Ứng dụng đồ thị tìm ước số và xác định tập đồng dư

Lý thuyết đồ thị là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụngvào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau, bởi vì lý thuyết đồ thị là phươngpháp khoa học có tính khái quát cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM THỊ THỦY

ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ TÌM ƯỚC SỐ VÀ XÁC ĐỊNH TẬP ĐỒNG DƯ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HUY RUẬN

Hà Nội - Năm 2013

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 4

1.1.1 Định nghĩa đồ thị 4

1.1.2 Biểu diễn đồ thị bằng hình học 6

1.1.3 Xích, chu trình, đường và vòng 7

1.1.4 Đồ thị liên thông và chu số 10

1.2 Đồ thị được gán nhãn 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 Nguồn 12

2 CÂY SINH ƯỚC 16 2.1 Cây 16

2.1.1 Định nghĩa 16

2.1.2 Đặc điểm của cây và cây có hướng 18

2.2 Cây sinh ước 22

2.2.1 Định nghĩa 22

2.2.2 Thuật toán xây dựng cây sinh ước 22

2.2.3 Ứng dụng 24

3 NGUỒN ĐỒNG DƯ 27 3.1 Nguồn đồng dư 27

3.1.1 Định nghĩa nguồn đồng dư 27

3.1.2 Định nghĩa Euclid 27

3.1.3 Thuật toán xây dựng nguồn đồng dư 28

3.2 Nguồn giao 31

3.3 Ứng dụng 39

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 51

MỞ ĐẦU

Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chất rời rạc không liên tục.Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực như quan hệ, lý thuyết đồ thị, logic toán,ngôn ngữ hình thức , trong đó lý thuyết đồ thị là một bộ phận trọng tâm vớinhiều khối lượng kiến thức khá lý thú và được nghiên cứu nhiều nhất

Lý thuyết đồ thị là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụngvào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau, bởi vì lý thuyết đồ thị là phươngpháp khoa học có tính khái quát cao và có tính ổn định vững chắc vì thế thôngqua đồ thị có thể mã hóa các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu.Vận dụng lý thuyết đồ thị để mô hình hóa các mối quan hệ trong giảng dạy

sẽ chuyển thành phương pháp dạy học đặc thù và nâng cao được hiệu quả giảngdạy thúc đẩy quá trình tự học, tự nghiên cứu của học sinh theo hướng tối ưuhóa Đặc biệt việc vận dụng lý thuyết đồ thị trong giảng dạy còn nhằm rèn luyệnnăng lực hệ thống hóa kiến thức và năng lực sáng tạo của học sinh

Từ nhận thức trên, đề tài

"Ứng dụng đồ thị tìm ước số và xác định tập đồng dư"

không những là nhiệm vụ em phải thực hiện trong kỳ bảo vệ luận văn tốt nghiệp,

mà thực sự là đề tài em rất quan tâm và say mê nghiên cứu

“Ứng dụng đồ thị tìm ước số và tập đồng dư” là đề tài mang tính nghiên cứu

lý thuyết, có tầm quan trọng và ý nghĩa thiết thực cao

Luận văn bao gồm phần mở đầu và ba chương:

Chương 1 Một số khái niệm cơ bản

Nhằm trình bày những khái niệm cơ bản nhất về đồ thị, là cơ sở tìm hiểu sâusắc hơn các vấn đề tiếp theo Mỗi phần gồm: Định nghĩa, định lý và các tínhchất cơ bản của đồ thị Ngoài ra, trong chương này còn trình bày một số phươngpháp biểu diễn đồ thị, mỗi phương pháp đều có những ưu và nhược điểm riêng,

vì vậy cần lựa chọn phương pháp, sao cho phù hợp với đặc điểm từng bài toán

và đạt được hiệu quả về thuật toán

MỞ ĐẦU

Chương 2 Cây sinh ước

Cây là một trường hợp riêng của đồ thị, để nghiên cứu hết các tính chất,khái niệm về cây cần cả một khối lượng kiến thức đồ sộ và đã có những đề tàinghiên cứu sâu về cây Trong chương này chỉ đề cập tới những điểm chính nhất,

cơ bản nhất về cây và tập trung khai thác những ứng dụng của nó

Những ứng dụng của cây thì rất nhiều, trong chương chỉ đề cập tới nhữngứng dụng cơ sở nhất, nhưng cũng thiết thực nhất Đó là ứng dụng của cây đểgiải các bài toán tìm ước số

