Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

Chương một trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm:giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một sốloại phương trình vi phân có chậm.. Các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY

Hà Nội - 2013

Mục lục

1.1 Giới thiệu về phương trình vi phân hàm 4

1.1.1 Dạng biểu diễn 4

1.1.2 Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm 6

1.2 Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc 7

1.2.1 Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc 7

1.2.2 Trường hợp có nhiều độ chậm hằng rời rạc 14

2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm 18 2.1 Kiến thức mở đầu 18

2.1.1 Khái niệm nghiệm ổn định, bị chặn 18

2.1.2 Một số bổ đề cần dùng 19

2.1.3 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định 20

2.2 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati 24

2.3 Các kết quả cho phương trình vi phân có chậm phân phối 30

2.4 Bất phương trình ma trận với hệ tuyến tính không dừng 34

3 Một vài ứng dụng của phương trình vi phân có chậm 39 3.1 Ứng dụng vào bài toán ổn định hóa 39

3.2 Ứng dụng vào mô hình tăng trưởng quần thể một loài 45

Mở Đầu

Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiêncứu quan trọng của Toán học Lý thuyết này được được khởi đầu từ những đòihỏi của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Cơ học,Điều khiển học, Vật lý, Toán học, Sinh thái học, Kỹ thuật, Kinh tế, Hiệnnay lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực Toán học lớn được nhiềungười quan tâm

Lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu nhiều cho các hệ phương trình vi phânthường Ngày nay, việc nghiên cứu đã được mở rộng theo nhiều hướng Mộttrong số đó là nghiên cứu trên các phương trình vi phân hàm, đặc biệt là cácphương trình có chậm Luận văn này đề cập đến tính ổn định của một lớp cácphương trình vi phân có chậm và trình bày một vài ứng dụng của nó

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mụctài liệu tham khảo

Chương một trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm:giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một sốloại phương trình vi phân có chậm Các ví dụ ở phần này ngoài mục đích giớithiệu cách giải phương trình vi phân hàm còn nhằm làm bật tính vô hạn chiềucủa tập nghiệm của phương trình vi phân hàm, bất kể không gian trạng thái là

vô hạn chiều hay hữu hạn chiều

Chương hai trình bày khái niệm ổn định nghiệm và các phương pháp chính đểnghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có chậm Các định lý ở đâyđều thuộc hướng nghiên cứu ổn định bằng phương pháp thứ hai Lyapunov Vớicác phương trình hàm, thay vì hàm Lyapunov thông thường ta sẽ cần dùng tớicác công cụ mạnh hơn đó là các phiếm hàm Lyapunov- Krasovskii trong khônggian các hàm liên tục Ngoài ra, chương này còn giới thiệu công thức nghiệmcủa phương trình ma trận Riccati trong trường hợp hệ tuyến tính không dừng

và kết quả cho phương trình vi phân có chậm không dừng

Chương ba trình bày một số ứng dụng của phương trình vi phân có chậm

Cụ thể là ứng dụng các kết quả ổn định của các hệ có chậm vào bài toán điềukhiển và bài toán phân tích tính chất quần thể sinh thái đơn loài.

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS NguyễnSinh Bảy Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãdành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việchoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và nhữngđiều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm ơntới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủtục học tập và bảo vệ luận văn

-Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những

sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thờigian qua

Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Nguyễn Thị Hậu

gọi là một phương trình vi phân thường trong không gian X (xem [1, 2, 13 ]).

Ở đẳng thức này ta thấy tốc độ thay đổi của hệ thống (đối tượng nghiên cứu)tại thời điểm t (đặc trưng bởi ˙x(t)) chỉ phụ thuộc vào t và trạng thái tức thời

x(t) của chính hệ thống đó Sau đây, ta sẽ đề cập đến một loại phương trình viphân trong đó ngoài sự phụ thuộc như trên tốc độ thay đổi ˙x(t) còn phụ thuộcvào trạng thái của hệ thống trong quá khứ hoặc trong tương lai (xem [8, 9, 1012] ) Ta xét phương trình sau

˙x(t) = f (t, x(q1(t)), x(q2(t)), , x(qs(t))), (1.1)trong đó x ∈ Rn và để đơn giản (đủ cho việc nghiên cứu định tính) ta chỉ xétcho trường hợp t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+×Rn×s −→ Rn, f ∈ C0 (liên tục theot), qi(t) (i = 1, s) là các hàm đơn điệu Khi đó

