CD RUT GON VA CAC BT LIEN QUAN CHUAN

 f x 0  gx 0  - Đặt đk có nghĩa của phương trình hx 0 -Bình phương hai vếcó thể chuyển vế hợp lí rồi bình phương sau đó cần phải đối chiếu nghiệm vừa tìm được với điều kiện!. *Lư[r]

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10CHUYÊN ĐỀ 1 : RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

PHẦN I : KIẾN THỨC CẦN NHỚ I)Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

II) Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba

1) Các công thức biến đổi căn thức

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Lưu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo

cả hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt.

- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tương ứng bằng nhau

- Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không

III.Phương trình có thể liên quan trong bài toán rút gọn





*)Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)

Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0 Song giá trị cụ thểcủa a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình

-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

bxa





.-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

3.Phương trình chứa ẩn ở mẫu

.: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm của phương trình đã cho.

 Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu.

* Đặt ĐK để phương trình có nghĩa;

* Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu;

* Giải và biện luận phương trình bậc hai;

* Kiểm tra điều kiện và kết luận.

4.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

C n chú ý khái ni m giá tr tuy t ầ ệ ị ệ đố ủi c a m t bi u th c: ộ ể ứ

A khi A 0A

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

0 ) (

0 ) (







x h

x g

x f

-Bình phương hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phương) sau đó cần phải

đối chiếu nghiệm vừa tìm được với điều kiện!

*)Lưu ý: Hầu hết khi giải phương trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định điều kiện có

nghĩa của phương trình và các điều kiện tương đương Nếu không có thể thử lại trực tiếp.

5 Các phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

( xem chuyên đề phương trình bậc hai )

IV Bất phương trình cần nhớ khi làm bài rút gọn

A B A B

A B A B

x

b x1  x1 2x 3HDẫn giải

a ĐK x  1 Quy đồng mẫu và khử mẫu ta được: ( 1)( 1) 0

2 8

x

, giải ra ta được x < -1 hoặc 4 1

2 Với -1  x < 1 Giải BPT được 3 > 0 Vậy -1  x < 1

3 Với x  1 Giải BPT được x > -2

1

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

2 9

) 1

m

(1)HDẫn giải

(1)  2m(x - 1) - 3(x + 2m) < x – 16  2(m - 2)x < 8(m - 2)

Nếu m > 2 thì x < 4

Nếu m < 2 thì x > 4

Nếu m = 2 thì 0x < 0, bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ3: Tìm nghiệm nguyên dương của bất phương trình: ( 1)( 3) 1

4 2

x x

(1)HDẫn giải

0 1

x x

 -1 < x < 3 (TM)

Vì x nguyên dương nên x  {1; 2}

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

A / MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP RÚT GỌN CƠ BẢN

1) Cách giải: RÚT GỌN BIỂU THỨC

- Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho.

- Phõn tớch tử , mẫu thức của cỏc phõn thức thành nhõn tử , rồi rỳt gọn ( nếu cú )

- Quy đồng mẫu cỏc phõn thức trong biểu thức

- Thực hiện cỏc phộp tớnh để thu gọn biểu thức

- Kết luận

Vớ dụ1: Rỳt gọn biểu thức: A = 1

2 1

2

1   

x x

Giải: Biểu thức A cú nghĩa 

1 0

0 1

0 1

0 1 0

x x x

x x x

x x x x

 ĐKXĐ của biểu thức là x 0 và x 1.

Khi đú ta cú: A = 1

2 1

2

1   

x x

2 )

1 )(

1 (

) 1 ( 2 )

1 )(

1 (

) 1 (

x x

x x

x

x x

( 1)( 1)

2 ) 1 ( 2 ) 1 (

x x

x

( 1)( 1)

2 2 2

x x x

( 1)( 1)





x x

x x

( 1)( 1)

) 1 (

x x

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

 a=1 (Lo¹i v× kh«ng tho¶ m·i ®iÒu kiÖn)

VËy P nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi a = 0

2/ Các dạng toán liên quan.

