Phương pháp số giải phương trình vi phân thường
Các khái niệm cơ bản
Xét bài toán giá trị đầu cho PTVPT tổng quát y 0 = f(t, y) với điều kiện 0 ≤ t ≤ b và y(0) = c, trong đó b > 0 và c ∈ R n đã cho Hàm f thuộc không gian liên tục C([0, b] × R n → R n ) Định nghĩa nghiệm y(t) là ổn định nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) ˆ khác y(t) đều thỏa mãn điều kiện ổn định.
|y(t) − y(t)| ≤ ˆ ε, ∀t ≥ 0. Định nghĩa 1.2.2 Nếu có thêm điều kiện
|y(t) − y(t)| → ˆ 0 khi t → ∞ thì y(t) được gọi là ổn định tiệm cận.
Chọn lưới điểm ∆ = {t 0 = 0, t 1 , , t N = b} và đặt h n = t n − t n−1 với n =
1, , N Ta xét một phương pháp số đơn giản giải (1.12), đó là phương pháp Euler hiển, có dạng y n = y n−1 + h n f (t n−1 , y n−1 ).
Ta viết lại công thức trên thành y n − y n−1 h n − f(t n−1 , y n−1 ) = 0.
Cho u là một hàm bất kì định nghĩa trên lưới điểm ∆ Xét toán tử sai phân
Phương pháp sai phân được định nghĩa bởi công thức N h u(t n ) ≡ u(t n ) − u(t n−1 ) h n − f (t n−1 , u(t n−1 )) với n = 1, , N, trong đó toán tử sai phân thay đổi tùy thuộc vào phương pháp sử dụng Đối với hàm lưới y h, giá trị y n được xác định tại mỗi điểm t n, với n = 0, 1, , N, từ đó tạo ra phương pháp số thông qua phương trình toán tử.
Sai số chặt cụt địa phương được định nghĩa bởi d_n = N_h y(t_n), trong đó y là nghiệm chính xác của phương trình và y_0 = c Phương pháp số được xem là chính xác cấp p khi đáp ứng các tiêu chí nhất định.
N h y(t n ) = O (h p n ) với p là một số nguyên dương. Đặt h = max
Phương pháp số được gọi là hội tụ cấp p nếu sai số toàn cục \( e_n \), với \( e_n = y_n - y(t_n) \) và \( e_0 = 0 \), thỏa mãn điều kiện \( e_n = O(h^p) \) cho \( n = 1, 2, \ldots, N \) Đồng thời, phương pháp số được coi là ổn định – 0 nếu tồn tại các hằng số \( h_0 \) và \( K \) sao cho với bất kỳ hàm lưới \( x_h \) và \( z_h \) nào với \( h \leq h_0 \) đều thỏa mãn điều kiện ổn định.
, 1 ≤ n ≤ N. Định lý 1.2.1 Nếu phương pháp là chính xác cấp p và ổn định – 0 thì nó hội tụ cấp p
|e n | ≤ K max j |d j | = O (h p ) Xét phương trình thử y 0 = λy với λ ∈C , Reλ < 0 và y 0 , y 1 , , y N là một lời giải số. Định nghĩa 1.2.7 Điều kiện sau được gọi là điều kiện ổn định tuyệt đối
Miền ổn định tuyệt đối của một phương pháp số được định nghĩa là miền trong mặt phẳng phức z = λh, trong đó việc áp dụng phương pháp cho phương trình thử sẽ cho ra nghiệm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện ổn định tuyệt đối Một phương pháp số được gọi là ổn định – A nếu miền ổn định tuyệt đối của nó bao gồm toàn bộ nửa bên trái của mặt phẳng phức z = λh.
Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi phân thường
Trong phần này ta xét hai loại phương pháp tiêu biểu để giải (1.12), đó là các phương pháp một bước và các phương pháp đa bước.
Một trong những phương pháp quan trọng để giải phương trình (1.12) là các phương pháp Runge – Kutta (R - K) Dưới đây là một số phương pháp R - K đơn giản, trong đó phương pháp Euler được thể hiện bằng công thức: y_n = y_{n-1} + h_n f(t_{n-1}, y_{n-1}).
Phương pháp Euler hiển đã được chứng minh là chính xác cấp 1 và ổn định – 0, dẫn đến hội tụ cấp 1 Tuy nhiên, phương pháp này không ổn định – A.
Phương pháp Euler ẩn, tương tự như phương pháp Euler hiển, được chứng minh là chính xác cấp 1 và hội tụ cấp 1, nhưng có độ ổn định khác biệt, cụ thể là ổn định - A Trong khi đó, phương pháp Euler hiển chỉ ổn định - 0 Một phương pháp khác là phương pháp trung điểm, được biểu diễn bằng công thức y n = y n−1 + h n f(t n−1/2 , y n + y 2 n−1).
Phương pháp trung điểm và phương pháp hình thang đều được chứng minh có độ chính xác cấp 2 và ổn định – 0, do đó hội tụ cấp 2 Hơn nữa, cả hai phương pháp này cũng thể hiện tính ổn định – A.
Nói chung, một phương pháp R – K s - nấc giải PTVPT y 0 = f(t, y) có thể được viết dưới dạng
Nếu a ij = 0 ∀j > i thì ta có một công thức R – K hiển Ngược lại ta có một công thức R – K ẩn.
Ta thể hiện phương pháp một cách thuận tiện bằng cách sử dụng bảng
Chẳng hạn, ta có bảng Butcher của
Ngoài các phương pháp một bước, các phương pháp đa bước cũng được phát triển để giải bài toán giá trị ban đầu cho các phương trình vi phân phần tử Một trong những phương pháp này là phương pháp k-bước tuyến tính tổng quát, có dạng k.
X j=0 β j f n−j , trong đó các hằng số α j , β j , j = 0, , k là các hệ số của phương pháp, α 0 6= 0; |α k | + |β k | 6= 0 và t n−j = t n − jh, y n−j ≈ y(t n−j ), f n−j = f (t n−j , y n−j ) ≈ f (t n−j , y(t n−j )), j = 0, , k.
Nếu β 0 = 0, ta có một công thức đa bước hiển Ngược lại, ta có một công thức đa bước ẩn.
Hai họ phương pháp đa bước phổ biến nhất là các phương pháp Adams và các phương pháp BDF.
Các phương pháp Adams hiển, hay còn gọi là phương pháp Adams-Bashforth, là những phương pháp đa bước phổ biến nhất trong giải tích số Công thức của chúng có dạng y n = y n−1 + h k, trong đó y n là giá trị tại bước n, y n−1 là giá trị tại bước trước đó, h là bước nhảy và k là đạo hàm tại bước n.
Các phương pháp Adams ẩn, còn được gọi là các phương pháp Adams- Moulton, có dạng y n = y n−1 + h k
Cấp của phương pháp Adams-Moulton k-bước được xác định là p = k + 1 So với các phương pháp Adams-Bashforth cùng cấp, các phương pháp Adams-Moulton có hằng số sai số nhỏ hơn, yêu cầu ít bước hơn và có miền ổn định rộng hơn nhiều.
Một phương pháp k-bước BDF với cấp p = k có dạng sau k
∇ i f (t n , y n ) = ∇ i−1 f (t n , y n ) − ∇ i−1 f (t n−1 , y n−1 ) Phương pháp BDF có tính stiff decay (giảm nhanh), thích hợp giải bài toán cương, xem [3].
Nghiệm số của phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ hay không?
