Giao an BDHSG Dai 9

2 Tỏh 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khỏc cú trong biểu thức đó cho... Khi đú khụng tỡm được giỏ t[r]

Chủ đề 1 Các bài toán về biến đổi biểu thức số

4) Các phép biến đổi đơn giản căn bậc hai:

4.1 Đa thừa số ra ngoài dấu căn:

√A2B=|A|√B (B ≥ 0)

4.2 Đa thừa số vào trong dấu căn

2 2

( 0, 0) ( 0, 0)

A

√B=

A√B

B (B >0)C

II Bµi tËp LuyÖn tËp:

Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c biÓu thøc sau thµnh c¸c luü thõa bËc hai:

Bµi 17 TÝnh: P=√1+20072+20072

20082+

20072008

¿

P=√¿

Bµi 18 XÐt biÓu thøc:

Bài 19 Cho các số sau:

A=√6+√6 +√6+ +√6

B=√36+√36+√36+ +√36Chứng minh rằng A và B đều không phải là các số nguyên

Bài 20 a) Cho A=√360+√360+√360+ .+√360 Chứng minh rằng 3<A<4.

b) Ta có

2√7¿2

¿(9+2√7)

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P với x=7 − 4√3

c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a

√x >

√x

√x=1

Suy ra giá trị lớn nhất của a để P > a là a = 1

Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi: a+b

2 ≥√ab Với a ,b ≥ 0 ; Dấu "=" xảy ra  a=b)

Bài 5 Cho biểu thức: A=( √2+x5 +√2− x):( √4 − x5 2+1)

a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi x= 2√3

1+√a

2+√a+

3 a −3+√9 a a+√a −2

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị a nguyên để giá trị tơng ứng của P là số nguyên

Bài 8 Cho biểu thức:

Q=( √x − y x −√y+

x√x − y√y

y − x ):(√x −√y)

2+√xy

a) Rút gọn R b) Tính giá trị của R khi a=1−√3

b) Tìm x để S = 1 d) Tìm x nguyên để S có giá trị nguyên

Bài 12 Cho biểu thức: P=(1+ √x

x +1):( √x − 11 −

2√x

x√x+√x − x − 1)− 1

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q=P −√x nhận giá trị nguyên

Bài 13 Cho biểu thức: A= 3 x+√9 x −3

Bài 14 Cho biểu thức:

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 0,36

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A là một số nguyên

Bài 15 Cho biểu thức: A= 3 x+√9 x −3

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x=3+2√2

c)Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tơng ứng của biểu thức A nguyên

Bài 16 Cho biểu thức: P= x√x − 1

Bài 19 Cho biểu thức: P=10√x

c) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 20 Cho biểu thức: P=( √x −11 −

2√x

x√x − x+√x −1):(x√x +x+ x +√x√x +1+

1

x +1)

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 21 Cho biểu thức: P= 1

Bài 24 Cho P=( √x −11 −

2

x√x − x+√x −1):(1 − √x

x+1)a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 0 x để P có nghĩa

Bài 25 Cho M=( √1+a3 +√1− a):( √1 − a3 2+1)

Bài 26 Cho A=(x√x +2 x −1+

√x x+√x +1+

1

1−√x):√x −1

2a) Rút gọn A b) Chứng minh rằng 0< A ≤ 2

Bài 27 Cho biểu thức A=1 :(x x +2√x +1+

a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 29 Cho biểu thức: P= x√x − 3

x − 2√x − 3 −

2(√x −3)

√x +1 +

√x+3 3−√x

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P với x=14 − 6√5 c) Tìm GTNN của P

Bài 30 Cho biểu thức: P=( √x +√y

1−√xy+

√x −√y

1+√xy ):(1+x + y +2 xy

1 − xy )

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P với x= 2

2+√3 c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài 31 Đơn giản biểu thức: T = a

2 Từ đó tính  sao cho sin = P.

a) Rút gọn A b) Tìm điều kiện của x để |A|>− A

Bài 35 Cho các biểu thức: P= √x +1

II Chứng minh đẳng thức - Tính giá trị biểu thức.

Bài 1 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Tính G = √x2−3 x+25+√x2−3 x +9 chỉ rõ khi đó x bằng bao nhiêu?

