Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc .. Goïi C laø trung ñieåm cuûa SC.[r]
Trang 1CHƯƠNG I THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP V = 1
3 Bh
BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH CÁC KHỐI CHÓP SAU ĐÂY
Bài 1 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AB = a, SA (ABCD), SSAC = 2a2
Bài 2 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SB
Bài 6 ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 4m
Bài 7 S.ABC là chóp tam giác đều, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 4a Bài 8 S.ABCD là chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 6a BÀI 2 XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐƯỜNG CAO CỦA HÌNH CHÓP
TÓM TẮC LÝ THUYẾT
1 Đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong (P) thì d vuông góc với (P)
Trang 22 Hai đường thẳng song song nhau, đường thứ nhất vuông góc với mp() thì
đường thứ 2 vuông góc mp ()
3 Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của
chúng vuông góc mp thứ 3
4 Hai mp vuông góc nhau, trong mp thứ nhất, đường thẳng nào vuông góc với
giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mp thứ 2
C
B A
A' B'
C' H'
Trang 3BÀI TẬP Bài 1 Tứ diện ABCD có DC (ABC), ABC vuông cân tại B, AC = 3 2 , diện tích ADC bằng 6, I là trung điểm DA
a Tính VABCD
b Tính VIABC
c Tính khoảng cách từ A đến mp (BCD)
Bài 2 Tứ diện ABCD có AD (BCD), BCD đều cạnh a Biết VABCD = 6a3
I là trung điểm AB
a Tính VI.BCD
b Tính khoảng cách từ B đến mp (ADC)
Bài 3 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AB = a, SA (ABCD),
VS.ABCD = 3a3 I là trung điểm SC
a Tính VI.ABCD
b Tính VI.OBC
c Tính khoảng cách từ O đến mp (IBC)
Bài 4 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, (SBC) (ABCD), (SBA) (ABCD), diện tích SAB bằng 2a2 M, N là trung điểm SA, SD
Bài 6 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, AC = 2BD = 4, (SCD)
(ABCD), (SCA) (ABCD), diện tích SCD = 5
Bài 8 Tứ diện ABCD có (ABD) (ABC), ABC vuông tại C, CA = 8, CB =
6, ABD đều Tính VABCD
Trang 4Bài 9 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật AB = 2, BC = 4, SA =
SB = 5, (SAB) (ABCD), I là trung điểm SD
a Tính VSABCD
b Tính VI.BCD
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, AC = 2a = 2BD, SAC đều, SBD cân tại S Các điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh SA, SB, SC sao cho SM = ½ SA, SN = BN, SP = ¼ SC
a Tính thể tích khối chóp SABCD
b Tính thể tích khối chóp SMNP
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 3a; BC = 4a = SA = SC, SB= SD Các điểm M, N, lần lượt thuộc cạnh SA, SB sao cho
SM = ½ SA, SN = 2BN,
a Tính thể tích khối chóp SABCD
b Tính thể tích khối chóp SMNC
Bài 3 GÓC TÓM TẮC LÝ THUYẾT
1 Góc giữa đường thẳng d và mặt (P) là góc giữa d và hình chiếu d’ của d lên mp (P)
2 Góc giữa hai đường thẳng (d,d') (d,a) nếu a // d’
3 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc giao tuyến tại 1 điểm
4 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó
BÀI TẬP Bài 1 Cho hình chóp SABC có SA (ABC), ABC vuông tại A, AB = 3, BC
= 5, diện tích S SAC = 6 (đvdt)
a Tính thể tích khối chóp SABC
b Tính góc giữa SB và mp (ABC)
c Tính cosin của góc giữa SC và mp (ABC)
Bài 2 Cho hình chóp SABC có (SAB) (ABC), (SBC) (ABC), ABC vuông tại cân tại A, AB = 1, góc giữa đường thẳng SC và mp(ABC) bàng 450
a Tính thể tích hình chóp
b Tính cosin của góc giữa SA và mp(ABC)
Trang 5Bài 3 Cho tứ diện ABCD có ABC đều cạnh a, DBC vuông cân tại D, (DBC) (ABC)
a Tính thể tích tứ diện ABCD
b Tính cosin của góc giữa DB và mp(ABC)
Bài 4 Cho hình chóp đều S.ABC ( ABC đều , SA = SB = SC ) AB = a, M, N lần lượt là trung điểm SB, SC, SA = 2a 3
3
a Tính thể tích khối chóp SABC
b Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy
c Tính thể tích khối chóp SAMN
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có (SAB)(ABCD), ABCD là hình vuông cạnh
a, SAB đều
a Tính thể tích chóp S.ABCD
b Tính góc giữa SA và BC
c Tính góc giữa SD và (ABCD)
Bài 6 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, CB = 3, BD = 5, (SBD) (ABCD), góc giữa SC và AD bằng 600, SD = SB
a Tính thể tích hình chóp SABCD
b Tính sin của góc giữa SA và CD
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có SA =SC, SD = SB, ABCD là hình thoi, AC
= 8, BD = 6, góc giữa SB và AD bằng 600
a Tính thể tích khối chóp SABCD
b Cosin của góc giữa SA và CD
Bài 8 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 6a Thể tích khối chóp
a cosin của góc giữa SD và AB
b Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy
Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt
bên tạo với mặt đáy góc 60o Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a
Trang 6Bài 4 LĂNG TRỤ HÌNH HỘP
Thể tích khối lăng trụ, khối hộp V = B.h
Lăng trụ đứng Cạnh bên vuông góc với đáy
Lăng trụ đều Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Hình hộp Lăng trụ có đáy là hình bình hành
Hình hộp chữ nhật Lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật
Bài 1 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC vuông tại B, AC = 5, AB =
4, góc giữa A’B và mặt đáy bằng 450 Tính thể tích hình lăng trụ
Bài 2 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = 4, AC = 5, BAC= 1200, góc giữa B’C và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích hình lăng trụ
Bài 3 Hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2, diện tích mặt bên
bằng 8 Tính thể tích hình lăng trụ
Bài 4 Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, góc giữa mặt (A’BD) và (ABCD) bằng 300 Tính thể tích hình hộp
Bài 5 Hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi, AB = 4, góc
ADC= 600, góc giữa AB’ và mp (ABCD) bằng 450 Tính thể tích hình hộp
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1 Cho hình lăng trụ (không… đứng) ABC.A’B’C’ có 4 điểm A’, A, B, C
lập thành một tứ diện đều cạnh a
a Tìm hình chiếu của A’ lên mp (ABC)
b Tính thể tích khối lăng trụ
c Tính góc giữa 2 mp (A’BC) và (ABC)
Bài 2 Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu của A’ lên mp (ABC) là trung
điểm M của đoạn BC, ABC đều cạnh 3, CC’ = 6
a Tính thể tích khối lăng trụ
b Vẽ MK AB tại K, Chứng minh AB A’K
c Tính góc giữa 2 mp (AA’B) và (ABC)
Bài 3 Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân tại A, AB = a góc giữa cạnh bên và mặt đáy bẳng 600 Tính thể tích lăng trụ biết hình chiếu của B’ lên mặt phẳng (ABC) là Trọng tâm G của ABC
Trang 7Bài 4 Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD =
4 Góc giữa mp(ABB’A’) và (ABCD) bằng 450; Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 600, AA’ = 7
Tính thể tích hình hộp
Bài 5 Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’.ABCD là hình chóp đều AB = 2a ,
góc giữa AA’ và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích hình hộp
Bài 6 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao
cho AM = x (0 x a) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM, biết rằng x2 + y2 = a2
Bài 7 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ =
a 3
2 và góc BAD = 60
0 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN
Bài 8 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a,
BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD);
AB = SA = 1; AD 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O Các
mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD) Cho AB = a, SA =
a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính thể tích khối chóp S.AHK
BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH Bài 1 Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = 6, AA’ = 4 và A’.ABD là hình chóp tam giác đều
a Tính thể tích hình hộp
b Tính khoảng cách từ B đến mp(A’B’C’)
c Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’B’ đến mp(ABCD)
Trang 8Bài 2 Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’(lăng trụ đứng, đáy là hình bình hành)
có AB = 2, BC= 4, góc BCD = 300 , khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’D’ và BC bằng 5
a Tính thể tích hình hộp
b Tính khoảng cách d(D,BC)
c Tính khoảng cách giữa 2 mp (ABB’) và (DCC’)
Bài 3 Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi AC = 2BD = 4, khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và C’D’ bằng 5
a Tính thể tích hình hộp
b Tính khoảng cách d(A,BC)
c Tính khoảng cách d(A’D’, CC’)
Bài 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 3, AD = 4 góc giữa
đường thẳng DC’ và mp (ABCD) bằng 450
a Tính thể tích hình hộp
b Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB’ và CD
Bài 5 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 và
Bài 7 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 8a3
a Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và A’D
b Tính khoảng cách từ A đến mp(A’BC)
c Tính thể tích hình chóp B.AA’D’
Trang 9Chương II HÌNH CẦU – HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN
Bài 1 HÌNH CẦU Diện tích mặt cầu S = 4R2
Thể tích khối cầu V = 4 R3
3
Bài 1 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 2 điểm A, B phân biệt cho trước Bài 2 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C phân biệt cho trước Bài 3 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, AB = 3, CB = 5, SB