Chương 3 Nguồn đồng dư

Đây là chương cuối cùng và là chương sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng nhất.Trong chương này sẽ nhắc lại thuật toán khá gần gũi với cuộc sống Đó là thuậttoán xây dựng đồ thị xác định tập đồng dư, được gọi tắt là nguồn đồng dư

Từ cách xây dựng tập đồng dư ta có thể thấy được ứng dụng của nó vào việcchuyển các bài toán phức tạp trong tính toán về các bài toán giải đơn giản

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Các khái niệm cơ bản

Hai chữ “đồ thị” vẫn thường xuyên xuất hiện trong đời sống toán học và cảtrong đời sống hàng ngày

Trong các giờ toán, chúng ta từng nói tới đồ thị của các hàm số Hay trongcác công sở, các nhân viên phải lập các biểu đồ theo dõi lượng tiêu thụ điện Nóichung, khái niệm đồ thị là một khái niệm khá quen thuộc với chúng ta nhằmbiểu diễn tương quan qua lại giữa hai hoặc nhiều đối tượng toán học khác nhau

Ở đây, khái niệm đồ thị vẫn được dùng theo nghĩa đó nhưng nó mang tínhtrừu tượng hơn

Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hoặc nhiều hơn hai cạnh(hai hoặc nhiều hơn hai cung và hướng) Các cạnh (cung) này được gọi là cáccạnh (cung) bội

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Một cung hay một cạnh có thể bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh Cunghay cạnh loại này được gọi là khuyên hay nút

Cặp đỉnh x, y được nối với nhau bằng cạnh (cung) a thì x, y được gọi là cácđỉnh hay hai đầu của cạnh (cung) a, và a được gọi là cạnh (cung) thuộc đỉnh

Đối với mọi đỉnh xdùng D(x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này được nối với

x bằng ít nhất một cạnh; D+(x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này từ x có cung

đi tới; D−(x) dùng để chỉ tập đỉnh mà mỗi đỉnh này có cung đi tới x

Hai cạnh (cung) a, b được gọi là kề nhau nếu chúng khác nhau và có chungđỉnh (nếu a, b là cung thì không phụ thuộc vào đỉnh chung đó là đỉnh đầu hayđỉnh cuối của cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung b)

Ví dụ 1.1

Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G(X, E) với tập đỉnh:

X= {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7},Tập cạnh và cung:

E= {(x1, x2) , (x2, x3) , (x4, x6) , (x5, x6) , (x3, x3) , (x1, x6) , (x5, x5)}

= { a1 , a2 , a3, a4 , a5 , b1 , b2 }Trong đó a1, a2, a3, a4, a5- các cạnh, b1, b2- các cung, cung b1 có x1 là đỉnhđầu, x6 là đỉnh cuối

Đồ thị G(X, E) không có khuyên và mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằngkhông quá một cạnh, được gọi là đồ thị đơn hay đơn đồ thị và thông thường gọi

(2) E là một họ các cặp không có thứ tự của X gọi là các cạnh

Đa đồ thị có hướng là một bộ G(X, E), trong đó:

(1) X 6= ∅ là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị

(2) E là một họ các cặp có thứ tự của X gọi là các cung

Một đồ thị hay đa đồ thị có khuyên, thì nó được gọi là đồ thị hay đa đồ thị

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Đồ thị vô hướng (có hướng) G(X, E) được gọi là đồ thị đầy đủ, nếu mỗi cặpđỉnh được nối với nhau bằng đúng một cạnh (một cung với chiều tùy ý)

Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) được gọi là hữu hạn nếu số đỉnh của nó hữu hạn,tức tập X có lực lượng hữu hạn

Giả sử G(X, E) là một đồ thị hay đa đồ thị có hướng hoặc không có hướng

Số cạnh và cung thuộc đỉnh x được gọi là bậc của đỉnh x và ký hiệu bằng m(x).Đỉnh có bậc bằng 0 gọi là đỉnh biệt lập

