GV Báo cáo chuyên đề : Trần Trọng Cảnh Thời gian thực hiện: Ngày 26/10/2012 Tờn chuyờn đề: “Vận dụng hình học để giải một số bài toán chứng minh bất đẵng thức” Nằm trong khuôn khổ của vấ[r]
Trang 1
GV Bỏo cỏo chuyờn đề : Trần Trọng Cảnh
Thời gian thực hiện: Ngày 26/10/2012
Tờn chuyờn đề: Vận dụng hình học để giải một số bài toán chứng “
minh bất đẵng thức”
Nằm trong khuôn khổ của vấn đề cần đề cập đến phạm vi bài viết, chỉ áp dụng một số kiến thức cơ bản của hình học Vậy để nắm rõ nội dung phơng pháp này tôi xin trình bày một số bài toán cụ thể.
Bài toán 1 :
Cho a c > 0; b c > 0.
Chứng minh:
√c (a − c) + √c (b −c ) √ab
Lời giải
Dựng tam giác ABC có:
AB = √a ; AC = √b và đờng cao AH = √c
A
I
❑
√a √c √b
B C
√a −c H √b −c
Theo định lý Pitago, ta có:
BH = √a −c ; HC = √b −c .
Ta có: CI AB AC AB ( Vì CI AC).
⇔ 2 S Δ ABC AC AB
⇔ AH BC AC AB
⇔ √c ( √a −c + √b −c ) ❑
√a √b
⇔ √c (a − c) + √c (b −c ) √ab
( dấu = xẩy ra khi A trùng với I hay góc A bằng 90 ❑o )
Nhận xét: Đây là một bài toán có nhiều cách giải nhng không dễ
Cũng nh bài toán này ta có thể đề xuất bài toán tơng tự sau mà cách giải chỉ là một:
Cho a;b;c > 0 ; Chứng minh rằng √a2
+c2 √b2
+c2 (a+b)c
Bài toán 2 : Chứng minh bất đẵng thức:
¿√x2− 4 x+29 - √x2− 4 x+5 ¿ 4 B
Lời giải:
Đặt M = ¿√¿x −2¿2+ 5 2 - ¿x − 2∨¿
2
+ 12
¿
√ ¿
¿
* Xét Với x=2, ta có M=4 (1) A1 D 4 C
* Xét Với x 2 ;
Dựng Δ ABC có góc A = 90 ❑0 ; AC=5; AB = ¿x − 2∨¿ ;
Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = 1 ⇒ DC = 4
Theo định lý Pitago, ta có:
BC = x − 2¿
2
+ 5 2
¿
√ ¿
BD = x − 2¿
2 +1 2
¿
√ ¿
Trang 2Mà BC BD < CD ⇔
x − 2¿2+5 2
¿
x − 2¿2+12
¿
¿
√ ¿
¿
< 4 ,
Với mọi x 2 (2)
Kết hợp (1) Và (2), ta có: M 4
Vậy ¿√x2− 4 x+20 - √x2− 4 x+5 ¿ 4 (Đpcm)
(dấu bằng xẩy ra khi x=2)
* Bài tập t ơng tự:
Chứng minh bất đẳng thức:
¿√a2− 6 a+34 - √a2− 6 a+10 4
*Bài tập tổng quát:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = ¿√F (x ) - √H (x) ¿ ; Trong đó F(x) và H(x) > 0
Biết F(x) = a ❑1 x ❑2 +b ❑1 x + c
H(x) = a ❑1 x ❑2 +b ❑1 x + d
Bài toán 3: Cho a;b;c;d > 0, chứng minh bất đẵng thức:
√(a2+c2)(b2+c2) + √(a2+d2)(b2+d2) (a+b)(c+d)
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD có AC BD A D Gọi O = AC BD
Đặt OA = a ; a d
OB = b ;
OC = c; O
OD = d; c b
Theo định lý Pitago, ta có: B C
AB = √a2
+c2 ; BC = √b2
+c2
AD = √a2
+d2 ; CD= √b2
+d2 Cần chứng minh AB.BC + AD.DC AC.BD
Ta có: +
¿
AB AC ≥ 2 SΔ ABC
AD DC ≥ 2 SΔACD
¿ {
¿
AB.BC+AD.DC 2 S ❑❑ABCD
Mà S ❑Δ ABC = 12 (a+b)(c+d)
⇔ AB.BC +AD.DC AC.BD
⇔ √(a2
+c2
)(b2
+c2
) + √(a2
+d2
)(b2
+d2
) (a+b)(c+d)
(Đpcm)
Dấu bằng xẩy ra khi góc B bằng góc D = 90 ❑0
Bài toán 4
Cho x;y;z là các số thực dơng thỏa mãn: xyz(x+y+z) = 1 Chứng minh rằng: (x+y)(x+z) 2
Giải A
Vẽ Δ ABC, có: H x
AB= x+y;
AC= x+z ; K F
Trang 3BC= y+z;
y
B E z C
Vẽ đờng tròn tâm 0 nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với 3 cạnh
AB;AC ;BC lần lợt tại K;F;E Khi đó ta có AK= AF=x; BK=BE=y;
CE = CF = z
Ta có: CH.AB AB.AC (vì CH AC)
⇔ 2S ΔABC AB.AC ⇔ 2S ΔABC (x+y)(x+z) (1)
Mà S Δ ABC = √P (P− AB)(P − AC)(P− BC) ;(Trong đó P là nữa chu vi
Δ ABC ;
P = x+y+z) ⇒ (1) ⇒ 2 √(x + y +z)xyz ≤ (x+y)(x+z)
⇒ 2 (x+y)(x+z) (Đpcm)
Dấu = xẩy ra ⇔ A trùng H ⇔ Góc A=90 ❑0
* Bài tập t ơng tự :
Cho a;b;c;d > 0;
CMR:
c +d¿2
a+b¿2+ ¿
¿
√ ¿
√a2+c2 + √b2+d2