độ dài thương suy rộng luận văn thạc sĩ toán học

Với mỗi số nguyên dương É, các tập /am giác trong Rf được định nghĩa bởi Sharp và Zakeri đóng vai trò như các tập đóng nhân trong lý thuyết quen biết về vành và môđun các thương.. Lý thu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG THỊ NHUNG

ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYEN THI HONG LOAN

Nghệ An, 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG THỊ NHUNG

ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG

Chuyén nganh: DAI sO VA LY THUYET sO

MA sé: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYEN THI HONG LOAN

Nghệ An, 2011 MỤC LỤC

Trang

0070 0 2

CHUONG I: KIEN THUC CHUĂN BỊ S- 2-2 2225522 cc+s+s 4

1.1 Iđêan nguyên tố Idéan cực đại lđêan nguyên sơ - 4

1.2 Phố của vành c1 1021111111111 111 1111121111155 11252582 x x22 4 1.3 Giá của môÔđun ch nh siy 4 1.4 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun - 555555552 5

1.5 Độ dài môđun -. -< < <5 5

1.6 Chiều Krull của môđun - + 2 2222111111111 EE5555551211 1112 6

1.7 Hệ tham số của môđun - - cc 22222111111 2111111 111xcctx 7

1.13 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen — Macaulay suy rộng 13

CHUONG II: ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG 555552 14

2.1 Mô đun các thương suy rộng -< << 14

TAI LIEU THAM KHẢO 2.2 22222 11111111225 525511 111111 31

MỞ ĐÀU

Trong suốt luận văn, chúng tôi luôn giả thiết (, m) là vành Noether,

địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m va M⁄ là một R-môđun hữu hạn

sinh với chiều Krull là đ

Trong [II], R.Y.Sharp và Zakeri đã xây dựng một K-môđun gọi là môđun các thương suy rộng Với mỗi số nguyên dương É, các tập /am giác trong Rf được định nghĩa bởi Sharp và Zakeri đóng vai trò như các tập đóng nhân trong lý thuyết quen biết về vành và môđun các thương Vì thế lý thuyết môđun các thương suy rộng có thể xem như là mở rộng của lý thuyết địa

phương hóa thông thường Lý thuyết môđun các thương suy rộng có ứng

dụng rộng rãi trong Đại số giao hoan Chang hạn, Giả thuyết Đơn thức của M

Hochster có thê được phát biểu lại dưới dạng: với mỗi hệ tham số (x, ,x„)

của M⁄ độ dài của thương suy rộng 1/(x,, ,x,,1) khac khong

Với mỗi hệ tham số (%, x„) của Ä⁄ và mỗi bộ ( 71„) gồm d số

nguyên dương, chúng ta xem độ dài của thương suy rộng 1/(x;', ,x/“,l) như

là một hàm theo các biến nguyên đương m, ,n, RÑ Y Sharp và M A

Hamieh [9] đã hỏi rằng: liệu hàm độ dài

4 (n) = 1(1/07, x721))

có phải là một đa thức theo biến H,, „ với hệ số hữu tỷ khi H,, „ đủ lớn? Trong [9], R Y Sharp và M A Hamieh mới chỉ chứng minh được rằng 4,,„(n) là đa thức khi đ<2 hoặc M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Đến năm 2003, N T Cường, M Morales and L T Nhàn [6] đã chỉ ra phản ví dụ cho câu hỏi trên của R Y Sharp và M A Hamich Mục đích của

Luận văn là trình bày lại một cách tường minh phản ví dụ này

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo nội dung của luận văn được chia làm hai chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị Trong chương

này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán có sử

dụng trong luận văn Chương II: Độ dài thương suy rộng Chương này là nội

dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề sau:

- Khái niệm độ dài thương suy rộng

- Câu hỏi mở của R Y Sharp và M A Hamieh về độ dài thương suy

rộng

- Phản ví dụ cho câu hỏi mở trên

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10/2011 tại Trường Dai hoc Vinh

dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tác

giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người hướng dẫn nhiệt tình, chu

