Dạng 3: tính bất biến của tích phân xác định khi biến số thay đổi cận cho nhau: b.. Nếu fx liên tục trên [a;b] thì.[r]
Trang 1TÍCH PHÂN
MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ:
∫ sin u du =ln|tan u
2 | ∫ cosu du = ln|tan u
2 +
π
4 |
∫ du
√ u2± k =ln|u+ √ u2± k|
∫ du
√ a2ư u2= arcsin
u a
∫u2du
+a2=
1
aarctan
u
a ∫ u2du
ư a2= 1
2a ln|
uưa u+a |
∫ a2du
ư u2=
1
2a ln|
a+u aưu |
∫√a2ưu2du= u
2√a2ưu2+a2
2 arcsin
u
a ∫√u2+k du= u
2√u2+k +ln|u +√u2+k|
∫ tanudu=ưln|cosu| ∫ cotudu=ln|sin u|
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU CHỨA TAM THỨC BẬC HAI
1/ Dạng 1: A= ∫ax 2+dx bx+c
A =
(mx+n)2+p2 hoặc A = ∫ dx
(mx+n)2ưp2 sau đó áp dụng các công thức cơ bản để
tính
2/ Dạng 2: B= ∫(ax mx+n)dx 2
+bx+c
√ ax2+ bx+c
4/ Dang 4: ∫ (mx+n )dx
√ax 2+bx+c
( px+q ) √ ax2+ bx+c Đặt px+q=
1
t
Trang 26/ Dạng 6: ∫ (mx+n)dx
(px+q )√ax 2+bx+c
( ax2+ b ) √ cx2+ d Đặt t= √ cx2+ d
( ax2+ b ) √ cx2+ d Đặt xt = √ cx2+ d
9/ Dạng 9: ∫ (mx+n)dx
(ax 2+b )√cx 2+d = m Dạng7 + n Dạng 8
10/ Dạng 10: ∫ P n(x )dx
√ax 2+bx+c
11/ Dạng 11: Các phương pháp thế Euler
Khử dạng √ ax2+ bx+c
1/ a>0 đặt √ ax2+ bx+c = ± √ a x+t
2/ c>0 đặt √ ax2+ bx+c = tx± √ c
3/ đặt √ ax2+ bx+c = t (x− x0) nếu ax02+ bx0+ c
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1/ Dạng 1:
( sin x)n
( cos x )n
3/ Dạng 3: ∫ asin x+b cos x+c dx
t = tanx
2
a(sin x)2+b sin xcos x+c(cos x)2
Trang 35/ Dạng 5: tích phân liên kết
6/ Dạng 6: ∫msin x+n cos x asin x+bcos x
dx asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
7/ Dạng 7: ∫ msin x+n cos x+ p asin x+b cos x+c
dx asinx +bcosx + c = α( msinx + ncosx + p) + β( mcosx – nsinx) + ω
8/ Dang 8: ∫ asin x+bcos x
(m sin x+n cos x )2 dx
asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
9/ Dạng 9: ∫ sin( x+a)sin( x+b) dx
∫ sin( x+a)cos( x+b) dx
∫ cos( x+a)cos( x+b) dx
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ HÀM VÔ TỈ:
1/ ∫ f ( x, √ a2− x2) dx đặt x = asint
2/ ∫ f ( x, √ x2− a2)
dx đặt x =
a
cost
3/ ∫ f ( x, √ x2+ a2) dx đặt x = atant
4/ ∫ f ( x, √ a−x a+x )dx đặt x = acos2t
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I = ∫ x m ( a+bx n ) p
1/ p ¿ Z gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số biểu thị bởi m và n đặt x = tk
2/
m+1
n ¿ Z thì gọi s là mẫu số của p đặt a+bx n = tk
Trang 43/ n p
m
1
¿ Z
a+bxn
xn = t
s
CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Dạng 1: hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn, hàm lẻ.
1/ Nếu f(x) là hàm chẵn và lien tục trong [a;a] thì
I =
∫
−a
a
f ( x)dx=2 ∫
0
a
f (x )
2/ Nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trong [a;a] thì I =
∫
− a
a
g(x )
= 0
Dạng 2: hàm số dưới dấu tích phân là thương giữa hàm chẵn và hàm mũ:
I=
∫
−a
a
f ( x)
mx+1 = ∫
0
a
f ( x)dx
Ví dụ: I =
∫
−1
1
dx
( 2x+1) √ 1−x2 I =
∫
−π
2
π
2
sin xsin 2 xcos5 x
ex+1
Dạng 3: tính bất biến của tích phân xác định khi biến số thay đổi cận cho nhau:
Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì ∫
a
b
f ( x)dx= ∫
a
b
f (a+b−x)
I=
∫
0
1
ln(x+1)
x2+1
Dạng 4: tích phân của các hảm số đối xứng nhau:
Nếu f lien tục trên [0;1] thì ∫
0
π
2
0
π
2
f (cos x )dx
( t =
π
2−x )