Sự thất bại về cấp chính xác của phương pháp
Để minh hoạ cho khả năng có thể mất tính chính xác, xét lớp các phương trình tuyến tính hệ số hằng số sau y 0 (t) = ay(t) − π 2 e a y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = φ(t) = e at sin( π 2 t), t ≤ 0, (1.15)
Nghiệm của phương trình, y(t) = e at sin( π 2 t), thuộc lớp C ∞ trong [−1, +∞). Theo (1.14), với n = 0, 1, , ta sẽ giải PTVPT sau w n+1 0 (t) = aw n+1 (t) − π 2 e a x(t − 1), t n ≤ t ≤ t n+1 , w n+1 (t n ) = y n , (1.16) trong đó x(s) = φ(s) = e as sin π 2 s
Phương pháp trùng khớp tại ν điểm Gauss là một lớp phương pháp tích phân hiệu quả, tương đương với các phương pháp Runge-Kutta ν-nấc cấp 2ν Những phương pháp này dựa trên sự xấp xỉ đa thức từng khúc bậc ν, cho phép tạo ra một mở rộng liên tục η(t) với độ chính xác cấp ν + 1 Do đó, phương pháp trùng khớp Gauss trở thành một lựa chọn hấp dẫn để tích phân các phương trình vi phân từng phần có điều kiện giống như (1.15).
Với ν = 1, phương pháp đã được biết đến như là phương pháp trung điểm, và với phương trình tổng quát (1.14) nó có dạng y n+1 = y n + hf t n + h
(1.17) Áp dụng (1.17) cho (1.16) với cỡ bước tích phân hằng sốh = 1/(m −δ), m ≥ 2, m nguyên, và 0 ≤ δ < 1, ta được y n+1 = y n + h a y n +y 2 n+1 − e a π 2 φ t n + h 2 − 1
, t n + h 2 − 1 > 0, trong đó η t n + h 2 − 1 được cho bởi phép nội suy tuyến tính, đó là η t n + h
2 − δ y n−m+1 + δ − 1 2 y n−m+2 , 1 2 < δ < 1 Tóm lại, công thức trung điểm cho (1.15) có dạng y n+1 = 1 + 1 2 ha y n − π 2 he a ( n+ 1 2 ) h sin π 2 n + 1 2 h − 1
Trong khi cấp chính xác rời rạc và đều của công thức trung điểm (ν = 1) cho các phương pháp tính vi phân phần tử (PTVPT) đều bằng 2, công thức trùng khớp Gauss 2-nấc (ν = 2) có cấp chính xác rời rạc bằng 4 và cấp chính xác đều bằng 3 Để kiểm tra cấp chính xác rời rạc p của các phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục, ta thực hiện xét nghiệm trên đoạn [0, 10] và lưu ý rằng nghiệm thuộc lớp C ∞, vì vậy không có điểm gián đoạn nào ảnh hưởng đến cấp chính xác của phương pháp Sai số tuyệt đối lớn nhất tại các điểm nút được kí hiệu là e h với cỡ bước tích phân h = 1/(m − δ) Bằng cách chia đôi cỡ bước, ta có thể tính giá trị tiệm cận của tỉ số r h = e h /e h.
Đồ thị logarit của các tỉ số r h, với h = 1/(m − δ) và m − δ = 2 i ∗ k, được biểu diễn như một hàm số của i Các nghiệm số của phương trình (1.15) với a = 1 được xác định bằng phương pháp trùng khớp tại ν = 1 và ν = 2 tại các điểm Gauss Giá trị của m − δ được xác định cho k = 1 (đường nét liền) và k = 5/3 (đường nét đứt).
Với giá trị nguyên (δ = 0) và không nguyên (δ > 0) của m − δ, h có thể là hoặc không là “ước” của chậm τ = 1 Công thức trung điểm duy trì cấp chính xác rời rạc kỳ vọng là 2 Ngược lại, công thức trùng khớp Gauss 2-nấc có cấp chính xác rời rạc là 4 hoặc 3, tùy thuộc vào m − δ là nguyên hay không nguyên, nhưng cấp chính xác đều bằng 3.
Sự thất bại về tính ổn định
Phân tích tính chính xác của các phương pháp số giải bài toán tối ưu tuyến tính với đầu ra liên tục được thực hiện thông qua việc xem xét lớp các phương trình thử tuyến tính với hệ số hằng số Cụ thể, ta có phương trình y 0 (t) = λy(t) − 4 5 λy(t − 1) cho t ≥ 0, với điều kiện y(t) = 1 khi t ≤ 0.
Phương trình này có nghiệm, được vẽ trên Hình 1.9 với một số giá trị của λ, là ổn định tiệm cận với mọi λ < 0.
Công thức trung điểm (1.17), được mở rộng bởi phép nội suy tuyến tính, áp dụng cho phương trình (1.20) có dạng y n+1 = 1 + 1 2 hλ y n − 4 5 hλ
Hình 1.9: Nghiệm của (1.20) với λ < 0. với n ≤ m − δ − 1 2 và y n+1 =
Phương pháp trung điểm được biết đến là ổn định – A, với mọi phương trình y' = λy, trong đó Re(λ) < 0, phương pháp này cung cấp các nghiệm số tiệm cận tới 0 với bất kỳ cỡ bước tích phân h > 0 Dựa vào tính ổn định tiệm cận của nghiệm đối với mọi λ < 0, chúng ta kỳ vọng rằng tính chất này cũng áp dụng cho nghiệm số đạt được từ phương pháp trung điểm, không phụ thuộc vào cỡ bước Tuy nhiên, khi m − δ là số nguyên (δ = 0), phương pháp này cho ra các nghiệm số ổn định, trong khi các giá trị không nguyên của m − δ có thể dẫn đến nghiệm số không ổn định Hình 1.10 minh họa các nghiệm số của (1.20) với λ = −50, khi áp dụng (1.21) cho m − δ = 10 và m − δ = 12,5; mặc dù cỡ bước tích phân nhỏ hơn trong trường hợp sau, nhưng nghiệm đạt được lại không ổn định.
Phương pháp trung điểm với h = 1/(m − δ) cho λ = −50 được sử dụng để tìm nghiệm của phương trình (1.20), trong đó m − δ có thể là số nguyên hoặc không nguyên Đồng thời, phương pháp hình thang cũng được áp dụng cho phương trình tổng quát (1.14), với công thức y n+1 = y n + h.
2 (f (t n , y n , x (t n − 1)) + f (t n+1 , y n+1 , x (t n+1 − 1))) (1.22) Áp dụng (1.22) cho (1.20) với cỡ bước hằng số h = 1/ (m − δ) , m ∈ Z , m ≥
2, 0 ≤ δ < 1 và nội suy tuyến tính giữa các điểm nút cho ta y n+1 = ( 1+ 1 2 hλ ) y n − 4 5 hλ
Phương pháp hình thang, khác với phương pháp trung điểm, mang lại các nghiệm ổn định ngay cả khi cỡ bước tích phân không phải là “ước” của chậm Hình 1.11 minh họa tính chất nghiệm của phương trình (1.23) với λ = -50 và m - δ = 12.5, cho thấy rằng phương pháp trung điểm không thành công trong các điều kiện này.
Mặc dù phương pháp hình thang cho thấy tính ổn định vượt trội hơn phương pháp trung điểm khi áp dụng cho các PTVPCC tuyến tính với hệ số hằng số, nhưng chúng có thể không đủ hiệu quả khi được sử dụng cho các PTVPCC tuyến tính với hệ số biến thiên, ngay cả với các giá trị nguyên m − δ Để minh họa sự khác biệt giữa các phương pháp này trong việc áp dụng cho PTVPT và PTVPCC, ta xem xét phương trình y 0 (t) = λ(t)y(t) − 4 5 λ(t)y(t − 1) với t ≥ 0 và y(t) = t + 1 cho t ≤ 0.
Hình 1.11: Nghiệm số của phương trình (1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương pháp hình thang với m − δ = 12.5. trong đó λ(t) = −50 sin 2 2π 3 t − 1 4
, có nghiệm được vẽ trong Hình 1.12 (bên trái), là ổn định tiệm cận.
Hình 1.12: Nghiệm của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó.