đáo, và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Cũng nhân

dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán và

Khoa Sau đại học đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận

văn Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao hoc 17- Đại số và

Lý thuyết số đã giúp đỡ động viên trong suốt quá trình học tập

Luận văn được hoàn thành bằng tất cả sự nỗ lực và cố gắng của bản

thân song vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc đề luận văn được hoàn

thiện hơn

Nghệ An, tháng 11 nam 2011

Tác giả

CHƯƠNG I

KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số

giao hoán nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn

Chúng tôi sẽ trình bày những vấn đề sau: iđêan nguyên tố, iđêan cực đại,

iđêan nguyên sơ, phổ của vành, giá của môđun, tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun, độ dài của môđun, chiều Krull của môđun, hệ tham số của môđun, số bội, dãy chính qui, vành và môđun các thương, vành iđêan hóa, môđun đối đồng điều địa phương

1.1 Iđêan nguyên tố Iđêan cực đại Iđêan nguyên sơ

(0) Iđêan 7 của # được gọi là iđêan nguyên tố nếu 7 ## và Vx,yeR maxy el thì x c/ hoặc y e1

(ii) Idéan J cua R duge goi la idéan cực dai néu/ #R va không ton tai idéan J

#RsaochoJ dIlvaJ #1

(ii) Iđêan 7 của R duge goi là iđêan nguyên sơ nếu 7 ## và Vx,ye# mà xy e1 và x ø! thì tỒn tại ø sao cho y" e7

1.2 Phố của vành Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành

R SpecR được gọi là phổ của vành ®

Với mỗi iđêan 7của ® ta kí hiệu ƒ(7)={Pe SpecR|P Dl}

1.3 Giá của môđun Tap con Supp M={Pe SpecR|M, # 0} cua SpecR duge

goi la gid cha médun M

Với mỗi xe M ta kí hiệu

Amng(x) = {a e Rịax = 0):

Ann,M ={ae R| aM =0} ={ae R| ax =0, vx eM}.

Ta có Amn,(x) và Ann,M (hoặc Amm(x) và AnnM nếu không đề ý đến vành

®) là những idéan cua vanh R, Ann,M được gọi là nh hóa tử của môđun

M Hơn nữa, nếu M 1a R-môđun hữu hạn sinh thì

SuppM =V(Ann,M) = {Pe Spec R| Amn,M PỊ

1.4 Tập các iđêan nguyên tố liên kết cúa môđun

1.4.1 Định nghĩa Cho M là một #-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p của #

là một iđêan nguyên tố liên kết của M nêu một trong hai điều kiện tương

đương sau được thỏa mãn:

(i) Tén tai phan tit x €M sao cho Ann(x) = p

(ï) M chứa một môđun con đắng cấu với #0

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M duoc ki hiéu 1a AsspM (hoac AssM

nếu không đề ý dén vanh R)

1.4.2 Mệnh đề A4ss¿M G SuppgM và mọi phân tử tối tiếu của SuppyM đều thuộc AssgM

1.4.3 Mệnh đề Nếu M la R-médun Noether thi AsspM là tập hợp hữu hạn 1.5 Độ dài của môđun

1.5.1 Định nghĩa AMộ/ dãy hợp thành của một R-môäun M là một dãy giảm

gôm một sô hữu hạn các môđun con

sao cho M;,⁄M; là môđun đơn với mọi ¿ = 7, 2, , ø Khi đó ø được gọi là độ

đài của dãy hợp thành này Môäun Mí có một dãy hợp thành được gọi là mộ: môđun có dãy hợp thành

1.5.2 Định nghĩa Nếu R-môđun 4⁄ có một dãy hợp thành có độ dài ø, thì tất

cả các dãy hợp thành của ÄM⁄ cũng có độ dài ø Khi đó độ dài chung của các dãy hợp thành của M duge gọi là độ đài của môấun Mí và kí hiệu là 1 ,(M)

