BG cuc tri ham da thuc bac ba chua m

TÌM M ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I.. Khi đó ta thay trực tiếp nghiệm vào hệ thức đề bài đặc biệt các hệ thức không đối xứng x x1; 2... TÌM m THOẢ MÃN ĐI

A PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI

DẠNG 3 TÌM M ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

I TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ HAI ĐIỂM CỰC TRỊ x x1; 2THOẢ MÃN MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC

1 Phương pháp

Bước 1: TXĐ: DR

Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

1 2

'





Bước 3: Gọi là hai nghiệm của PT Khi đó, theo định lý Vi-et:

2

Bước 4: Biến đổi hệ thức đề bài về dạng chứa S P; Từ đó giải tìm được mD2

Bước 5: Kết luận mD1D2 thoả mãn ycbt

Chú ý

+ Nhẩm nhanh ra nghiệm đẹp khi nhận thấy A B C  0 hoặc A B C  0 hoặc 'y' là bình phương không

âm Khi đó ta thay trực tiếp nghiệm vào hệ thức đề bài đặc biệt các hệ thức không đối xứng x x1; 2

+ Một số hệ thức thường gặp: S x1 x P2; x x1 2

2

1 2 1 2 1 2

3

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 4 1 2 4

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

MÔN TOÁN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

A



2 Bài tập áp dụng

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 2 1

3

y x mx   x m có hai điểm cực trị x x1; 2 thoả mãn 2 2

1 2 2

A m1 B. m0 C 2

2

Hướng dẫn giải

+ TXĐ: D R

+ Ta có: y'x22mx1

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x1; 2

 1

 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2    ' 0 m2 1 0 luôn đúng m

+Theo Vi- et: S x1 x22 ;m Px x1 2  1

+ Từ gt x12x22 2 S22P 2 4m2   2 0 m 0

Chọn B

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx33 m1x23m23m x 7 đạt cực đại , cực tiểu tại x x1; 2 thoả mãn 2 2

1 2 8

A m 1;m2 B. m1;m 2 C m2 D m 1

Hướng dẫn giải

' 0

 

 

2

1

1 0

2

m m

m

 



 





Chọn C

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx33mx23m1x1 đạt cực trị tại x x1; 2 thoả mãn 3x1x24x x1 2160

A m 2 B. m2 C m 3 D m3

Hướng dẫn giải

2

y  x  mx m

2

y  x  mx  m

ycbt

1 0

2

m

Chọn A

Câu 16: Số giá trị nguyên của m để hàm số 3 2  2 

y  x x  m  x đạt cực trị tại x x1; 2 thoả mãn

1 2 2

Hướng dẫn giải

Cách 1:

ycbt

2

0

1

m m

Cách 2:

2

Khi đó: x  1 m x;  1 mthay trực tiếp vào gt:

1 2 2 1 1 2 2 2 1

x x     m m   m    m

Cách 3: SD CTGN

2

A



Chọn C

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2

yx  x  mx đạt cực trị tại x x1; 2 thoả mãn

1 2

2x x 5

A m3 B. m 3 C. m1 D m 1

Hướng dẫn giải

2

 

2

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x1; 2

 1

 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2       ' 0 1 m 0 m 1 * 

Gọi là hoành độ các điểm cực trị

Theo Vi- et: S x1 x22;Px x1 2m

+ Kết hợp với gt, ta có:

 







Vậy m 3

Chọn B

Câu 18: Số các giá trị nguyên của m để hàm số 3   2

y x  m x  mx đạt cực trị tại x x1; 2 thoả mãn

1 1 2

4x  x x 19

Hướng dẫn giải

2

      





 + Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị m1 * 

TH1: x11;x2 m

4

Vậy có 4 giá trị thực của m thoả mãn

Chọn D

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 1  2  2

y  x  m x  m m x có cực đại, cực tiểu thoả mãn 3x CT2 x CD2 1

A 1

;

2

m 

 

2

1

;1 2

1

;1 2

 

Hướng dẫn giải

y   x m x m m

Suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu m

+ Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của  1

Ta có: x1m x; 2 m 1

+ Do hệ số a0 nên x CT x CD

Suy ra x CT  m 1;x CD m

2

x x   m m   m  m    m

Chọn D.

II TÌM m THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ DẤU CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ; SO SÁNH HAI ĐIỂM CỰC TRỊ

VỚI MỘT SỐ THỰC VÀ QUAN HỆ CÙNG PHÍA, KHÁC PHÍA SO VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương pháp

a Điều kiện để hai điểm cực trị cùng dấu, trái dấu

Khi đó PT y'  0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thoả mãn:

+ 2 nghiệm cùng dấu:   0;P 0

+ 2 nghiệm cùng dương:   0;P 0;S 0

+ 2 nghiệm cùng âm:   0;P 0;S 0

+ 2 nghiệm cùng dấu: P0 (có thể bỏ  0)

b Điều kiện để hai điểm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn 

Khi đó PT y'  0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thoả mãn:

