Biến đổi fourier rời rạc, fourier nhanh và ứng dụng

Trong toán học, biến đổi Fourier rời rạc còn đượcgọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier vớicác tín hiệu trong thời gian rời rạc.. Nó là công cụ lý

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THU THỦY

BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC, FOURIER NHANH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn

Phản biện 1: TS Lê Hải Trung

Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

11 tháng 01 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ đưa đến việc giải phương trình

vi phân hay phương trình đạo hàm riêng Những bài toán về tính độ lệch đứngcủa dầm, các dao động của dây, sóng âm, sóng tạo ra do thủy triều, sóng đànhồi, sóng điện trường và tìm phương trình đường đi cho các phương trình sóng.Vấn đề đặt ra ở đây là tìm lời giải cho các bài toán đó Có nhiều phương phápkhác nhau để giải quyết vấn đề, trong số đó không thể không nói đến vai trò đặcbiệt quan trọng của phép biến đổi Fourier

Một khái niệm không kém tầm quan trọng của phép biến đổi Fourier là biếnđổi Fourier rời rạc (DFT) Trong toán học, biến đổi Fourier rời rạc còn đượcgọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier vớicác tín hiệu trong thời gian rời rạc Nó là công cụ lý tưởng để xử lý thông tin vàđược sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan đến phân tíchtần số, tìm hình dạng đi lý tưởng cho phương trình truyền sóng, các bài toán sơcấp, ma trận và các phép toán như tích chập

Việc ứng dụng hiệu quả biến đổi Fourier rời rạc trong thực tế đặc biệt làviệc phân tích phổ như trong các ngành xử lý tín hiệu tiếng nói, địa chất, vật lý,

y tế, sóng âm, các bài toán về ma trận,phép nhân đa thức người ta đã quantâm đến việc rút ngắn thời gian và độ phức tạp tính toán Năm 1965, Cooley vàTukey đã tìm ra thuật toán tính các biến đổi Fourier rời rạc nhanh chóng và hiệuquả hơn được gọi là biến đổi Fourier nhanh (FFT) Biến đổi Fourier nhanh làthuật toán cho phép tính DFT nhanh chóng bằng cách giảm độ phức tạp và thờigian tính toán Kể từ khi ra đời, biến đổi FFT đã tạo ra một bước ngoặc lớn vàthực sự đóng một vai trò hết sức quan trọng trong việc xử lý tín hiệu, các bàitoán ma trận và bài toán sơ cấp

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu đúng bản chất của biến đổi

Fourier rời rạc, hiệu quả của biến đổi Fourier rời rạc và thuật toán FFT của nó.Qua đó có thể áp dụng để tìm lời giải cho một số bài toán sơ cấp, những bàitoán liên quan đến ma trận và phương trình truyền sóng Một số điểm cố gắngđưa vào trong luận văn là:

- Một số định nghĩa liên quan đến biến đổi DFT, chứng minh chặt chẽ cácđịnh lí liên quan

- Làm rõ tính hiệu quả của biến đổi nhanh FFT, đi sâu một số thuật toán cụthể

- Đưa nhiều ví dụ và bài tập áp dụng để làm nổi bật tính hiệu quả, tính nhanhchóng của biến đổi DFT và FFT

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phép biến đổi Fourier Phạm vi nghiêncứu của đề tài là biến đổi Fourier rời rạc, Fourier nhanh và ứng dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liênquan đến biến đổi DFT, vấn đề quan trọng trong khi áp dụng biến đổi DFT vàFFT vào giải toán

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đangnghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các ứng dụngcủa biến đổi DFT và FFT trong giải toán

5 Bố cục của đề tài

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và phụ lục

Chương 1 trình bày một số tích chất cơ bản của biến đổi Fourier rời rạc,Fourier nhanh

Chương 2 đưa ra một số ứng dụng cơ bản của biến đổi Fourier rời rạc vàbiến đổi Fourier nhanh

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Luận văn đã tham khảo một số tài liệu khoa học tiếng Việt và tiếng Anh vềbiến đổi Fourier đặc biệt là biến đổi Fourier rời rạc và Fourier nhanh Hiện tạitrong và ngoài nước đã có các công trình nghiên cứu về biến đổi Fourier rời rạc,biến đổi Fourier nhanh và các ứng dụng thực tế hữu ích của chúng

Tuy nhiên các công trình khoa học vẫn chưa tổng hợp được nhiều các ứng

dụng của biến đổi Fourier rời rạc, biến đổi Fourier nhanh trong sơ cấp và trongthực tế hoặc có nhưng vẫn còn hạn chế.

