Bài tập hàm biến phức

giúp các bạn sinh viên chuyên ngành kỹ thuật bổ trợ,rèn luyện kỹ năng giải bài tập môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace. Bao gồm rất nhiều bài tập hay và sát nội dung chương trình học

BÀI TẬP HÀM SỐ PHỨC

I.số phức và các phép toán

1,Tính các giá trị các căn số sau:

1. A=31 i 3+

2. B=41 i−

3. D= − +3 1 i

2, Chứng minh rằng:

1. z−1 ≤ z −1+ z argz

2 nếu Rez 0> , Rea 0> thì a z

a z

− + < 1

3 Nếu z1 = z2 =1 và z1,2 ≠±1thì 1 2

1 2

1 z z

Re(arctan e ) với ϕ nhọn.

3)Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn

a) ω = =R const

b) arg z const=

trong đó

+) ω = +x z2 −1

+) ω =e1z

4)Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn

Re ln(x + z2 −1)=const

II, Tích phân hàm biến phức:

1.

C

I=Ñ ∫ z zdz trong đó C là đường z = 1 và Imz > 0

2.

C

z

z

=Ñ ∫ trong đó C là biên của đường 1< z <2 và Imz >

C

dz

I

1 z 2

=

−

∫

Ñ trong đó C là biên của đường z−1 =1

C

zdz

I

=

+

∫

Ñ trong đó C là đường z−1 = 2; z = 4

z

z z

C∫ +− +2

3

) 1 (

1 2

trong đó C là đường z = 2

C

cos z

(z 1) (z 5)

=

∫

Ñ trong đó C là đường z−4 =2

C

(z 1)

−

=

∫

Ñ trong đó C là biên của đường z+ 4 =2

C

dz

I

(z 1)

=

−

∫

Ñ với C trong các trường hợp sau:

1 z−1 =R ,R<2

2 z+1 =R , R<2

3 z =R , R< 1

2.2 Tìm các không điểm và xác định cấp của chúng

1. ( ) ( )2 3

f z = z +1 tan z

2. f z( ) =z sinz2

3. ( ) ( )

8

z

f z

z sinz

=

−

4. f (z) z3 z

1 z e

= + −

5. f (z) e= sin z −etan z

III, Chuỗi Laurent

3.1.Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Laurent trong các miền đã chỉ ra:

1. W 2 z 2

−

= + + trong miền 1< − <z 1 2

2. W 1

(z 2)(z 3)

=

− − trong miền 2< z <3

(z 1)(z 2)

+

=

− + trong miền z <1 ; 1< z <3 ; 2< z < ∞<∞

4.

2 2

W

(z 5)(z 2)

= + − trong lõn cận của z = 2 ; 1< z <2

3.2.Tỡm phần chớnh trong khai triển Laurent tại điểm z 0 của cỏc hàm số sau:

1. W z 12

sin z

−

= với z0= 0

2. W ezz 1

+

=

− với z0 = 0 ; ±2πi

IV, Thặng dư và ứng dụng

Tỡm và phõn loại cỏc điểm bất thường,qua đú tỡm thặng dư tại đú của cỏc hàm:

1. W=sin z63

z

2z 1 W

(z 1)(z 2)

2 2

W

(z 5)(z 2)

2

z 2 W

5. =

1 W

(z 2)(z 3)

6. W= 12

sin 2z

4.2 Dựng thặng dư tớnh cỏc tớch phõn sau:

2 z C

2

I e dz trongđó C là đư ờng z 1

z

∫

ẹ 6 C

z sin z

I dz trongđó C là đư ờng z 1

z

3. =ẹ ∫ − + + + =

2

C

I (z z 1)e dz trongđó C là đư ờng z 1 1

2

C

I (z 2)e dz trongđó C là đư ờng z 2

2 Z C

I z e dz trongđó C là đư ờng z 1

6.

+∞

−∞

=

∫ 2

xcosxdx I

7.

+∞

−∞

=

∫ 2

xsin xdx I

8.

+∞

−∞

=

∫ 2

xsin xdx I

9.

+∞

−∞

=

∫ 2

sin xdx I

(x 4)(x 1)

v, phộp biến đổi z

5.1 Tỡm cỏc biến đổi z của cỏc dóy sau

1.

−

 ữ  ữ

=    



n

với n 0

2.

  ữ

=   



n n

3 với n 2

3.

  ữ

=   



n

n

3

  ÷

=   



n

n

3

= 

<



2 n

x

6.