(ABC), góc giữa SC và (ABC) bằng 450
a Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp
b Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Bài 5 Trên 3 tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau, lần lượt lấy các điểm
A, B, C sao cho OA = 6, OB = 8, OC = 10
a Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
b Tính diện tích mặt cầu đó
Bài 6 Tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AD (BCD), góc giữa (BCD) và (ABC) bằng 600
a Tính AD
b Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp ABCD
c Tính thể tích hình cầu đó
Bài 7 Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a
Bài 8 Chóp tam giác đều S.ABC có AB = 3 3 , góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng 450
a Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp
b Tính diện tích mặt cầu
Bài 9 Chóp ABCD có ABC vuông tại A, AC = 6, CB = 10 , (DBC)
(ABC), DCB cân tại D, diện tích DCB bằng 10
a Tính thể tích tứ diện
b Xác định tâm và tính thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Trang 10Bài 10 Chóp S.ABCD có thể tích bằng 96 (đvtt) SA (ABCD), ABCD là hình chữ nhật, AB = 6, AD = 8 Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 11 Chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SC (ABCD), góc giữa SA và mặt đáy bằng 450 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hính chóp
Bài 12 Chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 3 , AD = 1,
Bài 14 Lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
4a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Bài 15 Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước 3, 4, 5 Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp
Bài 16 Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a Bài 17 Tính diện tính mặt cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng a
a Tính thể tích khối hình trụ
b Tính diện tích xung quanh hình trụ
c Tính diện tích toàn phần hình trụ
Trang 11Bài 2 Hình trụ có bán kính R, mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ
theo thiết diện là một hình vuông Tính thể tích và diện tích xung quanh hình trụ theo R
Bài 3 Cho hình trụ (T) có bán kính R = 2, trục OO’ bằng 4 Hình cầu (S) có
đường kính OO’
a Tính diện tích xung quanh của hình trụ
b Tính diện tích mặt cầu
c So sánh thể tích khối trụ (T) và khối cầu (S)
Bài 4 Một hình trụ có bán kính R và chiều cao R 3
a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ
b Tính thể tích khối trụ
c Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ
Bài 5 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và
chiều cao bằng 2a
a Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp lăng trụ
b Tính thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ
Bài 6 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và
chiều cao bằng 2a
a Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp lăng trụ
b Tính thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ
Bài 7 Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4, thiết diện qua trục là hình vuông
a Tính diện tích toàn phần hình trụ
b Tính thể tích khối trụ
c Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ
d Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ
Trang 12Bài 3 HÌNH NÓN
S
Diện tích xung quanh
Sxq = Rl (l: là đường sinh, R bán kính đáy, h chiều cao) Thể tích khối nón
V = 1 R h2
3
BÀI TẬP Bài 1 Tính thể tích của hình nón trong các trường hợp sau
a Đường sinh l = 3cm và góc hợp bởi đường sinh và đáy là 600
b Bán kính đáy r =4cm và góc giữa đường sinh và trục của hình nón bằng 450
c Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có diện tích bằng 6 cm2
Bài 2 Cho ABC vuông tại A, AB = 3, BC = 5
Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay ABC quanh đường thẳng AC
Bài 3 Cho ABC cân tại A, AB = 4,ABC 60 0 H, M, N lần lượt là trung
điểm BC, AC, AB
a Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay ABC quanh đường thẳng AH
b Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay hình thang MNCB quanh đường
thẳng AH
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1 Cho hình nón đỉnh S, và bán kính đáy R, chiều cao h = R Mặt phẳng
(P) di động, luôn qua S cắt đường tròn đáy theo một dây cung AB = a
(0a2R)
Trang 13Bài 2 Tính theo a, R diện tích thiết diện của hình nón và mặt phẳng (P)
a Xác định a để diện tích đó lớn nhất
b Khi a = 2R 6
3 , xác định và tính góc giữa mặt phẳng (P) và mp đáy
Bài 3 Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R Góc giữa
đường sinh và trục bằng 300 Mặt phẳng (P) qua S hợp với đáy một góc
a Hỏi nằm trong giới hạn nào thì mặt phẳng (P) cắt hình nón ?
