Công thức tích phân bội

công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội

TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 13 CHƯƠNG 13: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, TRƯỜNG

VECTOR

1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

DẠNG 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

Bước 1: Dựa vào phương trình đường cong C để tham số hóa: {𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡)ℎ𝑜ặ𝑐 {

𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡)

𝑧 = 𝑧(𝑡)

Bước 2: Xác định cận lấy tích phân: 𝑥 |𝑥𝑥2

1; |𝑦𝑦2

1; 𝑧 |𝑧𝑧2

1 → 𝑡 |𝑏

𝑎 Bước 3: Áp dụng công thức:

Hoặc

→ thì ta tham số hóa

Chú ý: Khi gặp đường tròn

bằng cách đặt {𝑥 = 𝑎 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦 = 𝑏 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑡

ĐỘ DÀI CUNG:

∫ 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑆 𝐶

ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆

𝐶

∫ 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓[𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)]√[𝑥′(𝑡)]2+ [𝑦′(𝑡)]2

𝑏

𝑎 𝐶

𝑑𝑡

∫ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓[𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡); 𝑧(𝑡)]√[𝑥 ′ (𝑡)] 2 + [𝑦 ′ (𝑡)] 2 + [𝑧 ′ (𝑡)] 2

𝑏

𝑎 𝐶

𝑑𝑡

(𝑥 − 𝑎)2+ (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝐿 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ √[𝑥′ (𝑡)]2+[𝑦′ (𝑡)]2𝑑𝑡

𝑏

𝑎 𝐶

DẠNG 2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

hoặc tích phân đường của trường vector 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 trên đường cong C

được biểu diễn bằng phương trình tham số 𝑅 = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘

Bước 1: Dựa vào phương trình đường cong C để tham số hóa: {𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡) ℎ𝑜ặ𝑐 {

𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡)

𝑧 = 𝑧(𝑡)

Bước 2: Xác định cận lấy tích phân: 𝑥 |𝑥𝑥2

1; |𝑦𝑦2

1; 𝑧 |𝑧𝑧2

1 → 𝑡 |𝑏

𝑎 Bước 3: Áp dụng công thức:

Hoặc

Chú ý: Tính công thực hiện bởi lực 𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒋 + 𝑹𝒌 khi di chuyển vật theo

đường cong C được biểu diễn bằng phương trình tham số 𝑹 = 𝒙(𝒕)𝒊 +

𝒚(𝒕)𝒋 + 𝒛(𝒕)𝒌 là:

𝑎 𝐶

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝐶

𝑑𝑦 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧

𝐶

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∫[𝑃 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑦′(𝑡)]

𝑏

𝑎 𝐶

𝑑𝑡

∫ 𝐹𝑑𝑅 = 𝐶

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫[𝑃 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑦′(𝑡) + 𝑅 𝑧′(𝑡)]

𝑏

𝑎 𝐶

𝑑𝑡

𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑅 =

𝐶

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫[𝑃 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑦′(𝑡) + 𝑅 𝑧′(𝑡)]

𝑏

𝑎 𝐶

𝑑𝑡

DẠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TRÊN ĐƯỜNG CONG KÍN

với C là đường cong kín

Bước 1: Tìm 𝑃𝑥; 𝑄𝑦 sau đó dựa vào miền D là miền được bao quanh bởi đường

cong C

Bước 2: Xác định cận lấy tích phân và sử dụng công thức tính

- Chiều lấy tích phân NGƯỢC chiều kim đồng hồ:

- Chiều lấy tích phân CÙNG chiều kim đồng hồ:

Chú ý: Nếu đường cong không kín thì ta có thể bổ sung them các đường thẳng

dạng 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 hoặc 𝒙 = 𝒄𝒚 + 𝒅 để trở thành đường cong kín sau đó trừ

bớt đi phần mà ta đã bổ sung

DẠNG 4: TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI

có 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 hoặc dạng 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 với C là đường cong được biễu diễn bằng 𝑅 = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘

Bước 1: Tìm 𝑃𝑥; 𝑄𝑦 và kiểm tra điều kiện 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄

𝐶

𝑑𝑦

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = + ∬(𝑄𝑥− 𝑃𝑦)𝑑𝐴

𝐷 𝐶

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = − ∬(𝑄𝑥− 𝑃𝑦)𝑑𝐴

𝐷 𝐶

∫ 𝑃𝑑𝑥

𝐶

+ 𝑄𝑑𝑦

0; 𝑦 |𝑦𝑦2

1 hoặc song song trục hoành 𝑦 = 𝑐 → 𝑑𝑦 = 0; 𝑥 |𝑥𝑥2

1 để nối điểm đầu

và điểm cuối sau đó tính tích phân theo những đường đã chọn

Cách 2: Sử dụng hàm thế 𝑓(𝑥; 𝑦) thõa mản:

Sử dụng công thức để tìm tích phân:

2 TRƯỜNG VECTOR

Cho trường vector

Độ phân kỳ của trường vector: 𝐹⃗:

-Nếu 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) = 𝟎, ∀𝑨 ∈ 𝑫 thì F được gọi là trường ống trên D

-Nếu 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) > 𝟎 thì F được gọi là điểm nguồn, 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) < 𝟎 thì F được gọi là điểm dò

Vector xoáy của trường

vector: 𝑭⃗⃗⃗:

-Nếu 𝑪𝒖𝒓𝒍𝑭(𝑨) = 𝟎, ∀𝑨 ∈ 𝑫 thì 𝐹⃗ được gọi là trường thế trên D

{𝑓𝑓𝑥 = 𝑃

𝑦 = 𝑄 → 𝑓 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) → ( ∫ 𝑃𝑑𝑥)

′

𝑦 + 𝑔′(𝑦) = 𝑄 → 𝑓(𝑥; 𝑦) = ⋯

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∫ 𝐹𝑑𝑅 = ∫ ∇𝑓 𝑑𝑅 = 𝑓[𝑅(𝑡2] − 𝑓[𝑅(𝑡1)]

𝐶 𝐶

𝐶

𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑘

𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ = 𝑃𝑥 + 𝑄𝑦+ 𝑅𝑧

𝐶𝑢𝑟𝑙𝐹⃗ = (𝑅𝑦 − 𝑄𝑧)𝑖⃗ + (𝑃𝑧 − 𝑅𝑥)𝑗⃗ + (𝑄𝑥 − 𝑃𝑦)𝑘⃗⃗

3 TÍCH PHÂN MẶT

DẠNG 1: S có phương trình 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) với D là hình chiếu của S lên Oxy (tương ứng z = 0)

Bước 1: Tính 𝑧𝑥; 𝑧𝑦

Bước 2: Xác định hình chiếu của S lên Oxy từ đó suy ra cận

Bước 3: Áp dụng công thức tính tích phân mặt

Chú ý: Diện tích mặt cong S:

Nếu D là miền có dạng hình tròn hoặc Ellipse thì ta đổi biến của hệ tọa độ cực

DẠNG 2: S có phương trình 𝑅(𝑢; 𝑣) = 𝑥(𝑢; 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢; 𝑣)𝑗 + 𝑧(𝑢; 𝑣)𝑘 ∈ 𝐷 Bước 1: Tính 𝑅𝑢, 𝑅𝑣 → 𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 → ‖𝑅𝑢 × 𝑅𝑣‖

Bước 2: Xác định hình chiếu của S lên Oxy từ đó suy ra cận

Bước 3: Áp dụng công thức tính tích phân mặt:

Chú ý: Diện tích mặt cong S:

∬ 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑔[𝑥; 𝑦; 𝑓(𝑥; 𝑦)]√1 + 𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 𝑑𝐴

𝐷 𝑆

𝐴𝑆 = ∬ 𝑑𝑆 = ∬ √1 + 𝑧 𝑥2+ 𝑧𝑦2 𝑑𝐴

𝑅 𝑆

∬ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑅)‖𝑅𝑢× 𝑅𝑣‖

𝐷 𝑆

𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐴𝑆 = ∬‖𝑅𝑢× 𝑅𝑣‖𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐷

𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘, D là hình chiếu S lên Oxy

Chú ý: Nếu P, Q, R có chứa z thì ta thế 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚) từ đề bài vào đề để tính

toán

𝑆: 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) với D là

hình chiếu của S lên

Oxy

Nếu S định hướng lên (ra ngoài) 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉 〈−𝑧𝑥; −𝑧𝑦; 1〉𝑑𝐴

𝐷 𝑆

Nếu S định hướng xuống (vào trong) 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉 〈𝑧𝑥; 𝑧𝑦; 1〉𝑑𝐴

𝐷 𝑆

𝑆: 𝑅(𝑢; 𝑣) = 𝑥(𝑢; 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢; 𝑣)𝑗 + 𝑧(𝑢; 𝑣)𝑘; (𝑢; 𝑣) ∈ 𝐷 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉 (𝑅𝑢× 𝑅𝑣)𝑑𝐴

𝐷 𝑆

4 ĐỊNH LÝ ĐỘ PHÂN KỲ (Áp dụng cho S là mặt cong kín)

Vector pháp tuyến đơn vị có hướng ra ngoài

𝐷 𝑆

Vector pháp tuyến đơn vị có hướng vào

𝐷 𝑆

Chú ý: Nếu mặt cong S là mặt chưa kín thì ta có thể bổ sung them vào những mặt 𝑺𝟎: 𝒛 = ⋯ đơn giản theo chiều hợp lý với S để tạo

thành mặt 𝒔 ∪ 𝒔𝟎 kín để áp dụng định lý độ phân kỳ sau đó trừ đi phần mặt 𝑺𝟎 đã bổ sung vào:

𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 − ∬ 𝐹𝑑𝑆

𝑆0 𝑆∪𝑆0

𝑆