≥



= 



2 n n

víi n 0

= 

<



n

x

8.

=   



n

n

3

5.2.Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau:

2

z

2

z

− 2 +

z

(z 1) (z 3)

+ 2 +

z

(z 1) (z 3)

2

z

− 2

z

(4z 3)

2 2

(z 1) (z 2)

+ 2 −

z 1

VI, phép biến đổi Laplace

6.1.Tìm ảnh của các hàm gốc sau

1. f t( ) (= +t 1 e) 2t

2 f (t) sin t=

3. f t( ) =te−2t cos2t

4. f t( ) (= 2t 1 cos2t.sint + )

5 f t( ) (= 2t 1 e cos2t + ) 2t

6.

< <





= − < <



f(t) 2 t khi 1 t 2

7.  + < <

= 

>



2

t 1 khi 1 t 2 f(t)

0 khi t 2

8. f(t) e= λ −α(t )sin(t− α η − α) (t )

9.





2

f(t) 2t 1 khi 1 t 3

10.



= − ≤ <



2

3t khi 0 t 4 f(t) 2t 3 khi 4 t 6

11. =∫t 2 − + −u

0

x(t) (u u e )du

0

x(t) cos(t u)e du

6.2 Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau:

2p 3 F(p)

2. =

− 2 +

1 F(p)

(p 1) (p 2)

−

1 F(p)

p (p 1)

2

2

F(p)

(p 1)(p 2)

+

p 3 2

e F(p)

p(p 1)

+

p 2 2

e F(p)

2

4p 12 F(p)

2

3p 19 F(p)

p 1 F(p)

(p 3)(p 2p 2)

3p 2 2

e F(p)

p

p 1 F(p)

+ +

1 F(p)

6.3.ứng dung phép biến đổi Laplace,tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân sau:

1. x′′+3x′+2x e= −t +e2t vớix(0) 2;x (0)= ′ = −3

2. ′′− ′+ =

t 2

4x 4x x e vớix(0) 1;x (0) 0= ′ =

3. x′′+2x′+3x t cost với = x(0)= −1 / 4;x (0) 0′ =

4. x′′−4x′+4x (t 1)e= − −2tvới x(0) 2;x (0) 0= ′ =

5. x′′+2x′=6t với 2 x(0) 0;x (0)= ′ = −3 / 2

6. x′′−7x′= −(14t 15) với+ x(0) 1;x (0) 2= ′ =

7. x′′+2x′+3x 3 7t 3t với = + + 2 x(0)= − =1 x (0)′

8. x′′+3x′+2x 2t= 2 +1 vớix(0) 4;x (0)= ′ = −3

6.4 Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tính

1.

+∞

−

= ∫ 2 t 0

I t e sin 2tdt

2.

+∞ −

= ∫ t

0

e sin3t

t

3.

= ∫

0

cos6t cos4t

t

4.

= ∫ 3t 6t

0

t

VII,Phép biến đổi Fourier:

7.1.Tìm biến đổi Fourier của các dãy số và hàm số sau:

1.

−

 ÷  ÷

=    



n

khi n 0

2.

  ÷

=   



n n

3

khi n 2

3.

  ÷

=   



n n

3

4.

 ÷

=  



n n n

khi n 0

5.  − + − ≥

= 

<



x

6.

≥



= 



2 n n

khi n 0

7.

  ÷

=   



n

n

1

8.



n n

n

khi n 0

=

∉



1 2t 1 khi 0 t 1 f(t)

0 khi t (0,1)

= 

∉



1 t 1 khi 0 t 2 f(t)

0 khi t (0,2)

11. ( )

− ≤ <





= − − − ≤ < −



2 t khi 1 t 2

x t

12. ( )









x t

t 1 khi 0,5 t 1

13. Tìm hàm f(t) chẵn thỏa mãn



∫

0

f(u)cos udu

0 víi 1 qua đó tính

+∞

∫ 22 0

sin u

du u

14 Chứng minh

+∞

−

π

= +

2 0

cosax

2

15 Từ biến đổi Fourier của f(x)­=­e với −x x 0≥ Tính

+∞

+

∫ 2 0

xsin mx

16 Tìm hàm f(t) lẻ thỏa mãn đẳng thức sau



= < ≤

 >



∫

0

1 khi 0 t 1 f(u)sin(ut)du 2 khi 1 t 2

0 khi t 2

17 Tìm biến đổi Fourier theo cosin và sin của

 ≤ <



1 khi 0 x 1 f(x)

0 khi x 1