Dạng 1 : Tính giá trị của P khi biết x = m

- Nhận xét giá trị của x ( đối chiếu với đk của x ) có thỏa mãn không , Thu gọn

x ( nếu x là một biểu thức ) hoặc viết x thành bình phương của một biểu thức …

Thay x = m vào biểu thức P ( đã được rút gọn )

- Thực hiện phép tính để được kết quả

- Kết luận

Ví dụ 1 : Cho biểu thức

2A



TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x=3-2 2

Bµi gi¶i:

- Khi x= 3-2 2 = ( 2 1) 2

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

- Ta có : B =

x 2x



TÝnh gi¸ trÞ cña B khi thỏa mãn : x(x - 4) = 0

Bµi gi¶i:

- Tìm được : x =0 , x = 4 , nhận định x = 0 không thỏa mãn đk của x ,

- Thay x = 4 vào B ta tính giá trị B =

4 24

a



 x = 4 (TMĐK)

Vậy với x = 4 thì A =2.

2 1 3

3 1

2 1 2

2

1 1 2

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

m P m

k P k

P

P P

1

2

P

P P

1 2

3 2

3 2

) 3 ( 0 3

2

P

P P

P P

P P P

Bước 1 Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0.

Bước 2 Quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái.

Bước 3 Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có được một bất phương trình đơn giản (không chứa mẩu).

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Bước 3 Giải bất phương trình trên để tìm được x.

Bước 4 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.

1 )

1 ( 3

) 1 ( 3 0 3

1 1

1 3

1 1

1 3

x x

x x

x

0 4 2 0 ) 1 ( 3

4 2 0 )

1 ( 3

) 1 ( ) 1 ( 3

x x

(vì 3( x1)0)  2 x 4 x 2 x4 (TMĐK)

) 1 ( 2 ) 1 ( 5

) 1 ( 5 0 5

2 1

1 5

2 1

1 5

x x

x x

x

0 7 3 0 ) 1 ( 5

7 3 0 )

1 ( 5

) 1 ( 2 ) 1 ( 5

x x

(vì 5( x1)0)

49 3

7 7

) 1 ( ) 1 ( 2

) 1 ( 2 0 2

1 1

1 2

1 1

1 2

x x

x x

x

0 3 0

) 1 ( 2

3 0

) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ( 2

x x

(vì 2( x1)0)  x 3 x9

Kết hợp với điều kiện xác định ta được 0  x  9

Vậy với 0  x  9 thì A  2

1

Chú ý: +) P P P0.

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

P P

.Kết hợp với điều kiện xác định ta được: 0 x 1

P P

(thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy với x > 1 thì P P .

1 1

1 0

1 1

1 1

x x

P P P

1 1

0 1

0 1

0 1

) 1

x

.Kết hợp với điều kiện xác định ta được: 0 x 1

1 1

1

1 0

1 1

1

0 1

1 1

1

0 1

1 1

0 1

0

x

x x

x x

x x

x P

P P

P P

1 0

1

1 0

1

1

x

x x

x x

x x

x

x

(không tồn tại x)

Vậy không có giá trị nào của x để P  P .

Dạng 4 Bài toán so sánh biểu thức P với m hoặc Bài toán Chứng minh biểu thức

P < m với mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ (m là hằng số)

x

x x

x x

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

x x

x

x x

x x

A B A B

A B A B

Dạng 5 Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dương)

Loại 1 Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Bước 3 Giải các phương trình: f(x) = Ư (n) để tìm được x

Bước 4 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.

3 1

1 1

3 ) 1 ( 1

x

x x

x x

16

) (

0

) (

4

) ( 2 4 0 2

3 1

3 1

1 1

1 1

TMDK x

TMDK x

TMDK x

VN x

x x x

x x x x

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.

