Bậc của ánh xạ và một số ứng dụng

Đ2 Tính chất của bậc các ánh xạ 29Lời nói đầu Cùng với sự phát triển của đại số hiện đại, tôpô đại số là một sự liên kếtsâu sắc giữa hai lĩnh vực nói trên của toán học, đã ra đời và phát

Đ2 Tính chất của bậc các ánh xạ 29

Lời nói đầu

Cùng với sự phát triển của đại số hiện đại, tôpô đại số là một sự liên kếtsâu sắc giữa hai lĩnh vực nói trên của toán học, đã ra đời và phát triển mạnh

mẽ trong thời gian gần đây Là lĩnh vực vừa đợc nghiên cứu nh một ngành độclập, vừa đợc xem nh là một công cụ giải quyết nhiều vấn đề của toán học hiện

đại

Bậc của ánh xạ f :    với   , là các đa tạp khả vi n-chiều

   là một khái niệm quan trọng trong tôpô đại số Thông qua sự tínhtoán bậc của ánh xạ, nhiều câu hỏi thuộc lĩnh vực hình học đã đợc giải quyết.Khái niệm này còn có nhiều ứng dụng quan trọng đối với giải tích phức Đểhiểu sâu sắc hơn về khái niệm này, luận văn tập trung nghiên cứu một cách có

hệ thống định nghĩa, các tính chất và một số ứng dụng điển hình của bậc các

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh Nhân đây, tác giả xin

đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Duy Bình, ngời đã dàycông hớng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Tác giảcũng xin đợc gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau

Đại học, BGH, các bạn đồng nghiệp ở trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi dãgiúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

1.1 Đa tạp khả vi:

1.1.1 Định nghĩa: i, Giả sử  là 2-không gian Nếu U mở trong  và U

là tập mở trong n

 và :U U* là đồng phôi thì ( , )U  đợc gọi là một bản đồcủa 

ii, Với p U thì  ( )p  n nên  ( ) ( , , , )p  x x1 2 x n Khi đó

1 2

( , , , )x x x n đợc gọi là hệ tọa độ địa phơng

iii, Giả sử ( , );(U1 1 U2, ) 2 là hai bản đồ của  sao cho

thì ta nói A là một Atlas của 

ii, Hai Atlas A = {( , ) }U  i i i I và B = {( ,V  j j j J) } đợc gọi là

phù hợp nếu ( , )U  i i và ( ,V  j j) phù hợp với ,i j

* Nhận xét: Nếu A và B là hai Atlas phù hợp thì AB cũng là một Atlas

1.1.4 Định nghĩa: i, Atlas A đợc gọi là cực đại nếu mọi Atlas B của  mà B

A thì B=A

ii, Nếu A là một Atlas n-chiều cực đại trên  thì A đợcgọi là một cấu trúc khả vi n-chiều trên 

iii, Một 2-không gian  có cấu trúc khả vi n-chiều đợc

gọi là đa tạp khả vi n-chiều

* Nhận xét: - Atlas cực đại A gọi là cấu trúc khả vi nếu  i j1 là vi phôi, với

,i j

- Khi nói  là đa tạp khả vi thì ta chỉ biết Atlas với số bản đồ ítnhất

1.2 Đa tạp con, đa tạp tích.

1.2.1 Định nghĩa: Cho đa tạp khả vi m-chiều  và  là không gian con n

-chiều của  (0 m n ) Giả sử tại mỗi điểm của  có một bản đồ ( , )U  trên

Không gian  với cấu trúc khả vi B = {( ,V  j j j J) } trên là một đa tạp khả vi và

đợc gọi là đa tạp con n-chiều của 

1.2.2 Định nghĩa: Cho  là đa tạp khả vi m-chiều với Atlas A = {( , ) }U  i i i I

 là đa tạp khả vi n-chiều với Atlas B = {( ,V  j j j J) }

( , )a b  ( , ,a1 a b m, , , )1 b n

Khi đó {(U V f i j, ) }ij i j, là một Atlas của   và   với cấu trúc khả vi trên

là một đa tạp m n chiều, gọi là đa tạp tích của hai đa tạp  và 

1.3 ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp.

