Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng

Khi cho hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian ấy cho ta một ma trận, ngược lại một ma trận xác ñịnh một ánh xạ tuyến tính duy nhất.. Các giá tr

MỞ ðẦU

1 Lý do chọn ñề tài

Ma trận ñược ứng dụng rộng rãi trong Toán học tính toán, Vật lý, Kinh tế

và nhiều ngành khoa học khác Trong ðại số tuyến tính, ma trận là công cụ ñể

nghiên cứu ánh xạ tuyến tính Chính vì vậy, ma trận và ánh xạ tuyến tính có liên

hệ chặt chẽ với nhau Khi cho hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ

tuyến tính giữa hai không gian ấy cho ta một ma trận, ngược lại một ma trận xác

ñịnh một ánh xạ tuyến tính duy nhất

Các giá trị riêng và vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính ñược xác ñịnh

thông qua ma trận, do ñó những không gian con bất biến ứng với những giá trị

riêng cũng ñược xác ñịnh Các giá trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính

là công cụ ñể ñưa ma trận về dạng ñơn giản hơn ñó là ma trận chéo Giá trị riêng

và chéo hóa ma trận ñược khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy

trong quá trình ông tìm ra công thức ñơn giản hơn cho ñường bậc 2 Cauchy ñã

chứng minh ñịnh lý phổ dụng cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận

ñối xứng ñều chéo hóa ñược

Khi cho ma trận của một tự ñồng cấu với một cơ sở nào ñó, ta muốn tìm

cơ sở mà ñối với ma trận của tự ñồng cấu ñã cho ở dạng “ñẹp nhất” – dạng chéo

thì khi ñó ta nói rằng ma trận ñã cho chéo hóa ñược Nếu ma trận A chéo hóa

ñược thì việc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn quan hệ ñồng dạng) của ma trận

A dẫn ñến việc nghiên cứu các tính chất ñó trên ma trận chéo và như vậy vấn ñề

sẽ trở nên ñơn giản hơn nhiều

Ma trận chéo là một ma trận vuông mà các phần tử bằng không ngoại trừ

các phần tử trên ñường chéo chính Việc ñưa một ma trận về ma trận chéo gọi là

chéo hóa ma trận Ma trận chéo có ứng dụng rất quan trọng trong việc tính các

lũy thừa của ma trận vuông, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính ñồng thời cấp 1

với hệ số không ñổi, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi và

một số ứng dụng khác Thông qua ma trận chéo mà việc giải nhiều bài toán trở

nên ñơn giản hơn

Như vậy, qua quá trình học tập và nghiên cứu, xuất phát từ nhu cầu bản

thân, nhu cầu thực tế của nhiều sinh viên, tôi ñã chọn ñề tài: “Tính chéo hóa

của ma trận và một số ứng dụng”

Thông qua việc nghiên cứu nội dung này, tôi ñã có thêm ñiều kiện ñể

củng cố các kiến thức ñã học, ñồng thời bổ sung nhiều ñiều bổ ích, rèn luyện

khả năng nghiên cứu, làm việc khoa học

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Mục tiêu khoa học công nghệ: ðưa ra ñiều kiện ñể một ma trận có thể chéo

hóa một ma trận và các bước ñể chéo hóa một ma trận, ứng dụng của ma trận

chéo

- Sản phẩm khoa học công nghệ: ðề tài là tài liệu tham khảo cho các sinh viên

ngành toán trường ðại học Hùng Vương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo, tính chéo hóa của ma trận

- Nghiên cứu một số ứng dụng của ma trận chéo thông qua các bài toán cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc giáo trình, tài liệu liên quan ñến véctơ

riêng, giá trị riêng, tính chéo hóa ñược và ứng dụng của nó

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút

ra ñược kinh nghiệm ñể giải các bài toán chéo hóa ma trận

5 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

- ðối tượng nghiên cứu: Ma trận

- Phạm vi nghiên cứu: Tính chéo hóa của ma trận và tập trung chủ yếu trên

trường số thực và trường số phức

6 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở ñầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung

của khóa luận bao gồm có 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Ma trận của một ánh xạ tuyến tính