2 2

2 2

2 ) 2 (

x x

0

) (

16

) (

1

) (

9

0 4 1 3

2 2

2 2

1 2

1 2

TMDK x

TMDK x

TMDK x

TMDK x

x x x x

x x x x

Với x = 9 thì M = 3 2 3

3 2 9

1 2 1

0 2 0

Vậy với x = 9 và x = 16 thì M nhận giá trị nguyên dương.

Loại 2 Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Cách giải:

Bước 1.Nhân chéo rồi đặt x y ( y 0) để đưa biểu thức P về dạng một phương trình bậc 2

có ẩn là y và tham số P.

Bước 2 Tìm P để phương trình bậc hai ẩn y trên có nghiệm không âm.

Bước 3 Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm ở bước 2.

Bước 4 Thay P vừa tìm được vào biểu thức đã cho để tìm được x.

Bước 5 Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí.

và '(b')2  ac(3)2  P.P9 P2

Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có hai nghiệm không âm:

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

3 0

0 9 )

( 0 1

0 6

0 9

P P

(TMĐK)

5 7 0

1 3 1

3 2 1

(TMĐK)

Vậy với x = 0, x = 1, x = 2

5

7 

, x = 17  12 2 thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Dạng 6 Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

a) Khái niệm:

+) Nếu P(x)  m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x).

+) Nếu P(x)  k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x).

b) Cách giải:

Loại 1 Trường hợp biểu thức P có dạng là một đa thứcPaxb x c.

Bước 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:

P = f(x)2 m ( f (x) là biểu thức chứa biến x và m là một hằng số) Bước 2 Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Bước 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

Dấu “=” xảy ra khi x10 x 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2 Đạt được khi x 1.

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 2  3 x  x ( x 0)

Giải:

17 2

3 4

9 2 4

9 2

3 2 )

2 3 (

17 2

3 0

2

3 0

2

x x

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Dấu “=” xảy ra khi 4

9 0

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẩu thức: f(x) axb xc và điều

kiện dấu “=” xảy ra.

Bước 2 Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P Bước 3 Kết luận.

1 4

3 4

1 2

1 2 1

3 2

1 0

4 4 3 1 4

3 2 1

1 1

x

1 2

1 0

2

2 2 ) 1 (

2 2

2 ) 1 ( 0 )

1

(

2 2

x

.Dấu “=” xảy ra khi x10 x 1 x1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 1 Đạt được khi x 1.

Loại 3 Trường hợp biểu thức có dạng c x d

b x a P

Trường hợp 1 “n > 0”.

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Trường hợp 2 “n < 0”.

+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bước 3 Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P

Bước 4 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

2 1

1 1

2 ) 1 ( 1

x

x x

x x

x

Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì x 1 phải đạt giá trị lớn nhất

Vì: x  0  x1 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 0

 Giá trị nhỏ nhất của x1 là 1

 Giá trị lớn nhất của P là: 0 1 3

3 0

2

3 2

2 2

3 ) 2 ( 2

x

x x

x x

1 0

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

P = f x m

k x

( f (x) là biểu thức chứa biến x và k; f(x)0) Bước 2 áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương f (x) và f (x)

k

rồi từ đó tìm được giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Bước 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

4 1

) 1 )(

1 ( 1

4 ) 1 ( 1

x

x x

x

x x

x

1 ( 2)

4 ) 1

áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương ( x1) và 1

4 ).

1 ( 2 1

4 ) 1

x

 ( 2 ) 4 ( 2 ) 2

1

4 ) 1

 A  2

4 ) 1

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi x = 1.

2

16 2

) 2 )(

2 ( 2

16 ) 4 ( 2

x

x x

x

x x

x

2 ( 4)

16 )

áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương ( x2) và 2

16 ).

2 ( 2 2

16 )

x

 ( 4 ) 8 ( 4 ) 4

2

9 ) 2

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt được khi x = 4.