b Khi (P) cắt đáy theo một dây AB Tính thể tích tứ diện SOAB theo R và
Định để thể tích đó lớn nhất
Bài 4 Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (C) có bán kính R, đường cao h
= 2R Mặt phẳng (P) song song với đáy, cắt hình nón theo một đường tròn (C’) Tính theo R bán kính của (C’) nếu
a Mặt phẳng (P) chia hình nón thành 2 phần có thể tích bằng nhau
b Mặt phẳng (P) chia hình nón thành 2 phần có diện tích xung quanh bằng nhau
ÔN TẬP HÌNH HỌC Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
SA(ABCD) và SA = a Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN)
Bài 2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác
ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo
một thiết diện có diện tích bằng a 32
8 Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’
Bài 3 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều
cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 60 0,
SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B, D Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Trang 14Bài 5 Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA
= 2a Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy
M là trung điểm của BC Tính thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và AC
Bài 6 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) Tính tan và thể tích của khối chóp A.BBCC
Bài 7 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD
= 2a, sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 45 Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng 0(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a
Bài 8 Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b Tính thể
tích của hình chóp đó và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE
Bài 9 Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a
Mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt
đáy các góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Trang 15Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hệ trục tọa độ Oxyz: 3 trục Ox , Oy, Oz đôi một vuông góc nhau
2 Ba vecto đơn vị i (1;0;0) Ox ; j (0;1;0) Oy; k (0;0;1) Oz
3 Điểm M(x0; y0 ;z0) x i y j z k 0 0 0 0
M Ox M(x; 0; 0) M Oy M(0; y; 0) M Oz M(0; 0; z)
M (Oxy) M(x; y; 0) M (Oyz) M(0; y; z) M (Oxz) M(x; 0; z)
4 Hai điểm A(xA;yA; zA) , B(xB; yB; zB)
Vecto AB xB x ;yA B y ;zA B z A
Độ dài AB= AB xB xA 2 yB yA 2 zB zA 2
I là trung điểm AB I xA x yB; A y zB; A zB
Trang 167 Ứng Dụng
a Hai vecto u,v đồng phẳng u,v 0
b Ba vecto u,v,w đồng phẳng u,v w 0
c Diện tích tam giác ABC SABC = 1 AB,AC
Bài 1 Hai vectơ bằng nhau
1. Cho tam giác ABC có trung điểm của các cạnh AB, AC và BC lần lượt là M(1, 4, 3); N(2, 1, 0) và P(1, 1, 5) Tìm tọa độ của các đỉnh ABC
2. Cho hình bình hành ABCD với A(2, 1, 1); B(4, 1, 3) và C(2, 3, 1) Tìm tọa độ điểm D và tọa độ tâm của hình bình hành
3. Cho hai điểm M(1, 2, 3) và N(4, 5, 6) chia đoạn AB thành ba phần bằng
nhau Tìm tọa độ hai điểm A, B
5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A’(1, 0, 1); B(2, 1, 2); D(1, 1, 1) và C’(4, 5, 5) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
Trang 17Bài 2 Tìm tọa độ điểm và vectơ
Cho vectơ a = (1,2,3); b = (1,4,2) và c = (5,2,1) Tìm tọa độ của vectơ
a. m = 2 a + 3b 5c b. n = a + 24b + 14c
Bài 3 Hai vectơ cùng phương
1. Cho a= (2, m, 5) và b = (1, 2, n) Tìm m và n để hai vectơ cùng phương
2. Xét tính thẳng hàng của ba điểm A,B, C biết rằng:
a A(1, 3, 1); B(0, 1, 2) và C(0, 0, 1)
b A(1, 1, 1); B(4, 3, 1) và C(9, 5, 1)
3. Cho ba điểm A(4, 3, 2); B(2, m, 3) và C(n, 4, 2)
a Tìm m và n để ba điểm A, B, C thẳng hàng
b Tìm giao điểm giữa AB với các mặt phẳng tọa độ
4. Cho hai điểm A(1, 3, 0); B(2, 1, 0) Tìm giao điểm của AB với trục Ox, Oy
5. Tìm b cùng phương a = (2 2, 1, 4) biết |b| = 10
Bài 4 Tích vô hướng
a Tìm M trên Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M
b Tìm N trên Oy sao cho tam giác NAB vuông tại A
Bài 5 Góc giữa hai vectơ
1. Tính góc của hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:
a a = (2, 1, 2); b = (0, 2 , 2 ) c a = (2, 5, 0); b = (3, 7, 0)
b a = (6, 0, 8); b = (12, 0, 9) d a = (2, 0, 6); b = (3, 0, 9)
2. Tính các góc của tam giác ABC biết A(3, 1, 0); B(2, 1, 1) và C(3, 2, –1)
Trang 18Bài 6 Tích hữu hướng của hai vectơ và ứng dụng