1.2 Ma trận nghịch ñảo

1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới Ma trận ñồng dạng

1.4 Vectơ riêng - Giá trị riêng

Chương 2 Tính chéo hóa của ma trận

2.1 Tính chéo hóa của ma trận

2.2 Chéo hóa ñồng thời

2.3 ða thức các tự ñồng cấu, ña thức ma trận

2.4 Một số ví dụ

Chương 3 Một số ứng dụng của ma trận chéo

3.1 Tính các lũy thừa của một ma trận vuông

3.2 Xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi

3.3 Giải một số phương trình ma trận

3.4 ðưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

M K : Tập hợp các ma trận vuông cấp n, có các phần tử thuộc trường K

χA: ða thức ñặc trưng của ma trận vuông A

χf : ða thức ñặc trưng của ñồng cấu f

L e e : Không gian vectơ sinh bởi hệ các vectơ ( , , )e1 e m

KGCR( f,λ0): Không gian con riêng của tự ñồng cấu f liên kết với giá trị riêng λ0

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính, ma trận nghịch ñảo, ma trận ñồng dạng Ngoài ra các khái niệm về vectơ riêng, giá trị riêng và cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng cũng ñược nêu ra ðây là những kiến thức trọng tâm ñể chuẩn bị cho phần nội dung chính ở chương sau 1.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính ðịnh nghĩa 1.1 Giả sử V và W là K - không gian vectơ với cơ sở lần lượt là ( )ε ={ε

1,ε , ,ε2
n}, ( )ξ ={ξ1,ξ , ,ξ2 m}


, :f V →W là một ánh xạ tuyến mà 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 1 (ε ) ξ ξ ξ (ε ) ξ ξ ξ

(ε ) ξ ξ ξ m m m m n n n mn m f a a a f a a a f a a a = + + + = + + + = + + + 











(1)

Ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2

n n m m mn a a a a a a A a a a       =       ñược gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ñối với cơ sở (ε) và (ξ) Có thể viết gọn các ñẳng thức (1) như sau: 1 (ε )j m ijξi, i f a = =∑

với mọi j∈{1,2, ,n} Chú ý: Vì (ξ) là cơ sở của W nên các thành phần a ñược xác ñịnh duy nhất, do ij ñó ma trận A ñược xác ñịnh duy nhất Giả sử 1 :V V → V là ñồng cấu ñồng nhất của không gian vectơ V và ( )ε ={ε

1,ε , ,ε2
n} là một cơ sở bất kì trong V Khi ñó: 1 1 2 2 1 2 1 2 1 (ε ) ε 0ε 0ε 1 (ε ) 0ε ε 0ε

Do ñó ma trận của 1V ñối với (ε) là:

1 0 0

0 1 0

I ñược gọi là ma trận ñơn vị

Ma trận I =( )a ij ñược gọi là ma trận ñơn vị nếu:

1,0,

Nếu V và W là hai K -không gian vectơ dim V =n,dimW =m thì ñồng

cấu 0 có ma trận ñối với mọi cơ sở của V và W là ma trận O kiểu ( , ) m n dưới

ñây :

0 0 0

0 0 0

Kí hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ K -không gian vectơ V ñến K

- không gian vectơ W là Hom V W K( , )