Với phương trình tuyến tính hệ số biến thiêny 0 (t) = λ(t)y(t), y(0) = y 0 ,ta biết rằng nghiệm tiến đến 0 với mọi hàm thực λ(t) ≤ 0 sao cho t
Khi t tiến đến +∞, giá trị của 0 λ(s)ds sẽ giảm xuống −∞ Phương pháp trung điểm được biết đến là ổn định đại số, dẫn đến việc nghiệm số bị giới hạn bởi giá trị khởi tạo |y 0 | với cỡ bước hằng số h > 0 bất kỳ Tuy nhiên, khác với trường hợp hệ số hằng số, phương pháp trung điểm có thể cho ra nghiệm không ổn định ngay cả khi sử dụng một số cỡ bước tích phân hằng số là "ước" của chậm Kết quả với h = 0,5, tương ứng với m − δ = 2, được minh họa trong Hình 1.13 (bên trái).
Kết quả không mong muốn trong phần này cho thấy phương pháp hình thang có thể không ổn định khi áp dụng cho các phương trình như (1.24) Để minh chứng điều này, ta xem xét phương trình (1.24) với hệ số thay đổi một chút là λ(t) = −50 sin 2 2π 3 t.
, nghiệm của phương trình được vẽ trong Hình
1.12 (bên phải) Nghiệm số, với cỡ bước tích phân h = 0.5, được vẽ trong Hình 1.13 (bên phải).
Hai ví dụ cuối cùng được thiết kế để kiểm tra tính ổn định đại số của các phương pháp PTVPT khi áp dụng cho PTVPCC Một thay đổi nhỏ trong hệ số λ(t) hoặc kích thước bước tích phân có thể làm cho các mô hình sử dụng phương pháp trung điểm và phương pháp hình thang trở nên ổn định Kết quả số từ hai phương pháp này với kích thước bước h = 0.505, tương ứng với m − δ = 1.98, được thể hiện trong Hình 1.14, cho thấy sau một vài dao động giả, chúng đạt được tính ổn định tiệm cận.
Hình 1.13: Nghiệm số của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó đạt được bằng phương pháp trung điểm (bên trái) và phương pháp hình thang (bên phải) với m−δ = 2.
Hình 1.14: Nghiệm số của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó đạt được bằng phương pháp trung điểm (bên trái) và phương pháp hình thang (bên phải) với m − δ =1.98.
Một phương pháp tốt cho các PTVPCC
Để đạt được cấp hai cho một lớp bài toán ổn định, bao gồm cả phương trình (1.24), một phương pháp ổn định với mọi cỡ bước là cần thiết Phương pháp Lobatto IIIC hai nấc với nội suy tuyến tính giữa các điểm nút là một lựa chọn hiệu quả Dưới đây là bảng Butcher của phương pháp này.
1 1/2 1/2 1/2 1/2 Áp dụng phương pháp cho (1.24) với cỡ bước tích phân hằng sốh = 1/ (m − δ) , m ∈
, y n+1 = Y 2 n , trong đó η(t n − 1) = t n η(t n+1 − 1) = t n+1 với n ≤ m − 2, η(t n − 1) = t n η(t n+1 − 1) = 1 − δ + δy 1 với n = m − 1, η(t n − 1) = (1 − δ)y n−m + δy n−m+1 η(t n+1 − 1) = (1 − δ)y n−m+1 + δy n−m+2 với n ≥ m.
Hình 1.15: Nghiệm số của phương trình (1.24) đạt được bằng phương pháp Lobatto IIIC hai nấc với λ(t) = −50 sin 2 2π 3 t − 1 4 và m − δ = 2.
Hình 1.16: Nghiệm số của phương trình (1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương pháp Lobatto IIIC hai nấc với m − δ = 12.5.
Phương pháp này cung cấp nghiệm ổn định cho mọi kích thước bước Đặc biệt, khi sử dụng h = 0.5, mặc dù phương pháp trung điểm không thành công, nhưng nghiệm của phương pháp này vẫn giữ được tính ổn định (xem Hình 1.15).
Phương pháp Lobatto IIIC thể hiện ưu điểm vượt trội so với phương pháp hình thang, như minh họa trong Hình 1.16 Nghiệm của phương trình (1.20) với λ = −50 được trình bày với kích thước bước tương tự như trong Hình 1.11 Đặc biệt, các dao động giả gần các góc, vốn xuất hiện khi áp dụng phương pháp hình thang, đã được loại bỏ hoàn toàn.
Dựa trên các ví dụ đã được xem xét, có thể thấy rằng các phương pháp hiện tại gặp phải vấn đề về tính chính xác và ổn định khi áp dụng cho các phương trình tuyến tính vô hướng đơn giản với chậm hằng số Việc giải số các phương trình vi phân riêng phần có chậm không thể chỉ dựa vào việc điều chỉnh mã nguồn của các phương pháp tiêu chuẩn mà cần phải sử dụng các phương pháp được thiết kế đặc biệt, phù hợp với bản chất của phương trình và tính chất của nghiệm.
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích cấp độ trơn của nghiệm của các phương trình vi phân riêng phần có trễ (PTVPCC) dưới dạng y'0(t) = f(t, y(t), y(t − τ(t, y(t)))), với t0 ≤ t ≤ tf và y(t) = φ(t) cho t ≤ t0 Chúng ta cũng sẽ xem xét các PTVPCC trung tính y'0(t) = f(t, y(t), y(t − τ(t, y(t))), y'0(t − σ(t, y(t)))), trong cùng khoảng thời gian và điều kiện ban đầu tương tự Nội dung phân tích sẽ tập trung vào tính chất và vị trí của các điểm gián đoạn của đạo hàm, nếu có, cùng với sự lan truyền của chúng trong khoảng tích phân dưới các giả thiết khác nhau về các độ trễ τ và σ.
Để hoàn thiện nội dung, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả liên quan đến sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong các bài toán giá trị đầu đã đề cập.
Vị trí của các điểm gián đoạn và sự trơn dần của nghiệm
Các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp
Xét trường hợp vô hướng của phương trình (2.1) với d = 1, giả thiết rằng đối số chậm α(t) = t − τ thỏa mãn α(t) < t 0 tại một số điểm t ∈ [t 0 , t f ] Hơn nữa, nghiệm y(t) không liên kết trơn với hàm khởi tạo φ(t) tại t 0, tức là φ 0 (t − 0 ) 6= y 0 (t + 0 ) = f(t 0 , φ(t 0 ), φ(α(t 0 ))) Nếu các hàm f, φ và α là liên tục, thì y 0 (t) cũng liên tục với mọi t > t 0 Ngược lại, nếu f, φ và α khả vi, thì y 00 (t) tồn tại với mọi t ngoại trừ các điểm ξ 1,i (> t 0) sao cho α (ξ 1,i ) = t 0 và α 0 (ξ 1,i ) 6= 0, tức là ngoại trừ các nghiệm đơn của phương trình α (t) = t 0 Với hàm trơn f (t, y, x) bất kỳ, ta có thể viết y 00 (t ± ) = ∂f.
Vì α 0 (ξ 1,i ) 6= 0 và φ 0 (t − 0 ) được giả thiết là khác y 0 (t + 0 ), y 00 không tồn tại tại ξ 1,i và mở rộng của nó bởi y 00 (ξ 1,i ) = y 00 (ξ 1,i + ) có một điểm gián đoạn.
Các điểm gián đoạn trong y 00 được gọi là điểm gián đoạn gốc mức 1 Qua việc vi phân, có thể kiểm tra rằng mỗi điểm gián đoạn thứ cấp mức 1 ξ 1,i sẽ tạo ra các điểm gián đoạn gốc mức 2 trong y 000 tại những điểm ξ 2,j (với ξ 2,j > ξ 1,i) là nghiệm đơn của phương trình α (t) = ξ 1,i với một giá trị i nào đó.