Để có dạng biểu diễn hình học của G ta cần biểu diễn đỉnh và cạnh

Biểu diễn đỉnh: Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tươngứng với các phần tử của tập X và dùng ngay ký hiệu các phần tử này để ghitrên các điểm tương ứng

Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh với hai đỉnh đầu là x, y thì nó được biểu diễn bằngmột đoạn thẳng hay một đoạn cong nối giữa hai điểm x, y và không đi qua cácđiểm tương ứng trung gian khác

Biểu diễn cung: Nếu cung có đỉnh đầu là x, đỉnh cuối là y, thì nó được biểudiễn bằng một đoạn thẳng hoặc một đoạn cong được định hướng đi từx sang y

và không qua các điểm tương ứng trung gian khác

Hình nhận được gọi là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G(X, E) Đôi khingười ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là đồ thị

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

được gọi là một xích hay một dây chuyền, nếu ∀i (1 ≤ i ≤ n − 1) cặp đỉnh

xi, xi+1 kề nhau (có cạnh nối với nhau)

Các đỉnh x 1 , x n được gọi là hai đỉnh đầu của xích α được gọi là độ dài củaxích α, đồng thời được ký hiệu bằng |α|

Các đỉnh x 1 , x n được gọi là hai đỉnh đầu của xích α Ngoài ra, còn nói rằngxích α nối giữa các đỉnh x 1 và x n Để chỉ rõ đỉnh đầu và đỉnh cuối ta còn kýhiệu α bằng α [x1, xn]

Một xích với hai đầu trùng nhau, được gọi là một chu trình

Xích (chu trình) α được gọi là xích (chu trình) đơn (sơ cấp hay cơ bản) nếu

nó đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.3

Cho đồ thị:

α1 = x1x2x3x4x5x6 là xích đơn và sơ cấp

α2 = x2x3x4x5x1x2x5 là xích đơn, nhưng không sơ cấp

α3 = x1x2x4x5x6x1 là chu trình đơn và sơ cấp

α4 = x1x5x2x4x5x6x1 là chu trình đơn, nhưng không là chu trình sơ cấp

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

β4= [x1x7x2x5x7x2x4] không là đường đơn, nhưng không là vòng sơ cấp

β 5 = [x 1 x 7 x 2 x 5 x 7 x 6 x 1 ] là vòng đơn, nhưng không là vòng sơ cấp

Hai xích (chu trình) được gọi là rời nhau, nếu chúng không có cạnh chung.Hai đường (vòng) gọi là rời nhau nếu chúng không có cạnh chung

Để dễ hình dung ta gọi chu trình có độ dài 3, 4, 5, , n là chu trình tamgiác, tứ giác, ngũ giác, , n giác

Giả sử α = [x1, x2, , xk−1, xk] là một trong những xích sơ cấp có độ dài cựcđại Do bậc của mỗi đỉnh thuộcGkhông nhỏ hơn 2, nênx1 phải kề với một đỉnh

y nào đó khác x2 Ngược lại, nếu đỉnh y khác với đỉnh xi(3 ≤ i ≤ k) thì xích sơcấp

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

α0= [y, x1, x2, , xk−1, xk]

có độ dài |α0| = |α| + 1 > |α|

Như vậy, đã đi tới mâu thuẫn với tính độ dài cực đại của xích α, nên

y = xi(3 ≤ i ≤ k) và trong đồ thị có chu trình sơ cấp β = [x1, x2, , xi−1, xi, x1].Định lý 1.2 Trong một đồ thị vô hướng với n đỉnh (n ≥ 4) và các đỉnh đều cóbậc không nhỏ hơn 3 luôn luôn tồn tại chu trình sơ cấp có độ dài chẵn

Chứng minh

Giả sử α là một trong những xích sơ cấp độ dài cực đại

α = (x 1 , x 2 , , xi−1, xi, xi+1, , xj−1, xj, xj+1, , xk−1, xk)