Sau ñây là mệnh ñề nêu lên mối liên hệ giữa Hom V W K( , ) với M( , )m n ( )K

Mệnh ñề 1.1 Giả sử V và W là hai K -không gian vectơ và

1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới Ma trận ñồng dạng

Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường K , trong ñó

{α1,α , ,α2 n} (1) và {α1′ ′,α , ,α (1 )2 ′n} ′ là cơ sở

W là không gian vectơ m chiều trên trường K , trong ñó chọn cơ sở

{β1,β , ,β2 m}(2) và (β1′ ′,β , ,β2 ′m )(2 )′

Gọi A, B là ma trận của f ñối với cặp cơ sở (1), (2) và (1 ),(2 )′ ′

S, T là ma trận chuyển cơ sở từ (1) sang (1 )′ và (2) sang (2 )′

T = t , T không suy biến

Theo giả thiết

ðịnh lí 1.3 Giả sử f V: →W là ánh xạ tuyến tính có ma trận là A ñối với cơ sơ

(1) trong V và cơ sở (2) trong W , ngoài ra trong V có cơ sở (1 )′ và trong W

có cơ sở (2 )′ , với ma trận chuyển cơ sở là S, T Khi ñó ma trận của f ñối với

1.4 Vectơ riêng - Giá trị riêng

ðịnh nghĩa 1.4 Giả sử V là một không gian vectơ, :f V →V là một tự ñồng

Số k ñược gọi là giá trị riêng của f ứng với vectơ riêng α

Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của f là phổ của f , và kí hiệu Sp K( )f

Nếu A là một ma trận của tự ñồng cấu f thì giá trị riêng của f cũng

ñược gọi là giá trị riêng của ma trận A

Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của A là phổ của A, kí hiệu Sp K( )A

(haySp A( ))

ðịnh nghĩa 1.5 Giả sử :f V → V là một tự ñồng cấu của không gian vectơ

V Không gian con W của V ñược gọi là một không gian con bất biến ñối với

f nếu với mọi α W
∈ ta ñều có (α)f
∈W

Mệnh ñề 1.5 Giả sử V là một không gian vectơ, tập hợp gồm các vectơ 0
và

các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự ñồng cấu f : V →V là một

không gian con bất biến của V và ñược gọi là không gian riêng ứng với giá trị

riêng k

ðịnh lí 1.6 Nếu α
1, α , ,α
2
p là những vectơ riêng tương ứng với các giá trị

riêng ñôi một phân biệt k k1, , ,2 k của tự ñồng cấu f thì chúng lập thành một p

hệ vectơ ñộc lập tuyến tính

Nhận xét: Giả sử dimV n= , B là một cơ sở của V, f ∈L V( ) và A=M B( )f là

ma trận của f ñối với cơ sở B Khi ñó:

i, λ K∈ là một giá trị riêng của f khi và chỉ khi λ là một giá trị riêng của A

ii, α∈ −V {0} là một vectơ riêng của f khi và chỉ khi ma trận cột tọa ñộ của α

ñối với cơ sở B tức là M B(α) là một vectơ riêng của A

iii, Các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ cùng với vectơ 0 lập nên không

gian vectơ con là Ker f( −λId v)

ðịnh nghĩa 1.6.Giả sử ma trận của tự ñồng cấu :f V → V ñối với cơ sở ( )ε

là

n n n n nn a a a a a a A a a a       =       k ñược gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại x x1, , ,2 x n không ñồng thời bằng 0 sao cho

1 1 n n x x A k x x         =             ⋮ ⋮ hay 1 0 ( ) 0 n x A kI x         −    =        ⋮ ⋮ Nói cách khác ij 1 n j i j a x kx = = ∑ với mọi i∈{1,2, ,n} hay

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2

n n n n n n nn n n a x a x a x kx a x a x a x kx a x a x a x kx + + + =   + + + =     + + + =  (1)

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) 0

( ) 0

( ) 0

n n n n n n nn n a k x a x a x a x a k x a x a x a x a k x − + + + =   + − + + =  ⇔   + + + − =  (2)

α
là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng k khi và chỉ khi tọa ñộ ( , , , )x x1 2 x n

của nó là nghiệm của hệ phương trình (2)

ðịnh nghĩa 1.7 Giả sử A là một ma trận của tự ñồng cấu f Ma trận

ñược gọi là ña thức ñặc trưng của tự ñồng cấu f

Kí hiệu: χA là ña thức ñặc trưng của A

rồi giải hệ này Mỗi nghiệm riêng của hệ là tọa ñộ của một vectơ riêng ứng với

giá trị riêng ấy Không gian nghiệm của hệ (**) xác ñịnh không gian riêng ứng

với giá trị riêng vừa chọn

Ví dụ 1.1 Cho phép biến ñổi tuyến tính f :ℝ3→ℝ3 có ma trận ñối với cơ sở

Tìm các giá trị riêng của f và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ

riêng Tìm các không gian con bất biến của f

Giải Giải phương trình

1 2 2

k k k

Không gian bất biến gồm tất cả các vectơ có dạng (6 , 7 , )