Điểm gián đoạn gốc mức k ξ k,i tạo ra các điểm gián đoạn gốc mức (k + 1) trong y (k+2) tại các điểm ξ k+1,j tiếp theo, khiến nghiệm của (2.1) trở nên trơn hơn khi mức điểm gián đoạn gốc tăng lên Tính chính quy của y(t) tăng lên được gọi là sự trơn dần lên của nghiệm Ngược lại, khi áp dụng cho (2.2) với PTVPCC dạng trung tính, sự trơn dần lên của nghiệm không xuất hiện và nghiệm vẫn giữ nguyên.
C 0 -liên tục tại mọi điểm gián đoạn gốc.
Trong trường hợp đặc biệt, khi điểm gián đoạn là nghiệm với bội lẻ z ≥ 3 của phương trình α(t) = ξ j,i, sự trơn dần của nghiệm tăng nhanh hơn khi z = 1 và cũng áp dụng cho các phương trình trung tính Theo các công thức (2.5) và (2.6), với α 0(ξ 1,i) = 0, nghiệm y ít nhất thuộc lớp C² tại ξ 1,i Hiện tượng này được gọi là "sự trơn dần tổng quát" và được xác định trong định lý dưới đây Định lý 2.1.1 (Cho PTVPCC) chỉ ra rằng nếu ξ j,i là điểm gián đoạn gốc, nơi hàm y(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp ω − 1, thì y(t) sẽ khả vi liên tục tại điểm lan truyền ξ j+1,k ít nhất đến cấp z.ω, với giả thiết ξ j+1,k là nghiệm của (2.7) có bội lẻ z.
Nói chung, với các PTVPCC dạng trung hoà, nghiệm không có xu hướng trơn dần lên Cụ thể, nghiệm y(t) được bảo toàn tại mọi điểm lan truyền, giữ tính chính quy như tại điểm khởi tạo t0 Tuy nhiên, khi τ = σ, sự trơn dần lên tổng quát có thể xảy ra, theo định lý với giả thiết rằng điều kiện nối φ(t0) − = y0(t0) + = f(t0, φ(t0), φ(α(t0)), φ0(α(t0))) được thoả mãn Định lý 2.1.2 chỉ ra rằng, nếu ξj,i là điểm gián đoạn gốc với hàm y(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp ω − 1, thì y(t) sẽ khả vi liên tục tại điểm lan truyền ξj+1,k ít nhất đến cấp z.(ω − 1), với giả thiết ξj+1,k là nghiệm của (2.7) có bội lẻ z.
Các điểm gián đoạn có thể xuất hiện nếu các hàm f, τ và φ trong (2.1) và (2.2) có những điểm gián đoạn theo đạo hàm của chúng Những điểm gián đoạn này được lan truyền qua các đối số chậm α(t) và β(t) theo nguyên tắc lan truyền điểm gián đoạn gốc, và được gọi là các điểm gián đoạn thứ cấp Để bảo toàn độ chính xác của phương pháp số, các điểm gián đoạn thứ cấp cần được tích hợp vào lưới.
Từ nay, các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp sẽ được gọi chung là các điểm gián đoạn Giả sử rằng tất cả các hàm trong (2.1) và (2.2) đều là C ∞ -liên tục, nghĩa là trong mỗi khoảng giữa hai điểm gián đoạn gốc liên tiếp, nghiệm y(t) cũng sẽ là C ∞ -liên tục và không có điểm gián đoạn thứ cấp nào xuất hiện Theo định nghĩa, một điểm gián đoạn ξ được coi là điểm gián đoạn cấp k nếu y(s)(ξ) tồn tại với s = 0, , k và y(k) là liên tục Lipschitz tại ξ.
Tất nhiên, với các PTVPCC, mọi điểm gián đoạn gốc mứcpđều có cấpk ≥ p.
Để tích hợp các điểm gián đoạn cấp thấp vào lưới điểm, cần phân tích cách chúng lan truyền dọc theo khoảng tích phân thông qua việc chỉ ra một số tình huống đặc biệt.
Chậm triệt tiêu và không triệt tiêu
Đầu tiên, chúng ta sẽ nghiên cứu các điểm gián đoạn gần với các điểm mà tại đó chậm τ (t) triệt tiêu, trong trường hợp τ = σ Ở đây, có một điểm ξ > t0 được giả định tồn tại sao cho α(ξ) = ξ Nhờ tính liên tục của α(t), có thể thấy rằng với mọi điểm gián đoạn mức k ξk,i < ξ, tồn tại một điểm gián đoạn mức k + 1, gọi là ξk+1,j, sao cho α(ξk+1,j) < ξk+1,j và ξk,i < ξk+1,j < ξ Điều này chỉ ra rằng có nhiều điểm gián đoạn hữu hạn trong một lân cận trái bất kỳ của ξ.
Hình 2.1: Sự tích tụ các điểm gián đoạn trong một lân cận trái của một điểm chậm triệt tiêu ξ.
Trong PTVPCC, nghiệm luôn trơn dần lên và tồn tại một lân cận trái của ξ với các điểm gián đoạn có cấp lớn bất kỳ, đảm bảo nghiệm trơn đúng yêu cầu Ngược lại, trong PTVPCC trung tính, sự trơn dần lên của nghiệm không xảy ra Để ngăn chặn sự hội tụ của các điểm gián đoạn do các chậm triệt tiêu, giả thiết sẽ thường xuyên được giả định là thỏa mãn.
Tồn tại một hằng số τ₀ > 0 sao cho τ = t − α(t) ≥ τ₀ với mọi t ∈ [t₀, tₓ] Dưới giả thiết này, khoảng cách giữa một điểm gián đoạn và tổ tiên của nó ít nhất bằng τ₀, dẫn đến việc trong khoảng bị chặn [t₀, tₓ] bất kỳ, số lượng các điểm gián đoạn là hữu hạn.
Chậm bị chặn và không bị chặn
Chúng ta sẽ nghiên cứu cách các điểm gián đoạn gốc lan truyền theo quy tắc tổng quát α(ξ k,j ) = ξ k−1,i, với k > 0 và j bất kỳ, trong đó ξ k,j là điểm gián đoạn gốc mức k và ξ 0,1 = t 0 là điểm gián đoạn gốc mức 0 duy nhất Đặc biệt, khi khoảng tích phân không bị chặn (t f = +∞), cần phân biệt giữa các mô hình với hàm chậm τ bị chặn hoặc không bị chặn Chúng ta sẽ xem xét các giả thiết liên quan.
Tồn tại một hằng số τ 1 > 0 sao cho τ = t − α(t) ≤ τ 1 với mọi t ∈ [t 0 , t f ] Xét về sự lan truyền của các điểm gián đoạn, điều này có nghĩa rằng nghiệm là trơn vô hạn Khi k tăng lên, các điểm gián đoạn ξ k,i hội tụ tới một điểm chậm triệt tiêu hoặc phân kỳ tới +∞ Trong cả hai trường hợp, điểm gián đoạn gốc mức k bất kỳ sẽ đạt được sau một thời gian đủ lớn.
Giả thiết về tính bị chặn (H 3) hiển nhiên dẫn đến (H 2), nhưng ngược lại không đúng Ví dụ, trong phương trình máy vẽ truyền y₀(t) = f(t, y(t), y(qt)), với t ≥ 0, ta có α(t) = qt (0 < q < 1) và τ(t) = (1 − q)t, cả hai đều không bị chặn Khi (H 3) được thoả mãn, mô hình được gọi là có bộ nhớ mờ dần, có nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ dài nhưng bị chặn, giá trị nghiệm y(t) sẽ không ảnh hưởng đến vế phải của phương trình.
(2.2) Nói cách khác, để tích phân PTVPCC, cần thiết phải lưu trữ một đoạn hữu hạn của phần lịch sử cuối cùng.
