Tai lieu khao sat ham

PHẦN TÍCH THUẬT TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2.1 Đặc tả bài toán Android đã có những bước đi dài kể từ khi thiết bị đầu tiên dùng hệ điều hành này xuất hiện, chiệc TMobile G1. Trong khoảng thời gian ấy, chúng ta đã chứng kiến sự xuất hiện của rất nhiều phiên bản Android, giúp nó dần biến đổi thành một nền tảng di động mới mẽ như ngày hôm nay. Đi cùng với sự phát triển đa phiên bản Android đó là sự phát triển rất nhiều ứng dụng chạy trên hệ điều hành đó. Mục đích chính giúp cho người dùng giải trí, tìm hiểu và hỗ trợ trong việc làm hay cuộc sống hằng ngày như xem thông tin, đọc báo, tra cứu từ điển và một số phục vụ cho học tập. Trong chương trình toán bậc phổ thông trung học, các bài tập về khảo sát hàm số rất quan trọng. Trong các kỳ thi tốt nghiệp hay thi đại học, phần khảo sát hàm cũng chiếm ít nhất 210 điểm. Một trong những ứng dụng nổi bật giúp cho học sinh trung học và phổ thổng dễ dàng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đó là phần mềm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sơ cấp trên hệ điều hành Android. Đây là một phần mềm rất tiện ích để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản như : Hàm số bậc nhất, hàm bậc hai, hàm bậc ba, hàm số trùng phương và hàm số nhất biến. Đầy là các các loại hàm số cơ bản mà học sinh trung học và phổ thông thường gặp khi làm bài tập. Phần mềm sẽ khảo sát đây đủ các thông tin liên quan đến hàm số như : tập xác đinh, sự biến thiên, tính đạo hàm, các điểm cực trị, điểm uốn và một số thông tin khác. Đồ thị được vẽ toàn màn hình giúp cho người dùng dễ quan sát các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số gồm có vị trí tọa độ, trục tung , trục hoành và màu vẽ phù hợp. Kết luận bài toán đặt ra cho chúng ta là : Xây dựng một phần mềm cho phép người sử dụng điện thoại Android khảo sát và vẽ đồ thị hàm số một cách đầy đủ, chi tiết và dễ dàng. 2.2 Đặc tả chức năng. 2.2.1 Hàm số bâc nhất Chức năng: Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0): Mô tả hoạt động: TXĐ : D = R. Tính biến thiên : • a > 0 hàm số đồng biến trên R. • a < 0 hàm số nghịch biến trên R. Bảng biến thiên : • a > 0 x ∞ + ∞ ∞ +∞ y x ∞ + ∞ ∞ +∞ y • a < 0 Đồ thị : • Bảng giá trị : x 0 ba y b 0 • Đồ thị hàm số y =ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm A(0, b) và B(ba; 0) 2.2.2 Hàm số bậc hai Chức năng: Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax2 + bx + c (a ≠ 0): Mô tả hoạt động: TXĐ : D = R. Tọa độ đỉnh I (b2a; f(b2a)),f(b2a) = Δ4a Trục đối xứng : x = b2a Tính biến thiên : • a > 0 hàm số nghịch biến trên (∞; b2a) và đồng biến trên khoảng (b2a; +∞) • a < 0 hàm số đồng biến trên (∞; b2a) và nghịch biến trên khoảng (b2a; +∞) Bảng biến thiên : x ∞ b2a + ∞ ∞ f(b2a) +∞ y • a > 0 x ∞ b2a + ∞ ∞ f(b2a) +∞ y • a < 0 Đồ thị : Đồ thị hàm số ax2 + bx + c là một đường parabol (P) có: • Đỉnh I (b2a; f(b2a)). • Trục đối xứng : x = b2a. • Parabol (P) quay bề lõm lên trên nếu a > 0, parabol (P) quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0. 2.2.3 Hàm số bậc ba Chức năng: Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax3 + bx¬2 + cx +d (a ≠ 0) Mô tả hoạt động: Tập xác định. D=R Sự biến thiên • Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm: + (Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải nếu nghiệm lẻ không được ghi nghiệm gần đúng) + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. Tìm cực trị. Tìm các giới hạn tại vô cực ( ) (Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.) Lập bảng biến thiên. Y=ax3+bx2+cx+d • a < 0 và ∆ < 0 x ∞ + ∞ y’ + y • a > 0 và ∆ < 0 x ∞ + ∞ y’ y • a > 0 và ∆ = 0 x ∞ b3a + ∞ y’ + 0 + y • a < 0 và ∆ = 0 x ∞ b3a + ∞ y’ 0 y • ∆ > 0 và a > 0 x ∞ x1 x2 + ∞ y’ + 0 0 + y CD CT x ∞ x1 x2 + ∞ y’ 0 0 y CD CT • ∆ > 0 và a < 0 Đồ thị: • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d) • Giao của đồ thị với trục Ox: • Các điểm CĐ; CT nếu có. Chú ý: Nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì OK, còn nếu được 1 nghiệm nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị. Lấy thêm một số điểm (nếu cần) (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.) Nhận xét về đặc trưng của đồ thị: + Hàm bậc ba nhận điểm làm tâm đối xứng: + Trong đó: x0 là nghiệm của phương trình y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0) + Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của đồ thị hàm số. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) a y’=0 a > 0 a < 0 Phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt. Phương trình y’ = 0 có nghiệm kép Phương trình y’ = 0 vô nghiệm 2.2.4 Hàm số trùng phương Chức năng : Khảo sát hàm số trùng phương : y = ax4+bx2+c (a0) Mô tả hoạt động : Tập xác định: D=R Sự biến thiên • Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm + Ta có: + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. Tìm cực trị Tìm các giới hạn tại vô cực ( ). (Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.) Lập bảng biến thiên. • Phương trinh có một nghiệm duy nhất: o a > 0 X ∞ b2a + ∞ ∞ f(x) +∞ Y o a < 0 x ∞ b2a + ∞ ∞ f(b2a) +∞ Y • Phương trình có 3 nghiệm phân biệt: o a > 0 X ∞ x1 x3 x2 + ∞ y’ 0 0 0 Y CD CT CT o a < o a < 0 X ∞ x1 x3 x2 + ∞ y’ 0 0 0 Y CD CD CT Đồ thị • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c) • Giao của đồ thị với trục Ox: • Các điểm CĐ; CT nếu có. Chú ý: giải phương trình trùng phương các bạn bấm máy tính như giải phương trình bậc hai nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x. Lấy thêm một số điểm (nếu cần) (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.) Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Ta có: .  Nên đồ thị hàm số đã cho là hàm số chẵn. Đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng. Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a  0) a y’=0 a > 0 a < 0 Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt Phương trình y’ = 0 có một nghiệm 2.2.5 Hàm số nhất biến Chức năng : Khảo sát hàm số nhất biến : y = Mô tả hoạt động : Tập xác định: Sự biến thiên • Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm + y’ không xác định khi ; y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi + Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng và Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị Tiệm cận: Ta có: nên là TCN ; Do đó Lập bảng biến thiên. o D = ad – bc > 0 x ∞ d c + ∞ y’ + + y +∞ a c a c ∞ o D = ad – bc < 0 x ∞ d c + ∞ y’ y a c +∞ ∞ a c Đồ thị • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= => (0; ) • Giao của đồ thị với trục Ox: • Lấy thêm một số điểm (nếu cần) (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)  Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Các dạng đồ thị hàm số: y = D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0 2.2.6 Hàm số hữu tỉ Chức năng : Khảo sát hàm số nhất biến : y = Mô tả hoạt động : 1. Tập xác định: 2. Sự biến thiên. a. Chiều biến thiên: y = Ta có: y’= y’= 0 A(dx+e)2 Cd = 0 => Tìm nghiệm và xét dấu của hàm số y’ dựa vào dấu của ACd b. Cực trị c. Giới hạn: limx>ed ( f(x) )= +∞, limx>ed (f(x))= ∞ d. Bảng biến thiên Trường hợp y’ vô nghiệm: + y’ > 0 x ∞ e d + ∞ y’ + + y +∞ +∞ ∞ ∞ + y’ < 0 x ∞ e d + ∞ y’ y +∞ +∞ ∞ ∞ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt + ad>0 x ∞ x1 e d x2 + ∞ y’ + 0 + 0 y f(x1) f(x2) ∞ ∞ ∞ ∞ + ad < 0 x ∞ x1 e d x2 + ∞ y’ 0 + 0 + y + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ f(x1) f(x2) 3. Đồ thị Tiệm cận đứng: ed Tiệm cận xiên: y = Ax+B Tâm đối xứng: Giao giữa 2 đường tiệm cận Các dạng đồ thị hàm số: y = ad y’= 0 ad > 0 ad < 0 Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y’< 0 y’ > 0 Phương trình y’ = 0 vô nghiệm 2.3 Khảo sát một số thư viện vẽ đồ thị trên Android 2.3.1 Achrtengine Thư viện biểu đồ cho các ứng dụng Android, hỗ trợ các loại biểu đồ : biểu đồ đường thẳng, biểu đồ thời gian, biểu đồ tròn, biểu đồ cột, … với đồ họa tương đối đẹp và dễ cài đặt, sử dụng trong lập trình. Mỗi loại biểu đồ có nhiều tùy chỉnh như : biểu đồ cột có 2 loại là default và stacked, biểu đồ đường thẳng cũng gồm 2 loại khác nhau… Tuy nhiên nhược điểm của thư viện này là biểu đồ được sinh ra gắn với một intent, text view,… vào giao diện biểu đồ để thực hiện ý tưởng riêng của người lập trình. Ví dụ như thêm các radio button để thực hiện các chức năng hiện thị biểu đồ theo tuần, tháng, năm. 2.3.2 Graphview Là một view tùy chỉnh dễ dàng tạo ra các biểu đồ bằng cách cung cấp một mảng giá trị, biểu đồ tự động hiển thị ra một cách đầy đủ. Tuy nhiên đồ họa không được đầu tư nhiều so với các thư viện biểu đồ khác, quá đơn gian, sơ sài, không đáp ứng được các yêu cầu ứng dụng hướng tới xây dựng biểu đồ có đồ họa dễ nhìn. 2.3.3 Aicharts Thư viện được thiết kế và tối ưu cho Android, hỗ trợ các môi trường phát triển Android, dễ dàng cài đặt, cung cấp đầy đủ tài liệu cần thiết kế và có các ví dụ mẫu về cách sử dụng thư viện. Liên kết dễ dàng, nhanh chóng, cho phép lấy dữ liệu từ một số định dạng phổ biến như : XML, database,… Tuy nhiên, đây là thư viện có bản quyền với giá khá cao nên khó có điều kiện để sử dụng thư viện này vào việc xây dựng ứng dụng. 2.3.4 Flot Là thư viện Javascript cho jQuery. Nó tạo ra biểu đồ dựa trên dữ liệu từ phía máy khách (client). Trọng tâm của thư viện là dễ sử dụng, tất cả các tùy chọn đều mở rộng, giao diện đẹp và các tính năng tương tác với biểu đồ như zoom in, zoom out, theo dõi chuột,… Do mọi công việc từ nhập dữ liệu đến vẽ biều đồ đều được thực hiện trong file html nên việc sử dụng rất dễ dàng, chỉ cần một webview trong Android với đường link đến file html để hiển thị ra màn hình. 2.3.5 Droidcharts Là công cụ hỗ trợ vẻ biểu đồ cho điện thoại sử dụng hệ điều hành Android, sử dụng đồ họa của Android. Đây là một nhánh của thư viện biểu đồ java JfreeChart được phát triển cho nền tảng Android. Việc cài đặt và sử dụng thư viện này khá dễ dàng trong lập trình. Việc thêm dự liệu cho biểu đồ tương đối dễ dàng với các hàm được tích hợp sẵn trong thư viện, tuy nhiên đồ họa đơn giản, đặc biệt các nhãn hiện thị theo các trục x,y không tự động căn chỉnh khi dữ liệu hiển thị quá nhiều, ví dụ như khi hiển thị biểu đồ 1 tuần, do dữ liệu ít nên các nhãn sẽ hiện thị ngày tháng năm đầy đủ, nhưng khi chuyển sang biểu đồ 1 tháng, hay 1 năm, dữ liệu sẽ nhiều, các nhãn do không tùy chỉnh được sẽ hiển thị đè lên nhau. 2.4 Thuật toán vẽ đồ thị hàm số Bước 1: Xác định đoạn cần vẽ Min, Max. Bước 2: Đặt gốc tọa độ lên màn hình (x0, y0). Chia tỉ lệ vẽ trên màn hình theo hệ sô k. Chọn số gia dx trên đoạn cần vẽ. Bước 3: Chọn điểm xuất phát: x = Min, tính f(x). Đổi qua tọa độ màn hình và làm tròn: x1=x0 + Round(xk); y1=y0 – Round (f(x)k); Di chuyển đến (x1, y1): moveto(x1, y1); Bước 4: Tăng x lên: x=x + dx; Đổi qua tọa độ màn hình và làm tròn: x2=x0 + Round(xk); y2=y0 – Round (f(x)k); Vẽ đến (x2, y2): lineto(x2, y2); Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi x  Max thì dừng. Code vẽ đồ thị hàm bậc 3 viết trên Turbo C: include include float a,b,c,d,e,min,max; int round(float x) { if (x>0) return int (x+0.5); else return int (x0.5); } void khoitaodohoa() { int gd=0,gm=0; initgraph(gd,gm,d:\tc\bgi); } float f(float x) { return(axxx+bxx+cx+d); } void vedothi(float min,float max) { int x0,y0,x1,y1,x2,y2; float x,dx,k; x0=getmaxx()2; y0=getmaxy()2; k=(float)getmaxx()15; dx=0.0001; setcolor(12); line(0,y0,2x0,y0); line(x0,0,x0,2y0); x=min; setcolor(1); x1=x0+round(xk); y1=y0round(f(x)k); moveto(x1,y1); while (x