5c −5c c hay (6, 7,5)

ta ñược nghiệm tổng quát (−2 , ,c c c)

Cho c= , ñược một nghiệm riêng 1 α
2 = −( 2,1,1)

Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng c( 2,1,1)− =cα
2

Vậy không gian bất biến này sinh bởi α
2

ta ñược nghiệm tổng quát: (0, ,c c)

Cho c= , ñược một vectơ riêng ứng với 1 k3 = là 3 α
3=(0,1,1)

Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng

3

(0, , )c c =c(0,1,1)=cα
Vậy không gian bất biến này sinh bởi α
3

Vì ba vectơ riêng α
1, α
2,α
3 tương ứng với ba giá trị riêng phân biệt nên

theo ñịnh lí 3 chương 1, chúng ñộc lập tuyến tính Vì dimℝ3 =3 nên chúng tạo

Tìm các giá trị riêng và với mỗi không gian con riêng tìm một cơ sở

Giải Giải phương trình

Ta ñược nghiệm tổng quát : (2 , ,2c c c) Vì hạng của ma trận của hệ

phương trình bằng 2 nên không gian riêng W1 tương ứng (tức là không gian

Ta ñược nghiệm tổng quát: (c1, 2− c1−2 ,c c3 3) Hạng của ma trận của hệ

phương trình này bằng 1 nên không gian riêng tương ứng W2 (không gian

nghiệm) có

3 2

dimW =dimℝ − =1 2

Một cơ sở của nó là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

Với c1=1,c3 = ta có nghiệm riêng 0 β1=(1, 2,0− )

, với c1=0,c3 = ta có 1nghiệm riêng β2 =(0, 2,1− )

Hệ vectơ {β

1,β2} là một cơ sở của W2

Chương 2

TÍNH CHÉO HÓA CỦA MA TRẬN

Chương này trình bày nội dung chính của ñề tài Phần mở ñầu là một số

khái niệm về ma trận ñường chéo, ma trận chéo hóa ñược Tiếp theo ñó là ñiều

kiện chéo hóa một ma trận và các bước cơ bản ñể chéo hóa một ma trận Ngoài

ra, chéo hóa các ma trận ñối xứng và chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán

các ma trận ñối xứng cũng ñược ñề cập ñến ở ñây Cuối cùng là phần trình bày

về ña thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trận ñể nêu lên ñiều kiện cần và ñủ

ñể một ma trận chéo hóa ñược Sau khi trình bày một vấn ñề thường có một vài

ví dụ minh họa cụ thể cho vấn ñề ñó

2.1 Tính chéo hóa của ma trận

ðịnh nghĩa 2.1 Một ma trận vuôngA=( )a ij thuộc M K n( ) gọi là ma trận

ñường chéo khi và chỉ khi

11 22

Tập hợp các ma trận ñường chéo cấp n với hệ tử trong K là D K n( )

ðịnh nghĩa 2.2 Một ma trận vuông ñược gọi là chéo hóa ñược nếu nó ñồng

2.1.1 ðiều kiện ñể một ma trận chéo hóa ñược

ðịnh lí 2.1 Một ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi nó là ma trận của

một tự ñồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không gian

Chứng minh

Coi A như ma trận của một tự ñồng cấu : f V → V ñối với cơ sở (ε)

