Ứng dụng đồ thị tìm ước số và xác định tập đồng dư

Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa đồ thị

Một đồ thị được định nghĩa là một tập hợp X không rỗng các đối tượng và bộ E chứa các cặp sắp thứ tự và không sắp thứ tự của các phần tử trong X Đồ thị này thường được ký hiệu là G(X, E) hoặc G = (X, E) hoặc G(X).

Trong lý thuyết đồ thị, các phần tử của tập hợp X được gọi là đỉnh Cặp đỉnh không sắp thứ tự được xem là cạnh, trong khi cặp đỉnh sắp thứ tự được gọi là cạnh có hướng hoặc cung Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ thị vô hướng, trong khi đồ thị chỉ chứa các cung được gọi là đồ thị có hướng Nếu một đồ thị bao gồm cả cạnh lẫn cung, nó được phân loại là đồ thị hỗn hợp hoặc đồ thị hỗn tạp.

Một cặp đỉnh có thể liên kết với nhau thông qua hai hoặc nhiều hơn hai cạnh, được gọi là các cạnh bội Những cạnh này có thể là hai hoặc nhiều hơn hai cung và hướng khác nhau.

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Một cung hay một cạnh có thể bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh Cung hay cạnh loại này được gọi là khuyên hay nút.

Cặp đỉnh x, y được nối với nhau bằng cạnh (cung) a thì x, y được gọi là các đỉnh hay hai đầu của cạnh (cung) a, và a được gọi là cạnh (cung) thuộc đỉnh x, y.

Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u và đi vào đỉnh v, thì u được gọi là đỉnh đầu, còn v được gọi là đỉnh cuối của cung b.

Cặp đỉnh x, y được xem là hai đỉnh kề nhau nếu x khác y và chúng là hai đầu của cùng một cạnh hoặc một cung Đối với mọi đỉnh x, D(x) biểu thị tập hợp các đỉnh mà mỗi đỉnh này được nối với x bằng ít nhất một cạnh D+(x) chỉ tập hợp các đỉnh mà từ x có cung đi tới, trong khi D−(x) là tập hợp các đỉnh mà có cung đi tới x.

Hai cạnh (cung) a và b được coi là kề nhau nếu chúng không giống nhau và chia sẻ một đỉnh chung Việc xác định đỉnh chung không phụ thuộc vào việc đó là đỉnh đầu hay đỉnh cuối của các cung a và b.

Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G(X, E) với tập đỉnh:

Đồ thị G(X, E) bao gồm các cạnh a1, a2, a3, a4, a5 và các cung b1, b2, trong đó cung b1 có x1 là đỉnh đầu và x6 là đỉnh cuối Đồ thị này không có khuyên và mỗi cặp đỉnh chỉ được nối với nhau bằng một cạnh, được gọi là đồ thị đơn Nếu đồ thị G(X, E) không có khuyên nhưng có ít nhất một cặp đỉnh nối với nhau bằng hai cạnh trở lên, thì được gọi là đa đồ thị Đa đồ thị vô hướng là một bộ G(X, E) với các đặc điểm trên.

(1) X 6= ∅ là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị.

(2) E là một họ các cặp không có thứ tự của X gọi là các cạnh. Đa đồ thị có hướng là một bộ G(X, E), trong đó:

(1) X 6= ∅ là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị.

(2) E là một họ các cặp có thứ tự của X gọi là các cung.

Một đồ thị hay đa đồ thị có khuyên, thì nó được gọi là đồ thị hay đa đồ thị có khuyên.

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đồ thị vô hướng (có hướng) G(X, E) được gọi là đồ thị đầy đủ, nếu mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng đúng một cạnh (một cung với chiều tùy ý). Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E)được gọi là hữu hạn nếu số đỉnh của nó hữu hạn, tức tập X có lực lượng hữu hạn.

Giả sử G(X, E) là một đồ thị hay đa đồ thị có hướng hoặc không có hướng.

Bậc của đỉnh x, ký hiệu m(x), được xác định bởi số cạnh và cung liên kết với nó Đỉnh biệt lập có bậc bằng 0, trong khi đỉnh treo có bậc bằng 1.

Cạnh (cung) có ít nhất một đầu là đỉnh treo được gọi là cạnh (cung) treo.

Biểu diễn đồ thị bằng hình học

Đồ thị có nhiều cách biểu diễn, nhưng trong phần này chỉ trình bày cách biểu diễn bằng hình học.

Giả sử có đồ thị G(X, E) Để có dạng biểu diễn hình học của G ta cần biểu diễn đỉnh và cạnh.

Biểu diễn đỉnh là quá trình lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian để tương ứng với các phần tử của tập X Các phần tử này được ghi lại bằng ký hiệu tương ứng trên những điểm mà chúng đại diện.

Biểu diễn cạnh là một đoạn thẳng hoặc đoạn cong nối hai đỉnh x và y, không đi qua các điểm trung gian khác.

Biểu diễn cung là đoạn thẳng hoặc đoạn cong có đỉnh đầu tại điểm x và đỉnh cuối tại điểm y, di chuyển từ x đến y mà không đi qua các điểm trung gian khác.

Hình nhận được gọi là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G(X, E) Đôi khi người ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là đồ thị.

Dạng biểu diễn hình học của đồ thị G(X, E) cho trong ví dụ 1.1:

Xích, chu trình, đường và vòng

Đồ thị vô hướng (bao gồm cả đa đồ thị) có khái niệm về xích và chu trình, trong khi đồ thị có hướng có khái niệm về đường và vòng Tuy nhiên, khái niệm đường thường được áp dụng cho cả đồ thị và đa đồ thị vô hướng.

Giả sử G(X, E) là một đồ thị hay đa đồ thị vô hướng.

Dãy α các đỉnh của G (X, E) : α = [x 1 , x 2 , , x i , x i+1 , , x n−1 , x n ] được gọi là một xích hay một dây chuyền, nếu ∀i (1 ≤ i ≤ n − 1) cặp đỉnh x i , x i+1 kề nhau (có cạnh nối với nhau).

Các đỉnh x 1 , x n được gọi là hai đỉnh đầu của xích α được gọi là độ dài của xích α, đồng thời được ký hiệu bằng |α|.