Bài 4 Chứng minh rằng nếu

Bài 7 Cho a xy  1x2 1y2 va b x 1y2 y 1x2

.Trong đó x, y > 0 Tính b theo a

Bài 8 Chứng minh rằng nếu ( √x2+3+ x)( √y2+3+ y)=3 thì x+ y=0

Bài 9 Chứng minh rằng nếu x√1− y2

+y√1 − x2=1 thì x2

+y2 =1

Bài 10 Cho a, b > 0 chứng minh rằng: √2( √a2+b2− a)( √a2+b2−b)=a+b −√a2+b2

Bài 11 Tìm tất cả các số thực không âm a, b, c thoả mãn: √a −b+c=√a −√b+√c

Bài 12 Chứng minh rằng trong các số:

x2+ 1

y2+1

¿

√¿b) áp dụng tính giá trị biểu thức:

(Khong thoa x -2), loai.

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt: x = 1

C¸ch 2: V× x2 x  0 va x2 x 2 0  nªn √x2− x +√x2+x − 2=0

Chó ý mét sè kiÕn thøc bæ sung:

* Víi a ≥ 0 th×:

1) 2)

Bµi 3 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

VËy PT cã nghiÖm duy nhÊt x = 50

VÝ dô 2 a) Chøng minh r»ng: |A+B|≤|A|+|B| DÊu "=" x¶y ra khi nµo?

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: M =√x2+4 x +4 +√x2−6 x +9

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi AB ≥ 0

Nh vËy, chó ý r»ng: |A+B|=|A|+|B|⇔ AB≥ 0

x x

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ y+12=4√x +6√y − 1

Lêi gi¶i: §K: x ≥0; y≥1.

VÝ dô 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x −2=2√x − 1+2√2 x − 3

Lêi gi¶i: §KX§: x ≥3

2

¿VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2.

Loại V Dùng biểu thức liên hợp để giải phơng trình:

2

2 2

Loại VI Giải phơng trình bằng phơng pháp đánh giá.

(Chú ý về bất đẳng thức Côsi: Với a, b ≥ 0 ta có: a+b

Ví dụ 2 Giải phơng trình: √2− x2

+2 x+√− x2−6 x − 8=1+√3

Lời giải:

+¿VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x=−3 1

2 vµ x=−

1+√172

VÝ dô 4 T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:

3√x +11√y=√2000(§Ò thi hs giái huyÖn §an Phîng n¨m häc 2004-2005)

¿{

¿VËy cÆp sè nguyªn (x, y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh lµ: (45; 5)

VÝ dô 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh: √x(x +1)+√x (x +2)=√x (x −3) (*)

Lêi gi¶i:

- DÔ thÊy x = 0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

3√21 .Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm:

3 d¿x

3 +2 x2− 4 x=−8

3¿

Bài 2 Giải các phơng trình sau:

a¿x3− 3 x2 +9 x − 9=0 (Bài 5 Đề thi vào lớp 10 chọn THPT Đan Phợng năm 2007-2008)

b¿√ √3 − x =x√ √3+x (Bài 4 Đề thi vào lớp 10 chọn THPT Đan Phợng năm 2006-2007)

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

Bài 4 Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (x, y) sao cho x < y và √x+√y=√1980

Bài 5 Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thoả mãn: √x+√y=√931

Bài 6 Giải các bất phơng trình sau:

Chủ đề 4 Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

3 Bất đẳng thức (Liên quan giữa căn của tổng (của hiệu) với tổng (hiệu) các căn bậc hai.)

- Với a, b ≥ 0 thì: √a+b ≤√a+√b (Dấu "=" xảy ra  a = 0 hoặc b = 0)

- Với a, b ≥ 0 và a ≥ b thì √a −b ≥√a −√b (Dấu "=" xảy ra  a = b hoặc b = 0)

Tổng quát: Với a1, a2, , an là các số dơng ta có: √a1+a2+ +a n<√a1+√a2+ +√a n

4 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

∀ a ∈ R :|a|≥ a (Dấu "=" xảy ra  a ≥ 0)

∀ a ∈ R :|a|≥ − a (Dấu "=" xảy ra  a ≤ 0)

|a+b|≤|a|+|b| (Dấu "=" xảy ra  ab≥0)

√2>

1

√251

√3>

1

√25

1

√24>

1

√25} } } }

      (Theo BDT Cosi) Dau "" xay ra  3x - 57 - 3x  x2)

VËy max A2 = 4  max A = 2 (khi vµ chØ khi x = 2)

VËy max A2 = 4  max A = 2 (khi vµ chØ khi x = 2)

VÝ dô 5 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A= 2 x

III Bµi tËp luyÖn tËp:

Bµi 9 Chøng minh r»ng: 3 −√3+√3+√3+ .+√3

6 −√3+√3+√3+ +√3<

15(Tö cã 2009 dÊu c¨n; mÉu cã 2008 dÊu c¨n)

a+b DÊu "=" x¶y ra  a = b)

Bµi 10 Cho A=√x +3+√5 − x Chøng minh r»ng A ≤ 4

Bµi 11 Chøng minh B§T: (√a+√b)2≥ 2√2(a+b)√ab víi a, b ≥ 0

Bµi 12 Cho x, y  R tho¶ m·n xy = 1 vµ x > y Chøng minh r»ng: x2+y2

Bµi 15 Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: a2+b2+c2<2(ab+ bc+ca )

Chøng minh r»ng: a+b +c <2(√ab+√bc+√ca)

Bµi 16 Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: ab + bc + ca = 1.

Chøng minh r»ng: √1+a2+√1+b2+√1+c2≤ 2(a+b +c)

Bµi 17 Cho a, b, c, d lµ 4 sè nguyªn d¬ng bÊt kú Chøng minh r»ng sè:

a+b+c+

b a+b+d+

c b+c+d+

d a+c +d kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn.

Bài 18 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho √n+1−√n<0 , 05

Bài 19 Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất thoả mãn:

Bài 24 Tìm giá trị lớn nhất của M =3 a+ 4√1− a2 với -1 ≤ a ≤ 1

Bài 25 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=√x −5+√23 − x

Bài 26 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x+6√x +34

√x +3

Bài 27 a) Tìm giá trị lớn nhất của A=√x +1−√x −8

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của B=√x − 3+√5 − x

Bài 28 Cho x + y = 15 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của B=√x − 4+√y −3

Bài 29 Xét biểu thức: P=x −2√xy+3 y − 2√x+1

Tìm giá trị nhỏ nhất mà biểu thức P có thể đạt đợc

Bài 30 a) Cho x, y là các số không âm Chứng minh: x + y

2 ≥√xyb) áp dụng kết quả câu a) Chứng minh rằng:

Nếu a > c, b > c, c > 0 thì √c (a − c)+√c (b −c )≤√ab

(Trích câu 5 đề thi vào lớp 10 THPT và THPT chuyên tỉnh Hà Tây năm học 2008-2009)

Bài 31 Cho số thực x>2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 34 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giỏc với a   b c

x   áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số

1 1,

VD 4: Tỡ giỏtrị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khụng õm x, y, z ta cú: 1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khụng õm x+y, y +z, z + x ta cú :

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3 (x y)(y z)(z x)   (2)

Nhõn từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khụng õm) : 2 ≥ 9.3A  A ≤

3

29

x 

, Tỡ GTLN của A = 2x25x2 + 2 x+3 - 2x

Giải : Ta cú : A = 2x25x2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1   x2 + 2 x+3 - 2x  Với

12

Dấu “=” sảy ra khi :

Biện phỏp 1: Để tỡm cực trị của một biểu thức ta tỡm cực trị của bỡnh phương biểu thức đú

=  4 x22  2 2  x x  2  x1 4   x  x1 4   x22

 4 x2  x1 4   x 2 2 2

Biện phỏp 2: nhõn và chia một biểu thức với cựng một số khỏc khụng.

VD Tỡ giỏtrị lớn nhất của biểu thức:

x - 9

A = 5x

Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta cú:

x - 9

A = 5x =

9

x x

Bài 2: Tỡ giỏtrị lớn nhất của biểu thức:

3 3

x - 9

B = 27x

Biện phỏp 3: Biến đổi biểu thức dó cho thành tổng của cỏc biểu thức sao cho tớch của chỳng

là một hằng số:

VD1: cho x > 0 Tỡ GTNN của biểu thức:

4 3

2

2 x+yx+x+2y

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nõng cao và một số chuyờn đề Bựi văn Tuyờn )

Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y  6 Tỡ GTNN của

12 16

P 5x 3y

Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tỡ GTNN của

Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa món biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tỡm GTLN của B x y 2 3

hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khỏc cú trong biểu thức đó cho.

VD1: Cho 0 < x < 2 , Tỡ GTNN của

B2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nõng cao và một số chuyờn đề Bựi văn Tuyến )

Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tỡ GTLN của

x



( với x > 1 )

Bài 8: Tỡ GTNN của biểu thức:

5

C = 2x-1 3



( với 0 < x < 1 )

Biện phỏp 4: Thờm 1 hạng tử vào biểu thức đó cho:

VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa món điều kiện x + y + z = 2 Tỡm GTNN của biểu thức:

VD2 : Tỡ GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa món

1

x y  (a và b là hằng số dương).