Vì α có độ dài cực đại, mà bậc x1 không ít hơn 3, nên ngoài x2 thì x1 phải

kề thêm với hai đỉnh khác thuộcα: xi(3 ≤ i ≤ k) , xj(3 ≤ j ≤ k) Khi đó được haichu trình sơ cấp:

α 1 = (x 1 , x 2 , , x i−1 , x i , x 1 )

α 2 = (x 1 , x 2 , , xi, xi+1, , xj−1, xj, x 1 )

Nếu một trong hai chu trình α1, α2 có độ dài chẵn Khẳng định được chứngminh

Ngược lại nếu cả hai chu trình α1, α2 đều có độ dài lẻ Khi đó xích

α3 = (x1, x2, , xi−1, xi) có độ dài chẵn và xích α4 = (xi, xi+1, , xj, xj+1, x1) có

độ dài chẵn,nên chu trình (x1, x2, , xi−1, xi, xi+1, , xj, xj+1, x1) có độ dài chẵn.Khẳng định được chứng minh

1.1.4 Đồ thị liên thông và chu số

1.1.4.1 Đồ thị liên thông

Hai đỉnh x, y được gọi là cặp đỉnh liên thông, nếu hoặc giữax và y có ít nhấtmột xích nối với nhau, hoặc tồn tại ít nhất một đường đi từ x sang y hoặc từ y

sang x

Đồ thị vô hướng G(X, E) được gọi là đồ thị liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của

nó đều liên thông với nhau

Đồ thị có hướng G(X, U ) được gọi là đồ thị liên thông mạnh, nếu mọi cặpđỉnh của nó đều liên thông

Giả sử a là đỉnh bất kì của đồ thị G Dùng Ca để ký hiệu tập con các đỉnhcủa G, gồm đỉnh a và tất cả các đỉnh liên thông với a trong đồ thị G

Đồ thị con của G có tập đỉnh Ca được gọi là một thành phần liên thông của

đồ thị G

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.5

S = {a, b, g}

Đồ thị được gán nhãn (trên bảng chữ cái S = {a, b, g})

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.7

Cho nguồn I

Nguồn có đỉnh vào là v, các đỉnh ra là đỉnh x5, x6

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Giả sử nguồn G có đỉnh vào là V là tập con các đỉnh ra là F

Tập gồm nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh vào (V ) và đi tới cácđỉnh kết (F ), S

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

a) Sinh số 0: Để sinh số 0 là số tự nhiên duy nhất bắt đầu và kết thúc bằng

0, nên ta kẻ một cung từ đỉnh v sang s 1 với nhãn là 0

b) Tất cả các số tự nhiên còn lại đều không bắt đầu bằng 0 Bởi vậy, từ đỉnh

v sang đỉnh s 2 kẻ 9 cung với nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

c) Mỗi số tự nhiên có thể có độ dài tùy ý và kết thúc bằng một trong cácchữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nên để sinh các đoạn cuối của các số thì tại đỉnh s2

ta vẽ thêm 10 khuyên với các nhãn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Từ đó ta có nguồn sinhcác số tự nhiên như sau:

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Có thể rút gọn thành đồ thị sau:

Trong bài luận văn này xin phép sử dụng dạng rút gọn

Ví dụ: Muốn sinh số 2013:

- Từ đỉnh vào đi theo cung 2 đến s2

- Tại đỉnh s2 ta lần lượt đi theo khuyên 3 nhãn 0, 1, 3

- Khi đó đường ta đã đi xuất phát từ đỉnh vào V với nhãn là

2013 và có đỉnh cuối là đỉnh kết (s2), nên đường này sinh được số 2013

Chương 2

CÂY SINH ƯỚC

Cây là một khái niệm đặc biệt trong lý thuyết đồ thị được Cayley nghiên cứu

từ rất sớm bởi vì loại đồ thị này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết mạng.Trong toán học nhờ cây có thể thực hiện xác định thứ tự, xác định số cáchsắp xếp, số các số nguyên thỏa mãn những điều kiện nào đó và ước của các sốnguyên dương Trong luận văn này xin trình bày ứng dụng của cây để xác định

số ước của các số nguyên dương

2.1 Cây

2.1.1 Định nghĩa

Một đồ thị vô hướng liên thông, không có chu trình và có ít nhất hai đỉnhđược gọi là một cây (Hình 2.1)