Ngược lại, đối với trường hợp không bị chặn τ(t), đối số chậm α(t) = t − τ(t) có thể bị chặn hoặc không Khi cả τ(t) và α(t) không bị chặn, nghiệm y(t) phụ thuộc vào một đoạn lớn tuỳ ý của lịch sử, yêu cầu lưu trữ để giải số hiệu quả.
Hình 2.2: Chuỗi phân kì các điểm gián đoạn.
Nếu đối số chậm bị chặn với α(t) ≤ M, sẽ có một số hữu hạn điểm gián đoạn gốc nằm bên phải của M, nhưng không có điểm nào trong số đó có thể làm tăng giá trị lên trong khoảng [M, +∞) Điều này ngăn cản sự trơn dần của nghiệm, ngoại trừ một số hàm chính quy nhất định Hơn nữa, nghiệm y(t) hoàn toàn phụ thuộc vào phần lịch sử cho đến M Trong nhiều ứng dụng, giả thiết này thường được thỏa mãn.
Đối số chậm α(t) là một hàm tăng chặt trong khoảng thời gian [t 0 , t f ], ví dụ như trong các mô hình với chậm hằng số τ Khi (H 4) được thoả mãn và α(t 0 ) < t 0, các điểm gián đoạn gốc sẽ hình thành một chuỗi tăng ξ 1 < ξ 2 < < ξ j, trong đó ξ j = ξ j,1 là điểm gián đoạn duy nhất ở mức j Điều này cho thấy rằng theo thời gian, nghiệm trở nên trơn hơn Ngược lại, các đối số chậm dao động có thể dẫn đến sự đan xen của các điểm gián đoạn ở các mức khác nhau, như đã được minh hoạ trong Hình 2.4.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, cần thiết phải định vị các điểm gián đoạn chính được định nghĩa như sau.
Hình 2.3: Các điểm gián đoạn có cùng mức được sinh ra bởi một đối số chậm bị chặn.
Hình 2.4 minh họa sự đan xen của các điểm gián đoạn với mức độ khác nhau Theo Định nghĩa 2.1.2, tập con chỉ số 1 của các điểm gián đoạn gốc ξ i được xác định theo cách quy nạp, bắt đầu với ξ 0 = t 0 Đối với i ≥ 0, ξ i+1 là nghiệm nhỏ nhất có bội lẻ của phương trình α(t) = ξ i, và được gọi là tập các điểm gián đoạn chính.
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm
Để đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho các phương trình giá trị đầu (2.1) và (2.2), cần dựa vào tính liên tục theo t và tính liên tục Lipschitz theo u, v và w của các hàm f(t, u, v) và f(t, u, v, w).
Định lý 2.2.1 về sự tồn tại địa phương cho phương trình y' (t) = f(t, y(t), y(t − τ(t))) trong khoảng thời gian [t₀, t_f) chỉ ra rằng nếu hàm f(t, u, v) liên tục trên A ⊆ [t₀, t_f) × R^d × R^d và liên tục Lipschitz theo u và v, cùng với điều kiện hàm chậm τ(t) ≥ 0 liên tục trong [t₀, t_f) và τ(t₀) = 0, thì bài toán có nghiệm duy nhất trong khoảng [t₀, t₀ + δ) với δ > 0 Nghiệm này cũng phụ thuộc liên tục vào dữ liệu khởi đầu.
Dưới những giả thiết tương tự, nghiệm có thể liên tục cho đến khi xác định một nghiệm cực đại trong khoảng [t 0 , b), với điều kiện t 0 < b ≤ t f Điều này cho phép chứng minh định lý tồn tại toàn cục Cụ thể, nếu nghiệm cực đại duy nhất của (2.9) là bị chặn, thì nó tồn tại trên toàn bộ khoảng [t 0 , t f ).
Hệ quả 2.2.1 cho biết rằng, với các giả thiết của Định lý 2.2.1, nếu hàm f(t, u, v) thỏa mãn điều kiện kf(t, u, v)k ≤ M(t) + N(t)(kuk + kvk) trong khoảng [t0, tf) × R^d × R^d, trong đó M(t) và N(t) là các hàm dương liên tục trên [t0, tf), thì nghiệm của phương trình (2.9) tồn tại và là duy nhất trên toàn bộ khoảng [t0, tf).
Trong các phương trình vi phân riêng phần có độ trễ trung tính, dạng y 0 (t) = f(t, y(t), y(t − τ(t)), y 0 (t − σ(t))), t ≥ t 0 và y(t) = φ(t), t ≤ t 0, cần có các điều kiện bổ sung cho hàm f(t, u, v, w) Cụ thể, nếu τ(t 0) = σ(t 0) = 0, thì phương trình sẽ trở thành y 0 (t 0) = f(t 0, y(t 0), y(t 0), y 0 (t 0)) Nếu với giá trị khởi đầu y(t 0), phương trình z = f(t 0, y(t 0), y(t 0), z) không có nghiệm z, thì phương trình ban đầu cũng không có nghiệm tại điểm (t 0, y(t 0)) Định lý 2.2.3 khẳng định sự tồn tại địa phương cho các phương trình vi phân riêng phần có độ trễ trung tính.
(2.12) trong đó τ(t 0 ) = 0 và, với ξ > 0 nào đó, t − τ (t) > t 0 trong khoảng (t 0 , t 0 + ξ].
Giả thiết rằng y 0 (t 0 ) là một nghiệm thực của (2.11) và đặt à ξ = inf
Hơn nữa, giả thiết rằng hàm f (t, u, v, w) là liên tục theo t và liên tục Lipschitz theo u, v và w trong một lân cận của điểm (t 0 , y(t 0 ), y(t 0 ), y 0 (t 0 )) Nếu L, hằng số Lipschitz theo w, thoả mãn
L(1 − à ξ ) < 1, thì một nghiệm khả vi liên tục duy nhất của (2.12) tồn tại trong [t 0 , t 0 + δ) với δ > 0 nào đó.
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHO PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM
Bài toán giá trị ban đầu cho các phương trình vi phân có điều kiện biên có thể được mô tả bằng y 0 (t) = f(t, y t ), t ≥ t 0 và y t 0 = y(t 0 + θ) = Φ(θ) trong không gian BanachC = C 0 ([−r, 0], R d ) Đặc điểm nổi bật của các phương trình này là đạo hàm y 0 (t) phụ thuộc vào hàm trạng thái y t, thay vì phụ thuộc vào giá trị trạng thái y(t) như ở các phương trình vi phân thông thường Sự khác biệt này tạo ra nhiều phức tạp trong nghiệm của chúng, cả về lý thuyết lẫn giải số Đặc biệt, trong việc giải số (3.1), mặc dù phương trình đã được thỏa mãn với một nghiệm rời rạc y(t n ), việc tính toán vẫn phụ thuộc vào các hàm trạng thái y(t n + θ) với nhiều giá trị của θ, điều này đôi khi không thể xác định hoặc dự đoán được, gây khó khăn chính trong việc giải số các phương trình vi phân có chậm.
Trong việc giải số (3.1), đã có một số hướng tiếp cận khác nhau được áp dụng Một số phương pháp biến đổi bài toán gốc thành các bài toán tương đương, đơn giản hơn, như phương trình tích phân Volterra hoặc hệ các phương trình vi phân riêng phần (PTVPT) với các phương pháp giải hiệu quả Các hướng tiếp cận khác bắt đầu từ bài toán có dạng y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t, y(t)))), với t 0 ≤ t ≤ t f và y(t) = φ(t), t ≤ t 0, hoặc y 0 (t) = f(t, y(t), y(t − τ(t, y(t))), y 0 (t − σ(t, y(t)))), cũng với t 0 ≤ t ≤ t f và y(t) = φ(t), t ≤ t 0, thông qua việc kết hợp các phương pháp số giải PTVP rời rạc và phép nội suy Chương này sẽ tóm tắt một số hướng tiếp cận đã được đề cập trong tài liệu trước đó.