Vì vậy việc nghiên cứu, tổng hợp các ứng dụng của phép biến đổi Fourierrời rạc, Fourier nhanh một cách rõ ràng, hệ thống là cần thiết Kết quả nghiêncứu của đề tài sẽ giúp người học toán dễ dàng hơn trong việc hình dung tínhhữu ích của phép biến đổi Fourier trong toán học cũng như trong thực tiễn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy x(n), n = 0, 1, , N − 1 Khi đó biến đổi Fourier

rời rạc của dãy x(n), viết tắt là DFT được xác định bởi công thức:

X(k) =

N−1

∑n=0

x(n)WNkn, k= 0, 1, , N − 1 (1.1)Biến đổi Fourier rời rạc ngược viết tắt là IDFT được xác định bởi công thức:

x(n) = 1

N

N−1

∑k=0

Biến đổi DFT dưới dạng ma trận

Khi đó biến đổi DFT của XN và biến đổi ngược IDFT được viết lại:

Mệnh đề 1.1.2 Cho vectơ x(n,1), tích WN.x được gọi là phép biến đổi Fourier

rời rạc của vectơ x và WN−1.x là phép biến đổi nghịch đảo của x Phần tử ở vị trí

k trong WN.x và WN−1.x được xác định bởi công thức:

[WN.x]k=

N−1

∑i=0

xiwik; [WN−1.x]k = 1

N

N−1

∑i=0

xiw−ik

Ví dụ 1.1.4.

1.1.3 Biến đổi DFT cho toán tử unita

Trước kia, biến đổi DFT và biến đổi ngược IDFT của dãy x(n) được viếtdưới dạng:

X(k) = √1

N

N−1

∑n=0

x(n)WNkn, k= 0, 1, , N − 1 (1.5)

x(n) = √1

N

N−1

∑k=0

Nếu L < N ta có thể độn N - L số 0 ở cuối của bản ghi dữ liệu để nó có chiềudài N Độn bất kỳ số 0 nào vào phần đuôi của tín hiệu đều không ảnh hưởng gìđến biến đổi DFT

Nếu L > N ta có thể giảm chiều dài của bản ghi thành N theo kỹ thuật rútgọn modN

Để có được phép chập không tròn hoặc không tuần hoàn của hai dãy (mộtdãy có chiều dài L và dãy khác có chiều dài M) bằng cách sử dụng phương pháp

biến đổi DFT hay IDFT, ta thấy hai dãy phải độn 0 vào phần đuôi của chúng vàsao cho chiều dài lúc này là L + M − 1 ≤ N Hiệu quả thể hiện rõ trong miền tầnsố.

Cho (x(n)) = (x0, x1, , xM−1), dãy M điểm được độn N − M số 0 vào x(n),khi đó dãy sau khi độn là: (xe(n)) = (x0, x1, , xM−1, 0, , 0) Ở đây Xe(n) =

xe(n)WNnk

=

M−1

∑n=0

x(n)x∗(n) = 1

N

N−1

∑n=0

Cho x(n), y(n) là hai dãy thực với chu kỳ N Chập vòng của chúng ký hiệu

là x(n) ∗ y(n) được cho bởi công thức:

Zcon(m) = 1

N

N −1

∑n=0

x(n)y(m − n), (m = 0, 1, , N − 1) (1.10)

= x(n) ∗ y(n).

Trong miền Fourier rời rạc, điều này tương đương với:

Zcon(k) = 1

NX(k)Y (k)

Ở đây x(n) ↔ X (k), y(n) ↔ Y (k) và Zcon(m) ↔ Zcon(k).

Định nghĩa 1.1.2 (Tích chập giữa hai vectơ)

Cho hai vectơ: a =

a và b là một vectơ ký hiệu là [a ∗ b] mà các phần tử của nó được xác định bởicông thức: [a ∗ b]k = ∑ki=0aibk−i (k = 0, 1, , 2n − 1) Ở đây an= an+1= =

Định nghĩa 1.1.3 Cho hai vectơ: a =

Tích trong của hai vectơ a và b là một vectơ ký hiệu là a × b và được xác

Định lý 1.1.4 Gọi a0, b0 là hai vectơ được xác định:

và W = W2n là ma trận Fourier cấp 2n thì W ([a ∗ b]) = (Wa0) × (W b0)

1.1.6 Biểu diễn hệ thống, phân tích phổ tín hiệu rời rạc

Định lý 1.1.5 (Định lí lấy mẫu (Tiêu chuẩn Nyquist))

Một tín hiệu sẽ được khôi phục khi tần số lấy mẫu phải lớn hơn hoặc bằng hai lần bề rộng phổ của tín hiệu Tức là fs≥ 2B(B = fmax).