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

Đồ thị hữu hạn có hướng G = (X, U ) là cây có hướng gốc x1 ∈ X, nếu nó có

ít nhất hai đỉnh và thỏa mãn ba điều kiện sau:

1) Mỗi đỉnh khác x1 là điểm cuối của một cung duy nhất

2) Đỉnh x1 không là điểm cuối của bất kỳ một cung nào

3) Đồ thị G(X, U ) không có vòng (Hình 2.2)

Một đồ thị vô hướng, mà mỗi một thành phần liên thông của nó đều là cây,được gọi là bụi (Hình 2.3)

Hình 2.3

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

2.1.2 Đặc điểm của cây và cây có hướng

Định lý 2.1 Giả sử H là một đồ thị vô hướng với n đỉnh (n > 1) Để đặc trưngcho một cây, thì sáu tính chất sau đây tương đương:

(1) H liên thông và không có chu trình;

(2) H không có chu trình và n − 1 cạnh;

(3) H liên thông và có n − 1 cạnh;

(4) H không có chu trình và nếu thêm một cạnh nối giữa hai đỉnh bất kì không

kề nhau, thì đồ thị nhận được H0 có một chu trình (và chỉ có một mà thôi);(5) H liên thông và khi bớt một cạnh bất kì thì đồ thị mất tính liên thông;(6) Mọi cặp đỉnh của H đều được nối với nhau bằng một xích và chỉ một màthôi

Chứng minh

Định lý được chứng minh theo phương pháp vòng tròn

Ký hiệu số cạnh của đồ thị H bằng m, số thành phần liên thông bằng p Khi

đó chu số của đồ thị H (số chu trình của H) làν (H) = m − n + p

ν (H) = m + 1 − n + 1 = n − 1 + 1 − n + 1 = 1,Nên đồ thị H0 có chu trình và chỉ có một mà thôi

Ta có tính chất (4)

(4) ⇒ (5) : Lấy hai đỉnh bất kỳx, y của đồ thị H Theo tính chất (4): Nếu thêmvào cạnh (x, y), thì đồ thị mới nhận được H0 có chu trình Điều này chứng tỏcặp đỉnh x, y đã có xích nối với nhau, tức H liên thông

Giả sử bớt đi một cạnh nào đó, chẳng hạn (u, v) mà đồ thị nhận được vẫnliên thông Điều này chứng tỏ trong đồ thị H giữa các đỉnh u, v ngoài cạnh(u, v)

còn có xích nối giữa chúng, tức là H có ít nhất một chu trình đi qua các đỉnh

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

u, v Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất (4): Đồ thị (H) không có chu trình Bởivậy, nếu bớt đi một cạnh tùy ý thì đồ thị nhận được từ H sẽ không liên thông

Ta được tính chất (5)

(5) ⇒ (6) : Giả sử trong đồ thị H tồn tại cặp đỉnh nào đó, chẳng hạn x, y đượcnối với nhau bằng từ hai xích trở lên Khi đó, nếu ta bỏ đi một cạnh nào đóthuộc một trong hai xích này, thì xích còn lại vẫn đảm bảo cho x, y liên thông.Như vậy, ta đã đi tới mẫu thuẫn với tính chất (5) Do đó, mọi cặp đỉnh của H

đều được nối với nhau bằng một xích và chỉ một mà thôi T được tính chất (6)

(6) ⇒ (1): Giả sử H không liên thông Khi đó có ít nhất một cặp đỉnh không cóxích nối với nhau, nên mâu thuẫn với tính chất (6)

Giả sử H có chu trình Khi đó có ít nhất một cặp đỉnh nằm trên chu trìnhnày được nối với nhau bằng ít nhất hai xích Như vậy ta cũng đi đến mâu thuânvới tính chất (6) Bởi vậy đồ thị H có tính chất (1)

đồ thị H phải có ít nhất hai đỉnh treo

Giả sử α = (x1, x2, , xk−1, xk) là một trong những xích có độ dài cực đại Vì

H có ít nhất hai đỉnh, nên |α| ≥ 1 Bởi vậy k > 1

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

Ta sẽ khẳng định rằngx1 và xk là các đỉnh treo, tức mỗi đỉnh này cho có mộtcạnh đi ra