1.3.1 Định nghĩa: Giả sử ,  là các đa tạp ánh xạ f :    đợc gọi làkhả vi nếu:  f liên tục

 Với mọi bản đồ ( , )U  của  và ( , )V  của  sao cho

1 ( )

  đều có  f  1:W1  ( )W W2    ( ( ))W khả vi

1.3.2 Định lý: ánh xạ f :    khả vi khi và chỉ khi với mọi bản đồ ( , )U 

trên  và mọi bản đồ ( , )V  trên  sao cho f U( ) V ta có với

Chứng minh: * Nếu f là một ánh xạ khả vi thì do tính liên tục của f , với mỗi

1 1

1.3.3 Hệ quả: ánh xạ f :    khả vi khi và chỉ khi với mọi cặp bản đồ

( , )U  trên  và ( , )V  trên  sao cho f U( ) V , các hàm tọa độ

1.4 Vectơ tiếp xúc và không gian tiếp xúc với đa tạp tại một điểm.

1.4.1 §Þnh nghÜa: i, Cho  lµ ®a t¹p kh¶ vi m-chiÒu ¸nh x¹ kh¶ vi

: ( , )

qua p 

ii, Ký hiÖu: F( ) { :p  f    | f kh¶ vi trong l©n cËn U p

chøa } Ta gäi vect¬ tiÕp xóc víi  t¹i p lµ ¸nh x¹

dx f

1.4.3 Định nghĩa: Ký hiệu   p p ={véc tơ tiếp xúc với đa tạp  tại p}.

Khi đó  p cùng với hai phép toán :

 x i p và gọi là không gian tiếp

xúc với đa tạp  tại p.

Ký hiệu      p

p :không gian tiếp xúc với đa tạp 

1.5 ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi.

Giả sử  là đa tạp m-chiều với cấu trúc khả vi  U  i, i i I 

f p  là không gian các véc tơ tiếp xúc với đa tạp  tại f p 

1.5.1 Định nghĩa: ánh xạ tiếp xúc của f tại p là p f :    p f p  đợc xác

định nh sau: nếu v  p là véc tơ tiếp xúc với đờng cong  tại p thì

ii, p f :    p f p  là ánh xạ tuyến tính Đặc biệt nếu f là

vi phôi thì p f là đẳng cấu tuyến tính,   p

iii, Cho f :    và h:    là các ánh xạ khả vi Khi đó:

 

p f v   h v h f  ,    v p

iv, Cho f :    , :g    là các ánh xạ khả vi, p  Khi

đó pg f  f p  g p f

1.6 k - dạng vi phân trên đa tạp.

1.6.1 Các dạng đa tuyến tính thay dấu.

a, Định nghĩa: Cho  là không gian véc tơ Ơclid n-chiều ánh xạ:

* Nhận xét: i, Dạng k-tuyến tính bằng 0 nếu có một biến bằng 0, đặc biệt 

triệt tiêu tại O(0,…,0) ,0)

c, Định nghĩa: Nếu    k( ),    l( ) thì tích ngoài của chúng là phần tử

tất cả các hoán vị i của các chỉ số 1, 2, , k l và ( 1)i 1

  tùy theo hoán vị i

mà chẵn hay lẻ

* Nhận xét: Từ định nghĩa suy ra ( 1)kl

d, Định lý: Giả sử e1, ,e n là một cơ sở của không gian  và e1 , ,e n là cơ sở

đối ngẫu của không gian liên hợp: i( )

Chứng minh: Xét phần tử bất kì    k( ) Với 1

i i

 có thể biểu diễn dới dạng ( ) 

Mặt khác, nếu  đợc biểu diễn dới dạng ( )  thì chỉ có thể 1 ( , , )1

nó là (dx i)|p (i 1, )n Khi đó cơ sở của   k( p ) đợc cho bởi các phần tử

b, Tính chất: i, f có tính chất tuyến tính.

ii, f bảo tồn tích ngoài của các dạng vi phân.