Hướng tiếp cận đầu tiên
Phương pháp số giải PTVPCC được tiếp cận đầu tiên trong trường hợp đơn giản hơn, khi thời gian chậm không phụ thuộc vào trạng thái Phương pháp này đã được biết đến từ những năm trước đây.
1950, đặc trưng bởi việc áp dụng trực tiếp các công thức đã biết cho PTVPT, cơ bản là các phương pháp đa bước tuyến tính cho phương trình y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t))), t 0 ≤ t ≤ t f , y(t) = φ(t), t ≤ t 0 (3.2)
Giả sử tồn tại một tập ∆ = t 0 , t 1 , , t n , , t N = t f các điểm lưới sao cho với mọi t n ∈ ∆, hoặc t n − τ (t n ) < t 0 hoặc t n − τ (t n ) ∈ ∆ Khi có một lưới như vậy, các phương pháp rời rạc có thể được áp dụng cho các phương trình có độ trễ hoặc độ trễ trung tính Ví dụ, phương pháp Euler cho phương trình (3.2) được biểu diễn là y n+1 = y n + h n+1 f (t n , y n , y q ) Đối với phương trình y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t)), y 0 (t − τ(t))), với t 0 ≤ t ≤ t f và y(t) = φ(t), t ≤ t 0, công thức trở thành y n+1 = y n + h n+1 f (t n , y n , y q , y 0 q ) và y 0 n = f (t n , y n , y q , y 0 q ) với số nguyên q < n.
Phương pháp này đã tạo ra một ràng buộc nghiêm ngặt lên lưới điểm, dẫn đến việc không thể áp dụng trong một số trường hợp Cụ thể, đối với bài toán y 0 (t) = y(t/2) với điều kiện y(0) = 1 trong khoảng 0 ≤ t ≤ 1, t/2 có thể thuộc vào lưới ∆, do đó không thể xác định được cỡ bước ban đầu Hơn nữa, vì các điểm lưới phải thỏa mãn điều kiện t n+1 = 2t n với n ≥ 1, nên cỡ bước h n+1 sẽ luôn bằng t n, dẫn đến việc cỡ bước cuối cùng luôn là 1/2, khiến cho sự hội tụ không thể được xem xét.
Bất kể tình huống nào, trừ khi có sự chậm trễ trong việc triệt tiêu, một lưới ∆ có thể được thiết lập trên khoảng bị chặn [t 0 , t f ] với cỡ bước tùy ý Chiến lược hiệu quả nhất là bắt đầu từ t 0, xác định các điểm gián đoạn trong khoảng tích phân [t 0 , t f ] và đưa chúng vào ∆ Tiếp theo, lấp đầy ∆ từ điểm cuối t f và xử lý ngược lại với cỡ bước tối đa mong muốn Mỗi điểm lưới mới t n sẽ dẫn đến một điểm trước đó t n − τ (t n).
Tại thời điểm t = 0, các phần tử được gộp trong lưới ∆ Nhờ đó, với kích thước bước tối đa hbất kì, chúng ta có thể tạo ra một lưới ∆ với các phần tử hữu hạn, phù hợp cho quá trình hội tụ.
Hình 3.1: Sự hội tụ không mong muốn các điểm lưới gần ζ.
Hướng tiếp cận này có thể gặp khó khăn do đối số chậm α(t) = t − τ (t), dẫn đến lưới điểm phân bố không đều trong khoảng [t 0 , t f ] và dư thừa cục bộ Đặc biệt, khi xem xét một đối số chậm bị chặn với tiệm cận ngang ζ, ta thấy rằng khi t f tăng, ∆ sẽ có xu hướng trù mật hơn về bên trái của ζ Để giảm thiểu sự phức tạp do gián đoạn của nghiệm, một biến mới x(t) = y(t) − D(t) đã được đề xuất, trong đó D(t) là một hàm đa thức từng khúc đảm bảo x(t) đủ trơn Từ đó, bài toán mới được giải cho x(t) bằng phương pháp đa bước tuyến tính không bị điều chỉnh.
Một phương pháp khác mà chúng ta sẽ khám phá trong phần tiếp theo là sử dụng phương pháp số để giải bài toán PTVP với đầu ra liên tục.
Các kết quả sơ bộ về phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục 40
với đầu ra liên tục
Gọi k.k là một chuẩn trên R d Ta xem xét bài toán giá trị đầu thông thường với phương trình y 0 (t) = g(t, y(t)), với t 0 ≤ t ≤ t f và điều kiện y(t 0 ) = y 0 Hàm g(t, y) thuộc C 0 ([t 0 , t f ] × R d , R d ) và liên tục theo t, đồng thời liên tục Lipschitz toàn cục theo y trong chuẩn k.k của R d Cụ thể, tồn tại một hằng số Lipschitz L > 0 sao cho kg(t, y 1 ) − g(t, y 2 )k ≤ L ky 1 − y 2 k với mọi t trong khoảng [t 0, t f] và mọi y 1, y 2 thuộc R d Hơn nữa, ∆ = {t 0 , , t N = t f} là một lưới điểm và h n+1 = t n+1 − t n, với n = 0, , N − 1 là các cỡ bước tương ứng.
Phương pháp k-bước tổng quát được mô tả bằng công thức y n+1 = α n,1 y n + + α n,k y n−k+1 + h n+1 Φ(y n , , y n−k+1 ; g, ∆ n), với n ≥ k − 1 và ∆ n = {t n−k+1 , , t n , t n+1} Hàm số gia Φ phải thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục theo y, với hằng số Lipschitz phụ thuộc vào hàm g(t, y) và hằng số L trong (3.5) Các giá trị ban đầu y 0 , , y k−1 được giả thiết là đã cho, và các hệ số α n,i được giả định là bị chặn đều theo n Đồng thời, hàm số gia Φ cũng cần phải liên tục theo đối số hàm g, với một cỡ bước h g > 0 và hằng số γ g > 0, phụ thuộc liên tục vào L nhưng độc lập với các giá trị nút y n , , y n−k+1 và các lưới điểm.
∆ n sao cho, với mọi cỡ bước h n−k+2 , , h n+1 ≤ h g , kΦ(y n , , y n−k+1 ;e g, ∆ n ) − Φ(y n , , y n−k+1 ; g, ∆ n )k
Công thức (3.6) chứa đựng các phương pháp RK cũng như các phương pháp đa bước tuyến tính.
Cần lưu ý rằng, đối với các phương pháp đa bước (k ≥ 2), tính bị chặn đều của các hệ số và hằng số chỉ được đảm bảo khi giả thiết nhất định được áp dụng cho các lưới ∆ mà chúng ta sử dụng.
Giả thiết 3.2.1 Tồn tại một hằng số dương Ω, độc lập với lưới ∆, sao cho
Ta thấy rằng, với các phương pháp một bước, tức là khi k = 1, không có sự hạn chế nào được đặt ra cho các lưới điểm.
Sự mở rộng η(t) của phương pháp (3.6) trên khoảng [t n , t n+1 ] có thể đạt được thông qua phép nội suy đa bước và một bước Định nghĩa 3.2.1 xác định hàm nội suy η(t) là một hàm đa thức từng khúc, được xác định bởi các giá trị tính toán trong khoảng lớn hơn [t n−i n , t n+j n +1 ], với i n , j n ≥ 0 Hàm này có dạng η(t n + θh n+1 ) = β n,1 (θ)y n+j n + + β n,j n +i n +1 (θ)y n−i n + h n+1 Ψ(y n+j n , , y n−i n ; θ, g, ∆ 0 n ), với 0 ≤ θ ≤ 1 Điều kiện liên tục được đảm bảo với η(t n ) = y n và η(t n+1 ) = y n+1.