Giả sử ngược lại, x1 không phải là đỉnh treo, nên ngoài x2 nó còn phải nốivới đỉnh xi nào đó, mà xi 6= x2 Vì H liên thông, nên x2 và xi có xích nối vớinhau Khi đó trong cây H có chu trình β = (x1, x2, , xi−1, x1) Ta đã đi tới mâuthuẫn với tính chất của cây, nên x1 là đỉnh treo

Tương tự ta cũng khẳng định được xk là đỉnh treo

Định lý được chứng minh

Định lý 2.3 Mọi cây có hướng khi bỏ định hướng các cung đều trở thành cây.Chứng minh

Giả sử cây có hướng H = (X, U ) có gốc tại x 1 và đồ thị vô hướng G = (X, E)

nhận được từ cây có hướng H sau khi bỏ định hướng các cung

1) Đồ thị G liên thông

Do điều kiện 1) mỗi đỉnh x 6= x2 đều có đường từ x1 đi tới Thật vậy, giả sử

x 6= x1 và từ x1 không có đường đi tới x

Nếu x là đỉnh biệt lập, thì nó không thể là đỉnh biệt lập, thì phải có đỉnh y

là điểm xuất phát của một đường đi tới x Nhưng do từ x1 không có đường đitới x, nên y 6= x1, mà nó cũng không là đỉnh cuối của bất kỳ cung nào Như vậy

ta đã đi tới mâu thuẫn với điều kiện 1) Do đó, mọi đỉnh x 6= x1 từ x1 có đường

đi tới nó, nên trong G mọi đỉnh x đều có xích nối với x1 Bởi vậy đồ thị G liênthông

2) Đồ thị G không có chu trình

Thật vậy, giả sử Gcó chu trình, thì trong H dãy cung tương ứng với các cạnhthuộc chu trình này sẽ hoặc lập thành một vòng hoặc có ít nhất hai cung cóchung điểm cuối Như vậy, ta đi tới mâu thuẫn với điều kiện 1) hoặc điều kiện3) Nên đồ thị G không có chu trình và liên thông Do đó G là một cây

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

Giả sử H là một cây tùy ý gồmk + 1 đỉnh Khi đó H có ít nhất hai đỉnh treo.Giả sử x là một trong những đỉnh treo của H Ta loại đỉnh x và cạnh thuộc

nó khỏi cây H và được đồ thị H0 = H − {x} Khi đó H0 cũng là đồ thị liên thông.Giả sử ngược lại: H0 là đồ thị không liên thông Khi đó nó phải có ít nhất haithành phần liên thông Giả sử G1, G2 là hai trong các thành phần liên thông của

H0

Vì đồ thị H liên thông, nên từ đỉnh x phải xuất phát hai xích α1, α2: xích α1

nối x với G1, còn xích α2 nối x với G2 Như vậy từ xxuất phát ít nhất hai cạnh

Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất đỉnh treo của x, nên đồ thị H0 liên thông

Do H không có chu trình, nên đồ thị con của nó là H0 cũng không có chu trình

Đồ thị H0 liên thông và không có chu trình, nên nó là cây

Cây H0 chứa k đỉnh, nên có k − 1 cạnh

Khôi phục lại đỉnhx và cạnh thuộc nó, tức là trở lại câyH với k + 1đỉnh Ngoài

k − 1 cạnh thuộcH0 cũng là các cạnh thuộcH thêm cạnh thuộc đỉnh x, nên cây

Giả sử H là cây tùy ý và A, B là hai đỉnh bất kì của cây H

Vì H là đồ thị liên thông, nên các đỉnh A, B phải có xích nối với nhau

Mặt khác, do H là cây nên trong H không có chu trình

Bởi vậy ngoài xích đã nối giữa A, B không còn xích nào khác

Định lý được chứng minh

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

2.2 Cây sinh ước

2.2.1 Định nghĩa

Đối với mỗi số nguyên dương m Một trong những vấn đề đặt ra là cần xácđịnh các ước số của m Ta có thể dùng cây sinh ra các ước số trong m Ta gọicây loại này là cây sinh ước (hay cây ước số)