Các đỉnh x₁ và xₙ được gọi là hai đỉnh đầu của xích α, trong đó xích α nối giữa các đỉnh này Để chỉ rõ đỉnh đầu và đỉnh cuối, ta ký hiệu xích α bằng α[x₁, xₙ].

Một xích với hai đầu trùng nhau, được gọi là một chu trình.

Xích (chu trình) α được gọi là xích (chu trình) đơn (sơ cấp hay cơ bản) nếu nó đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần.

Trong đồ thị, xích α 1 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 được xác định là xích đơn và sơ cấp Xích α 2 = x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 5 là xích đơn nhưng không phải là sơ cấp Chu trình α 3 = x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 x 1 là chu trình đơn và sơ cấp Cuối cùng, chu trình α 4 = x 1 x 5 x 2 x 4 x 5 x 6 x 1 là chu trình đơn nhưng không phải là chu trình sơ cấp.

Giả sử G(X, E) là một đồ thị có hướng, dãy đỉnh β = [x1, x2, , xi, xi+1, , xm−1, xm] được gọi là một đường hay đường đi, nếu với mọi i (1 ≤ i ≤ m − 1), đỉnh xi là đỉnh đầu và xi+1 là đỉnh cuối của một cung từ xi → xi+1.

Độ dài của đường β, ký hiệu là |β|, là tổng số vị trí của tất cả các cung xuất hiện trong đường này Đỉnh x1 được gọi là đỉnh đầu, trong khi đỉnh xm được gọi là đỉnh cuối Đường β được mô tả là xuất phát từ đỉnh x1 và đi tới đỉnh xm, và cũng có thể được ký hiệu là β[x1, xm].

Một vòng là một đường có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Đường (vòng) β được xem là đường (vòng) đơn, sơ cấp hay cơ bản, nếu nó đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần.

Trong đồ thị có hướng, β = [x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6] được xác định là đường đơn và đường sơ cấp β 1 = [x 2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 6 x 2] là vòng đơn và vòng sơ cấp Tuy nhiên, β 2 = [x 7 x 2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 6] là đường đơn nhưng không phải là đường sơ cấp β 3 = [x 1 x 2 x 3 x 4 x 2] không được coi là đường Đối với β 4 = [x 1 x 7 x 2 x 5 x 7 x 2 x 4], đây không phải là đường đơn và cũng không phải là vòng sơ cấp Cuối cùng, β 5 = [x 1 x 7 x 2 x 5 x 7 x 6 x 1] là vòng đơn, nhưng không phải là vòng sơ cấp.

Hai xích (chu trình) được coi là rời nhau khi chúng không chia sẻ cạnh chung Tương tự, hai đường (vòng) cũng được xem là rời nhau nếu không có cạnh chung Để minh họa, chu trình có độ dài 3, 4, 5, , n được gọi lần lượt là chu trình tam giác, tứ giác, ngũ giác, và n giác.

1.1.3.3 Một số tính chất Định lý 1.1 Trong một đồ thị vô hướng với n (n ≥ 3) đỉnh và các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 luôn luôn tồn tại chu trình sơ cấp.

Trong đồ thị hữu hạn G(X, E), mỗi xích sơ cấp chỉ đi qua từng đỉnh một lần, dẫn đến số lượng xích sơ cấp là hữu hạn Do đó, có thể xác định được xích sơ cấp có độ dài cực đại trong đồ thị này.

Giả sử α = [x 1 , x 2 , , x k−1 , x k ] là một xích sơ cấp có độ dài cực đại Với bậc của mỗi đỉnh thuộc G không nhỏ hơn 2, x 1 phải kề với một đỉnh y khác x 2 Nếu đỉnh y khác với đỉnh x i (3 ≤ i ≤ k), thì xích sơ cấp sẽ được xác định.

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN α 0 = [y, x 1 , x 2 , , x k−1 , x k ] có độ dài |α 0 | = |α| + 1 > |α|.

Trong một đồ thị vô hướng với n đỉnh (n ≥ 4) và tất cả các đỉnh có bậc không nhỏ hơn 3, luôn tồn tại chu trình sơ cấp có độ dài chẵn Điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính độ dài cực đại của xích α, với y = x i (3 ≤ i ≤ k) và chu trình sơ cấp β = [x 1 , x 2 , , x i−1 , x i , x 1 ].

Giả sử α là một trong những xích sơ cấp độ dài cực đại α = (x 1 , x 2 , , x i−1 , x i , x i+1 , , x j−1 , x j , x j+1 , , x k−1 , x k )

Do α có độ dài cực đại và bậc x1 không ít hơn 3, nên ngoài x2, x1 phải kề với hai đỉnh khác thuộc α, là xi và xj (3 ≤ i, j ≤ k) Từ đó, ta có hai chu trình sơ cấp: α1 = (x1, x2, , xi-1, xi, x1) và α2 = (x1, x2, , xi, xi+1, , xj-1, xj, x1) Nếu một trong hai chu trình α1 hoặc α2 có độ dài chẵn, điều này sẽ được chứng minh.

Nếu cả hai chu trình α 1 và α 2 đều có độ dài lẻ, thì xích α 3 và xích α 4 sẽ có độ dài chẵn Cụ thể, xích α 3 = (x 1, x 2, , x i−1, x i) có độ dài chẵn, và xích α 4 = (x i, x i+1, , x j, x j+1, x 1) cũng có độ dài chẵn Do đó, chu trình (x 1, x 2, , x i−1, x i, x i+1, , x j, x j+1, x 1) sẽ có độ dài chẵn, từ đó khẳng định được chứng minh.

Đồ thị liên thông và chu số

Hai đỉnh x, y được gọi là cặp đỉnh liên thông nếu chúng có ít nhất một xích nối với nhau hoặc tồn tại một đường đi từ x sang y hoặc từ y sang x Đồ thị vô hướng G(X, E) được xem là đồ thị liên thông khi mọi cặp đỉnh trong nó đều liên thông với nhau Trong khi đó, đồ thị có hướng G(X, U) được gọi là đồ thị liên thông mạnh khi mọi cặp đỉnh đều liên thông.