• Nếu qi(t) = t, ∀i = 1, s thì (1.1) là một phương trình vi phân thường

• Nếu qi(t) ≤ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0(t) < t thì (1.1) được gọi làmột phương trình vi phân có chậm

• Nếu qi(t) ≥ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0(t) > t thì (1.1) được gọi làmột phương trình vi phân sớm

• Nếu tồn tại i0 và i1 sao cho qi0(t) < t và qi1(t) > t thì (1.1) được gọi là mộtphương trình vi phân vừa chậm, vừa sớm.

Trừ trường hợp đầu (khi là phương trình vi phân thường), ở các trường hợp sauphương trình (1.1) được gọi là một phương trình vi phân hàm Tên gọi này xuấtphát từ việc cần thiết phải xét tập nghiệm trong không gian các hàm liên tụcchứ không phải chỉ xét chúng trong không gian trạng thái như với các phươngtrình vi phân thường Điều này phản ánh bản chất vô hạn chiều của tập nghiệmcủa các phương trình vi phân thuộc lớp này (xem [5, 6, 8, 9, 12 ] ) Qua các nộidung trong luận văn ta sẽ làm rõ ý kiến này Trong Luận văn này ta bỏ qua cácphương trình sớm mà chỉ nghiên cứu về các phương trình chậm, nghĩa là khi

qi(t) ≤ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao choqi0(t) < t Tập thời gian được mặc định là

t ∈R+ := [0, +∞) Trong trường hợp này

Xét phương trình (1.1) trong đó q i (t) < t và độ chậm là h > 0 Ký hiệu

C := C([−h, 0],Rn) là không gian Banach của các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0]

và nhận giá trị trong Rn. Chuẩn của hàm φ ∈ C xác định như sau

˙x(t) = f (t, xt), (1.2)trong đó

n

Định nghĩa 1.1 ([9]) Hàm liên tụcx = x(t)có đạo hàm phải hầu khắp nơi trên

R+ mà khi thay vào (1.2) được đẳng thức được gọi là một nghiệm của phươngtrình có chậm (1.2)

Điều kiện ban đầu

Định nghĩa 1.2 ([9]) Cho trước φ ∈ C và t0 ∈R+ Nghiệm x(.) của (1.2) thỏamãn điều kiện

Bổ đề 1.1 ([9]) Nếu t0 ∈ R+ , φ ∈ C cho trước và f (t, φ) là liên tục thì việctìm nghiệm của phương trình (1.2) qua (t0, φ) tương đương với việc giải phươngtrình tích phân sau

x t 0 = φ x(t) = φ(t0) +

1.2 Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc

1.2.1 Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc

Các phương trình vi phân thường dạng đặc biệt ta có thể giải được, hơn nữa

có thể đưa ra các công thức giải tích tường minh cho tập nghiệm trên toàn bộtrục số Với các phương trình vi phân hàm việc tìm nghiệm như vậy nói chung

là không thể, trừ một vài phương trình đơn giản với các điều kiện ban đầu chotrước Ngay cả trong trường hợp này, công thức nghiệm cũng chỉ có thể tìmbằng cách dựa vào Bổ đề 1.1 (xem [9]), lấy tích phân trên từng đoạn có độ dài

h0 thích hợp, bắt đầu từ t0 Các kết quả nhận được là rất khác nhau theo cácđiều kiện ban đầu khác nhau và nói chung không nêu được một công thức giảitích cho cả bán trục R+ Phương pháp lấy tích phân theo từng đoạn như vậygọi là phương pháp "step" (bước chậm)

Sau đây là một vài ví dụ về việc tìm nghiệm trên các khoảng hữu hạn theo điềukiện ban đầu Nhắc lại phương trình có độ chậm h > 0 (1.2)

˙x(t) = f (t, xt)

trong đóxt ∈ C([−h, 0],Rn ), xt(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] Trước tiên, ta phân tích

độ phức tạp của tập nghiệm của phương trình này trên góc nhìn từ tập phổ Đểminh họa ta xét ví dụ sau cho trường hợp x ∈R1

˙x(t) = x(t) (1.4)