A là ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi có một ma trận T sao

cho

1 1 1

ðiều này xảy ra khi và chỉ khi B là ma trận của f ñối với một cơ sở (ε )′

mà f(ε )′j =k jε′j, với mọi j∈{1,2, ,n}, nghĩa là (ε )′ là một cơ sở gồm những

vectơ riêng

Hệ quả 2.2 Nếu A là ma trận vuông cấp n mà ña thức ñặc trưng A kI− có n

nghiệm phân biệt thì A chéo hóa ñược

ðịnh lí 2.3 Giả sử A là một ma trận vuông cấp n ; k k1, , ,2 k là các nghiệm p

của ña thức ñặc trưng A kI− , m i là bội số của nghiệm k i , với

Giả sử A là một ma trận của một tự ñồng cấu : n n

chính tắc Gọi W i là không gian con riêng ứng với giá trị riêng k i Vì hạng

Vì α
i∈W i nên nó là vectơ riêng ứng với giá trị riêng k i Nhưng các k i là

những giá trị riêng ñôi một phân biệt của f Ta có hệ vectơ {α , α , ,α }
1
2
p ñộc

i

ñộc lập tuyến tính Do ñó các hệ 0

Tìm ñiều kiện cần và ñủ về các phần tử , , ,a b c d ñể ma trận A chéo hóa ñược?

Giải ða thức ñặc trưng của ma trận A

+ Nếu ∆ > thì A có 2 giá trị riêng phân biệt nên A chéo hóa ñược 0

+ Nếu ∆ = thì A có một giá trị riêng duy nhất 0 k0 ðể A chéo hóa ñược thì A

phải có 2 giá trị riêng ñộc lập tuyến tính α1=(x x1, 2); α2 =(y y1, 2)

Từ những ñiều trên ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận thực A chéo hóa

ñược là hoặc ∆ > hoặc a0 = và d b= = c 0

Trường hợp 2 A là ma trận phức

Tương tự như trường hợp thực ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận phức A

chéo hóa ñược là hoặc ∆ ≠ hoặc a0 = và d b= = c 0

Ví dụ 2.3 Chứng minh rằng ma trận vuông A giao hoán ñược với tất cả các ma

trận vuông cùng cấp thì chéo hóa ñược

Giải Gọi B là ma trận vuông cấp n :

1 2 ij

2.1.2 Các bước chéo hóa ma trận

Bước 1 Tìm các giá trị riêng của ma trận A (Tức là nghiệm của phương

trình ñặc trưng)

Bước 2 ðối với mỗi giá trị riêng, ta tìm cơ sở (gồm toàn vectơ riêng) của

không gian con riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình (A kI x− ) = 0

Bước 3 Lấy tất cả các cơ sở tìm ñược ở bước 2, nếu ñủ làm cơ sở của E ,

thì chéo hóa ñược và ma trận dạng chéo gồm các giá trị riêng

Lưu ý: Trong trường hợp K = ℝ , ta có thể trình bày cụ thể hơn như sau:

Bước 1 Tính các ña thức ñặc trưng và tìm nghiệm của nó

Nếu ña thức có một nhân tử là tam thức bậc hai vô nghiệm thì kết luận

không chéo hóa ñược và dừng lại, ngược lại thực hiện bước 2

Bước 2 Phân tích ña thức ñặc trưng thành dạng

Bước 3 Lần lượt với mỗi λi, ta tìm ñược một cơ sở của không gian riêng

ứng với giá trị riêng này bằng cách giải hệ phương trình:

(A k I x− i ) = 0

và chú ý rằng, số chiều của không gian con riêng là s i = −n rank A k I( − i ), nếu

thấy s i <m i thì kết luận ngay không chéo hóa ñược

Bước 4 Lấy cơ sở tìm ñược ở bước 3, lập ma trận S và 1

Giải Ở ví dụ 1.1 mục 1.4, ta ñã thấy, nếu coi A như ma trận của tự ñồng cấu f

của ℝ3 ñối với cơ sở chính tắc thì f có ba giá trị riêng phân biệt là

các vectơ có dạng ( , , )a a a hay W1 sinh bởi vectơ α
1=(1,1,1)

gồm các vectơ có dạng (− −a b a b, , ) hay W1 sinh bởi vectơ

Với k1= , không gian riêng 4 W1 tương ứng gồm các vectơ có dạng

(3 ,2 , )c c c hay W1 sinh bởi vectơ (3,2,1) Do ñó dimW1= 1

Với k2 =k3= , không gian riêng 0 W2 tương ứng gồm các vectơ có dạng

( ,2 ,c c − hay (1, 2, 1)c) c − , tức là W2 sinh bởi vectơ (1, 2, 1)− và dimW2 = 1