Giả sử a là đỉnh bất kỳ trong đồ thị G, và C a là tập hợp các đỉnh bao gồm đỉnh a cùng với tất cả các đỉnh liên thông với a Đồ thị con của G với tập đỉnh C a được gọi là một thành phần liên thông của đồ thị G.

Giả sử G(X, U) là một đa đồ thị vô hướng với n đỉnh, m cạnh và p thành phần liên thông, ta có thể xác định ρ(G) = n − p Đại lượng m − ρ(G) = m − n + p được gọi là chu số của đa đồ thị G, ký hiệu là ν(G).

Đồ thị được gán nhãn

Định nghĩa

Giả sử có bảng chữ cái Σ = {t1, t2, , ti, ti+1, , tn} Đồ thị G được gọi là đồ thị gán nhãn khi mỗi cạnh c của nó được gán một ký hiệu ti ∈ Σ, với ký hiệu ti là nhãn của cạnh c Nếu tất cả các nhãn của các cạnh trong đồ thị đều là số, thì đồ thị đó được gọi là đồ thị có trọng số.

S = {a, b, g} Đồ thị được gán nhãn (trên bảng chữ cái S = {a, b, g}).

Ví dụ 1.6. Đồ thị được gán nhãn trên {0, 1, 2, 3, 4}

G 1 là đồ thị có trọng số.

Nguồn

Nguồn là một đa đồ thị có hướng, trong đó có một đỉnh vào được biểu thị bằng một ô tròn với mũi tên chỉ vào, và một tập hợp các đỉnh ra hay đỉnh kết, mỗi đỉnh kết được đặt trong một ô chữ nhật.

Nguồn có đỉnh vào là v, các đỉnh ra là đỉnh x 5 , x 6

Giả sử ∀a, b ∈ I và T là một đường nào đó đi từ đỉnh a đến đỉnh b và cung c i s có nhãn là t i s (1 ≤ s ≤ n).

Khi đó dãy ký hiệu t i 1 t i 2 t i s t i n được gọi là nhãn của đường T và ký hiệu là

T là đường đi từ x 2 đến x 5 (ở ví dụ 1.7.)

Ta gọi T ¯ = t 7 t 2 t 3 - nhãn của T Ngoài ra còn một đường khác từ x 2 đến x 5 :

Ta có nhãn của T 1 là T 1 = t 7 t 4

Tập gồm nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh a và đi đến đỉnh b trong nguồn I được ký hiệu là N I (a, b)

Trong ví dụ 1.8 ta có:

Giả sử nguồn G có đỉnh vào là V là tập con các đỉnh ra là F

Tập gồm nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh vào (V ) và đi tới các đỉnh kết (F ), S a∈F

N I (V, a) được gọi là nhãn của nguồn I đồng thời ký hiệu bằng

Hãy lập nguồn sinh tất cả các số tự nhiên N = {0, 1, 2 }, tức lập nguồn I, mà nhãn của nó là tập số tự nhiên.

Lời giải. Để có nguồn I ta cần xác định đỉnh và cung:

2 Cung a) Sinh số 0: Để sinh số 0 là số tự nhiên duy nhất bắt đầu và kết thúc bằng

Để sinh các số tự nhiên, ta bắt đầu từ đỉnh v kẻ một cung đến đỉnh s1 với nhãn 0 Các số tự nhiên còn lại không bắt đầu bằng 0, vì vậy từ đỉnh v đến đỉnh s2, ta kẻ 9 cung với nhãn từ 1 đến 9 Mỗi số tự nhiên có thể có độ dài tùy ý và kết thúc bằng một trong các chữ số từ 0 đến 9, do đó tại đỉnh s2, ta vẽ thêm 10 khuyên với nhãn từ 0 đến 9 Như vậy, ta có thể sinh ra các số tự nhiên.

Có thể rút gọn thành đồ thị sau:

Trong bài luận văn này xin phép sử dụng dạng rút gọn.

Ví dụ: Muốn sinh số 2013:

- Từ đỉnh vào đi theo cung 2 đến s 2

- Tại đỉnh s 2 ta lần lượt đi theo khuyên 3 nhãn 0, 1, 3.

- Khi đó đường ta đã đi xuất phát từ đỉnh vào V với nhãn là

2013 và có đỉnh cuối là đỉnh kết (s 2 ), nên đường này sinh được số 2013.

Cây là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đồ thị, được nghiên cứu bởi Cayley, và đóng vai trò thiết yếu trong lý thuyết mạng Trong toán học, cây giúp xác định thứ tự, số cách sắp xếp, và số các số nguyên thỏa mãn các điều kiện nhất định Bài viết này sẽ trình bày ứng dụng của cây trong việc xác định số ước của các số nguyên dương.

Cây

Định nghĩa

Một đồ thị vô hướng liên thông, không có chu trình và có ít nhất hai đỉnh được gọi là một cây (Hình 2.1).

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC Đồ thị hữu hạn có hướng G = (X, U ) là cây có hướng gốc x 1 ∈ X, nếu nó có ít nhất hai đỉnh và thỏa mãn ba điều kiện sau:

1) Mỗi đỉnh khác x 1 là điểm cuối của một cung duy nhất.

2) Đỉnh x 1 không là điểm cuối của bất kỳ một cung nào.

3) Đồ thị G(X, U ) không có vòng (Hình 2.2).

Một đồ thị vô hướng, mà mỗi một thành phần liên thông của nó đều là cây, được gọi là bụi (Hình 2.3).

Đặc điểm của cây và cây có hướng

Định lý 2.1 Giả sử H là một đồ thị vô hướng với n đỉnh (n > 1) Để đặc trưng cho một cây, thì sáu tính chất sau đây tương đương:

(1) H liên thông và không có chu trình;

(2) H không có chu trình và n − 1 cạnh;

(3) H liên thông và có n − 1 cạnh;

Đồ thị H không có chu trình, và khi thêm một cạnh nối giữa hai đỉnh không kề nhau, đồ thị mới H 0 sẽ xuất hiện một chu trình duy nhất.

(5) H liên thông và khi bớt một cạnh bất kì thì đồ thị mất tính liên thông;

(6) Mọi cặp đỉnh của H đều được nối với nhau bằng một xích và chỉ một mà thôi.

