Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

LờI CAM ĐOANKhóa luận tốt nghiệp: “Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian□ của tôi đợc hoàn thành dới sự tận tình hớng dẫn của giảng... Tuy nhiên khô

LờI CảM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và cácbạn sinh viên đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này Đặcbiệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy:

Nguyễn Văn Vạn - ngời đã tận tình giúp đỡ em trong quá

trình hoàn thành khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoahọc Hơn nữa do bản thân còn hạn chế nên không tránhkhỏi những thiếu sót Em kính mong nhận đợc sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luậncủa em đợc hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5, năm 2012.

Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo

LờI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp: “Sử dụng phép đồng dạng để

chứng minh các bài toán trong hình học không gian□

của tôi đợc hoàn thành dới sự tận tình hớng dẫn của giảng

Mục lục

đầu……….1 B Nội dung ……… 3

2.1.1 Khái niệm bài toán chứng minh……… 16

2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giả bài toán chứng

minh……… 16 2.2 Một số ví

dụ……… 17 2.3 Bài tập luyện tập………,,,,,.24

Chơng 3: Hớng dẫn giải bài

tập………27 A Kết

luËn………34 B Tµi liÖu tham

kh¶o……… 35

a mở đầu

1 lí do chọn đề tài

Trong cuộc sống nói chung và trong trờng Trung họcphổ thông nói riêng, toán học là một môn học không thểthiếu Trong đó chúng ta không thể không nhắc đến hìnhhọc bởi môn học này có tính chặt chẽ, tính logic và tínhtrừu tợng hóa cao hơn các môn học khác của toán học Mặtkhác đây cũng là một môn học hấp dẫn học sinh bởi tínhtrực quan của nó, đặc biệt khi có sự trợ giúp đắc lực củamáy tính và các phần mềm hỗ trợ Đứng trớc một bài toánhình học chúng ta có thể đa ra nhiều cách giải khác nhau,nhng cách giải nào là tối u, là dễ hiểu và thể hiện đợc tínhsáng tạo nhất của ngời giải Trong chơng trình toán học ởbậc Trung học phổ thông hiện nay có đa ra cho học sinhmột công cụ mới để giải các bài toán hình học là sử dụngcác phép biến hình Với công cụ này, học sinh có thể vậndụng để giải các bài toán quỹ tích, chứng minh, dựng hìnhhay tính toán Tuy nhiên không phải bài toán nào đa ra cũng

có thể giải bằng biến hình, đó chính là một hạn chế khi sửdụng các phép biến hình để giải bài toán Bởi vậy, đòi hỏihọc sinh khi sử dụng các phép biến hình để giải bài toáncần có t duy linh hoạt, sáng tạo, khả năng t duy hóa, trừu tợnghóa cao

Để tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này tôi đã mạnh dạn

nghiên cứu đề tài:

“Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài

toán trong hình học không gian□.

6

-Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp và do thờigian nghiên cứu không nhiều nên tôi chỉ tập trung xétnhững ứng dụng của phép đồng dạng - một trong nhữngphép biến hình cơ bản để giải một lớp bài toán, đó là bàitoán chứng minh trong không gian.

7

-2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này nhằm:

−Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán

−Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

3 Đối tợng, phạm vi nghiên cứu

−Đối tợng nghiên cứu: Phép đồng dạng

−Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng và bài toán chứng minh của hình học không gian

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

−Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong không gian

−Nghiên cứu về ứng dụng của phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

5 Phơng pháp nghiên cứu

−Phân tích các tài liệu liên quan

−Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán

B.nội dung Chơng 1: Cơ

sở lí luận 1.1 Tổng quan về phép biến hình

- Giả sử đã cho tập hợp bất kì K khác rỗng, K sẽ đợc gọi là một không gian, các phần tử của K là điểm, một tập con khác rỗngcủa K là một hình

- Định nghĩa: Giả sử K là một không gian, song ánh f : K

K

- Nếu M, N là hai điểm bất kì của K thì f(M), f(N) là hai

điểm phân biệt của K

Với mỗi điểm M’∈ K bao giờ cũng có một điểm M thuộc

K sao cho f(M)

= M’

Điểm f(M) đợc gọi là ảnh của M qua phép biến hình f Ngợc lại điểm M đợc gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép biến hình f nói trên.