Vì A chỉ có hai giá trị riêng k =0;k = nên nếu A chéo hóa ñược thì A 4

Nếu A ñồng dạng với C thì xét tương tự như A ñồng dạng với B Vậy

A không chéo hóa ñược

Tóm lại, nếu số bội của nghiệm riêng lớn hơn số chiều của không gian

riêng tương ứng thì ma trận không chéo hóa ñược

2.1.3 Vấn ñề chéo hóa ma trận ñối xứng

ðịnh nghĩa 2.3 Một ma trận vuông A thuộc M n( )K ñược gọi là ma trận ñối

xứng (ma trận phản ñối xứng) khi và chỉ khi t ( t )

ma trận ñối xứng (ma trận phản ñối xứng) cấp n với hệ tử trong K ñược kí hiệu

là ( ) ( ( ))S K n A K n

ðịnh nghĩa 2.4 Một tự ñồng cấu f của không gian véc tơ Ơ-cơ-lít E ñược gọi

là trực giao khi và chỉ khi f bảo toàn tích vô hướng, tức là

2

( , )x y E , f x f y( ) ( ) x y

ðịnh nghĩa 2.5 Ma trận P thuộc M ℝ n( ) ñược gọi là trực giao khi và chỉ khi

tự ñồng cấu của ℝn , biểu diễn bởi P trong cơ sở chính tắc của ℝn, là một tự

ñồng cấu trực giao của ℝn ñược trang bị tích vô hướng thông thường

Ta kí hiệu O ℝ n( ) là tập các ma trận trực giao của M ℝ n( )

ðịnh lí 2.4

1) Giả sử E là một không gian véc tơ Ơ-cơ-lít , f là một tự ñồng cấu ñối

xứng của E Tồn tại một cơ sở trực chuẩn của E trong ñó ma trận của f là ma

 , trong ñó α∈ℝ,C∈M n,1( ),ℝ B∈S n( )ℝTheo giả thiết quy nạp, tồn tại P∈O n( )ℝ , D∈D n( )ℝ sao cho 1

1) Ta ñi chứng minh A′′′′ có ít nhất một giá trị riêng và một véc tơ riêng

Giả sử λ∈ℝ, V∈M n+1,1( )ℝ Phân tích V theo khối: V x

( )

1 1

λλ

n t

Giả sử G≠ , ta có thể giả thiết 0 d1≥ ≥d n

i i

g d

d i

i

g d

i i

g d

lí giá trị trung gian, tồn tại λ0∈(d1,+ ∞ sao cho ) φ λ( )0 = α

+ Nếu g1= thì lập luận này vẫn ñược áp dụng ñược bằng việc thay thế 0 d1 bằng

ðiều này chứng tỏ tồn tại một cơ sở trực chuẩn của E sao

cho ma trận của f là ma trận chéo □

ðịnh lí trên ñây khẳng ñịnh rằng với mọi ma trận ñối xứng thực

( )

n

S∈S ℝ thì luôn chéo hóa ñược, tức là luôn tồn tại P∈O n( )ℝ và D∈D n( )ℝ

lời là không Ví dụ sau ñây sẽ làm sáng tỏ ñiều ñó

Ví dụ 2.6 Cho 2( )