Chứng minh. Định lý được chứng minh theo phương pháp vòng tròn.

Ký hiệu số cạnh của đồ thị H bằng m, số thành phần liên thông bằng p Khi đó chu số của đồ thị H (số chu trình của H) làν (H) = m − n + p

(1) ⇒ (2) : Theo tính chất (1): p = 1 và chu số ν (H) = m − n + 1 = 0;

Nên m = n − 1, tức đồ thị H có n − 1 cạnh Ta có tính chất (2).

(2) ⇒ (3) : theo tính chất (2): m = n − 1 và ν (H) = 0, nên ta có: ν (H) = m − n + p = n − 1 − n + p = 0 Suy ra p = 1, nên đồ thị H liên thông.

Đồ thị H liên thông với n − 1 cạnh, do đó p − 1 và m = n − 1, dẫn đến ν(H) = 0, nghĩa là đồ thị H không có chu trình Nếu thêm một cạnh giữa hai đỉnh không kề nhau, đồ thị H' sẽ có chu trình với ν(H') = 1, cho thấy H' có đúng một chu trình.

Theo tính chất (4), nếu thêm cạnh (x, y) vào đồ thị H, đồ thị mới H' sẽ có chu trình, chứng tỏ rằng hai đỉnh x và y đã được kết nối với nhau, từ đó khẳng định rằng đồ thị H là liên thông.

Nếu loại bỏ một cạnh nào đó, ví dụ như (u, v), mà đồ thị vẫn giữ được tính liên thông, điều này cho thấy giữa các đỉnh u và v trong đồ thị H có ít nhất một xích nối khác ngoài cạnh (u, v) Điều này đồng nghĩa với việc đồ thị H có ít nhất một chu trình đi qua các đỉnh này.

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC u, v Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất (4): Đồ thị (H) không có chu trình Bởi vậy, nếu bớt đi một cạnh tùy ý thì đồ thị nhận được từ H sẽ không liên thông.

Trong đồ thị H, nếu tồn tại một cặp đỉnh x, y được nối với nhau bằng hai xích trở lên, việc loại bỏ một cạnh trong một trong hai xích này sẽ vẫn giữ cho x, y liên thông Điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính chất (5), từ đó suy ra rằng mọi cặp đỉnh trong H chỉ được nối với nhau bằng một xích duy nhất Từ đó, ta có tính chất (6).

(6) ⇒ (1) : Giả sử H không liên thông Khi đó có ít nhất một cặp đỉnh không có xích nối với nhau, nên mâu thuẫn với tính chất (6).

Giả sử đồ thị H có chu trình, điều này dẫn đến việc tồn tại ít nhất một cặp đỉnh trên chu trình được nối với nhau bằng ít nhất hai xích, tạo ra mâu thuẫn với tính chất (6) Do đó, đồ thị H phải thỏa mãn tính chất (1) Định lý đã được chứng minh Theo Định lý 2.2, một cây luôn có ít nhất hai đỉnh treo.

Chứng minh. Định lý này có hai cách chứng minh:

Giả sử cây H chỉ có một đỉnh treo, một khách bộ hành bắt đầu từ đỉnh tùy ý sẽ không thể gặp lại đỉnh nào hai lần do đồ thị H không có chu trình Mỗi đỉnh đều có ít nhất hai cạnh, nên hành khách luôn có thể tiếp tục đi ra bằng một cạnh mới Tuy nhiên, điều này dẫn đến việc hành khách sẽ đi mãi mà không dừng lại, điều này là không thể vì đồ thị H có hữu hạn đỉnh Do đó, cây H phải có ít nhất hai đỉnh treo Định lý đã được chứng minh.

Giả sử H = (X, E) là một cây.

Vì H là đồ thị hữu hạn, nên trong H chỉ có một hữu hạn xích Bởi vậy xác định được những xích có độ dài cực đại.

Giả sử α = (x 1 , x 2 , , x k−1 , x k ) là một trong những xích có độ dài cực đại Vì

H có ít nhất hai đỉnh, nên |α| ≥ 1 Bởi vậy k > 1.

Ta sẽ khẳng định rằngx 1 và x k là các đỉnh treo, tức mỗi đỉnh này cho có một cạnh đi ra.

Nếu x1 không phải là đỉnh treo, thì nó phải kết nối với một đỉnh xi khác, với xi khác x2 Do H liên thông, x2 và xi có thể nối với nhau Khi đó, trong cây H xuất hiện chu trình β = (x1, x2, , xi−1, x1), dẫn đến mâu thuẫn với tính chất của cây Do đó, x1 phải là đỉnh treo.

Xác định rằng x k là đỉnh treo, và điều này đã được chứng minh qua định lý Theo định lý 2.3, mọi cây có hướng sẽ trở thành cây khi bỏ định hướng các cung.

Giả sử cây có hướng H = (X, U ) có gốc tại x 1 và đồ thị vô hướng G = (X, E) nhận được từ cây có hướng H sau khi bỏ định hướng các cung.

Do điều kiện 1) mỗi đỉnh x 6= x 2 đều có đường từ x 1 đi tới Thật vậy, giả sử x 6= x 1 và từ x 1 không có đường đi tới x.

Nếu x là đỉnh biệt lập, sẽ tồn tại đỉnh y là điểm xuất phát của đường đi tới x Tuy nhiên, vì từ x1 không có đường đi tới x, nên y không thể là x1 và cũng không phải là đỉnh cuối của bất kỳ cung nào Điều này dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện ban đầu Do đó, mọi đỉnh x khác x1 đều có đường đi từ x1 tới chúng, chứng tỏ rằng trong đồ thị G, mọi đỉnh x đều liên thông với x1 Vì vậy, đồ thị G là liên thông.

2) Đồ thị G không có chu trình

Nếu G có chu trình, thì trong H, các cạnh tương ứng với chu trình này sẽ tạo thành một vòng hoặc ít nhất hai cung sẽ có chung điểm cuối, dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện đã nêu.

3) Nên đồ thị G không có chu trình và liên thông Do đó G là một cây. Định lý được chứng minh. Định lý 2.4 Một cây với n đỉnh có đúng n − 1 cạnh.

Chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh n của cây.