Nếu H là một hình nào đó của K thì ta có thể xác

Chú ý : Nếu một phép biến hình f biến một hình H

thành một hình G mà thỏa mãn điều kiện sau thì ta gọi đó

là phép biến hình một đối một:

Tạo ảnh f -1(M’) của mọi điểm M’ thuộc hình G đều chỉ gồm có một điểm

- Định nghĩa: Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập K

đã cho, dễ thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh

của K vào K nên tích đó cũng

là một phép biến hình của K Ta gọi phép biến hình đó là

điểm M’ Ta có f(M) = M’ Khi đó phép biến hình biến đổi

M’ thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngợc của phép biến hình đã cho

- Phép afin trong không gian đợc xác định bởi hai tứ diện tơng ứng.

Trong E2, hai tam giác ABC và A’B’C’ đợc gọi là cùngchiều nếu trên vòng tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi

từ A đến B, từ B đến C, từ C đến A cùng chiều quay từ A’

đến B’, từ B’ đến C’, từ C’ đến A’

Trong không gian

E3 hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' đợc gọi

là cùngchiều nếu hai góc tam diện A.BCD và A'.B'C'D' cùng hớng

,

b, Định lí:

Phép biến hình của không gian En (n= 2,3) là phép afinkhi và chỉ khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểmthẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng thành ba điểmkhông thẳng hàng

c, Tính chất:

- Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng

- Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng

đợc xác định bởi hai hình cùng chiều

+ Ngợc lại ta gọi là phép biến hình loại 2

hình tứ diện bằng nhau

c, Phân loại: có hai loại phép đẳng cự

+ Phép đẳng cự đợc gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1

+ Phép đẳng cự đợc gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép afin loại 2

d, Định lí:

e, Các phép đẳng cự đặc biệt:

• Phép đối xứng qua siêu phẳng :

+ Định nghĩa: Trong En (n= 2, 3) cho siêu phẳng P

Phép biến hình của không gian cho ứng mỗi điểm M với

M '

sao cho

OM '

=

−OM

của không gian cho ứng điểm M

với điểm tịnh tiến theo vectơ a

• Phép quay quanh trục trong không gian

+ Định nghĩa: Trong không gian E3 cho trục d và góc phẳng định hớng

ϕ Phép biến hình của E3 cho ứng mỗi

−Phép quay Q(d, ϕ ) là phép đối hợp khi và chỉ khi ta có

−Phép chuyển vị là phép đối hợp

−Tập hợp các điểm bất động của Cd là trục d

- Cho phép biến hình f của không gian K Điểm M của không

gian K

đợc gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của

phép biến hình f nếu

f(M) =M.

- Cho phép biến hình f của không gian K Hình H bộ phận

của không gian K đợc gọi là hình kép đối với phép biến

hình f nếu ta có f(H) = H.

- Hình H đợc gọi là hình bất động đối với phép biến hình

f nếu ta có mọi điểm của H bất động đối với f.

MN

một hằng số dơng ( k > 0 ) cho trớc đợc gọi là phép đồng dạng tỉ số k

- Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng.

Trong E3 một phép đồng dạng đợc xác định bởi hai tứ diện có các cặp cạnh tớng ứng tỉ lệ

Tức là: trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' đồngdạng Khi đó tồn tại duy nhất một phép đồng dạng biến A,

kì với ảnh của nó luôn đi qua O

- Với

k ≠ 1 , phép

vị tự V O

có duy nhất O là điểm bất động

Với k = 1 , mọi điểm là điểm

- Trong E3 phép vị tự là phép đồng dạng thuận hay nghịch tùytheo tỉ số vị tự là dơng hay âm.

- Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự

Tích hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến

đồng dạng nghịch.

b, Ngợc lại, một phép đồng dạng có thể phân tích bằngvô số cách thành tích của một phép vị tự với một phép dờihình hoặc là một phép phản chiếu tùy theo phép đồng dạng

Gi¶ sö D lµ phÐp dêi

h×nh

O

= V lµ phÐp vÞ tù cña E3 XÐt cÆp M, N

trong E3 vµ qua V chóng biÕn thµnh M’, N’ vµ qua D cÆp M’,N’ biÕn thµnh M”, N” Ta cã M, N biÕn thµnh M”, N” qua V.D

Do M’N’ = k MN nªnV D = Z|k|

V

k

Nếu k > 0 do V là đồng dạng thuận nên Z|k| cũng là thuận.