1. Tìm vectơ tích hữu hướng của các cặp vectơ sau
a.a = (2, 1, 2); b = (0, 1, 5) b a = (4, 6, 8); b = (1, 7, 2)
c a = (3, 1, 6); b = (4, 2, 8) d a = (4, 3, 6); b = (5, 2, 8)
2. Cho tam giác biết A(2, 1, 3); B(3, 2, 2) và C(4, 0, 1)
a Tìm diện tích tam giác ABC b Tính độ dài đường cao AH vẽ từ A
3. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi trường hợp sau:
Bài 7 Bài tập làm thêm
1. Cho a = (2, 1, 1); b = (1, 3, 2) Gọi v = ma 3b vàw = 3a + 2mb Định m để
a v vàw vuông góc b v vàw cùng phương
2. Cho A(2, 3, 2); B(2, 3, 0); C(3, 0, 1); D(4, 6, 3) CMR ABCD là tứ
giác có hai đường chéo vuông góc nhau, tính diện tích tứ giác ABCD
3 Cho ba điểm A(1, 0, 0); B(0, 0, 1); C(2, 1, 1)
a Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
b Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c Tìm chân đường cao H hạ từ A của tam giác ABC
d Tìm tọa độ đđiểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
e Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A
4. Cho bốn điểm A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); D(2, 1, 1)
a Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A
5. Cho bốn điểm A(1, 5, 10); B(5, 7, 8); C(2, 2, 7); D(5, 4, 2)
a Chứng minh rằng A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng
b Tính diện tích của tứ giác ABCD
6 Cho bốn điểm S(1, 2, 3); A(2, 2, 3); B(1, 3, 3); C(1, 2, 4)
a Chứng minh rằng SABC là một tứ diện
Trang 19b Chứng minh rằng SA (SBC), SB (SAC), SC (SAB)
Bài 2 MẶT CẦU
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R > 0 là tập hợp những điểm M(x; y; z) cách điểm I một khoảng R
Phương trình : (xa)2+ (yb)2+(zc)2 = R2 hoặc x2+y2+z22ax2by2cz+d = 0 Với điều kiện a2 + b2+ c2 d > 0, R= a2b2c2d
1. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của các mặt cầu sau
3. Viết phương trình mặt cầu biết rằng
a. Có tâm I (3, 4, 5) và r = 3
b. Có tâm I (1, 2, 3) và r = 2
c. Có tâm J (0, 4, 1) và đi qua điểm B(1, 2, 1)
d. Có tâm I (3, 4, 5) và đi qua điểm A(1, 2, 1)
e. Đường kính AB với A (1, 3, 0) và B(5, 3, 4)
f. Đường kính MN với M (0, 4, 1) và B(6, 2, 1)
g. c ể (0; 2; 0), B(1; 1; 0), C(2; 5; 3), D(−2; 2; )
h. c ng h nh ch BCD (2; 1; 1), B(−1;− ;3), C(1; 2; 0), D(2; −1; 3)
Bài 3 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Vectơ pháp tuyến (VTPT ) của mặt phẳng (P) là n (P), n 0
2. Vectơ chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng (P) là u / /(P), u 0
Trang 203. Nếu mặt phẳng (P) có 2 VTCP u,v thì (P) có VTPT là n u,v
4. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0
Trong đó vectơ pháp tuyến là n =(a;b;c)
5. Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0; y0; z0 ), (P) có VTPT n =(a;b;c) phương trình tổng quát (P): a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0
6. Chùm mặt phẳng : nếu mặt phẳng (P) chứa ( đi qua) giao tuyến của hai mặt phẳng (Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phương trình (P): m(ax + by + cz + d) + n(a’x + b’y + c’z + d’ ) = 0 (m2 n2 0)
7. Phương trình đoạn chắn Nếu mặt phẳng (P) cắt 3 trục tọa độ lần lượt tại A(a; 0;0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c 0) phương trình (P): x y z 1
a b c
B BÀI TẬP
Bài 1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (căn bản)
1 Tìm pt tổng quát của mặt phẳng (P) qua A và có vectơ pháp tuyến n với
3. Lập phương trình mặt phẳng Oxy
4. Lập phương trình mặt phẳng Oxz
5. Lập phương trình mặt phẳng Oyz
6. Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) biếtt rằng:
a. (P) qua N(1, 4, 3) và và vuông góc với n = (1, 2, 3)
b. (P) qua E(5, 4, 2) và vuông góc với trục Oz
c. (P) qua A(3, 6, 1) và vuông góc đt BC biết B(0, 1, 2); C(3, 5, 0)
d. (P) qua điểm B(1, 1, 2) và song song với mp (): x + 3y 2z + 1 = 0
e. (P) qua điểm M(2, 3, 1) và song song với mặt phẳng (Oxz)
f. (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(3, 2, 1) và B(5, 0, 3)
Trang 21g. (P) qua ba điểm A(2, 3, 5);B(1, 2, 1); C(1, 3, 2)
h. (P) qua 2 điểm A(1,2, 2), B(3, 1,2) và vuông góc mp(): 2x + y+6=0
i (P) qua A(3, 2, 4) và chứa trục Oy
j. (P) qua A(1, 2, 3); đồng thời vuông góc với hai mp(): x 2z + 1 = 0 và (): x + y z + 1 = 0
Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH CHÙM MẶT PHẲNG
1. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(3, 4, 1) và chứa giao tuyến của 2