02

2.2 Chéo hóa ñồng thời

ðịnh lí 2.5 Cho n ∈ ℕ , E là một K - không gian véc tơ hữu hạn chiều với số *

chiều n , I là một tập khác rỗng ( ) f i i I∈ là một họ các ñồng cấu chéo hóa ñược

của E và giao hoán từng ñôi, nghĩa là: ∀( , )i j ∈I2, f i f j = f j f i

Tồn tại một cơ sở của E trong ñó các ma trận của f ñều là chéo, ta nói i

rằng các f i chéo hóa ñược ñồng thời ðặc biệt, nếu hai ma trận chéo hóa ñược

mà giao hoán thì chúng chéo hóa ñồng thời ñược

Chứng minh Với n= , tính chất này ñược suy ra từ phần 2.1 Giả sử nó ñúng 1

với mọi p∈{1, ,n}và giả E là một K - KGVT hữu hạn chiều với số chiều

1

n + , I là một tập khác rỗng, ( ) f i i I∈ là một họ các ñồng cấu chéo hóa ñược của

E và giao hoán từng ñôi một

Dễ dàng khảo sát trong từng trường hợp tất cả f i là các phép vị tự

Giả sử tồn tại i o∈ sao cho I

• Các (f i k, )(i∈I) ñôi một giao hoán vì các f i ñôi một giao hoán

Vậy ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho họ(f i k, )(i I∈ ) Tồn tại cơ sở

Chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán các ma trận ñối xứng

ðịnh lí 2.6 Cho một tập không rỗng I , ( )S i i I∈ là một họ phần tử giao hoán

từng ñôi một của S ℝ n( ) Khi ñó tồn tại P∈O n( )ℝ sao cho

Giả sử tính chất trên ñúng với mọi p thuộc ℕ* sao cho p n < và I là một

tập hợp không rỗng, ( )S i i I∈ là một họ phần tử thuộc ( ) S ℝ n ñôi một giao hoán

Trường hợp S i =αI n, với α∀ ∈ ℝ và i∀ ∈ là tầm thường Giả sử tồn tại I

n

i

S =PDP− Vì S i0 ≠αI n nên các phần tử trên ñường chéo

chính của D không bằng nhau Vậy ta có thể giả thiết λ0 0

0

r

I D

λ ∈ ℝ , r∈{1, ,n− , 1} D′′′′∈D n r− ( )ℝ với các phần tử chéo khác λ0 Với mỗi

i∈ , phân tích I P S P−1 i theo khối: 1 i i

,

i r n r

B ∈M − ℝ , C i∈S n r− ( )ℝ

Vì ( )S i i I∈ ñôi một giao hoán, ñặc biệt ∀ ∈i I S S, i i0 =S S i0 i nên thực hiện phép

nhân theo khối ta suy ra ∀ ∈i I, λ0B i =B D i ′′′′, tức là ∀ ∈i I B D, i( ′′′′−λ0I n r− )=0

Nhưng D′′′′−λ0I n r− là khả nghịch nên ∀ ∈i I B, i = Vậy ta chứng minh 0

Như vậy ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp với hai họ ( )A i i I∈ và ( )C i i I∈ Tồn tại

( )

P∈O ℝ và P2∈O n r− ( )ℝ sao cho với i I∀ ∈ thì

( ) ( )

2

00

a e a f

P( )= 0 + 1 + + , và P ( f) ñược gọi là ña thức của tự ñồng cấu

N

I a A

ñược gọi là ña thức của ma trận

ðịnh nghĩa 2.7

Giả sử ∈f L(E), P∈K[ ]X Ta nói rằng P triệt tiêu f (hay P là ña thức

triệt tiêu của f ) khi và chỉ khi P(f)=0

Giả sử A∈M n( )K ,P∈K[ ]X Ta nói rằng P triệt tiêu A (hay P là ña

thức triệt tiêu của A ) khi và chỉ khi P(A)=0

ðịnh lí 2.7

1) Giả sử E là K – không gian vectơ hữu hạn chiều, f ∈L E( ) ðể f chéo

hóa ñược thì ñiều kiện cần và ñủ là tồn tại P∈K X[ ] tách ñược trên K

và có nghiệm ñơn sao cho P f( ) 0=

n ∈ ℕ , A∈M n( )K ðể A chéo hóa ñược, ñiều kiện cần và ñủ là tồn tại P∈K[ ]X tách ñược trên K và có các nghiệm ñơn sao cho