˙x(t) = x(t − 1) (1.5)Tìm nghiệm ở dạng x(t) = eλt, (λ ∈ C), ta sẽ có ngay phương trình đặc trưngcủa (1.4) và (1.5) tương ứng là

λ = e−λ, (λ ∈C). (1.7)

Rõ ràng nghiệm của (1.6) là duy nhất, nghiệm cơ bản của phương trình chỉ cómột hàm x = et Nghiệm tổng quát của phương trình đơn giản là x = Cet(C làhằng số tuỳ ý) Trong khi đó, tập các nghiệm phức của phương trình đặc trưng(1.5) là một tập vô hạn đếm được (xem [9] ) Do đó, tập nghiệm của phươngtrình có chậm (1.3) là một tập vô hạn đếm được Qua ví dụ này ta thấy ngay

là tập nghiệm của phương trình hàm là phức tạp, khó nghiên cứu về mặt địnhlượng.

Về sự khác biệt giữa (1.2) và (1.3) cũng sẽ được làm rõ qua cách giải haiphương trình này bằng phương pháp step ở phần sau

Với điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên xác định, tập nghiệm có thể trởnên đơn giản và tường minh hơn Ta minh họa nhận xét này qua ví dụ sau trongtrường hợp đơn giản nhất, khi không gian trạng thái là vô hướng (X = R) Ta

xét cùng một phương trình nhưng trong ba tình huống sau:

f (s, xs)ds.

Theo nghĩa cổ điển thì nói chung (1.2) và (1.3) là không tương đương Để chúng

là tương đương thì khái niệm "nghiệm" cần được hiểu theo nghĩa rộng hơn: x(t)

có thể không khả vi khắp nơi mà chỉ cần khả vi bên phải hầu khắp nơi trên R+.Giải theo phương pháp step, ta thấy tại các điểm đầu và cuối các bước độ dài

h 0 hàm là liên tục nhưng có thể không khả vi

x



s − π2



ds

= a −

Z t 0



−

Z t

π 2 x



s − π2

x(t) = a(1 − t).

Kết hợp với điều kiện biên ta có nghiệm của (1.10) là



 a,khit < 0

• Trở lại phương trình có chậm (1.9), với hàm φ(t) = a, ∀t ∈

φ là tùy ý trong không gian hàm C (vô hạn chiều) nên ta thấy tập nghiệmcủa (1.9) là có vô hạn chiều

• Tại các điểm thay đổi công thức nghiệm x(t) của (1.10) không nhất thiếtkhả vi

Sau đây là một số ví dụ về việc tìm nghiệm của phương trình vi phân có chậm rờirạc theo điều kiện ban đầu bằng phương pháp step Như đã nói ở trên, phươngpháp này chỉ có thể cho kết quả trên các đoạn hữu hạn

Ví dụ 1.2 Tìm nghiệm của phương trình dạng Bernouly, trên đoạn [1, 2]







˙x(t) − x(t) = −x2(t − 1)x2(t), x(t) = t, ∀t ∈ [0, 1].

Từ (1.12) có x(t) = 0 không thỏa mãn điều kiện ban đầu Nên

˙x(t)x−2(t) − x−1(t) = −(t − 1)2. (1.13)Đặt z(t) := x−1(t), ta đưa về phương trình vi phân tuyến tính

˙z(t) + z(t) = (t − 1)2. (1.14)Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

z(t) = ce−t.

Lưu ý đến x(1) = 1, ta xác định được C = −2e.

Vậy nghiệm của (1.13) trên [1,2] và thỏa mãn điều kiện ban đầu trên là

f (τ, xτ)dτ

= 0 +

Z t 0

3x(τ − 1)dτ

= 3

Z t 0

x(τ − 1)dτ

= 3

Z t 0

(τ − 1)dτ

3 2 t

x(t) = x(1) + 3

Z t 1

x(τ − 1)dτ

= −3

2 + 3

Z t 1

h3

2(τ − 2)

2 −32

t 1

x(τ − 1)dτ

= −9

2+ 3

Z t 2

t 2

x(τ − 1)dτ

= −99

8 + 3

Z t 3

t

3 − 27

4 (τ − 2)

3

t

3 + 81

4 (τ − 1)

2

t

3 −621

8 t

t 3

Giải

Ta có x(t) = φ(t) = t, t ∈ [−1, 0] nên y(t) = ˙x(t) = ˙ φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0].Vậy







˙ y(t) = 4y(t − 1) := g(t, y t ), y(t) = 1, t ∈ [−1, 0].