mặt phẳng (Q): x – y – 4z + 27 = 0 và (R): 2x – y + 3z + 11 = 0
2. Cho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình: (1): 2x – y +
z + 1 = 0; (2):x + 3y – z + 2 = 0; (3): -2x + 2y + 3z + 3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2); đồng
thời thỏa điều kiện sau
a Qua M(1, 2, 1)
b Song song với trục Oz
c. Vuông góc mặt phẳng (3)
3 Viết phương trình của mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y + 2z – 4 = 0 và x + y – z – 3 = 0;
đồng thời song song với mặt phẳng x + y + z – 3 = 0
b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x + z – 2 = 0 và x + 4y – 5 = 0; đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x – y+ z + 7 = 0
Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐOẠN CHẮN
Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
a. (P) qua 3 điểm A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)
b. (P) qua 3 điểm A(4,0,0), B(0,1,0), C(0,0,5)
c. (P) qua 3 điểm M(7,0,0), N(0,0,2), E(0,4,0)
d. (P) qua M(4, 1, 2), (P) cắt Ox, Oy, Oz tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c); biết a, b, c > 0 và thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất Tìm phương trình mp(P)
Trang 22Bài 4 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Vectơ pháp tuyến (VTPT ) của đường thẳng (d) là n (d), n 0
2. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d) là u / /(d), u 0
3. Nếu đường thẳng (d) có 2 VTPT n ,n thì (d) có VTCP là 1 2 u n ,n1 2
n1 n2
d u
4. Đường thẳng d có VTCP u=(a; b ; c), d đi qua điểm M(x0; y0; z0)
Phương trình tham số d:
0 0 0
5. Nếu đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng
(Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phương trình tổng quát của đường thẳng d là :
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG CƠ BẢN
1 Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d qua A và có vectơ chỉ phương a trong mỗi trường hợp sau:
Trang 236 Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d biết:
a d qua A(7, 2, 3) và cùng phương a= (2, 3, 4)
b d qua A(4, 3, 2) và vuông góc với cặp vectơ a= (7,2, 1) và b= (2, 4, 6)
c d qua 2 điểm A(2, 9, 3) và B(1, 0, 1)
d d qua A(4, 4, 1) và song song với đường thẳng 1
x 3 4t( ) : y 1 2t
e d qua A(2, 2, 0) và vuông góc mặt phẳng (P): 3x y + z – 2 = 0
f d qua A(0, 2, 1); vuông góc với 2 đường thẳng 1
x 3 4t( ) : y 1 2t
7 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết
a d là giao tuyến của (1): x – 2y + z + 5 = 0 và (2): 4x + y – z + 7 = 0
b d chứa trong 2 mặt phẳng (P): x 4y 6z +3 = 0 và mặt phẳng (Oyz)
9 Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d biết:
a d có phương trình tổng quát là 2x y 3z 0
Trang 24b d qua M(1, 1, 2) và song song với đường thẳng (): 3x y 2z 7 0
Trang 25TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
1 Lập phương trình mp (P) chứa điểm M(3,1,0) và đường thẳng
góc với mặt phẳng (P): x 2y z 5 0
4 Cho 3 điểm A(1, 3, 2); B(1, 2, 1); C(1, 1, 3) Hãy viết phương trình tham số
của đường thẳng ( ) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác
5 Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng d biết rằng:
a A(1, -2, 3) và
x 4 t(d) : y 1 5t
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song (d2)
BÀI TẬP LÀM THÊM
1 Cho 3 điểm A(5; 4; 3) , B(1; 2; 3), C(2; 3 4)
a lập phương trình mặt phẳng (ABC)
b Lập phương trình đường cao AH của ABC
c Lập phương trình đường trung trực của đoạn AB nằm trong mp(ABC)
Trang 262 Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc d và nằm trong (P)
a Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z – 1 = 0 ; (d): x 1 y z 2
Viết phương trình đường thẳng qua A(0, 2, –1); vuông góc với d và nằm trong (P)
b Cho mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và đường thẳng x 2y 3 0
(d) : 3x 2z 7 0 Viết phương trình đường thẳng điểm qua A(1, 0, –1); vuông góc d và nằm trong (P)
c Cho đường thẳng (d): x 2z 3 0
Bài 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
b VTTĐ giữa đường thẳng d và mp (P):
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng d và mp (P) ta viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số và giải hệ phương trình d :
(P) :
+ hệ có 1 nghiệm d cắt (P) tại 1 điểm
+ hệ vô nghiệm d // (P)
+ hệ có vô số nghiệm d (P)
Trang 27c VTT Đ giữa đt d và mặt cầu (S):