0)

Kí hiệu N =c d Spar ( K( )), , ,f λ1 λN là các phần tử của Sp K( )f (như

vậyλ1, ,λN từng ñôi phân biệt) Tồn tại một cơ sở B của E sao cho ma trận A

Như vậy, tồn tại P∈K X[ ] tách ñơn và là ña thức triệt tiêu của f

b, ðảo lại, giả sử tồn tại P∈K X[ ] tách ñơn sao cho ( ) 0P f =

2) Suy ra từ 1) bằng việc chuyển qua ma trận

Ví dụ 2.7

a, Giả sử E là một K - KGVT (với K = ℝ hoặc ℂ ) hữu hạn chiều Mọi

phép ñối xứng s của E ñều chéo hóa ñược vì p triệt tiêu ña thức

)1)(

chéo hóa ñược

096

365

A

Có chéo hóa ñược hay không? Nếu ñược hãy chéo hóa nó

Giải ða thức ñặc trưng

−

=+

09

6

0365

3 1

2 1

3 2 1

x x

x x

x x x

Nghiệm tổng quát (3a,2a,a), a ∈ ℝ ,không gian riêng W1 tương ứng gồm

các vectơ có dạng (3c,2c,c) hay W1 sinh bởi vectơ α
1=(3,2,1)

06

0364

1 1

3 2 1

x x

x x x

Nghiệm tổng quát (0,a,−2a), a ∈ ℝ , không gian riêng W2 tương ứng

gồm các vectơ có dạng (0,a,−2a) hay W2 sinh bởi vectơ α
2 =(0,1,−2)

05

6

0369

3 1

2 1

3 2 1

x x

x x

x x x

Nghiệm tổng quát ( 5 , 6 , 3 )− a a a , a ∈ ℝ , không gian riêng W3 tương ứng

gồm các vectơ có dạng (−5a,6a,3a) hay W3 sinh bởi vectơ α
3 = −( 5, 6,3)

Ta dễ thấy hệ {α
1,α
2,α
3} là hệ ñộc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của

3

ℝ

Ma trận chuyển cơ sở T từ cơ sở ban ñầu sang cơ sở α α α
1,
2,
3

503

090

000

ℝ chéo hóa hóa ñược và hãy chéo hóa A

Giải ða thức ñặc trưng của A:

2

)1(1

02

11

1

10

k kI

=+

02

0

02

3 1

3 2

1

3 1

x x

x x

x

x x

các vectơ có dạng (a,a,−2a) hay W1 sinh bởi vectơ α
1 =(1,1,−2)

Với k2 = k3 =1

00

22

0

0

3 1 3

1

3 1

3 1

=+

=+

x x x

x

x x

x x

Nghiệm tổng quát (a,b,−a), ,a b∈ ℝ , không gian riêng W2 tương ứng

gồm các vectơ có dạng (a,b,−a) Hạng của ma trận của hệ phương trình này

bằng 1 nên không gian riêng tương ứng W2 (không gian nghiệm) có

3 2

dimW =dimℝ − =1 2 Một cơ sở của nó là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

Với a=0 =,b 1 ta có nghiệm riêng α
2 =(0,1, 0), với a = b1 =, 0 ta có

nghiệm riêng α
3 =(1,0, 1− ) Hệ vectơ {α
2,α
3} là một cơ sở của W2

Vậy A chéo hóa ñược

Ta dễ thấy hệ {α
1,α
2,α
3} là hệ ñộc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của

011

101

010

000

=b) Từ ñó suy ra ∀ ∈ ℝ , λ χA(λ)=((a−λ)2 +b2 +c2 +d2)2

c) Trong ℂ xác ñịnh các giá trị riêng và các vectơ riêng của A và chứng tỏ

rằng A chéo hóa ñược trong M ℂ4( )

d

b a d c

c d a b

d c b a

A t

a b c d

b a

d c

c d a

b

d c b a

a b c

d

b a d c

c d a b

d c b a A

+++

−

=

−