Nếu R-môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dai | (M)=ø và

được gọi là môđun có độ dài vô hạn

1.5.3 Mệnh để Cho M, N, P là các R-môẩun, khi đó ta có các tính chất sau:

(i) Một R-môäun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là môđun Noether

vura la médun Artin

(ii) Cho day khép ngan cdc R-médun

1.6 Chiều Krull của môđun

Một dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố của R: Py) > Pi >> P, được gọi là một xích nguyên tó có độ dai bang n Cho p €SpecR Chan trén của độ đài của các xích nguyên tố với pạ = p được gọi là độ cao của p Kí hiệu là ⁄(p) Nghĩa là:

ht(p) = Sup {d6 dai các xích nguyên tố với pạ = p}

Cho 7 là một Iđêan của ® Khi đó ta định nghĩa:

ht(1) = inf {ht(p)/ p € SpecR, p21

Chặn trên của các xích nguyên tô trong # được gọi là chiêu Krull của vành R

Ki hiéu la: dimR

Gia sir M1a mot R-médun Khi do dim(R/Ann(M)) duge gọi là chiều Krull của

môấun Mí, kí hiệu dimM hoac dime M

1.7 Hệ tham số cúa môđun

Cho Ä⁄ là môđun hữu hạn sinh véi dimM = d trén vành giao hoán, địa phương, Noether (&, 7) Một hệ các phần tử x=(%, x„) cua m sao cho

ly(MG, x,)M)<+© được gọi là mét hé tham sé cita M Néu

x= (x,,-.%,)la một hệ tham số của M thi cac phần tử (x¡.x; x,) gọi là một

phân hệ tham số với mọi ¡ = 1, 2 d lđêan ạ = (xị, xz)R được gọi là iđêan tham số của M

Sau đây là một số tính chất của hệ tham số:

(i) đim (MÁx¡., ,X)M) = d—¡ với mọi ¡ = T, ,d

(1) x;¡ : ¡; #p với mọi p e4ssg(M(x¡ ,x¿)Mf) thỏa man dim (R/p) = d-— i trong

đó ¡= 1 ,d— 1

(iii) Néu x= (x,, -.,) là một hệ tham số của Ä⁄ và „= (n, n„) là bộ gồm d

s6 nguyén duong thi x(m) =(x/",x}", ,x}’) cũng là hệ tham số của 1

(iv) Mọi hoán vị của hệ tham số của môđun Ä⁄ cũng là một hệ tham số của M

1.8 Số bội

Cho # là một vành giao hoán, địa phương, Noether với idéan cuc dai

duy nhất m; M 1a mét R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dimM =đ >0 Khi đó một hệ các phần tử x:= (x, x,) của 7z có I(M/ (xị ,x,)ÄMf)< œ

được gọi là một hệ bội của M; & day néu ¢=0 thi ta hiểu điều kiện này có nghĩa là I(Ä⁄) < © Chú ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bội nhưng điều

ngược lại nói chung là không đúng Ta luôn có />đ Khi đó ký hiệu số bội

e(x;M)cua modun M đối với hệ bội x được định nghĩa qui nạp theo / như

sau:

Giả sử /=0 tức là 1(M)<o Khi do dat e(O,M)=1(M) Voi >0,

dat 0:,, x, ={m|mx, =0} Khi do 0:,, x,1a mot médun con M Vi 1(M/(x,,

„23,)Ä) < œ ta suy ra I((0:„ x,) /(3; x,)(0:„ xị))<œ, tức là (x;, ,x,) là

hệ bội của môđun con 0:,,x, Vay theo giả thiết qui nạp thì e(x, x,;M /x,M) và e(x, x,;0,„x,) đã được xác định Khi đó ta định nghĩa:

e(%¿ ,X,; MỸ) = e(%¿ ,x,; ME / x,M)- e(3; ,x,;Ö:„ Xị)

Sau đây là một tính chất cơ bản của số bội e(x; M⁄) :

@) 0< eG, x,;M)<1(M/(x; x,)M) Đặc biệt, nếu tồn tại ¿ sao cho

x/M =0 với ø là một số tự nhiên nào đó thì e(x, ,x,; M)=0

(1) e(x, x,; 4) =0 khi và chỉ khi />đ

Ta có, x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của Ä⁄Z và A⁄” Hơn nữa

e(x;M) =e(x; M)) +e(x; MÌ)

(ii) x, la M/(x,, ,x,,)M - chinh quy véi moi i=/,2, .,n

Chú ý rằng ze# là phan tử chinh quy cia M khi và chỉ khi a#p.VpeAssM Do đó (x, x„) là dãy chính quy của M khi va chỉ khi

M ((x, x„)M #0 va x, # p,Vp € Ass(M Í(x,,x; ,.x,_)M) với ¡ =], ,m

Cho 7 là một iđêan tùy ý của R và (x, ,x„) là một dãy Ä⁄-đãy trong

1 Khi đó (x, x„) được gọi là một đấy chính qui cực đại trong I nếu

không tồn tai y / sao cho (x, x„,y) là dãy chính qui của Ä⁄ Ta biết rằng mọi dãy chính qui cực đại trong cùng một iđêan 7 đều có cùng độ dài và

được gọi là độ sâu của Mí đối với iđêan 7, ký hiệu là depth, M Dac biét,

nếu 7 =z thì depth, M được gọi là độ sâu của M và ký hiệu là đepíh Mĩ Nếu (x, x,) là một dãy chính qui của Ä⁄ thì nó cũng là một phần hệ tham số của M⁄ Do đó đeph M < dim M

1.10 Vành và môđun các thương

1.10.1 Vành các thương

Cho # là một vành giao hoán, có đơn vị Một tập con Š của ® được gọi

là đập nhân đóng của R nếu 1eS và với mọi a,be Š thì abeS

Giả sử # là vành giao hoán, có đơn vị Š là tập nhân đóng của vành # Trén tich Dé-cac R xS trang bi quan hệ hai ngôi : : Với (z, s), (r,s)eRx $:

ss

S Ss SS

Với hai phép toán cộng và nhân noi trén thi S’R lap thanh mét vanh giao

hoán có đơn vị Vành S'R được gọi là vành các thương của R theo tập nhân

dong S

Dac biét cho p € SpecR Tap S = R\ p 1a tap nhan dong cua vanh R Khi

do ta ky higéu R, thay cho S'R

Cho S la tap nhân đóng của vành #, khi đó ta có vanh thuong S’R Cho

M là R — môđun Trên tích Đề - các Ä⁄ xŠ ta xác định một quan hệ hai ngôi

: : VỚI (m, s) va (m',s') € MxS:

(m, s) : (im',s') <> At €S sao cho: t(s'm—sm')=0

Quan hệ hai ngôi : là một quan hệ tương đương (chứng minh tương tự như ở phần vành các thương) Khi đó ta kí hiệu “la lớp tương đương chứa

Ss

phan ttr (m,s) Tập thuong Mx S/: duoc ki hiéu la S'M

S'M= [me Moses},

Ss Trên Š ”A/ ta trang bị hai phép toán:

„ 1Ì _ r

V6i —,—eS'M ;—

8 t eS'R

Khi dé véi hai phép toan cng va nhan véi v6 hudng noi trén thi S'M

la SR - médun va gọi là môđun các thương của Ä⁄ theo tập nhân đóng S

Khi đó Rx M⁄ trở thành một vành, được gọi là vành ¡đêan hóa của Mí (trên R)

và duoc ki higu R* M Vanh idéan hoa R* M 1a mot vành Noether địa phương

với đơn vị là (1,0) và iđêan cực đại duy nhất của nó là mx M Chiéu Krull

của vành iđêan hóa chính 1a dim R

Có một toàn cấu chính tắc ø:xÄ⁄— R được xác định bởi ø((r,m))=r

và một phép nhúng tự nhiên Z: #—> ® <M xác định bởi ø(z) =(r,0) Những

ánh xạ này là các đồng cấu và chúng ta có thể coi mỗi ®-môđun như là một

R+ M -môđun thông qua đồng cấu tự nhiên và ngược lại, chúng ta có thé coi

mỗi # x M -môđun như là một R-môđun thông qua đồng cấu ø Chú ý rằng với mỗi R- môđun, cấu trúc của các #®-môđun cảm sinh qua đồng cấu hợp thành øø là trùng với cấu tric R-médun ban dau

1.11.2 Mệnh đề Cho c là một iđêan của R XM Khi đó c là (mxM)- nguyên sơ nếu và chỉ nếu (©) là m-nguyên sơ Đặc biệt, nếu x =Œx: X„)

là một hệ tham số của R thì (x,0)= ((4¡.0) (x„.0)) là một hệ tham số của

Ry M.

1.12 Môãun đối đồng điều địa phương

Cho 7 là một iđêan của 8 Khi đó hàm tử 7 - xoắn T,(—) từ phạm trù

các #-môđun vào phạm trù các #-môđun được xác định bởi

T,()=U(0: „7") là hàm tử cộng tính, khớp trái, hiệp biến trong phạm trù

n=l

các R-môđun với ham tir dan xuat phai thir i 1a RT,(-) @ = 1,2,3 )

Môđun đối đồng điều thir i cia M ki higu Hi(M) duge xdc dinh bởi

Hi(M)=RT,(M)

Từ định nghĩa trên ta có thể xdc dinh H;(M) nhu sau: Trước hết ta lấy

lời giải nội xạ:

I:0 ad! 7° d° ñ dy Ti d m di!

của Ä⁄ Khi đó có một # — đồng cấu ø: ———>7° sao cho day:

Cần chú ý rằng H,(M) không phụ thuộc vào việc lựa chọn lời giải nội

xạ của M Dễ thấy #?(M)=T,(M) do đó HP(M) là một môđun con của M

Ta có một số tính chất sau đây của môđun đối đồng điều địa phương

(i) Néu ƑM = 0 với một số tự nhiên ø nào đó thì H?(M)= M và

H,(M)=0 (>0)

(ii) Cho r là một số tự nhiên Khi đó H,(M) là môđun hữu hạn sinh với ¿ < r nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên ø sao cho 1"H,(M)=Ô0 với mọi ¡ < r

(iii) Khi J = m 1a idéan cuc dai cua R thi ⁄/„(M) là R—- môđun Artin, hơn nữa H„(M) =0 với mọi ¡ > d

1.13 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen — Macaulay suy rộng

Cho x=(x, x„) là hệ tham số của Ä⁄Z Ký hiệu

đi) M được gọi là môấun Cohen-Macaulay suy rộng nêu I(M) <œ

(iii) Vanh R duge goi la vanh Cohen—Macaulay (tuong ting Cohen—Macaulay

suy rộng) nếu R là môđun Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng) trên chính nó

1.13.2 Mệnh đề Các phát biểu sau là tương đương:

() M lamédun Cohen-Macaulay

(ii) dim M = depthM

(iii) Tôn tại một hệ tham số x của M để T„(x)=0

(v) H„(M)=0 với mọi ¡ # dim M

1.13.3 Mệnh đề Các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là môäun Cohen-Macaulay suy rộng

(ii) 1(H„(M))<œ với mọi ¡ # dimM

CHƯƠNG II

ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG

2.1 Môđun các thương suy rộng

Trong [II], R Y Sharp và H Zakeri đã xây dựng một ®-môđun gọi là môđun các thương suy rộng Với mỗi số nguyên đương #, các tập con tam giác trong ® đóng vai trò như tập nhân đóng trong Lý thuyết vành và môđun

các thương Vì thế Lý thuyết môđun các thương suy rộng có ứng dụng rộng

rãi trong Đại số giao hoán Chẳng hạn, môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất H(M) có thể xem như là một môđun các thương suy rộng của Ä⁄ ứng với một tập con tam giác trong #“*' và người ta đã dùng kết quá này dé

nghiên cứu Giả thuyết đơn thức của M Hochster

Trong tiết này chúng tôi trình bày việc xây đựng môđun các thương suy rộng

2.1.1 Tập con tam giác Cho ø là một số nguyên dương Kí hiệu D„(#) là tập tất cả các ma trận tam giác dưới cấp ø x ø với hệ tử trong Ñ Một tập con tam giác của R” là một tập con khác rỗng U của R” sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:

() Nếu (0, z , un) €U thì (uf! ,uS?, ,u% )eU với mọi bộ số nguyên

duong Q, ,a,-

(ii) Néu (wy, u2, 5 Un) €U và (Vv), V2 Vn) €U thi tồn tại (w„, w», , w„) eU

va H, K €D,(R) sao cho:

Aluty, U2, 2, Un]! = [Wy W oe Wal! = K[vp Vx we Val

(Ở đây kí hiệu [ ]Ï để chỉ ma trận chuyền vị)

Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ về tập con tam giác

() Khi &= / thi tập con tam giác U chính là tập nhân đóng của vành R