Loại 5 Trường hợp biểu thức có dạng ax b x c

n x m P

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Bước 1.Nhân chéo rồi đặt x y ( y 0) để đưa biểu thức P về dạng một phương trình bậc 2

có ẩn là y ( y  x ) và tham số P.

Bước 2 Tìm P để phương trình bậc hai ẩn y trên có nghiệm không âm.

Bước 3 Tìm điều kiện của x để có dấu “=” xảy ra.

Bước 4 Dựa vào điều kiện của P để suy ra giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của P, rồi kết luận

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1

1 2

x P

(x 0)

1 2

x P

 P.x2(P 1) xP10 (1)

1 1

2 0 1

2 x   x   x   x

1 0

0 1

1 0

3 1

0 1

0 1

1 3

0 1

0 ) 1 ( 2

0 3 1

P P P P P

P P P P P

1 3

1 1 3

1 2 3

2 0

2 0

Bước 2 Giải phương trình (2) để tìm được y.

Bước 3 Thay y vừa tìm được vào hệ thức (*) để tìm được x.

b) Chú ý:

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

+) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm

phân biệt không âm Tức là: Phương trình (2) phải có: 

a c a b

+) Để phương trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, hoặc phương trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phương trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không.

Tức là: Phương trình (2) phải có (3 trường hợp):

Trường hợp 1 Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  a 0

0

a b

Trường hợp 3 Phương trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0 

a c a b

Ví dụ: Cho phương trình: x – 2(m – 1) x + 1 – 2m = 0 (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 2

1

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có:

1) Hai nghiệm 2) Một nghiệm

) ( 0 0

1

0

loai y

TM y

y y

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

2 1

0 ) 1 ( 2 0

0

0

m m m m

m m

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

2) Để phương trình (1) có một nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phương trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0.

Trường hợp 1 Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a 0

0 0

2 1 1 0 0

2 1

0 ) 1 ( 2 0

0 0

m

m m

m m m

m m

a c a b

Kết hợp cả 3 trường hợp trên ta được m 0

Vậy với m 0 thì phương trình (1) sẽ có một nghiệm

B MỘT SỐ BÀI TẬP RÚT GỌN TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HÀNG NĂM , SỞ GD – ĐT HÀ NỘI

Bài 1 : Đề thi vào lớp 10 sở GD – ĐT Hà Nội năm học : 2006-2007

Bài 1 (2,5 ®iÓm)

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

x x

x x

x x

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Bài 4 : Đề thi vào lớp 10 sở GD – ĐT Hà Nội năm học : 2009-2010 ( ngày 24/6/2009)

Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức

x A

- - + , với x≥0; x≠41) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25

3) Tìm giá trị của x để

1 3

y

2 2

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Bài 5: Đề thi vào lớp 10 sở GD – ĐT Hà Nội năm học : 2010-2011 (ngày 22/6/2010)

1

3  x 3=9

0,25

3

1 3

x  

1 3

0,25



3 3

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

2) Tính giá trị của A khi x = 9

3) Tìm x để

1A3

x A x

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của xthì A >

13

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M

x 12 1

.P

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A x m  x có nghiệm.

Bài giải

a) ĐKXĐ: x > 0; x 1

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10



    

(v× x 0 )  x 1 kÕt hîp víi §KX§ 0 <x < 1 th×

A < 0c) P.t: A

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

b) Tính giá trị của biểu thức A

c) Với giá trị nào của x thì A A

636

    Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A

Bài 7: Cho biểu thức:

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

2 x 1

: 1 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = A x khi x > 1

Bài 12 Cho biểu thức B =

1

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

c) Tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện B = 2

c) Tìm các giá trị của a thoả mãn điều kiện C > 2

Bài 14 Cho biểu thức D =

: 6

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bài 16 Cho biểu thức Q =

1



nhận giá trị nguyêndương

2 Cho biểu thức:

1 1

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10

a) Rút gọn D b) Với giá trị nào của x thì D < 1.