Để xét VTTĐ giữa d và (S) ta giải hệ pt d :
(S) :
+ Hệ có 1 nghiệm d và (S) có 1 điểm chung (tiếp xúc)
+ Hệ có 2 nghiệm d cắt (P) tại 2 điểm
+ Hệ vô nghiệm d không cắt (S)
d VTTĐ Giữa 2 đường thẳng d và d’ :
+ d qua M có VTCP a ; d’ qua M’, có VTCP b
Trang 28B BÀI TẬP
Bài 1 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
1 Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng sau
a (P): 18x + 11y + 8z – 1 = 0 và (Q): – 14x + 2y + 10z + 3 = 0
b (P): 3x – 5y – 7z + 21 = 0 và (Q): – 3x + 5y + 7z – 47 = 0
2 (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 và (Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 = 0 với
giá trị nào của m để 2 mặt phẳng đó
a Song song với nhau b Trùng nhau c Cắt nhau
Bài 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1 Xét vị trí tương đối giữa d và (), tìm giao điểm (nếu có)
Bài 3 XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU
Trang 29Bài 4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1 Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng sau:
a Chứng minh rằng (D1) và (D2) chéo nhau
b Chứng minh rằng (D1) và (D3) cắt nhau, tìm tọa độ giao điểm
c Tìm pt hai mp (P1) và (P2) song song nhau và lần lượt qua (D1), (D2)
Chứng tỏ hai đường thẳng d1 và
d2 song song Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2
4 Chứng tỏ rằng hai đt 1
x 7 3t(d ) : y 2 2t
nằm trong một mặt phẳng Lập phương trình mặt phẳng đó
5 Cho hai đường thẳng: (D ) :1 x 1 y z 1;(D ) :2 3x y 5z 0
a Chứng minh rằng hai đường thẳng trên vuông góc nhau
b Hai đường thẳng đó có cắt nhau không?
Trang 30Bài 6 HÌNH CHIẾU – ĐỐI XỨNG
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bài toán 1 Cho A và mp (P), tìm hình chiếu của A lên (P) và tìm A’ đối
xứng của A qua (P)
Lập đường thẳng d qua A và (P) A
Hình chiếu của A lên (P) d
A’ đối xứng với A qua (P) A’
I là trung điểm AA’ tọa độ A’
Q
Bài toán 2 Cho B và đường thẳng d B
Tìm hình chiếu của B lên d
Tìm B’ đối xứng của B qua d: k d
lập mp (Q) qua B và d
hình chiếu của B lên d B’
là K = (Q) d
B’ đối xứng với B qua d
K là trung điểm BB’
Bài toán 3 Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) Tìm phương trình d’
hình chiếu của d lên mp (P):
Trang 31 và mặt phẳng (P): x 2y 3z 4 0
a Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P)
b Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng d trên (P)
4 Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng d xuống (P) biết d:
a Chứng minh d cắt (P), tìm tọa độ giao điểm
b Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên (P)
Bài 2 ĐỐI XỨNG
1 Tìm điểm A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) biết
a A(1, 4, 2); (P): x 2y + 8z 1 = 0
b A(2, 1, 4); (P): 2x 3y + z 20 = 0
Trang 322 Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d trong các trường hợp sau
a A(3, 2, 5) và
x 2 3t(d) : y t
Bài 7 KHOẢNG CÁCH
TÓM TẮT GIÁO KHOA
a Khoảng cách từ M đến mp (P): Ax + By + Cy + D = 0
Trang 33f) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song
1 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a A(1, 3, 5) và (P): x + 2y + 8z – 1 = 0
b A(–2, 1, 4) và (P): 2x – 3y + z – 20 = 0
c A( 4, 5, 6) và (P): 3x + y + 7z + 2 = 0
d A( 1, 0, –1) và (P): x – 2y – 9z + 20 = 0
2 Cho 4 điểm A(–1, 3, 2); B(4, 0, –3); C(5, –1, 4); D(0, 6, 1)
a Tính khoảng cách từ A đến (DBC)
b Tính khoảng cách từ C đến (DBA)
3 Cho các điểm A(1, 1, 3); B(–1, 3, 2); C(–1, 2, 3)
a Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (ABC)
b Tính diện tích ABC và thể tích tứ diện OABC
Bài 2 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
1 Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau
a x2y2z26x 2y 4z 5 0 và x + 2y + z – 1 = 0
b x2y2z26x 2y 2z 10 0 và x + 2y – 2z + 1 = 0
c x2y2z24x 8y 2z 4 0 và x + y – z – 10 = 0
Bài 3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
1 Tính khoảng cách giữa các cặp mặt phẳng song song sau
a (P): 2x – 3y + z – 2 = 0 và (Q): 2x – 3y + z – 40 = 0
b (P): x – y + z – 42 = 0 và (Q): x – y + z + 1 = 0
2 Cho điểm A(–2, 4, 3) và mặt phẳng (P): 2x 3y 6z 19 0
a Viết pt tổng quát của mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P)
b Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Trang 343 Lập phương trình mp (P) // (Q): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (P) cách (Q) một khoảng bằng 2