+ Nếu Zk là đồng dạng thuận do k >

0 nên Vk

suy ra f là dời hình.

cũng là đồng dạng thuận

tự trùng nhau, tỉ số vị tự bằng tỉ số đồng dạng

Một phép đồng dạng nghịchcó thể phân tích thànhtích một phép phản chiếu và một phép vị tự có tâm là

điểm bất động của phép phản chiếu

Chứng minh :

Xét điểm A của E3 và A’ = Z (A) Giả sử Olà điểm chia

đoạn AA’ theo tỉ số k hoặc (-k) tùy theo Zk thuận hay nghịch

Xét V là phép vị tự tâm O, tỉ số k hoặc (-k) tùy theo

Ta có V(A) = A’ Theo định lí 1 ta phân tích Zk = D V

ở đó D là phép dời hình Ta có Zk(A) = D V(A) hay A’ = D(A’)

Vậy D là phép quay quanh trục

P A

O

Q

Định lí 3 : Một phép đồng dạng khác đẳng cự đều có

điểm bất động duy nhất

Ta thừa nhận định lí này và chỉ nêu cách xác định

điểm bất động O của phépđồng dạng khác đẳng cự Zk

 Xét trong mặt phẳng E2 và Zk thuận

A

C B

đồng dạng cùng chiều ABC và A’B’C’

Rõ ràng AB, A’B’ không song song Gọi I = AB A’B’ DoOAB và

B B’

Do Zk xác định bởi hai tam giác đồng dạng không cùng chiều OAB và OA’B’.

Ta có (OA, OB) = -(OA’, OB’)

Vậy phân giác của

góc

BOˆ B'

SPQ(A) thì I ∈ OA' Vậy O = PQ ì A' I

Nh vậy cách dựng O trong trờng hợp này là: Lờy hai cặp

điểm tơng

ứng (A, A’) và (B, B’) Dựng các điểm P, Q

= −k .Dựng điểm I là điểm đối xứng A qua PQ Cuối cùng O là giao điểm PQ với AI’

Định lí 4 :

a, Một phép đồng dạng khác đẳng cự trong E3 nếukhông là phép vị tự có thể biểu diễn duy nhất thành tíchgiao hoán đợc của một phép quay quanh trục và một phép

vị tự

b, Một phép đồng dạng thuận trong E2 biểu diễn duynhất dới dạng tích giao hoán đợc của một phép quay và mộtphépvị tự

Một phép đồng dạng nghịch trong E2 biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán đợc của một phép đối xứng trục

và một phép vị tự

Chứng minh :

a, Trong E3 ta chứng minh tích phép quay và phép vị tựgiao hoán đợc khi và chỉ khi tâm vị tự nằm trên trục quay.Xét Q =

Q(q,ϕ)

và V = V (O, k )

Nếu Q.V= V.Q thì Q = V.Q.V -1

Vậy Q(O) = V.Q.V -1 (O) = V[Q(O)]

Suy ra Q(O) = O vậy O∈ q

Vì Zk(O’) = V’.Q’(O’) = O’ nên O’= O

Vậy V= V’ suy ra Q =

Q’ b, Trong E2

Tích phép quay điểm và phép vị tự giao hoán đợc khi

và chỉ khi tâm quay và tâm vị tự trùng nhau

Tích phép đối xứng trục và phép vị tự giao hoán đợc khi và chỉ khi tâm vị tự nằm trên trục đối xứng.

Việc chứng minh trong E2 hoàn toàn tơng tự trong E3

Chơng 2: Sử dụng phép đồng dạng để giảI bài

toán chứng minh.

2.1 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng.

- Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra

mệnh đề Trong đó A là giả thiết, B là kết luận

- Để giải các bài toán chứng minh thông thờng ngời ta xuất phát

từ giả thiết hay mệnh đề đúng đã biết bằng lập luận chặtchẽ và suy diễn logic để dẫn đến kết luận

chứng minh.