Với n = 2 Khi đó cây có một cạnh nên khẳng định thỏa mãn.

Giả sử khẳng định đã đúng với n = k, tức một cây gồm n = k + 1 đỉnh.

Giả sử H là một cây có k + 1 đỉnh, thì H sẽ có ít nhất hai đỉnh treo Nếu x là một trong những đỉnh treo của H, khi loại bỏ đỉnh x và cạnh liên kết với nó, ta thu được đồ thị H0 = H − {x}, và H0 vẫn là đồ thị liên thông Ngược lại, nếu H0 không liên thông, thì nó sẽ có ít nhất hai thành phần liên thông, giả sử G1 và G2 là hai trong số các thành phần này.

Vì đồ thị H liên thông, nên từ đỉnh x phải xuất phát hai xích α 1 , α 2 : xích α 1 nối x với G 1 , còn xích α 2 nối x với G 2 Như vậy từ xxuất phát ít nhất hai cạnh.

Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất đỉnh treo của x, nên đồ thị H 0 liên thông.

Đồ thị H không có chu trình, do đó đồ thị con H 0 cũng không có chu trình Vì H 0 liên thông và không có chu trình, nên nó được xác định là một cây.

Cây H 0 chứa k đỉnh, nên có k − 1 cạnh.

Khôi phục lại đỉnhx và cạnh thuộc nó, tức là trở lại câyH với k + 1 đỉnh Ngoài k − 1 cạnh thuộcH 0 cũng là các cạnh thuộcH thêm cạnh thuộc đỉnh x, nên cây

Trong một cây có k cạnh, định lý 2.5 được chứng minh cho thấy rằng giữa hai đỉnh bất kỳ luôn tồn tại một xích duy nhất nối chúng.

Giả sử H là cây tùy ý và A, B là hai đỉnh bất kì của cây H.

Vì H là đồ thị liên thông, nên các đỉnh A, B phải có xích nối với nhau.

Mặt khác, do H là cây nên trong H không có chu trình.

Bởi vậy ngoài xích đã nối giữa A, B không còn xích nào khác. Định lý được chứng minh.

Cây sinh ước

Định nghĩa

Đối với mỗi số nguyên dương m, việc xác định các ước số của m là một vấn đề quan trọng Để thực hiện điều này, chúng ta có thể sử dụng cây sinh ước, hay còn gọi là cây ước số Mỗi số nguyên dương m sẽ có n ước số, được ký hiệu là u1, u2, , ui, ui+1, , un.

U (m) ký hiệu tập ước số của m

Thuật toán xây dựng cây sinh ước

Để xây dựng cây T sinh các ước số của m ta sẽ thực hiện theo ba bước sau:

1) Phân tích m ra dạng thừa số nào đó chẳng hạn m = m 1 × m 2 × × m i × m i+1 × × m n Sau đó đối với mỗi số m i (1 ≤ i ≤ n) ta xác định tập ước U (m i ) của m i

2) Xác định cây sinh ước

Cây sinh ước được xác định bằng phương pháp quy nạp theo chỉ số i.

Lấy đỉnh O làm gốc của cây. a) Cơ sở quy nạp

Với i = 1 tại bước xuất phát ta lấy đỉnh O làm gốc của cây.

Giả sử thừa số m1 có các ước số là c11, c12, , c1k1, , c1s1 Từ gốc O, kẻ s1 cạnh và ghi các ước số của m1 tương ứng trên các đỉnh còn lại của các cạnh này Như vậy, tầng 1 sẽ sinh tập ước số của m1.

Giả sử thừa số m2 có các ước số c21, c22, , c2k2, , c2s2 Từ mỗi đỉnh c1t (1 ≤ t ≤ s1), ta kẻ s2 cạnh và ghi các số c21, c22, , c2k2, , c2s2 tương ứng trên đỉnh còn lại của các cạnh này Do đó, tầng 2 sinh tập ước số của m2 sẽ được hình thành.

Giả sử thừa số m i có các ước số là c i1, c i2, , c is i Nếu cây T đã được xây dựng đến tầng thứ i = l, thì các cạnh của cây sẽ ghi lần lượt các ước số tương ứng.

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC số m l−1 , còn đầu kia ghi các ước của số m l

Khi đó tầng thứ i = l + 1 được xây dựng như sau:

Từ mỗi đỉnh c lr (1 ≤ r ≤ s l), kẻ s l+1 cạnh và ghi các đỉnh còn lại của cạnh này với các số c l+1,1 , c l+1,2 , , c l+1,s l+1 Do đó, tầng thứ i tạo ra tập ước số của m i.

U (m i ) = c l+1,1 , c l+1,2 , , c l+1,s l+1 Quá trình kết thúc sau khi xây dựng xong tầng thứ l Khi đó ta được cây T sinh tất cả các ước của m.

Giả sử d là một đường xuất phát từ gốc O đến đỉnh Q, trên đường này có dãy ước c 1, c 2, , c i, , c n, trong đó c i là ước của số m i và c i thuộc U(m i) (1 ≤ i ≤ n) Khi đó, tích t = c 1 × c 2 × × c i × × c n sẽ là một ước của m.

Để tìm tất cả các ước của m, cần liệt kê toàn bộ các đường xuất phát từ gốc O và đi tới các đỉnh treo Sau khi xác định tích của dãy số trên từng đường, chúng ta sẽ có được tất cả các ước của m, tức là cây sinh sẽ tạo ra tập U(m).

Ứng dụng

Bài toán 2.1 Hãy tìm tất cả các ước số của số 210.

1) Phân tích 210 ra thừa số

210 = 2 × 3 × 5 × 7 Khi đó năm tập ước cần xác định

2) Xây dựng cây T xác định tập U (210) gồm tất cả các ước số của 210.

Bài toán 2.2 Hãy tìm tất cả các ước số của 504.

1) Một trong những dạng phân tích ra thừa số của 504 là

504 = 8 × 9 × 7, nên cần xác định bốn tập ước số

2) Xây dựng cây T 1 xác định tập U (504) gồm tất cả các ước số của 504.

Bài toán 2.3 Xác định tất cả các ước số của 1155.

