MÔT SÔ DANG TICH PHÂN THƯƠNG GĂP... IV/ TÍCH PHÂN TRUY HỒI:.[r]
Trang 1CÔNG TH C TICH PHÂN Ư
∫ dx=x +C
∫ xαdx= x
α +1
α +1 + C
∫ dx x = ln | x | + C
ax+b ¿ndx= ¿ 1
a
(ax+ b)n +1
n+1 + C
¿
∫ ¿
∫ exdx=ex+ C
∫ axdx= ax
ln a + C
∫ cos (nx ) dx= 1
n sin nx +C
∫ sin x dx=− cos x+C ;
∫ sin nx dx=− 1
n cos nx+C
1
cos2x dx= ∫ (1+ ¿ tg2x)=tgx+C
∫ ¿
1
sin2x dx= ∫ (1+cot2gx)= ¿ − cot gx+C
∫ ¿
∫ du=u+C
∫ uαdu= u
α+1
α+1 + C
∫ (ax +b) 1 dx= 1
a ln | ax +b | + C
1
undx= ∫ u− ndx= ¿ − 1
( n −1) un −1+ C
∫ ¿
∫ eax+bdx= 1
a e
ax+b
+ C ; ∫ audu= a
u
lnu + C
∫ sin(ax+b)dx=− 1
a cos (ax +b)+C
∫ cos (ax +b)dx= 1
a sin(ax+b)+C
u '
u dx= ∫ du u = ¿ ln | u | + C
∫ ¿
;
∫ u'
√ u dx=2 √ u+C ; ∫ u ' u2dx=− 1
u + C
CAC PH ƯƠ NG PHAP TINH TICH PHÂN I/ CÔNG TH C NEWTON –LEPNIC: Ư ∫
a
b
f (x)=F(x )¿a b= F (b)− F(a)
II/ PH ƯƠNG PHÁP ĐÔ I BI N Ê :
D NG I A : ∫
a
b
f (x) dx= ∫
α
β
f (ϕ(x )) ϕ'( x) dx ; V i ơ ϕ(a)=α ;ϕ(b)=β
* Cách làm : Đăt t = ϕ(x) Đô âi c n + L y vi phân 2 v đ tính dx theo t & tính dt â ê ê + Bi u th : f(x).dx theo t & dt (f(x)dx= g(t) dt )ê i
D NG II A : Đăt x = ϕ(t) (T ng t nh trên ).ươ ư ư
III/ PH ƯƠ NG PHAP TINH TICH PHÂN T NG PH N Ư Â :
* Cách làm :bi u di n f(x)dx v d ng tích u.dv = u.v’dx.ê ê ê a + ch n u sao cho du d tính o ê
+ ch n dv sao cho d tính v = o ê ∫ dv + ap d ng ct u
I = ∫a
b
f (x) dx= ∫
α
β
g (t) dt
∫
a
b
u dv=u v ¿a b− ∫
a b
v du
Trang 2D NG I A :
¿
p(x).
sin ax cos ax tgax
eax
¿ righ
¿
¿ [ ][ ][ ]
∫
a
b
❑
¿
; Thì đ t u = p(x) : đa th c ;ă ư dv =
sin ax cos ax tgax
eax
¿ righ
¿
¿ [ ][ ][ ]
¿
dx suy ra v
D NG II A : ∫
a
b
p(x ) ln x dx ; Thì đ t u = lnx ; ă dv = p(x).dx
M T S D NG TICH PHÂN TH Ô Ô A ƯƠ NG G P Ă I/ TÍCH PHÂN HÀM H ỮU TỶ :
I = ∫
a
b
P(x ) Q(x) dx ; * Cách làm :
L u y CT: ư ∫ (ax +b) 1 dx= 1
a ln | ax +b | N u b c t nh h n b c m u :ê â ư o ơ â â
∫ 1
undx=−
1 ( n −1) un −1 + Phân tích:
x − β ¿2
¿
¿
P(x) Q( x) =
A
x − α +
B
¿ + Đông nh t 2 v đ ng th c tìm A,B,C,D va đ a t/phân v c b nâ ê ă ư ư ê ơ a
N u b c t l n h n m u thì chia đa th c va đ a v d ng trên.ê â ư ơ ơ â ư ư ê a
II/ TÍCH PHÂN HÀM L ƯỢNG GIÁC :
1 ∫
a
b
f (sin x) cos xdx ; Đôi bi n ê t = sinx 2 ∫
a
b
f (cos x ) sin xdx ; Đôi bi n ê t = cosx
3 ∫
a
b
f (tgx)dx ; Đôi bi n ê t = tgx
4 ∫
a
b
f (sin2 nx ,cos2 nx)dx ; Dung CT h b c : a â
¿
cos2x= 1+cos 2 x
2 sin2x= 1 −cos 2 x
2
¿ {
¿
5 ∫
a
b
sin ax cos bx dx ; Dung CT : sin A cos B= 1
2 [ sin ( A +B )+sin ( A − B ) ]
∫
a
b
sin ax sin bx dx ; sin A sin B= 1
2 [ cos ( A − B )− cos ( A +B) ]
∫
a
b
cos ax cos bx dx ; cos A cosB= 1
2 [ cos( A+B)+cos ( A − B ) ]
6 ∫
a
b
dx
a cos x +b sin x ; Đôi bi n ê t = tg
x
2 Thì sinx =
2t 1+t2 ; cosx = 1 −t2
1+t2
III/ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ :
D ng 1 a ∫
a
b
f (x ,n
√ ax +b cx +d ) dx ;Đôi bi n ê t =
n
√ax+b cx+d gi i tìm x = a ϕ(t) Tính dx theo dt
Trang 3D ng 2 a ∫
a
b
f (x , √ a2− x2
) dx ; Đôi bi n ê x= asint ; Tính dx theo dt
D ng 3 a ∫
a
b
f (x , √ x2− a2
) dx ; Đôi bi n ê x = a
sin t ; Tính dx theo dt
D ng 4 a ∫
a
b
dx
x2
+ a2 ; Ho c : ă ∫
a
b
dx
√ x2
+ a2 ; Đôi bi n ê x = atgt ; Tính dx theo dt
cos2x )
Cho In = ∫
a b
f (n ; x)dx V i nơ N.Tính I1; I2 L p công th c liên h gi a Iâ ư ê ư n & In + 1 Suy ra In