Tài liệu Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học

Chủ đề quan trọng được đề cập là khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

tai lieu, luan van1 of 98.

document, khoa luan1 of 98.

2

3 Nội dung báo cáo

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Sự phát triển kinh tế - xã hội, khoa học công nghệ đã đặt ra yêu cầu cần phải đổi mới

nội dung, phương pháp dạy học Bộ GD và ĐT có định hướng: “Phương pháp giáo dục

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, sự say mê học tập và ý chí vươn lên” cho học sinh Thực hiện theo mục tiêu

của Bộ GD - ĐT đề ra, trường học đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương pháp dạy

và học hướng tới đào tạo các thế hệ học sinh thành những con người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu

Hình học không gian là bộ môn toán học nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian, đặc điểm của hình học không gian là môn học trừu tượng Chủ đề quan trọng được đề cập là khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Vì vậy bài tập khoảng cách trong không gian rất đa dạng và phong phú Đặc

khi giải các bài toán về khoảng cách

Tính tích cực của học sinh trong quá trình học tập là yếu tố cơ bản, có tính quyết định đến chất lượng và hiệu quả học tập Mục tiêu của mọi sự đổi mới phương pháp dạy học, xét đến cùng phải hướng tới việc phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh Vấn

đề cốt lõi là đặt học sinh vào vị trí trung tâm của quá trình dạy học Trong quá trình dạy học người thầy biết sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học một cách hiệu quả nhằm phát huy cao độ vai trò nội lực của học sinh Phương pháp dạy học nêu vấn đề, phương pháp thực hành, phương pháp làm việc theo nhóm, phương pháp tình huống nếu được

tai lieu, luan van2 of 98.

chuẩn bị tốt sẽ thực sự kích thích tính chủ động tích cực của học sinh Tuy nhiên, theo tôi một thành tố cũng quan trọng không kém đó là tạo được tâm lý tốt cho học sinh, giúp các

em tự tin vào khả năng của mình, khả năng giải quyết thành công bài toán

Qua tìm hiểu tôi thấy đã có rất nhiều chuyên đề của các thầy cô đồng nghiệp nghiên cứu về hình học không gian, trong đó đã đưa ra tương đối đầy đủ các phương pháp giải toán Tuy nhiên, còn ít thầy cô đề cập đến định hướng tư duy cho các em trong giải bài tập, dẫn đến học sinh khó tiếp cận được với lời giải bài toán, tư duy hình học ít được phát triển

Qua chuyên đề này tôi muốn giúp các em có một lối mòn trong định hướng giải quyết một bài tập hình không gian, đó là tư duy đưa lạ về quen, luyện tập tốt bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng, từ đó đưa các bài toán khoảng cách khác

về bài toán trên Đối với nhiều bài toán thì đây không phải là cách giải hay nhưng đây

là một hướng giải quen, có tư duy mạch lạc

2 Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình

học không gian

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Đức Thịnh

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn

- Số điện thoại: 0984490608 E_mail:

nguyenducthinhgv.c3songlo@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Đây là chuyên đề được tôi tổng hợp, xây dựng lại

theo suy nghĩ của tôi, có tham khảo bài viết của một số đồng nghiệp qua mạng Internet Chuyên đề được tôi sử dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi và dạy chuyên đề ôn thi đại

học

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán lớp

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm học 2017 –

2018, tôi được giao nhiệm vụ dạy học môn toán lớp 11A1,11A4 và 12A2 Chuyên đề này đã được tôi dạy thử nghiệm trong các tiết học chuyên đề 11A1 tháng 4/2018

tai lieu, luan van3 of 98.

4

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào một cách tiếp cận bài toán khoảng cách trong không gian theo hướng lôgic, hệ thống và gần gũi hơn Đề tài tập trung khai thác bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, sau đó đưa các dạng bài toán khoảng cách khác về bài toán trên

7.1 Các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian

7.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

( , )

d O 

* Nhận xét

-  M ,OM d O( , )

H của O trên  và tính OH

7.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đường thẳng 

( ,( ))

d  

* Nhận xét

-  M ,N( ), MN d( ,( ))

quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

7.1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của

* Nhận xét

-  M ( ), N( ), MNd(( );( )) 

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

7.1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông góc chung

thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu ( , ) d a b

* Nhận xét

-  M a N, b MN, d a b( , )

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó

6

* Đặc biệt

- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của

AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD

7.2 Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh

sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

tai lieu, luan van6 of 98.

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ

nhật ABDC Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm

của BC, CD và AB Lúc đó, CD//(SAB) hay

đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính 𝑉 và 𝐵

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN)

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay

AMNP là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN)

có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB)

Lời giải:

PC AMN d P AMN d C AMN

tai lieu, luan van8 of 98.

S

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK)

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt

phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên

ta tính được diện tích của nó

3

a SAD SAB AK AH

P

N M

10

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD

AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên

;

2

2 29

OAHK AHK

D

B

S

H K tai lieu, luan van10 of 98.

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

uuur uuur uuur

Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác

định được theo phương SC

* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC

7.2.3 Phương pháp trượt điểm

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt điểm O trên một đường thẳng đến

một vị trí thuận lợi 'O , ta quy việc tính ( ,( )) d O  về việc tính ( ',( ))d O  Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N  thì

d M  d N tai lieu, luan van11 of 98.

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a;

điểm B đến mp(SAC) theo a

Ví dụ 2 (Đề thi Đại học khối B năm 2011)

O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

tai lieu, luan van13 of 98.