 Nếu ta thiết lập đợc mối quan hệ giữa các điểm và đờng

đã cho trong giả thuyết A với các điểm và các đờng trongkết luận B của bài toán thông thờng qua phép đồng dạng,thì nhờ tính chất không làm thay đổi qua phép

một mệnh

B'

hay

A'

⇒

B

đã đợc chứng minh Do tính chất của

phép đồng dạng ta có thể khẳng định tính đúng đắn của mệnh đề ban đầu

A ⇒ B hay ngợc lại

 Thông thờng trong nhiều trờng hợp, việc dựng thêm các đờngthẳng giúp mang những dữ kiện đã cho đến với nhữnghình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thểnhận đợc những điều cần chứng minh Thờng thực chất củacông việc này là dựng ảnh của điểm hay đờng qua phép

đồng dạng

 Giải một bài toán chứng minh trong hình học nói chung cần

sử dụng 3 bớc:

- Lựa chọn phép biến hình

- Thực hiện phép biến hình,

- Rút ra kết luận bài toán

ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh

ta phải tìm đợc phép đồng dạng thích hợp và thực hiện cácbớc trên

Khi tìm ra đợc phép đồng dạng rồi, ta dựa vào địnhnghĩa, các tính chất cơ bản, các dạng chính tắc của phép

đồng dạng, trong một số trờng hợp sẽ rút ra đợc ngay kếtluận của bài toán hoặc có thể giảm bớt mức độ khó khăn củabài toán, chuyển sang bài toán dễ giải hơn

Chứng minh :

Giả sử có hai đờng tròn là (C) = (O, R); (C’) = (O’, R’)

• Trờng hợp 1: Nếu (C) và (C') nằm trong cùng một mặt phẳng

R’

R

R O

R O

(C)



R’

R O'  O 1

(C) O R

(C') O'

R R'

• Trêng hîp 3: NÕu (C) vµ (C') n»m trong hai mÆt ph¼ng c¾t nhau

Thùc hiÖn phÐp quay Q biÕn mÆt ph¼ng chøa (C)

R

Tõ 3 trêng hîp trªn ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh

40

.

A 1

Dạng 2: Chứng minh các tính chất hình học

Nếu ta thiết lập đợc mối quan hệ giữa các điểm và đờng

đã cho trong giả thuyết A với các điểm và các đờng trongkết luận B của bài toán thông thờng qua phép đồng dạng,thì nhờ tính chất không làm thay đổi qua phép

Gäi G lµ träng t©m cña tø diÖn ABCD

A1, B1, C1, D1 lÇn lît lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c BCD, DCA, ABD, ABC nªn ta cã:

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lợt là trung điểmcác cạnh AB, BC, CA gọi K, I, J là các điểm đối xứng với Dlần lợt qua M, N, P Chứng minh AI, BJ, CK là ba đờng thẳng

Ta gọi Q, R, S lần lợt là trung điểm các cạnh CD, DA, DB Khi

đó ta có:

V 2 : Q  C; R  A; S  BTheo giả thiết K, I, J là các điểm đối xứng với D lần lợt qua

Do đó theo tính chất của phép vị tự các đờng thẳng

AI, BJ, CK đồng quy tại điểm G’ là ảnh của G qua phép vị tự

VD .

2

Cho tứ diện ABCD với P, Q lần lợt là trung điểm của AB và

CD Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2.RC và S

là giao điểm của cạnh AD với mặt phẳng (PQR) Chứng minh

AS = 2.SD

Bài 4:

Cho hai hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Chứngminh rằng nếu đáy của chúng đồng dạng và tỉ số đồngdạng bằng tỉ số hai cạnh bên của chúng, thì hai hình đó

Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng bốn trọng tâm củabốn mặt tứ diện là đỉnh của một tứ diện đồng dạng vớiABCD

Bài 8:

Chứng minh rằng tỉ số thể tích của hai hình đa diện

đơn bằng lập phơng tỉ số đồng dạng

Bài 9:

Chứng minh rằng nếu hai hình hộp đồng dạng thì tỉ

số thể tích của hai hình đó bằng lập phơng tỉ số đồng dạng

Bài 10:

Chứng minh rằng nếu hai hình chóp tam giác đồng dạng thì tỉ số thể tích của chúng bằng lập phơng tỉ số đồng dạng

Thùc hiÖn tÞnh tiÕn T1 biÕn mÆt ph¼ng chøa ABCD thµnh mÆt ph¼ng chøa A'B'C'D' vµ ABCD cã ¶nh lµ

A1'B1'C1'D1'

TiÕp theo thùc hiÖn c¸c bíc nh trêng hîp 1, cuèi cïng ta

Giả sử đã cho hai hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'

và A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1'

Ta chứng minh tồn tại phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Thật vậy, tồn tại phép dời hình D biến hình vuôngABCD thành hình vuông A1B2C2D2 với B2 ∈ tia A1B1, D2

∈ tia A1D1, C2 ∈ tia A1C1 và do AA' ⊥ (ABCD ) nên A'

Q

RC

k

V

V

1