Để tính toán DFT hiệu quả hơn, người ta thường chia nhỏ liên tiếp sự phứctạp của DFT N điểm thành DFT cấp nhỏ hơn và đưa ra loạt thuật toán tính DFTmột cách hiệu quả, nhanh chóng được gọi là phép biến đổi Fourier nhanh, viếttắt là FFT

Định nghĩa 1.2.1 Phép biến đổi Fourier nhanh là thuật toán tính DFT một

cách hiệu quả và nhanh chóng tức là giảm độ phức tạp và thời gian tính toán

1.2.2 Thuật toán Fourier nhanh FFT

Trong phạm vi này, ta tập trung nghiên cứu một số thuật toán cơ bản nhấtvới N = 2v

Thuật toán cơ bản phân ly theo thời gian

Nguyên tắc chung: Dựa trên việc phân tích DFT N điểm thành DFT nhỏ

hơn (số điểm tính DFT nhỏ hơn) Theo cách này, chúng ta khai thác cả tính đốixứng và tuần hoàn của hàm W

Wk+

N 2

N = −WNk

WNk+N = WNk.Thuật toán phân chia dựa trên việc phân chia dãy x(n) thành các dãy nhỏhơn được gọi là thuật toán phân chia theo thời gian (vì chỉ số n thường được gắnliền với thời gian) Nguyên tắc của thuật toán này được minh họa rõ rệt nhất khi

ta xem xét trường hợp N là lũy thừa của 2

Do N là số chẵn nên ta có thể tính X (k) bằng cách tính x(n) thành 2 dãy,mỗi dãy có N2 điểm, một dãy chứa các điểm lẻ của x(n) và một dãy chứa cácđiểm chẵn của x(n)

Theo định nghĩa DFT:

X(k) =

N−1

∑n=0

=

N

2 −1

∑m=0

x(2m)WN2mk+

N

2 −1

∑m=0

f2(m)WNkm

2

=F1(k) +WNkF2(k) (k = 0, 1, , N − 1)

Trong đó F1(k) là biến đổi DFT N2 điểm của dãy f1(m) và F2(k) là biến đổiDFT N2 điểm của dãy f2(m) Như vậy X (k) có thể được tính từ các DFT N2 điểm

F1(k), F2(k) Ở đây:

F1(k), F2(k) tuần hoàn với chu kỳ N2

F1(k +N2) = F1(k); F2(k +N2) = F2(k); Wk+

N 2

N = −WNk.Khi đó ta có:

Sơ đồ thực hiện FFT 8 điểm phân chia theo thời gian:

Hình 1.1: Sơ đồ cánh bướm theo thời gian

Hình 1.2: Sơ đồ tổng quát

Hình 1.3: Sơ đồ cụ thể

Ví dụ 1.2.1 Giải Ví dụ 1.1.1 bằng thuật toán FFT phân chia theo thời gian:

Thuật toán cơ bản phân ly theo tần số

Nguyên tắc chung: Dựa trên việc phân tích dãy ra X (k) thành các dãy nhỏ

hơn theo cùng một cách phân tích dãy x(n) Do chỉ số k của X (k) thường đượcgắn liền với thang tần số nên thuật toán được gọi là thuật toán phân chia theotần số

Xét DFT N điểm, N = 2v Phân ly X (k) thành chuỗi có hệ số chẵn và lẻ.Chuỗi có hệ số chẵn là:

X(2k) =

N−1

∑n=0

x(n)WNkn

2

.Đổi cách ghi chỉ số ở tổng thứ 2 ta được:

X(2k) =

N

2 −1

∑n=0

x(n +N

2)W

k(n+N2) N 2

Vì Wk(n+

N

2 ) N

[(x(n) + x(n +N

2)]W

kn N 2

.Tương tự ta có chuỗi có hệ số lẻ là:

X(2k + 1) =

N

2 −1

∑n=0

WNn

x(n) − x(n +N

Sơ đồ thuật toán FFT phân ly theo tần số:

Hình 1.4: Sơ đồ cụ thể phân theo tần số

Hình 1.5: Sơ đồ cánh bướm theo tần số

Từ thuật toán FFT trên, ta có công thức tính IDFT như sau:

x(n) =1

N

"N−1

∑k=0

X∗(k)WNkn

#∗

= 1

N[DFT (X∗(k)]∗.Hay x(n) = N1 [FFT (X∗(k))]∗

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG

Bài toán 2.1 Cho dãy x(n) = {2, 3; 1; 4} Tìm biến đổi DFT X (k) của dãy tín hiệu x(n)?

Bài toán 2.2 Cho x(n) = αn.u(n) Dãy tuần hoàn ˜x(n) được xác định bởi:

˜x(n) =

∞

∑n=−∞

x(n + rN)

Xác định chuỗi Fourier rời rạc ˜X(k) của ˜x(n)?

Bài toán 2.3 Cho tín hiệu xc(t) liên tục tuần hoàn có chu kỳ 1ms có dạng:

xc(t) =

9

∑k=0

akei

2πkt 10−3, ak= 0 với k > 9,

xc(t) được lấy mẫu với khoảng cách mẫu là T = 1610−3s để tạo thành tín hiệurời rạc x(n) và x(n) = xcn106−3

a Tín hiệu x(n) có phải là tín hiệu tuần hoàn không, nếu có thì chu kỳ làbao nhiêu?

b Xét xem tốc độ lấy mẫu có thỏa mãn tiêu chuẩn Nyquist không, nghĩa là

T có đủ nhỏ để tránh xảy ra hiện tượng chồng phổ không?

Bài toán 2.4 Thực hiện phép nhân hai đa thức:

P(x) =

p−1

∑k=0

pkxk; Q(x) =

q−1

∑k=0

qkxk

Ví dụ 2.1.1.

Bài toán 2.5 Dùng mối quan hệ giữa chuỗi Fourier thời gian liên tục và Fourier rời rạc để xét các dạng cơ bản của phương trình sóng.

Một chuỗi Fourier (FS) thể hiện một tín hiệu liên tục, tuần hoàn x(t) vớikhoảng thời gian T trong khoảng vô hạn các số nguyên thể hiện trong một hàmsin điều hòa Tần số của các hàm điều hòa cơ bản là w0 = 2πT còn những hàmđiều hòa khác có tần số là bội nguyên của w0 Các tín hiệu biểu diễn được bằngchuỗi Fourier phải thỏa các điều kiện Dirichlet:

Tín hiệu x(t) phải hội tụ tuyệt đối, tức là: R T

0 |x(t)|dt < ∞

Tín hiệu phải là số hữu hạn trong một khoảng thời gian

Tín hiệu có một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một khoảng hữu hạnthời gian

Những điều kiện này thường gặp nhiều trong các ứng dụng thực tiễn quantrọng

= Xc(0) +

∞

∑k=1

Từ định nghĩa của Xc(k) , Xs(k) và theo trên ta có:

x(nTs)e−ikw0 nTsT

N

= 1N

N−1

∑n=0

x(n)e−i2πN nk, k = 0, 1, , N − 1

x(n) =

N −1

∑k=0

áp dụng với A = 1 và T = 1s

Từ phương trình 2.4 ta có đường đi của sóng ứng với A = 1 và T = 1s nhưhình vẽ sau:

x(t)dt = 1

T

2 0

Adt = A

2.Khi đó: Xcs(k) = 1

T

2 0

−ikπ− 1) =

( −iA

kπ klẻ

0 kchẵn, k 6= 0Suy ra:

x(t) = Xcs(0) +

+∞

∑k=−∞

Xcs(k)eikw0 t

= Xcs(0) +

+∞

∑k=−∞

sin2π

x(t) = 1

2+

2π

sin(2πt) +1

3sin 3(2πt) +

1

5sin 5(2πt) +

.Lúc này đường truyền của sóng là:

(akcos 2π fkT+ bksin 2π fkT)

Tìm dạng của phương trình sóng nếu: fk∈ Z, x = ∑k(akcos 2π fkt+bksin 2π fkt)

là vectơ nhận giá trị của X (T ) tại n điểm bằng nhau giữa T = 0, T = 1

cosin rời rạc, vectơ sin rời rạc và t =

n−1 n

Suy ra Wnei2π f t = nef.

Tương tự ta cũng có: Wne−i2π f t = nen− f

Vậy Wnei2π f t = nef và Wne−i2π f t = nen− f

Lại có: Wn(a cos 2π f ) = aWn(cos 2π f ) = aWn

Wn(b sin 2π f ) = bWn ei2π f t− e−i2π f t

2i



= nb2i ef − en− f
= inb

2 (−ef + en− f).

Do đó: 2nWn(a cos 2π f ) = a(ef+ en− f) và 2nWn(b sin 2π f ) = ib(−ef + en− f)

Từ phương trình ban đầu cho ta:

y= 2

nWnx=

+∞

∑k=0

ak(ef k+ en− fk) + i

+∞

∑k=0

bk(−ef k+ en− fk) (2.7)Với y = 2nWnxcho ta fk, ak, bk và tìm được phương trình dạng sóng

Ví dụ 2.1.5.

Bài toán 2.7 Sử dụng thuật toán FFT phân ly theo thời gian tìm biến đổi DFT X (k) của dãy tín hiệu x(n) = {3; 2; 0; −1; 2; 1; 0; 2}.

Bài toán 2.8 Sử dụng thuật toán FFT phân ly theo tần số tìm biến đổi DFT của dãy tín hiệu x(n) = {4; 2; 0; −2; −4; 2; 0; −2}.

Bài toán 2.9 Biến đổi Fourier nhanh cho vectơ xn×1

Định nghĩa 2.2.1 Cho vectơ xn×1 với n = 2v, phép biến đổi FFT của vectơ

xlà kết quả cuối cùng của quá trình tính toán sau:

X1×n← rev(x) (đảo chỉ số dưới các phần tử trong x)

−πi 2i

Cơ sở của thuật toán:

Ta có thể độn 0 vào sao cho hai đa thức A(x), B(x) cùng bậc và giả sử cùngbậc n − 1 Tính đa thức C(x) = A(x).B(x) Nghĩa là tìm các hệ số c0, c1, , c2n−2

của đa thức C(x) Do A, B có bậc n − 1 nên C(x) có bậc lớn nhất là 2n − 2 Tacó:

ck=

k

∑i=0

aibk−i, i= 0, 1, , 2n − 2

trong đó nếu i ≥ n ta đặt ai = bi = 0 Như vậy để tính tất cả các hệ số của đathức C(x) ta cần O(n2) phép tính Để giảm độ phức tạp tính toán ta sử dụngthuật toán FFT

Ý tưởng của thuật toán:

Một đa thức có bậc nhỏ hơn n hoàn toàn xác định nếu ta biết giá trị của đathức tại n điểm phân biệt Tức là nếu biết A(x0), A(x1), , A(xn−1) thì sẽ tínhđược a0, a1, , an−1 và ngược lại

Nếu ta tính được giá trị của đa thức A, B tại các điểm x0, x1, , x2n−2 nên đathức C(x) và các hệ số của nó hoàn toàn có thể xác định được

Giả sử n chẵn và đa thức A(x) = a0+ a1x+ + an−1xn−1, xét hai đa thức:

số điểm còn lại thì ta có thể tiếp tục đệ quy

Để trong n2 điểm x20, x21, , x2n

2 −1có một nửa số điểm trái dấu với nửa số điểmcòn lại, xi không thể là số thực vì x2 ≥ 0, ∀x ∈ R Như vậy ta phải sử dụng sốphức

Thuật toán:

Procedure FFT (A, n) (Thuật toán FFT)

Input: a0, a1, , an−1 là các hệ số của A(x), n = 2v

Output: Giá trị của A(x) tại các căn phức bậc n của 1: A(w0,n), A(w1,n), ,

A(wn−1,n), ở đây xem wk,n = e2iπkn , k = 0, 1, , n − 1.

If n = 1, return A(w0,1) = A(1) = a0

Else tạo hai đa thức:

Procedure PolyMult(A, B) (Thuật toán nhân đa thức).

Input: a0, a1, , an−1; b0, b1, , bn−1, giả sử n là lũy thừa của 2

Output: c0, c1, , c2n−2 là các hệ số của C(x) = A(x).B(x)

Call FFT (A, 2n), FFT (B, 2n) để tính giá trị đa thức A, B tại wk,2n, ∀k =