK VCABH VCKAH AHB AHK

Việc tính diện tích tam giác AHK giống như cách 2

Trên đây là các cách giải quyết bài toán này Các em có thể tham khảo để lựa chọn cách giải phù hợp

d, Tính VHABC

Cách 1: BCSAB BC là đường cao của hình chóp CAHB

Ta có: HABC AHB

1

3

3 2



2 2

a 3a

3

1 1 2a 3 a 3 a

Cách 2: HABC HBC

1

3

3

1 1 2a 3 a 3 a

Cách 3:

H.ABC

S.ABC

a 3

V BS a 15 5

3 H.ABC SABC

e, Tính d B; SAC   

Cách 1: ta có

SAC

d B; SAC

1

2



Cách 2: kẻ BMAC BMSA  BMSAC

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,

AD = a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt đáy bằng 450

Trên cạnh SA lấy điểm I sao cho SI =

1

3 SA

a, Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

b, Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC)

c, Gọi J là giao điểm của (ICD) và SB Tính tỉ số thể tích

VS.IJCD VS.ABCD

Giải:

a, Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Ta có SD;(ABCD) SDA 45  0 SA = AD tan450 = a

Mà SABCD =2a.a = 2a2

3 S.ABCD

2

3



(đvtt)

H

D A

B

C

S

I J

b, Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC)

Cách 1: Trong mặt phẳng(SAB), kẻ IH SB (H SB) 

BC AB

BC SA











Do đó: IH (SBC)  IH d(I;(SBC))

IH SI