Trên [−1, 0], y(t) = 1, x(t) = t

Trên [0, 1]

y(t) = y(0) +

Z t 0

g(τ, yτ)dτ

= 1 +

Z t 0

4y(τ − 1)dτ

= 1 + 4

Z t 0

y(τ − 1)dτ

= 1 + 4

Z t 0

g(τ, yτ)dτ

= 5 + 4

Z t 1

y(τ − 1)dτ

= 5 + 4

Z t 1

[1 + 4(τ − 1)] dτ

= 5 + 4

Z t 1

(4τ − 3)dτ

= 5 + (4τ − 3)2

t 1

= 4 + (4t − 3)2.

⇒ x(t) = 4t + 1

12(4t − 3)

3 + C2

y(t) = y(2) + 4

Z t 2

y(τ − 1)dτ

= 29 + 4

Z t 2

t 2

1.2.2 Trường hợp có nhiều độ chậm hằng rời rạc

Khi phương trình có nhiều độ chậm rời rạc khác nhau 0 < h1 < < hr = h

thì dù điều kiện ban đầu được cho trên đoạn có độ dài h nhưng khi vận dụng

Bổ đề 1.1, ta chỉ có thể lấy tích phân lần lượt trên các đoạn có độ dài h 1, kể từ

t 0 Ta minh hoạ qua ví dụ sau

˙x(t) = f (t, x(t − h1), x(t − h2), x(t − h3), , x(t − hr)) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0],

trong đó 0 < h 1 < h 2 < h 3 < < h r := h

Để đơn giản ta coi t0 = 0

Trước tiên, với t ∈ [0, h1], ta có

x(t) = x(0) +

Z t 0

f (τ, x(τ − h1), x(τ − h2), x(τ − h3), , x(τ − hr))dτ (1.15)

= x(0) +

Z t 0

f (τ, φ(τ − h1), φ(τ − h2), φ(τ − h3), , φ(τ − hr))dτ := xh1(t).

Như vậy, trên [0, h1] công thức (1.15) là hoàn toàn tường minh : vế trái làhàm cần tìm x(t), vế phải là tích phân một biểu thức của φ(τ − hi)- một hàm

đã biết trên đoạn lấy tích phân [0, h1] Như đã ký hiệu, đoạn đường cong trên

[−h + h1, h1] của hàm liên tục x(t) vừa tìm được là xh1(t) Đó là phần đầu tiêncủa nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu(0, φ) của hệ Tiếp tục, trên [h1, 2h1] ta

lại lấy tích phân theo biểu thức của đoạn hàm liên tục vừa tìm được xh1(t) x(t) = x(h1) +

Tương tự, trên [2h 1 , 3h 1 ] ta có

x(t) = x2h1(2h1) +

Z t 2h 1

f (τ, x2h1(τ − h1), x2h1(τ − h2), x2h1(τ − h3), , x2h1(τ − hr))dτ.

Tiếp tục quá trình này, ta xác định được nghiệm của hệ trên toàn bán trục

R+, trong đó trên [ih1, (i + 1)h1]

f (τ, xτ)dτ

= sin 0 +

Z t 0

[2x(τ − 2) + 3x(τ − 3) − 4x(τ − 5)] dτ

= 0 +

Z t 0

[2 sin(τ − 2) + 3 sin(τ − 3) − 4 sin(τ − 5)] dτ

= [−2 cos(τ − 2) − 3 cos(τ − 3) + 4 cos(τ − 5)] ...

2.1.3 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định< /small>

Phương pháp thứ Lyapunov dựa vào khái niệm tập phổ ưachuộng nghiên cứu ổn định phương trình vi phân thường Với phươngtrình vi phân hàm... thiệu phương trình vi phân hàm, nêu khó khănkhi giải loại phương trình Chúng tơi đưa số ví dụ vi? ??c tìmnghiệm theo điều kiện ban đầu cho trường hợp độ chậm rời rạc Qua cách giải

có thấy tính. .. class="page_container" data-page="20">

Sự ổn định phương trình vi phân có chậm< /h2>

Điều kiện f (t, 0) = 0 đảm bảm hệ có nghiệm cân tầm thường

x(t) ≡ 0