+

1 2  

2

0









+

1 2  

1 2

2

0







 2 nghiệm cùng âm:  0;P0;S0

c Điều kiện để hai điểm cực trị nằm cùng phía , khác phía so với một đường thẳng

Cho A x y 1; 1 ;B x y2; 2và ĐT  :axby c 0

+    A  B 0 thì A B, nằm khác phía so với 

+    A  B 0 thì A B, nằm cùng phía so với 

2 Bài tập áp dụng

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3   2

yx  m x  mx có hai điểm cực trị x x1; 2 đều dương và thoả mãn x1 x2  10

A m8 B. m 2 C m2 D m4

Hướng dẫn giải

2

2

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x1; 2 cùng dương  1 có hai nghiệm dương phân biệt

 

2

2

    



         

+ Khi đó gọi x x1; 2 là hoành độ các điểm cực trị

Theo gt, ta có:

 

1 2 10 1 2 2 1 2 10 2 1 2 2 10

m

 



Chọn C

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2  

yx  mx  m x có hai điểm cực trị x x1; 2 trái dấu và thoả mãn 1 2

2 1

6

A m1 B. m 1 C m 1 D 1

2

m 

Hướng dẫn giải

2

 

2

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x1; 2 trái dấu

 1

2

+ Khi đó gọi x x1; 2 là hoành độ các điểm cực trị

Theo Vi-et: S x1 x2 2 ;m Px x1 2 2m1

Theo gt, ta có:

2

2

2

m



Chọn B

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx33mx23x1 có cực đại, cực tiểu với hoành độ tương ứng x x1; 2 thoả mãn x1 1 x2

A   1 m 1 B. m 1 C m 1 D 1

1

m m

 



 



Hướng dẫn giải

2

 

2

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x1; 2

 1

1

m m

m

 



 + Khi đó gọi x x1; 2 là hoành độ các điểm cực trị

Theo Vi-et: S x1 x2  2 ;m Px x1 21

Theo gt, ta có:

 

1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0

Kết hợp  * và  ** ta được m 1

Chọn C

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 3  2  2 

2

yx  m x  m m x có cực đại, cực tiểu với hoành độ đều lớn hơn 4

A m  1; 4 B. m    ; 1 4;C m  1; 4 D 1; 1 1; 4

m      

Hướng dẫn giải

' 3 3 4 1 3 5

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x1; 2  1 có hai nghiệm phân biệt

   

2

1

6

+ Khi đó gọi x x1; 2 là hoành độ các điểm cực trị

Theo gt, ta có:

 

1

2

2

2

4

4

x

x

m

m

 

Kết hợp  * và  ** ta được 1; 1 1; 4

m      

Chọn D

Câu 24: Số các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số yx33x2 m 1 có hai điểm cực trị nằm khác phía

so với trục hoành

Hướng dẫn giải

2

' 3 6

' 0

y



  



+ Để A B; nằm khác phía so với trục hoành thì y CD.y CT  0 m1m     3 0 1 m 3

+ Do m  Z m 0;1; 2

Chọn C.

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số yx33mx24 có hai điểm cực trị nằm cùng phía so với đường thẳng  d x2y 2 0 là:

A ;1 B. 0;1 C. m  ;0   0;1 D 1;

Hướng dẫn giải

2

y  x  mx x x m

0 ' 0

2

x

y





   



+ Để hàm số có hai điểm cực trị 2m  0 m 0

+ y 0  4 A 0; 4

+ Để A B; nằm khác phía so với  d x2y 2 0

0 8 2 2m 8m 8 2 0 8m 2m 6 0 m 1

Chọn C.

III TÌM M ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ HAI ĐIỂM CỰC TRỊ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC NÀO ĐÓ

1 Phương pháp

Gọi hai điểm cực trị là A x y 1; 1 ;B x y2; 2

2 1 2 1

AB x x  y y

+ Khoảng cách từ M đến :ax by  c 0: d M ,  ax M 2by M2 c

 

 



+ ABC vuông tại AAB AC 0

2

ABC

S  adbc với AB a b; ;AC c d;

+ PTĐT qua 2 điểm cực trị khi biết toạ độ: 1 1

2 1 2 1

+ PTĐT AB y: h x  với h x là dư của   y y: '

2 Bài tập áp dụng

Câu 26: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số yx33mx22m3 có hai điểm cực trị

;

A B sao cho ABOA 5 biết AOy O; là gốc toạ độ

A m0; 1  B.m  1 C.m 0;1 D m 1

Hướng dẫn giải

2

y  x  mx x x m

0 ' 0

2

x

y





   



+ Để hàm số có hai điểm cực trị 2m  0 m 0

+ Theo đề bài:

1

m







Chọn B

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 3

y  x mx có hai điểm cực trị A B; sao cho

OAB

 vuông tại O với biết O là gốc toạ độ

A 1

2

2

Hướng dẫn giải

' 0

y    x m

+ Để hàm số có hai điểm cực trị  m 0

+ Khi đó toạ độ 2 điểm cực trị của ĐTHS là:

+ A m;1 2 m m ;B m;1 2 m m

+ Theo đề bài: OAB vuông tại O

 