1.7.1 Định nghĩa: Đa tạp khả vi m-chiều  gọi là định hớng đợc nếu trên

 có một m-dạng  liên tục, không triệt tiêu ở bất cứ điểm nào

( , )  

* Chú ý: i, Nếu  1, 2 là hai m-dạng liên tục, khác không tại mọi điểm thì

1 f 2

   , trong đó f là hàm liên tục trên , cũng khác không tại mọi điểm

Do đó, trong trờng hợp  liên thông thì f phải luôn dơng hoặc luôn âm Nếu

( ) 0,

f x  x ta nói hai dạng  1, 2 cùng xác định một định hớng trên 

ii, Đa tạp  định hớng đợc khi và chỉ khi có thể chọn một tập bản

đồ ( , )U  i i sao cho Jacobi của    1

  có định thức dơng với    , I

1.7.2 Định nghĩa: Cho ( , )   là đa tạp định hớng m-chiều, ( , )   là đa tạp

định hớng n-chiều Khi đó,   là đa tạp định hớng m n -chiều với dạngxác định hớng    xác định nh sau:

Các đa tạp đã định nghĩa ở trên là đa tạp không có biên Bây giờ ta định

nghĩa khái niệm đa tạp có biên

 đợc gọi là khả vi nếu cứ mỗi

điểm  U có một lân cận mở U1 của x trong n

-mở trong n và với    , ánh xạ  1: (U U)  (U U) là khả vi

1.8.2 Chú ý: i, Trên đa tạp có biên  tập hợp các điểm của  chia làm hailoại: các điểm x mà trong bất cứ hệ tọa độ địa phơng nào cũng có x  i 0 (tagọi là điểm trong) và các điểm x mà trong bất cứ hệ tọa độ địa phơng nàocũng có x  i 0 (gọi là điểm biên) Tập hợp các điểm biên của  đợc gọi làbiên của  và kí hiệu 

ii, Trên đa tạp có biên, các khái niệm hàm khả vi, vectơ tiếp xúc,

dạng vi phân, định hớng…,0) cũng đợc định nghĩa giống nh trên đa tạp khôngbiên

1.8.3 Định lý: Biên  của một đa tạp khả vi m -chiều  là một đa tạp con

đóng m 1-chiều của  và không gian tiếp xúc  p( ) của M tại p  là

một không gian con của  p Mỗi định hớng  trên  cảm sinh một định ớng   trên .

h-Chứng minh: Xem [2] - Định lý 3.4 - Đ3 - Phần IV.

* Chú ý: Giả sử ( , )   là đa tạp định hớng và  là định hớng tiêu chuẩn của

2.1.1 Định nghĩa: Cho f g, là hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô  vàokhông gian tôpô  Khi đó, f đợc gọi là đồng luân với g, kí hiệu f g, nếutồn tại ánh xạ liên tục F:     , (   [0,1]) sao cho: F x( ,0) f x( )

F x( ,1) g x( ) ánh xạ F đợc gọi là phép đồng luân nối f với g.

2.1.2 Nhận xét: Với mỗi t [0,1] ta có F t:    , F x t( ) F x t( , ) là ánh xạ liêntục Rõ ràng F đợc xác định bởi một họ tham số { }F t 0 t 1 Vì vậy, { }F t 0 t 1 saocho   x : ( )F x t F x t( , ) cũng đợc gọi là một phép đồng luân

2.1.3 Ví dụ:  là không gian tôpô tùy ý,  là tập con lồi trong n

Dễ thấy F là ánh xạ liên tục và F x( ,0) f x( ), F x( ,1) g x( ) Vậy F là phép

đồng luân nối f với g.