14

1

2 1

;

232

a a

b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)

Phân tích: Do OASBCC, nên thay vì việc tính d O SBC ,  ta đi tính

d A SBC , tương tự như vậy ta có thể quy việc

tính d G SAC ,  thông qua việc tính d E SAC ,  

AH  SA  AB  a  

O

F E

D

C B

A S

tai lieu, luan van14 of 98.

S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a 2 và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh

Lời giải:

Nên theo giả thiết ta được:

d C SAD d H SAD HP

7.2.4 Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông

1 Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh

vuông OAD và OBC ta có

A

B D H

tai lieu, luan van16 of 98.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD), SA=2a,

18

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

a) Tính

b) Tính

Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là

giao điểm của hai đường thẳng AD và BC

a DH

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a Tính khoảng cách

Ví dụ 2 ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);

cm AD

; 0

; 0 (

20

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD):

0 12 3 3 4 1 4 4 3 : )

(BCD x y  z   x y z 

17

34 6 34

12 9 9 16

12 )

Ví dụ 3 ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

90

Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyznhư sau :

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB

2

x a at y

; CDuuur   a a; ;0 => SC CDuuur uuur   0 SCCD

a a

a a

22

Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ

thức vecto theo hệ vecto gốc

Bước 3: Chuyển các kết luận “vecto” sang các kết quả hình học tương ứng

Ví dụ 1 (Đề thi đại học khối D năm 2007)

90 ,

ABCBAD BABCa, 2

Q

P

N E H

K

M

D

C B

A S

tai lieu, luan van22 of 98.

 

Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Phân tích Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt

phẳng (SCD) là khó khăn Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Lời giải

Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM Ta có:

13

* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ vecto gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán

bằng phương pháp vecto Nói chung việc lựa chọn hệ vecto gốc phải thoả mãn hai yêu cầu:

+ Hệ vecto gốc phải là ba vecto không đồng phẳng

+ Hệ vecto gốc nên là hệ vecto mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ vecto một cách đơn giản nhất

Ví dụ 2 (Đề thi ĐH khối B năm 2007)

N

M E

O

S

D

C B

A

tai lieu, luan van24 of 98.

7.3 Giải các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian bằng cách đưa

về dạng bài tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

7.3.1 Giải bài toán tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

tai lieu, luan van25 of 98.

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

hình lập phương là bé nhất

Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn

được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tọa độ các

đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách giữa hai

mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng

Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện về

việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’

B A

tai lieu, luan van27 of 98.

2 2

7.3.3 Giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ 1 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, N lần

Phân tích Để tính khoảng cách giữa B M và '

CN ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với

'

B M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tính

khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc

tính khoảng cách trong tứ diện vuông

Lời giải

Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN

( ' , ) ( ' ,( )) ( ',( )) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

83

a h

tai lieu, luan van28 of 98.

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Gọi M là trung

Ví dụ 3 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

a 2

a

I O

E

N M

B

B' A'

C'

D

C D'

A

tai lieu, luan van29 of 98.

30

Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

2 2

2

11

1

OS OJ

42 2 ) ,

Ví dụ 4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mp(ABCD), SA = a 3 E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

a CD AE

N

P

O C

B

S E

tai lieu, luan van30 of 98.

(SED)  (SAK)  SK Kẻ AH  SK (HSK) thì d(A, (SED)) = AH

SAK và EAD là các tam giác vuông tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 2

2 2

2

13

11

11

AK a

AK AS

2 2 2 2

2

111

11

a a AD AE

3

11

a a a

,

7 21

tam giác đều) nên A B' '  (CIJ) IH A B' ' (2)

32

Từ (1), (2) suy ra: IH  (CA B' ') hay (d AB CB, ')IH

10

a IH

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là

Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d

song song với BD Gọi O là giao

điểm của AC và BD; I, M lần lượt

là trung điểm của AD và OD; N là

giao điểm của d và IM

Ví dụ 8: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy

ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt

phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt

phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N,

Tính (d AB SN , )

Giải: + Gọi I là trung điểm của BC

+ Xét tam giác vuông SAJ có:

13

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi AB = AC = a; tam giác SBD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng (ABM) chia hình chóp S.ABCD thành 2 khối đa diện

Bài 2 (Đề thi HSG lớp 12 Sở GD-ĐT Phú Thọ năm học 2017-2018)

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng B’C và mặt đáy (ABC) bằng 30 0

Bài 3 (Đề thi HSG lớp 12 Sở GD-ĐT Hưng Yên năm học 2017-2018)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’ B’ C’ có độ dài cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt phẳng ( A’ BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CC′ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A M ′ và AN theo a

Lời giải:

Gọi Q là giao điểm của AN và A’C

Kẻ QP // A’M => d(A’M; AN) = d(A’M;(APN)) = d(M; (APN))

38

Bài 4 (Đề thi HSG lớp 12 Sở GD-ĐT Hà Nam năm học 2017-2018)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết AB =

SD = 3a; AD = SB = 4a, đường chéo AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) Tính theo A thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SA

Bài 5 (Đề thi Đại học khối D năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt

30

thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Bài 6.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc

0

60

a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD

Bài 7 Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OAOBOC 1 Gọi

OM và CN

Bài 8 (Đề thi Đại học khối A năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của

AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng

thẳng AB và SN theo a

Bài 9 (Đề thi Đại học khối D năm 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C

Bài 10 (Đề thi Đại học khối D năm 2009)

tai lieu, luan van38 of 98.