2

Chọn C

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số yx33mx23m3 có hai điểm cực trị A B; sao

cho OAB có diện tích bằng 48 với biết O là gốc toạ độ

Hướng dẫn giải

2

y  x  mx x x m

' 0

y    x m

+ Để hàm số có hai điểm cực trị 2m  0 m 0

+ Khi đó toạ độ 2 điểm cực trị của ĐTHS là:

0;3 ; 2 ;

Cách 1: Ta thấy A Oy OAOydB OA; dB Oy; 2m

;

1

2

Cách 2: SD CTGN

4 4

1

2

OAB

OAB

S   m  m    m tm

Chọn D

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx33mx26mx m có hai điểm cực trị

Đáp số: m  ;0  2;

Bài 2 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2 2021

3

m

y x x  x có cực trị

Đáp số: m  ;1

Bài 3 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số   3 2

y m x  mx  không có cực trị

Đáp số: m0

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 1  2  2 

y x  m x  m  m x có hai điểm cực trị là x3 và x5

Đáp số: m2

Bài 5 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3   2  2 

3

y x  m x  m  x đạt cực trị tại x 1 Đáp số: m0

Bài 6 Cho hàm số 3 2  

y x bx  cx C Biết điểm M1; 6  là điểm cực tiểu của  C Tìm toạ độ điểm

N là điểm cực đại của  C

Ta có: y'6x 2bxc y'' 12 x2b

 

2

     

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu M1; 6 

 

 

 

' 1 0 '' 1 0

y y y

 





 

 



b

    





   

  



3

3 12

12

b

b c

c b











      



3 2

2

x

x





        



Vậy N2; 21

Bài 7 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2  2 

yx  mx  m  x đạt cực đạị tại x1

Đáp số: m2

Bài 8 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 2  2 

3

y x mx  m  x đạt cực tiểu tại x 1

Đáp số: m 3

Bài 9 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2  2 

yx  mx  m  x m đạt cực trị tại x x1; 2 thoả mãn x12x22x x1 2 7

Đáp số: m 2

Bài 10 Gọi x x1; 2 là hai điểm cực trị của hàm số 3 2

y x mx  x Tìm tất cả các giá trị thực của m để

Ta có: y4x3mx23x 2

 

2

     

Hàm số có hai điểm cực trị x x 1, 2  * có hai nghiệm phân biệt

2

 *

 luôn có 2 nghiệm phân biệt x x với mọi 1, 2 m

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

 

 

1 2

1 2

1 6 1 2 4

m

x x

   





  



Theo đề bài ta có: x14x2    0 x1 4x2

 

 

 

2 2

1

2

2

6 3

2

9

9

2

m

m

x

m m

m

m

     

   

  

    

   

  

Đáp số: 9

2

m 

Bài 11 Gọi x x1; 2 là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3   2  

y x  m x  m m x Tính

1 2

P x x

Đáp số: P1

Bài 12 Gọi x x1; 2 là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 3 1  2

y x  m x  x Tìm tất cả các

giá trị thực của m để 3 3

Đáp số: m4

Bài 13 Gọi x x1; 2 là hai điểm cực trị của hàm số 2 3   2  2 

3

y x  m x  m  m x Tìm m để biểu thức

A x x  x x đạt giá trị lớn nhất

Giải

TXĐ: D

y  x  m x m  m



 2  2 

2

2

' 0

m

  

    

Khi đó x x1, 2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình y'0, áp dụng ĐL vi-ét ta có:

1 2

2

1 2

1

2

x x

   





Ta có:

1 2 1 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A

A

m

 

   



 



 

   

  

Vì 5        m 1 1 m 4 3

2 2 2

9

2

m

m

m

A

   

     

    

 

Đáp số: 4; max 9

2

Bài 14 Cho hàm số 1 3 2  

3

y x mx  m x Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  2021; 2021 để hàm

số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng 0;

Ta có: y'x22mx m 2

 

2

      

Hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng 0;

 *

 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2   0 x1 x2

1 2

1 2

' 0

0 0

x x

 





  

 



2

2 1

2 0

m m

 

  



2

m

 

Lại có:

 2021; 2021

m

m





  

  m 3; 4; ;2020; 2021

Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn bài toán

Bài 15 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx33x23mx1 có các điểm cực trị nhỏ hơn 2

Đáp số: m 0;1

Bài 16 Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 3   2 3

y x  m x  mx m có hai điểm cực trị

;

A B thoả mãn AB 2

y  x  m x m

2 2

Hàm số có hai điểm cực trị  * có hai nghiê có 2 nghiệm phân biệt x x 1, 2

0

    2  2

Khi đó ta có:

1 2

2

1 2

x

  





  



 Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là:  2

; 3

Lại có: AB 2 2

2

AB

   

2

 

 

3

2

2

1 1

m

m





 



      

Vậy m0 hoặc m2

Bài 17 Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 3 2

yx  mx  có hai điểm cực trị A B; sao cho

;

A B và M1; 2  thẳng hàng

Đáp số: m  2

Bài 18 Cho hàm số 3

yx  mx và điểm A 2;3 Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số trên

có hai điểm cực trị B C; sao cho ABC cân tại A

Đáp số: 1

2

m