1) Một trong những dạng phân tích ra thừa số của 1155 là

1155 = 3 × 5 × 7 × 11, nên cần xác định năm tập ước số

2) Xây dựng cây T 2 xác định tập U (1155) gồm tất cả các ước số của 1155.

Việc phân tích các thành tích của các thừa số không phải là duy nhất, dẫn đến việc một số nguyên dương có thể sở hữu nhiều cây sinh ước khác nhau.

Nhiều thuật toán quen thuộc như thuật toán trò chơi, thuật toán cắt và vẽ hình đã trở thành một phần trong cuộc sống của chúng ta từ nhỏ Trong quá trình học tập, chúng ta được giới thiệu với các thuật toán quan trọng như thuật toán chia Euclid cùng với nhiều thuật toán khác, giúp nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.

Chương này sẽ giới thiệu thuật toán xây dựng đồ thị xác định tập đồng dư, hay còn gọi là nguồn đồng dư, một khái niệm quen thuộc trong cuộc sống Qua việc xây dựng tập đồng dư, chúng ta nhận thấy rằng ứng dụng cây đồng dư có khả năng đơn giản hóa các bài toán phức tạp trong tính toán thành những bài toán dễ giải hơn.

Nguồn đồng dư

Định nghĩa nguồn đồng dư

Nguồn có tập nhãn là tập số đồng dư thì được gọi là nguồn đồng dư.

Nguồn với nhãn là tập số đồng dư với k theo modul m được gọi là nguồn đồng dư với k theo modul m đồng thời được ký hiệu bằng I m k

Định nghĩa Euclid

Giả sử có số nguyên không âm a và số nguyên m (m ≥ 2), khi chia a cho m, ta thu được số dư k (0 ≤ k ≤ m − 1), tức là tồn tại số nguyên q sao cho a = q.m + k Khi đó, số a được gọi là đồng dư với số k theo modul m, ký hiệu là a ≡ k (modul m) Nếu k = 0, ta nói rằng số a chia hết cho số m và ký hiệu là a m.

Một trong những bài toán đặt ra là: Cần xác định tập số nguyên dương, mà khi chia mỗi số này cho số m đều cho số dư là k.

Ta có thể giải quyết bài toán này bằng nguồn đồng dư.

Thuật toán xây dựng nguồn đồng dư

Cho m là số nguyên dương tùy ý không nhỏ hơn2, cònk là số nguyên bất kỳ

Để xác định tập số nguyên dương có dạng (0 ≤ k ≤ m − 1) sao cho mỗi số khi chia cho m có dư là k, chúng ta cần xây dựng nguồn I m k Việc này được thực hiện dựa trên thuật toán chia Euclid để xác định các đỉnh và cung của nguồn.

1) Đỉnh: Lấy m + 1 điểm khác nhau trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Thừa nhận một điểm tùy ý trong các điểm đã chọn làm đỉnh vào, ký hiệu bằng chữ v, đồng thời đặt trong khuyên tròn có mũi tên đi vào.

Các điểm còn lại ghi số dư khác nhau từ 0 đến m-1 nhận được khi chia một số tự nhiên cho m Đỉnh ghi số dư k được công nhận là đỉnh kết và được đặt trong một ô chữ nhật.

Các đỉnh còn lại đều được trong khuyên tròn.

*) Cung xuất phát từ đỉnh vào:

- Từ đỉnh vào xuất phát 9 cung với nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

- Cung có nhãn là a ∈ {1, 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8, 9} đi tới đỉnhc ⇔ a ≡ c (mod m)

*) Cung xuất phát từ đỉnh trong:

Từ đỉnh tùy ý b ∈ {0, 1, 2, , m − 1} ta kẻ 10 cung với nhãn tương ứng là

Cung nhãn d (d ∈ {0, 1, 2, , 8, 9}) đi tới đỉnh l ⇔ bd ≡ l (modm)

Nguồn đồng dư I m k được phát triển dựa trên thuật toán chia có dư Euclid Mỗi nhãn của đường đi từ đỉnh vào đến đỉnh kết (k) là một số nguyên dương, có số dư k khi chia cho m.

Tất cả các nhãn của các đường đi từ đỉnh vào đến đỉnh kết (k) đều là các số tự nhiên đồng dư với k theo modul m.

Trường hợp đặc biệt, khi k = 0 ta được tập nguồn I m 0 sinh tất cả các số nguyên dương chia hết cho m.

Xây dựng nguồn đồng dư gồm các số nguyên dương không chia hết cho 3. Phân tích:

1) Đỉnh : Lấy 1 điểm làm đỉnh vào, chẳng hạn ký hiệu bằng chữ v.

Một số chia cho 3 có thể dư 0, 1, 2, nên ngoài đỉnh vào v nguồn còn ba đỉnh nữa ký hiệu bằng 0, 1, 2.

Các số không chia hết cho 3 sẽ có số dư là 1 hoặc 2 khi chia cho 3, dẫn đến việc các đỉnh 1 và 2 được coi là đỉnh kết Do đó, chúng ta cần đặt mỗi đỉnh này vào trong một ô chữ nhật.

*) Tại đỉnh vào v, xuất phát 9 cung với nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

- Vì các số 1, 4 và 7 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung với nhãn 1, 4, 7 đi tới đỉnh 1.

- Vì các số 2, 5, 8 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung với nhãn 2, 5, 8 đi tới đỉnh 2.

- Vì các số 3, 6, 9 đều chia hết cho 3, nên các cung với nhãn 3, 6, 9 đi tới đỉnh 0.

*) Tại đỉnh 0, xuất phát 10 cung với các nhãn tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5,

- Vì các số 1, 4 và 7 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung với nhãn 1, 4, 7 đi tới đỉnh 1.

- Vì các số 2, 5, 8 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung với nhãn 2, 5, 8 đi tới đỉnh 2.

- Vì các số 0, 3, 6, 9 đều chia hết cho 3, nên các cung với nhãn 0, 3, 6, 9 là khuyên tại đỉnh 0.

*) Tại đỉnh 1, xuất phát 10 cung với các nhãn tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5,

- Vì các số 12, 15 và 18 đều chia hết cho 3, nên các cung với nhãn 2, 5, 8 đi tới đỉnh 0.

- Vì các số 10, 13, 16 và 19 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung với nhãn

- Vì các số 11, 14 và 17 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung với nhãn 1, 4,

*) Tại đỉnh 2 cũng xuất phát với 10 nhãn tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

- Vì các số 21, 24 và 27 đều chia hết cho 3, nên các cung nhãn 1, 4, 7 đi tới đỉnh 0.

- Vì các số 22, 25, 28 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung nhãn 2, 5, 8 đều đi đến đỉnh 1.

- Vì các số 20, 23, 26, 29 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung nhãn 0, 3, 6,

Tại đỉnh 2, có 9 cung khác nhau Để đơn giản hóa các cung xuất phát từ một đỉnh và đi đến một đỉnh khác, chúng ta chỉ cần giữ lại một cung duy nhất, nhưng cần ghi nhãn tất cả các cung này trên đó.

Vậy ta có nguồn I 3 dưới dạng sau:

Nguồn giao

Mỗi nguồn đơn lẻ I i (1 ≤ i ≤ n) sinh ra tập N (I i ) với tính chất t i nào đó Để sinh tập nhãn có đồng thời các tính chất t 1 , t 2 , , t n ta cần xây dựng nguồn giao

I của tất cả các nguồn I 1 , I 2 , , I n

Thuật toán xây dựng nguồn giao: Để có nguồn giao của I 1 , I 2 , , I n cần xác định đỉnh và cung.

Giả sử nguồn I i (1 ≤ i ≤ n) có nhãn thuộc bảng chữ cái P với đỉnh vào s i 0 , tập đỉnh trong X i và tập đỉnh kết F i Khi đó nguồn giao I sẽ có cấu trúc sau:

Đỉnh vào của nguồn I được xác định bằng cách lấy bộ s 0 = s 1 0, s 2 0, , s 0 i, , s n 0, bao gồm các đỉnh vào của các nguồn thành phần I 1, I 2, , I i, , I n Đồng thời, tập đỉnh trong được hình thành từ tích Đề các của các đỉnh trong thuộc n nguồn thành phần I 1, I 2, , I i, , I n.

X = X 1 × X 2 × × X i × × X n làm tập đỉnh trong của nguồn I. c) Tập đỉnh kết: Lấy tích Đề các của các tập đỉnh kết thuộc n nguồn thành phần I 1 , I 2 , , I i , , I n, tức lấy tập

F = F 1 × F 2 × × F i × × F n làm đỉnh kết của nguồn I.

Với cặp đỉnh tùy ý x = (x1, x2, , xi, , xn) và y = (y1, y2, , yi, , yn) trong nguồn I, một ký hiệu u ∈ P từ đỉnh x đến đỉnh y có cung nhãn u khi và chỉ khi mọi chỉ số i (1 ≤ i ≤ n) trong nguồn I i từ đỉnh xi đến đỉnh yi đều có cung nhãn u.

Bằng thuật toán này ta xây dựng được nguồn giao I với tập nhãn

Hãy lập nguồn sinh tất cả các số nguyên không âm gồm lẻ chữ số trong đó chỉ có một chữ số 1 và chia hết cho 5.

Để xác định tập số M, trước tiên ta cần tìm tập M1, bao gồm các số nguyên dương chỉ chứa duy nhất một chữ số 1 Tiếp theo, tập M2 bao gồm các số nguyên không âm có số chữ số lẻ và chia hết cho 5 Cuối cùng, tập M sẽ được hình thành từ phép giao của hai tập M1 và M2.

- Nguồn I 1 sinh tập M 1 có dạng sau:

- Nguồn I 2 sinh tập M 2 có dạng sau:

N (I 2 ) = M 2 Để có tập số M ta phải xây dựng nguồn giao của I 1 và I 2

Xây dựng nguồn giao G để N (G) = N (I 1 )T

M 2 = M Để có nguồn G cần xác định đỉnh và cung:

Nguồn G có tập đỉnh ký hiệu bằng A (G)

= {(s 0 , t 0 ) , (s 1 , t 1 ) , (s 1 , t 2 ) , (s 1 , t 3 ) , (s 2 , t 1 ) , (s 2 , t 2 ) , (s 2 , t 3 )} trong đó (s 0 , t 0 ) là đỉnh vào, nên được đặt trong ô tròn có mũi tên đi vào, đỉnh (s 2 , t 3 ) là đỉnh kết được đặt trong ô chữ nhật.

Cung xuất phát từ đỉnh vào (s 0 , t 0 ).

Do trong I 1 từ s 0 vào s 1 có 8 cung với nhãn là 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 còn trong

I 2 từ t 0 đến t 1 có 9 cung xuất phát với nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nên: a/ Từ (s 0 , t 0 ) sang (s 1 , t 1 )có 8 cung với nhãn tương ứng là 2, 3, 4, 5,6 7, 8, 9 b/ Từ (s 0 , t 0 ) sang (s 2 , t 1 ) có 1 cung với nhãn là 1.

Hoàn toàn tương tự khi xét mối quan hệ của các đỉnh còn lại.

Từ đó ta được đồ thị nguồn giao G cần xây dựng:

Hãy xây dựng nguồn I 3 l sinh tất cả các số lẻ dương chia hết cho 3.

Thuật toán Để có nguồn I 3 l ta cần thực hiên theo 2 bước:

1) Xây dựng nguồn I l sinh tất cả các số lẻ dương a) Đỉnh

Đỉnh xuất phát được ký hiệu là K, được đặt trong ô tròn với mũi tên đi vào, trong khi đỉnh kết được ký hiệu là L và được đặt trong một ô chữ nhật.

Chương 3 NGUỒN ĐỒNG DƯ b) Cung

*) Cung xuất phát từ đỉnh vào K

Từ đỉnh vào K xuất phát 9 cung với các nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9 đi tới đỉnh T và 5 cung nhãn 1, 3, 5, 7, 9 đi tới đỉnh kết L.

*) Cung xuất phát từ đỉnh trong T

• Tại đỉnh T có 10 khuyên với nhãn tương ứng 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9.

• Từ T còn xuất phát 5 cung với nhãn tương ứng là 1, 3, 5, 7, 9 đi tới đỉnh kết L.

2) Xây dựng nguồn I 3 0 sinh tất cả các số nguyên dương chia hết cho 3 được xây dựng tương tự như ở ví dụ 3.1.

Bước 2: Xây dựng nguồn giao của các nguồn I l và I 3 0 Để có nguồn giao I 3 l của các nguồn I l và I 3 ta cần xác định đỉnh và cung:

Lấy một điểm tương ứng với cặp đỉnh (K, V ) làm đỉnh vào và ký hiệu bằng

(K, V ) đồng thời đặt trong khuyên tròn có mũi tên đi vào. b) Đỉnh trong

Lấy 6 điểm khác nhau từ 6 cặp đỉnh (T, 0), (T, 1), (T, 2), (L, 0), (L, 1), (L, 2) Sử dụng các cặp đỉnh này để ghi trên các điểm tương ứng Các điểm (T, 0), (T, 1), (T, 2), (L, 1), (L, 2) sẽ được đặt trong hình tròn, trong khi điểm (L, 0) được công nhận là đỉnh kết và sẽ được đặt trong hình chữ nhật.

*) Xuất phát từ đỉnh vào (K, V ) có 9 cung với nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4,

+) Các cung nhãn 3, 6, 9 đi tới đỉnh (T, 0)

+) Các cung nhãn 3, 9 đi tới đỉnh kết (L, 0).

*) Xuất phát từ mỗi đỉnh (T, i) (i ∈ {0, 1, 2})có 10 cung với nhãn tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

+) Các cung nhãn 0, 3, 6, 9 là khuyên tại đỉnh (T, i) (i ∈ {0, 1, 2})

+) Các cung nhãn 1, 4, 7 đi từ đỉnh (T, k) sang đỉnh(T, k + 1) (k ∈ {0, 1})và đi từ đỉnh (T, 2) về đỉnh (T, 0).

+) Các cung nhãn 2, 5, 8 đi từ đỉnh (T, s) sang đỉnh (T, s − 1) (s ∈ {1, 2}).

Từ đỉnh (T, 0) các cung nhãn 2, 5, 8 đi tới đỉnh (T, 2).

+) Các cung nhãn 3, 9 đi tới đỉnh (L, 0)

+) Cung nhãn 5 đi tới đỉnh (L, 2).

+) Cung nhãn 5 đi tới đỉnh (L, 0).

+) Các cung nhãn 1, 7 đi về đỉnh (L, 0)

+) Các cung nhãn 3, 9 đi về đỉnh (L, 2)

+) Cung nhãn 5 đi về đỉnh (L, 1).

Như vậy: Nhãn của mỗi đường xuất phát từ đỉnh vào (K, V ) và đi tới đỉnh kết (L, 0) đều là một số lẻ chia hết cho 3.

Ứng dụng

Trong phần này sẽ đi xây dựng một số nguồn đồng dư Cách làm tương tự như đã trình bày trong phần ví dụ

Bài toán 3.1 Hãy xây dựng nguồn I 3 2 sinh tập hợp các số nguyên dương chia cho 3 dư 2.

Bài toán 3.2 Hãy xây dựng nguồn I 4 0 sinh tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 4.

Hướng dẫn: Với bài toán phức tạp thì ta nên gấp đôi tập đỉnh lên để dễ quan sát hơn.

Khi đến đỉnh i (0 ≤ i ≤ 7) ở tầng hai, hãy chuyển ngay về đỉnh i ở tầng một và tiếp tục di chuyển cho đến khi xác định xong số dư cần thiết Lưu ý rằng có thể di chuyển trực tiếp từ tầng một xuống tầng hai qua tất cả các cung.

Ví dụ: Số 176440 chẳng hạn: Thì ta có số 1 ở “tầng thứ nhất”, số 7 xuống

“tầng thứ hai” muốn tìm tiếp số 6 thì ta lại trở về tầng thứ nhất để xuất phát từ đỉnh 1 Kết quả là số 176440 chia hết cho 8.

Sau đây ta sẽ nghiên cứu bài toán xây dựng nguồn đồng dư ở những phép chia cho những số lớn hơn 10

Hướng dẫn: Với bài toán phức tạp thì ta nên gấp ba tập đỉnh lên để dễ quan sát hơn.

Khi đi đến đỉnhi (0 ≤ i ≤ 10) mà đỉnh này không có cung đi ra, thì chuyển ngay lên i ở tầng khác, nhưng có cung đi ra mà đi tiếp.

Ví dụ: Số 117975 chia hết cho 11

Nguồn I 13 0 có dạng sau: Đỉnh vào ký hiệu bằng chữ v và đặt trong ô tròn có mũi tên đi vào.

Có 13 đỉnh tương ứng với 13 số dư, được ký hiệu bằng các số dư này Đỉnh 0 được xác định là đỉnh kết và được đặt trong ô vuông Để đơn giản hóa việc vẽ các cung, các đỉnh còn lại sẽ được tăng gấp 3 lần, ngoại trừ đỉnh vào.

Hướng dẫn: Khi đi tới đỉnh i (0 ≤ i ≤ 13), mà đỉnh này không có cung đi ra, thì chuyển đi i tầng khác, nhưng có cung đi ra mà đi tiếp.

Bài toán 3.9 Hãy xác định nguồn G sinh tập số dương lẻ gồm các số chia hết cho 3 và chia hết cho 5.

Để xây dựng nguồn G từ các số có nhiều tính chất, trước tiên cần phân tích các tính chất đó và xây dựng các nguồn thành phần Sau khi hoàn thành bước này, ta sẽ thực hiện phép giao để tạo ra nguồn G.

- Xây dựng nguồn I 1 sinh các số dương lẻ chia hết cho 5.

- Xây dựng nguồn I 2 sinh các số dương chia hết cho 3

Bước 2: Xây dựng nguồn giao của I 1 và I 2 ta được nguồn G

Tiêu đề	Ứng Dụng Đồ Thị Tìm Ước Số Và Xác Định Tập Đồng Dư
Tác giả	Phạm Thị Thủy
Người hướng dẫn	GS.TS. Đặng Huy Ruận
Trường học	Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Thể loại	Luận Văn Thạc Sỹ
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	0,93 MB