Nếu i n = j n = 0, phép nội suy chỉ dựa vào các giá trị trong khoảng [t n , t n+1 ] và được gọi là nội suy một bước Ngược lại, nếu không thỏa mãn điều kiện này, phép nội suy sẽ được xem là nội suy đa bước.
Tóm lại, mọi phương pháp số giải bài toán PTVP (3.6) với tính năng mở rộng liên tục (3.8) sẽ được gọi là phương pháp số giải PTVP có đầu ra liên tục.
Với j n > 0, phép nội suy (3.8) không thể được thực hiện đồng thời bằng công thức (3.6), mà cần phải hoàn thành phép tích phân rời rạc đến điểm lưới t n+j n +1 Tuy nhiên, các tính toán đồng thời chỉ khả thi khi j n = 0.
Chú ý 3.2.1 Vì điều kiện liên tục (3.9) phải được thoả mãn cho mọi phương trình, nó dẫn đến một quan hệ sâu sắc hơn giữa phương pháp số giải PTVP
(3.6) và mở rộng liên tục (3.8) của nó Tức là, mở rộng liên tục có thể được mô tả bằng công thức (3.8) theo một cách mà β n,j (0) =
0 khi j < 1 + j n hay j > k + j n , Ψ(y n+j n , , y n−i n ; 1, g, ∆ 0 n ) = Φ(y n , , y n−k+1 ; g, ∆ n ). Đặc biệt, với θ = 1 công thức (3.8) trở thành công thức (3.6).
Hàm số gia Ψ được giả thiết thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục theo đối số y, với hằng số Lipschitz phụ thuộc vào hằng số L Các hệ số đa thức β n,i (θ) đều bị chặn theo θ và ∆ 0 n Bên cạnh đó, hàm số gia Ψ cũng được giả định là liên tục theo đối số hàm g, với sự tồn tại của cỡ bước h g > 0 và hằng số δ g > 0, phụ thuộc liên tục vào L nhưng độc lập với các giá trị nút y n−i n , , y n+j n của lưới điểm ∆ 0 n và θ ∈ [0, 1] Điều này đảm bảo rằng với mọi cỡ bước h n−i n +1 , , h n+j n +1 ≤ h g, hàm Ψ sẽ duy trì tính liên tục cần thiết.
Tương tự như phương pháp rời rạc (3.6), tính bị chặn đều của các hệ số và hằng số chỉ được đảm bảo khi giả thiết nhất định được áp dụng cho các lưới ∆ mà chúng ta sử dụng.
Giả thiết 3.2.2 Tồn tại một hằng số dương Ω, độc lập với lưới ∆, sao cho
Ta thấy rằng, với các hàm nội suy một bước, tức là khi i n = j n = 0, không có sự hạn chế nào được đặt ra cho các lưới điểm.
Trong một số trường hợp, phép nội suy được tự nhiên hình thành từ chính phương pháp, như trong các phương pháp Adams thuộc lớp đa bước tuyến tính và các phương pháp trùng khớp trong lớp RK, nơi chúng tương đồng với các phương pháp xấp xỉ đa thức hơn là các phương pháp rời rạc đơn giản Dù vậy, về nguyên tắc, phép nội suy độc lập với phương pháp rời rạc, cho phép kết hợp các phương pháp đa bước và một bước Định nghĩa về phương pháp chính xác không phải là một định nghĩa thông thường nhưng tương đương với định nghĩa thông thường, được chấp nhận vì phù hợp cho việc phân tích tính chất hội tụ của các phương pháp giải PTVPCC, cũng như trong ước lượng sai số địa phương liên quan đến kiểm soát kích thước bước Theo định nghĩa 3.2.2, phương pháp số giải PTVP (3.6) được coi là chính xác cấp p nếu p ≥ 1 là số nguyên lớn nhất sao cho, với mọi hàm vế phải C p -liên tục g và mọi lưới điểm, ta có kz n+1 (t n+1 ) −e y n+1 k = O h p+1 n+1.
, đều theo y n ∗ trong tập con bị chặn bất kì của R d và theo n = 0, , N − 1, trong đó z n+1 (t) là nghiệm địa phương của bài toán địa phương z 0 n+1 (t) = g(t, z n+1 (t)), t n ≤ t ≤ t n+1 , z n+1 (t n ) = y ∗ n , (3.11) và ey n+1 = α n,1 z n+1 (t n ) + + α n,k z n+1 (t n−k+1 ) +h n+1 Φ(z n+1 (t n ), , z n+1 (t n−k+1 ); g, ∆ n ) (3.12)
Hàm nội suy (3.8) của phương pháp số giải PTVP (3.6) được coi là chính xác đều cấp q nếu q ≥ 1 là số nguyên lớn nhất, với mọi hàm vế phải C q -liên tục g và mọi lưới điểm, thỏa mãn điều kiện t n ≤t≤tmaxn+1 kz n+1 (t) −e η(t)k = O h q+1 n+1.
Chú ý 3.2.2 Với điều kiện liên tục (3.9), rõ ràng là cấp chính xác đều q của hàm nội suy (3.8) và cấp chính xác p của phương pháp (3.6) thoả mãn bất đẳng thức 1 ≤ q ≤ p.
Khi trình bày về phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục, để tránh hiểu lầm, cấp chính xác p của phương pháp số thường được gọi là cấp nút hoặc cấp rời rạc, trong khi cấp chính xác đều q của hàm nội suy được gọi là cấp đều.
Phương pháp số giải PTVP (3.6) có bản chất rời rạc, trái ngược với bản chất liên tục của hàm nội suy (3.8) Do đó, chúng ta có thể gọi đây là một phương pháp số giải PTVP rời rạc.
Kết quả trong phần này phức tạp hơn khi xem xét từ góc độ lý thuyết, vì chúng ta muốn giữ chúng trong khuôn khổ của phương pháp đa bước và nội suy đa bước Việc nghiên cứu các phương pháp một bước và hàm nội suy một bước có thể đơn giản hóa quá trình Định lý 3.2.1 chỉ ra rằng cho phương pháp số giải PTVP chính xác cấp p ≥ 1, với mỗi n, có thể đạt được những kết quả nhất định.
(3.15) là ma trận liên kết của đa thức p n (λ) = λ k − k
+ Tồn tại một chuẩn k.k ∗ trên R k , độc lập với cả n và ∆, sao cho, với chuẩn ma trận cảm sinh tương ứng, điều kiện ổn định – 0 kC n k ∗ ≤ 1 (3.17) được thoả mãn;
+ Hàm vế phải g(t, y) trong (3.4) là C p -liên tục;
Phương pháp số giải PTVP (3.6) hội tụ cấp p trên khoảng bị chặn [t 0 , t f ] bất kỳ khi các giá trị y 0, , y k−1 được tập hợp để xấp xỉ nghiệm chính xác tới cấp p.
1≤n≤N max ky(t n ) − y n k = O(h p ), (3.18) trong đó h = max
Hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải
pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục
Xét bài toán y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t, y(t)))), t 0 ≤ t ≤ t f , y(t) = φ(t), t ≤ t 0 , (3.27) trong đó f : [t 0 , t f ] ×R d × R d → R d
Phương pháp giải bài toán thường được áp dụng là sử dụng phương pháp số để giải bài toán giá trị biên với đầu ra liên tục Quy trình này bao gồm việc xử lý từng bước qua một lưới thời gian ∆ = {t0, t1, , tn, , tN = tf} Khi đạt được xấp xỉ yn tại tn, bước tiếp theo (n + 1) sẽ giải phương trình w0n+1(t) = f(t, wn+1(t), x(t - τ(t, wn+1(t)))), với điều kiện tn ≤ t ≤ tn+1 và wn+1(tn) = yn.
0 , η(s), t 0 ≤ s ≤ t n , w n+1 (s), t n ≤ s ≤ t n+1 , và η(t) là hàm nội suy cho bởi (3.8).