a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d’) và song song với d
b Tính khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Bài 5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
1 Cho A(1, 0, 0) và (d): x 2 y 1 z
a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d
b Tính khoảng cách từ A đến d
2 Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d biết:
a) A( 2, 4, 1);
x 7 3t(d) : y 2 2t
Bài 6 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau
a (d) :x 1 y 2 z;(d') : x y 5 z 4
Trang 35BÀI TẬP LÀM THÊM
1 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
3 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
đều 2 điểm A(1;2;3), B( 3; 2; 1)
4 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 điểm M(1;1;1), N(2;2;2) và (P) cách đều 2 điểm A(1;2;3 ), B( 3; 2; 1)
5 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(3; 4; 1) và (P) cách M(1; 2; 3)
một khoảng lớn nhất
6 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M(1;1;1) , (P) // d:
Trang 367 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
điểm M(1;1;1) một khoảng lớn nhất
8 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm A(3; 1; 2), B(1; 1; 0 ) và cách điểm M(1;1;4) một khoảng lớn nhất
m n + Góc giữa đường thẳng d và mp (P): sin d,P a.n
Bài 2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1 Tính góc tạo bởi đường thẳng ( ) :x 1 y 2 z 4
với các trục tọa độ
2 Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau
Trang 374 Tính góc giữa mp (P): x + 2y 2z = 0 và trục Ox
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1 Lập phương trình mp (P) qua 2 điểm A(1, 1, 1), B(–1, 3, 0) và (P) tạo
với mp(Oxz) một góc 450
Bài 2 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
tạo với trục Oy một góc 450
Bài 3 Lập phương trình mp (P) chứa trục Ox và (P) tạo với mp (Q): 2x + y –
2z = 0 một góc a thỏa cosa = 1
3 2
Trang 38Bài 4 Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mp (P): x– y + z – 5 = 0, d
qua A(3, – 1, 1) và d tạo với ( ) :x 2 y 3 z 4
Bài 6 (ÔN TẬP) LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
a Qua C(–1, –2, 3) và vuông góc với cả 2 mp (P1): x – y + 3 = 0, (P2): 2y
+ z – 2 = 0
b Qua A(1,2,1), B(–1,3,–2) và vuông góc với mp (Q): x – 2y + 3y – 5 = 0
c Gọi I, J, K là hình chiếu của M(2,3,–5) lên các mp tọa độ, viết phương
trình mp qua I, J, K
d Gọi N, E, F là hình chiếu của M(2, 3, –5) lên các trục tọa độ, viêùt
phương trình mp qua N, E, F
e Qua E(1,–2,4) và chứa Ox đs: y + 2z = 0
f Qua F(–1,1,2) và chứa Oz đs: x + y = 0
g (P) song song với (Q): 2x – 3y – 6z – 14 = 0 biết khoảng cách từ gốc O
đến (P) bằng 5
h (P) qua 2 điểm (2,0,0), (0, 3, 0) và khoảng cách từ O đến (P) bằng 6/7
i Qua 2 điểm A(2, 0, 0), B(0,2,0) và tạo với mp Oyz một góc 600
j (P) qua M(2, –1, 4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OC =
Trang 39Bài 7 ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Viết pt đường thẳng qua điểm M, đồng thời cắt (D1) và (D2) biết rằng:
a M(-1, 2, 3); (D ) :1 x 1 y 5 z 2
và 2
x 3 2t(D ) : y 1 t
2 Lập phương trình đường thẳng qua M vuông góc vectơ a và cắt d
a Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1, 2, 3), vuông góc với
a (6,2, 3) và cắt đường thẳng 6x 3y 2z 12 0;H(13 80 135, , )
c Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(3, 2, 1); vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) biết
– CĐ Cộng đồng Hà Tây, 2006
3 Lập pt đường thẳng qua M vuông góc đường thẳng d và song song mp (P)
4 Lập pt đường thẳng qua M cắt đường thẳng d và song song mp(P)
a Lập pt đường thẳng qua M(1, 0, 4) cắt
x 2t(d) : y 3 t
Trang 40b Lập pt đt qua M(1, 0, 4) cắt
5 Lập pt đường thẳng d có VTCP u và d cắt hai đường thẳng khác
a Lập pt đường thẳng d song song với Ox và d cắt hai đường thẳng:
PHƯƠNG TRÌNH ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG
6 Cho hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt qua P1(1, 2, 1); P2(0, 1, 2) và có vectơ chỉ phương a1 (1,0,1) ; a2 ( 1, 1,0) Viết phương trình đoạn vuông góc chung d của (d1) và (d2)
7 Cho hai đường thẳng (D ) :1 x y z 3 0;(D ) :2 x 2y 2z 9 0
Chứng tỏ rằng D1 vuông góc D2 Viết phương trình đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng trên
8 CĐ KT CẦN THƠ, 2006 Cho 2 đt d: