Bài tập lớn môn đại số

BÀI TẬP NHÓM KẾT THÚC HỌC PHẦN – ĐẠI SỐCâu 1... giải hệ phương trình tuyến tính sau: Bài giải... Trong không gian vec-tơ R 3 , cho hệ vec-tơ A, chứng tỏ rằng hệ S độc lập tuyến tính B, b

BÀI TẬP NHÓM KẾT THÚC HỌC PHẦN – ĐẠI SỐ

Câu 1 Cho các ma trận

và đa thức f x  x2  x 1

A, tính

B, tính

C, tính rank(A), rank(B)

Bài giải A,

Det(A) = = 20 + 6 +2 – 4 – 4 –15 = 5

A2 = =

AB =

Bt =

BtB =

BBt =

Det(BBt) = 126 + 45 + 45 – 54 – 63 – 75 = 24

B,

- Cho f(x)=x2 + x – 1 và

khi đó :

f(A) = A2 + A – 1=

=

= +

=

- Ta có kết quả BBt =ở ý A

f(BBt) = (BBt )2 + BBt – 1 =

=

= +

=

C,

A =

Vậy rank(A) = 3

B =

Vậy rank(B) = 3

Câu 2 giải hệ phương trình tuyến tính sau:

Bài giải

Gọi hệ phương trình đã cho là A =

Từ hệ ta được:

Abs =

hpt

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1,1,1,1)

Câu 3 Trong không gian vec-tơ R 3 , cho hệ vec-tơ

A, chứng tỏ rằng hệ S độc lập tuyến tính

B, bổ sung vào hệ S một vec-tơ , chứng tỏ S phụ thuộc tuyến tính.

C, chứng tỏ Slà một cơ sở của R 3

D, tìm ma trận chuyểnn từ cở sở chính tắc sang cơ sở S trong R 3

E, tìm tọa độ của vec-tơ trong cơ sở S

F, tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở chính tắc

G, trực giao hóa Gram-Smidt hệ vec-tơ S ở câu A

Bài giải A,

Chứng minh:

Xét a.v1+ b.v2 + c.v3 =

a(1,0,1) + b(-1,2,0) + c(1,1,1) = (0,0,0)

Suy ra hệ vec-tơ S là độc lập tuyến tính.

B,

Bổ sung vào hệ S một vec-tơ va b c a, , | 2   �b2 c2 0

Xét biểu diễn tuyến tính của vectơ v(a,b,c) trong hệ S ta có:

(1,0,1) + (-1,2,0) + (1,1,1) = (a,b,c)

Vì

=> Tồn tại (

=> + +

Ta thấy -1 => hệ S phụ thuộc tuyến tính

C,

S= { (1, 0, 1); (-1, 2, 0); (1, 1, 1)} R3

+/ Số phần tử của S = dim R3 = 3 (tm)

+/ Det(S)= = -1(tm)

độc lập tuyến tính

Vậy S là cơ sở của R3

D,

Ta có cơ cở chính tắc của R3 là :E ={e1=(1,0,0); e2=(0,1,0); e3=(0,0,1)}

Khi đó ma trận chuyển từ sơ sở chính tắc E sang cơ sở S là : E S

v1=

(1, 0, 1)=+

=> =>=

v2=

(-1, 2, 0)=+

=> =>=

v3=

(1, 1, 1)=+

=>=>=

Vậy =là ma trận chuyển từ cở sở chính tắc sang cơ sở S trong R3

E,

Cho vectơu1,3, 2 S

Xét biểu diễn tuyến tính của vectơ u=(1, 3, 2) trong cơ sở S

Ta có : u=av1 + bv2 + cv3

 (1, 3, 2) = a(1, 0, 1) + b(-1, 2, 0) + c(1, 1, 1)



Vậy tọa độ của vectơ u trong cơ sở S là

F,

Ta có cơ cở chính tắc của R3 là :E ={e1=(1,0,0); e2=(0,1,0); e3=(0,0,1)}

Khi đó ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở chính tắc E là: S E

e1=

(1, 0, 0)=+

=> =>=

e2=

(0, 1, 0)=+

=> =>=

e3=

(0, 0, 1)=+

=>=>=

Từ =

Vậy = là ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở chính tắc E

G,

Trực giao hóa Gram-Smidt hệ vec-tơ S= { (1, 0, 1); (-1, 2, 0); (1, 1, 1)}

Chọn f1 = v1 = (1,0,1).

f2 = v2 f1 =

= (-1,2,0) + () = (-1,2,0) ()

= ()= (-1, 4, 1)

f3 = v3 f1 f2

=

= (1,1,1) – () – ()

= (1,1,1) () ()

= ().

Chuẩn hóa vectơ trực giao ta được:

= = =

= = =

= = =

Như vậy quá trình trực giao hóa Gram-schmidt cho ta họ vectơ trực chuẩn là

S*=( )

=

Câu 4 Chứng tỏ là một không gian vec-tơ trên trường R, tìm số chiều

và tìm một cơ sở của P x2 

Bài giải

_ là một không gian vectơ

thì

Pn(x) được gọi là một không gian vectơ trên trường R nếu

thì x+y (Đ/n)

 Pn(x) là một không gian vectơ trên trường R

_

Cơ sở của là :

Số chiều của cơ sở P2 (x ) là :

dim(P2)=2+1=3

Câu 5. Trước hết, nhắc lại về ánh xạ tuyến tính: cho hai không gian vec-tơ

M và N trên trường số thực , một ánh xạ tuyến tính f M: �N, là một ánh xạ

đi từ M vào N và thỏa mãn:

f x y f x f y

x y M k R

kf x f kx

�

�

Hai không gian M và N gọi là đẳng cấu, và viết M N , nếu như f là song ánh A(*), chứng tỏ định nghĩa 1 trên tương đương với đẳng thức

B(*), chứng minh các không gian vec-tơ có chiều n thì đẳng cấu với R n

C(*), từ đó chứng minh rằng P 2 R 3

Bài giải

A,

Hai không gian vec-tơ M và N trên trường số thực , một ánh xạ tuyến tính

Theo định nghĩa ánh xạ tuyến tính ta có :

Từ đẳng thức :

Thay a=b=1 ta được f(x+y)=f(x)+f(y) (*)

Thay tiếp b=0 ta được f(ax)=af(x)+0f(y)=af(x) (**)

Từ (*)và(**) suy ra đẳng thức đã cho giống với định nghĩa (1)

B,

Theo định lý: Hai không gian euclide đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều

Như đề bài cho ta có : số chiều của không gian Rn là: dim(Rn) = n

Vì vậy các không gian vectơ có chiều n đều đẳng cấu với Rn

C,

dim(P2)=2+1=3

dim(R3)=3

=> dim(P2)=dim(R3)=3

=> P2R3

Câu 6, cho ánh xạ :

f: R 3 R 2

f(x,y,z)=(x+y;x

A, chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

B, tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc trong R 3 và R 2

C, tìm số chiều của hạt nhân và của ảnh đối với ánh xạ f

D, từ đó chứng tỏ ker(f); Im(f)R 2

Bài giải

A,

x=(x1, y1 ,z1 ) ; y=( x2 ,y2 ,z2) R3

_Xét đk1: f(x+y)=f(x)+f(y)

f(x+y)=f(x1 +x2 ,y1 +y2 , z1 +z2 )

=( (x1 + x2)+( y1 + y2) ,( x1 + x2) (z1 + z2))

=( x1 + y1 , x1 z1)+( x2 + y2, x2 z2)

=f(x)+f(y) (t/m)

_Xét đk2:f(x)=f(x)

f(x)=f(x1 , x2 , x3)

=f((x1 + y1),( x1 z1 ))

= f(x1 + y1 , x1 z1 )

= f(x) (t/m)

Từ đk1 và đk2 => f là ánh xạ tuyến tính

B,

Ta có: f(x,y,z)=(x+y;x

Ký hiệu (e)={e1= (1,0,0) ; e2= (0,1,0) ; e3= (0,0,1) }là cơ sở chính tắc của R3

Ký hiệu ( e’) ={ = (1,0) ; = (0,1) } là cơ sở chính tắc của R2

_Từ giả thiết ta có:

f(e1) =f(1,0,0) = (1,1) =

f(e2) =f(0,1,0) = (1,0) =

f(e3) =f(0,0,1) = (0,1) =

_Như vậy , ma trận của f trên cặp cơ sở (e) , ( e’) là :A=

C,

Ta có : dim(R3) = 3

=> f(D)=0

(x + y ;x – z ) =(0,0,0)

=> D(1,1)

⇒ ker(�) = ����(1, −1) ∈ � 3 ⇒ dim(ker(�)) = 1

Theo định lý về số chiều: dim(R3)= dim(Imf)+dim(kerf)

=>dim(Imf) = dim(R3) dim(kerf)

=3 1 = 2 Vậy số chiều của hạt nhân bằng 1 và số chiều của ảnh bằng 2

D,

_Chứng tỏ ker(f)

Từ ý C ta có

=>rank(f)=dim(R)=> ker(f) là đẳng cấu của R

_Chứng tỏ Im(f)R2

dim(R2)=2

Từ ý C ta có

=> dim(R2)==>Im(f) là đẳng cấu của R2

Câu 7(*) Chứng minh lại (theo ý hiểu) định lý sau: cho f M: �N là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vec-tơ M N, trên trường R Khi đó ta có :

Bài giải

Giả sử dim(Ker(f))=n Tồn tại cơ sở của nhân

Bổ sung vào E để được cơ sở của M:

Ta chứng tỏ cơ sở của Im(f) là

1)







2) Chứng minh độc lập tuyến tính

Giả sử

 





Vì

 độc lập tuyến tính Vậy là cơ sở của Im(f)