Đối với mỗi số nguyên dương m có n ước số u1, u2, , ui, ui+1, , un Ta dùng

U (m) ký hiệu tập ước số của m

U (m) = {u1, u2, , ui, ui+1, , un}

2.2.2 Thuật toán xây dựng cây sinh ước

Để xây dựng cây T sinh các ước số của m ta sẽ thực hiện theo ba bước sau:1) Phân tích m ra dạng thừa số nào đó chẳng hạn

m = m1× m2× × mi× mi+1× × mn

Sau đó đối với mỗi số mi(1 ≤ i ≤ n) ta xác định tập ước U (mi) của mi

U (mi) = {ci1, ci2, , ciki, , cisi}

2) Xác định cây sinh ước

Cây sinh ước được xác định bằng phương pháp quy nạp theo chỉ số i

Lấy đỉnh O làm gốc của cây

a) Cơ sở quy nạp

Xây dựng tầng 1

Với i = 1 tại bước xuất phát ta lấy đỉnh O làm gốc của cây

Giả sử thừa số m1 có các ước số là c11, c12, , c1k1, , c1s1 Khi đó từ gốc O kẻ

s1 cạnh và trên các đỉnh còn lại của các cạnh này ghi một cách tương ứng cácước số của m1 Như vậy, tầng 1 sinh tập ước số của m1 là

U (m1) = {c11, c12, , c1k1, , c1s1}.Xây dựng tầng 2

Với i = 2

Giả sử thừa số m2có các ước số là c21, c22, , c2k2, , c2s2 Khi đó từ mỗi đỉnh

c1t(1 ≤ t ≤ s1) ta kẻ s2 cạnh và trên đỉnh còn lại của các cạnh này ghi một cáchtương ứng s2 số c21, c22, , c2k2, , c2s2 Như vậy, tầng 2sinh tập ước số của m2 là

U (m1) = {c21, c22, , c2k2, , c2s2}.b) Quy nạp

Giả sử thừa số m i có các ước số là c i1 , c i2 , , c is i và cây T đã xây dựng đượcđến tầng thứi = l, tức các cạnh mà trên đầu của chúng ghi lần lượt các ước của

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

số ml−1, còn đầu kia ghi các ước của số ml

Khi đó tầng thứ i = l + 1 được xây dựng như sau:

Từ mỗi đỉnh clr(1 ≤ r ≤ sl) kẻ sl+1 cạnh và các đỉnh còn lại của cạnh này ghimột cách tương ứng sl+1 số cl+1,1, cl+1,2, , cl+1,sl+1 Như vậy, tầng thứ i sinh tậpước số của mi là

U (mi) =cl+1,1, cl+1,2, , cl+1,sl+1 Quá trình kết thúc sau khi xây dựng xong tầng thứ l Khi đó ta được cây T

sinh tất cả các ước của m

3) Xác định tập ước U (m)

Giả sử d là một đường nào đó xuất phát từ gốcO đi đến đỉnh treo Qmà trênđường này từ đỉnh thứ hai ghi lần lượt dãy ước c 1 , c 2 , , c i , , c n Trong đó c i làước của số m i, c i ∈ U (m i ) (1 ≤ i ≤ n) Khi đó

t = c1× c2× × ci× × cn

là một ước của m

Bởi vậy để tìm tất cả các ước của m ta phải liệt kê toàn bộ các đường xuấtphát từ gốc O và đi tới các đỉnh treo Sau đó xác định tích của dãy số ghi trêntừng đường ta sẽ được tất cả các ước của m, tức cây sinh được tập U (m)

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

Chương 2 CÂY SINH ƯỚC

Bài toán 2.2 Hãy tìm tất cả các ước số của 504

Lời giải

1) Một trong những dạng phân tích ra thừa số của 504 là

504 = 8 × 9 × 7,nên cần xác định bốn tập ước số

U (8) = {1, 2, 4, 8} ; U (9) = {1, 3, 9} ; U (7) = {1, 7} và U (504).2) Xây dựng cây T1 xác định tập U (504) gồm tất cả các ước số của 504