Nếu s = t − τ(t, w n+1 (t)) ≤ t n ∀t ∈ [t n , t n+1 ], thì x(s) sẽ tương đương với hàm nội suy η(s) theo công thức (3.8), và hàm nội suy này có thể được xác định từ các nút ≤ t n Trong trường hợp này, (3.28) trở thành một phương trình vi phân riêng phần (PTVPT), với nghiệm địa phương w n+1 (t) được xấp xỉ bằng phương pháp rời rạc (3.6) và xấp xỉ của w n+1 (t n+1 ) được gán là y n+1 Ngược lại, khi s = t − τ(t, w n+1 (t)) > t n, giá trị x(s) sẽ bằng w n+1 (s) và không được xác định Do đó, (3.28) có thể không còn được xem như là một PTVPT nữa Tuy nhiên, x(s) vẫn có thể được xấp xỉ bằng hàm nội suy trong khoảng [t n , t n+1], được xác định ẩn bởi (3.8) với j n = 0, cụ thể là η(t n + θh n+1 ) = β n,1 (θ)y n + + β n,i n +1 (θ)y n−i n + h n+1 Ψ(y n , , y n−i n ; θ, g η , ∆ 0 n ), với 0 ≤ θ ≤ 1, trong đó g η (t, y) = f(t, y, η(t − τ(t, y))).
Chúng ta đã đặt j n = 0 để tính toán (3.29) trong khoảng [t n , t n+1 ], nhằm tránh việc sử dụng các giá trị được tính toán ở các bước tiếp theo Cần lưu ý rằng, việc sử dụng mở rộng liên tục trong trường hợp này làm cho toàn bộ phương pháp trở nên ẩn, mặc dù phương pháp rời rạc mà chúng ta đang sử dụng là hiển Sự kiện này được gọi là “overlapping” Rõ ràng, việc cài đặt phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục yêu cầu một thuật toán hoàn toàn khác.
Từ giờ, chúng ta sẽ gọi cơ chế này là hướng tiếp cận thông thường Trong Chương 4, sẽ được chứng minh rằng ngay cả khi xảy ra hiện tượng overlapping, cơ chế này vẫn được định nghĩa một cách chính xác, tức là (3.29) có thể giải được cho cả trường hợp chậm phụ thuộc vào thời gian.
Trong tiếp cận thông thường, có nhiều phương pháp để giải PTVP rời rạc và mở rộng, với sự lựa chọn thường rơi vào các phương pháp RK và đa bước tuyến tính Ngoài ra, cũng có thể áp dụng trong một lớp tổng quát hơn các phương pháp k - bước.
Ta quan tâm đến việc trả lời một cách tiên nghiệm hai câu hỏi dưới đây – quan trọng cho cả thực hành và lí thuyết.
Với phương trình (3.28), cần xác định xem hiện tượng overlapping có xảy ra hay không, và đặc biệt, xem hàm chậm xấp xỉ η(t − τ) có được xác định tại một điểm t trong khoảng [t n , t n+1] hay không.
Với cỡ bước h n+1, ta cần xác định xem khoảng hiện tại [t n , t n+1] có chứa một điểm gián đoạn ξ nào không Đặc biệt, việc lựa chọn cỡ bước h n+1 sao cho t n+1 = ξ là điều quan trọng cần xem xét.
Với câu hỏi(Q 1 ), overlapping có thể tránh được với một cỡ bước đủ nhỏ bằng cách giả sử có giả thiết (H 1 ) đã được giới thiệu trong phần 2.1.2
Tồn tại một hằng số τ 0 > 0 sao cho τ = t − α(t) ≥ τ 0 với mọi t ∈ [t 0 , t f ] Dưới giả thiết này, khi chọn cỡ bước nhỏ h n+1 = t n+1 − t n ≤ τ 0, hiện tượng overlapping không xảy ra và hàm η(s) được xác định với mọi s = t − τ(t) với t ∈ [t n , t n+1 ] Cụ thể, ta có t − t n ≤ τ 0 ≤ τ(t) với mọi t ∈ [t n , t n+1 ], do đó dẫn đến t − τ(t) ≤ t n.
Do đó overlapping tránh được với xấp xỉ bất kì của nghiệm địa phương w n+1 (t).
Khi τ 0 < h 0, phương pháp có thể gặp phải tình trạng overlapping với cỡ bước nhỏ nhất Cụ thể, trong trường hợp này, tồn tại một t ∈ [t n , t n+1 ] sao cho t − t n > τ 0 và τ(t) = τ 0, dẫn đến t − τ(t) > t n.
Khi giả thiết (H 1) không được thỏa mãn, việc triệt tiêu tại điểm ξ là cần thiết, dẫn đến việc overlapping chắc chắn xảy ra trong khoảng tích phân [t n , t n+1] khi chứa điểm ξ.
SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PTVP VỚI ĐẦU RA LIÊN TỤC
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá sâu hơn về phương pháp đã được giới thiệu ở phần 3.3, đặc biệt là việc chứng minh tính đặt chỉnh (well-posedness) và phân tích tốc độ hội tụ cho PTVPCC và PTVPCC trung tính với các tham số chậm hằng số hoặc phụ thuộc vào thời gian Đối với PTVPCC, bài toán tổng quát được xem xét là y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t))), với các điều kiện liên quan đến tính liên tục và tính Lipschitz toàn cục của hàm f Tương tự, với PTVPCC trung tính, bài toán sẽ là y 0 (t) = f(t, y(t), y(t − τ(t, y(t))), y 0 (t − σ(t, y(t)))), cũng với các điều kiện tương tự về tính liên tục và Lipschitz toàn cục.
Trong phần 3.3, chúng ta đã chỉ ra rằng cách tiếp cận tổng quát dẫn đến các thủ tục khác nhau tùy thuộc vào việc có xảy ra overlapping hay không Điều này có thể xác định trong mỗi khoảng [t n , t n+1 ] dựa vào cỡ bước h n+1 và hiệu lực của giả thiết (H 1 ) Nếu (H 1 ) được thoả mãn, overlapping có thể tránh được với cỡ bước đủ nhỏ, nhưng có thể xảy ra với cỡ bước lớn Ngược lại, nếu (H 1 ) không được thoả mãn, overlapping chắc chắn sẽ xảy ra gần một điểm chậm triệt tiêu Phân tích tính đặt chỉnh và sự hội tụ của cách tiếp cận thông thường sẽ được xem xét riêng cho các trường hợp khác nhau dựa trên hiệu lực của (H 1 ).
Chúng tôi đặc biệt chú ý đến bài toán định vị các điểm gián đoạn và vai trò của chúng trong lưới điểm, đặc biệt là mối quan hệ với các ảnh hưởng có thể tác động đến cấp độ hội tụ.
Cuối cùng, chúng ta sẽ tóm tắt ngắn gọn các phương pháp đã được đề cập trong các tài liệu trước và các chương trình liên quan.
4.1 PTVPCC với chậm hằng số hoặc chậm phụ thuộc thời gian không triệt tiêu
Chúng ta bắt đầu phân tích sự hội tụ của hướng tiếp cận thông thường thông qua việc nghiên cứu PTVPCC với điều kiện y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t))), trong khoảng thời gian từ t 0 đến t f Để tránh tình trạng overlapping, chúng ta sẽ áp dụng giả thiết (H 1 ) bằng cách sử dụng các cỡ bước nhỏ hơn hoặc bằng τ 0 và giả định rằng có thể tính toán các điểm gián đoạn một cách tiên nghiệm để đưa vào lưới ∆ Tuy nhiên, việc sử dụng các lưới điểm tự do với cỡ bước lớn hơn hoặc bằng τ 0 có thể dẫn đến overlapping, và điều này sẽ được thảo luận trong phần tiếp theo, nơi chúng ta xem xét trường hợp tổng quát hơn của các PTVPCC với các chậm phụ thuộc thời gian bất kỳ.