2.1.4 Tính chất: Quan hệ đồng luân của các ánh xạ liên tục từ  đến  là quan hệ tơng đơng.

Chứng minh: * Quan hệ đồng luân có tính phản xạ: Giả sử f :    là ánhxạ liên tục Khi đó f f bởi phép đồng luân sau: F:    

( , )x t  f x( ), t

Dễ thấy F liên tục và F x( ,0) f x( ), F x( ,1) f x( )

* Quan hệ đồng luân có tính đối xứng: Giả sử f g, :    là các

ánh xạ liên tục và f g bởi phép đồng luân F:    , ( , )x t  F x t( , ) saocho F x( ,0) f x( ), F x( ,1) g x( ) Ta phải chứng minh gf bởi phép đồng luân'

ii, Đa tạp ,  có biên     , Mọi ánh xạ

ii, Hai không gian tôpô đợc gọi là tơng đơng đồng luân

(hay cùng kiểu đồng luân) nếu tồn tại một tơng đơng đồng luân giữa chúng

ii, Phép đồng luân nối ánh xạ đồng nhất và ánh xạ hằng là

phép co rút không gian  về x0  (trong đó x0 là giá trị của ánh xạ hằng)

2.2.2 Ví dụ:  n là không gian co rút đợc Thật vậy: Lấy 0 , 1 n

2.2.4 Mệnh đề: Cho  là không gian tôpô,  là không gian co rút đợc Khi

đó mọi ánh xạ liên tục f :    đồng luân với ánh xạ hằng

Chứng minh: Giả sử f :   , x f x( ) y là ánh xạ liên tục



3,   [0,1],   {0;1} Khi đó  không phải là cái co rút của  Thật vậy: Giả sử tồn tại ánh xạ liên tục r:    và r| 1 Vì  liên thông suy ra

n-chiều, f :    , x yf x( ) là ánh xạ khả vi

Với mỗi x  ,x ( , ,x1 x m)  f x( ) ( , ,  y1 y n) ánh xạ tiếp xúc của f tại x

i, Điểm x  gọi là chính quy nếu x f là toàn ánh, tức là hạng J x n

Khi m n , điểm x chính quy khi và chỉ khi det | 0

đợc gọi là giá trị chính quy của f

ii, Giả sử   , là các đa tạp định hớng n-chiều không có biên, y  là giá trịchính quy của f và f 1 ( )y chỉ chứa hữu hạn điểm x i i (  1, 2, , )k của  Bậccủa ánh xạ f đối với y đợc định nghĩa:

f y là không gian con đóng của đa tạp compact  f1( )y

là đa tạp compact 0-chiều Vì vậy, f 1 ( )y chỉ chứa hữu hạn điểm x i

1.3 Mệnh đề: Cho ,  là các đa tạp định hớng compact n -chiều, không

có biên f :    là ánh xạ khả vi Nếu  không liên thông

trong đó hớng của j là hớng cảm sinh bởi hớng .

Chứng minh: Giả sử y  là một giá trị chính quy của f Theo nhận xét 1.2,

1 ( )

f y chỉ chứa hữu hạn các điểm x     1, 2, ,k Do  không liên

thông cho nên mỗi thành phần j của  cũng chỉ chứa hữu hạn tạo ảnh của

y , tổng số các điểm x

 trong tất cả các j là k và mỗi điểm x có thể chọnmột lân cận (tơng ứng với hệ tọa độ địa phơng xác định hớng của  ) nằmtrong thành phần j chứa nó Ký hiệux i ji (  1, 2, , ( );  j j 1, 2, , )l là các

điểm thuộc f 1 y nằm trong thành phần j Ta có:

f y

1.4 Định nghĩa: Cho ( , )   là đa tạp định hớng n-chiều là đa tạp con

định hớng r-chiều của  có hớng k Khi đó  

 gọi là phân thớchuẩn tắc đại số của  với hớng thơng k và tại mỗi x , không gian thơng

1.5 Bổ đề: Cho ( , )W  là một đa tạp định hớng có biên  W là một cung

đ-ợc nhúng trong W và xuyên ngang W tại các điểm cuối của nó u v,  W Giả

sử k là một hớng của  và xét hớng thơng k của phân thớ chuẩn tắc đại số

Chứng minh: Giả sử { , , ,e1 e e r r1, , }e n là cơ sở xác định hớng  của W Khi

đó W là đa tạp con của W có hớng cảm sinh   với cơ sở xác định xác địnhhớng { , , ,e1 e e r r1, ,e n1} sao cho e n hớng vào trong W tại x W

 W là cung nằm trong W nên tại x  nếu cơ sở { , , }e1 e n W x xác địnhhớng của W và { }e n xác định hớng của  thì { , ,e1 e n 1 } xác định hớng thơng

k

 (trong đó e i là lớp e i x) Tại u v,  , cơ sở { , ,e1 e n 1 } sẽ xác định các

Giả sử  u, v là các vectơ tiếp xúc với  tại u, v xác định hớng k k u, v Do

chính quy đối với h và f h|W Khi đó deg( , ) 0f y 

Chứng minh: Giả sử   , là các hớng của W,  từ y  là một giá trị chínhquy h 1 ( )y

 là đa tạp con compact một chiều của W có biên là

K có hớng thơng k với k là hớng của K Do y là giá trị chính quy

của ánh xạ h W:   nên với x K , ánh xạ tiếp xúc của h tại x là

Giả sử tại u, ánh xạ f : (  W)   bảo toàn hớng, tức là:

1.7 Bổ đề: Giả sử   , là các đa tạp định hớng compact n -chiều,

  .  liên thông và f g, :    là các ánh xạ đồng luân có chung giá trị chính quy y Khi đó deg( , ) deg( , )f y  g y

Chứng minh: Giả sử có phép đồng luân F:     nối f và g Có thể lấy

F khả vi và chính quy tại y (Xem [7] - Định lý III.12.3).

Nhờ bổ đề 1.6 ta có: 0 deg  F/    degF/    0   1 

 degF/0  degF/ 1  degF/0  degF/1

 deg( , ) deg( , )f y  g y

 deg( , ) deg( , )f y  g y 

1.8 Bổ đề: Giả sử   , là các đa tạp compact định hớng n -chiều không có biên, n 1, với  liên thông Giả thiết rằng y z,   là các giá trị chính quy

đối với ánh xạ khả vi f :    Khi đó: deg( , ) deg( , ).f y  g y

Chứng minh: Giả sử có một phép vi phôi h:    đồng luân với phép đồngnhất sao cho h y( ) z Khi đó theo bổ đề1.7 deg( , ) degh z  i d  1 ( :i d    ;z z

Vấn đề còn lại là xây dựng ánh xạ h Nếu y và z là gần sát nhau thì trong

hình cầu tọa độ luôn tồn tại phép vi phôi h y:  z đồng luân với ánh xạ đồngnhất Trong các trờng hợp khác ta xét quan hệ giữa y và z sao cho vi phôi h

tồn tại Đó là quan hệ tơng đơng trên  mà các lớp tơng đơng của nó là cáctập mở rời nhau Từ  là liên thông nên bất kỳ hai điểm nào cũng tơng đơngvới nhau Do đó vi phôi h đợc xây dựng

* Chú ý: Từ bổ đề 1.7 và 1.8 ta thấy bậc của ánh xạ f :   , với ,  làcác đa tạp định hớng n-chiều, không phụ thuộc vào giá trị chính quy và khôngthay đỏi qua phép đồng luân Vì vậy ta có thể ký hiệu bậc của ánh xạ f là

deg f

1.9 Định lý: ([7] - Định lý III.12.2) Giả sử ,  là các đa tạp có cùng chiều

và f :    là ánh xạ liên tục Khi đó f đồng luân với ánh xạ khả vi

:   

1.10 Định nghĩa: Giả sử ,  là các đa tạp định hớng compact n-chiều

(n 1) với  liên thông và    :f    là ánh xạ liên tục Khi đóbậc của ánh xạ f đợc định nghĩa nh sau: Với g:    là ánh xạ khả vi đồngluân với ánh xạ f thì deg f  degg

Theo bổ đề 1.7 và bổ đề 1.8, deg f không phụ thuộc g và giá trị chính quy.

1.11 Định nghĩa: i, Cho ,  là các đa tạp compact n-chiều không định

h-ớng với  liên thông và    g:    là ánh xạ khả vi, z   là mộtgiá trị chính quy của g Giả sử k là số nghịch ảnh của z trong g 1 z Khi đó,bậc môđun 2 của ánh xạ g đợc định nghĩa: